高中数学排列与组合
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版选修2_3
第1课时组合与组合数公式知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素□01合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n 个不同元素中任取m 个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m >n2时，通常不直接计算C mn 而改为C n －m n ，对于性质2，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n 要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a ，b ，c 三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C 23.( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C 24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C 35＝5×4×3＝60.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________． (2)C 1820＝________. (3)C 399＋C 299＝________.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C 36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C 1820＝C 220＝20×192×1＝190. (3)C 399＋C 299＝C 3100＝100×99×983×2×1＝161700.探究1 组合的有关概念 例1 给出下列问题：(1)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a ，b ，c ，d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ (6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题． (6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题． 拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？ (2)从集合A ＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a ，b ，c ，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题． (4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题． 探究2 组合数及组合数性质的运用 例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m8；(3)求C 38－n3n ＋C 3n21＋n 的值； (4)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. [解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C m 8＝C 28＝28.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10， ∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.(4)证明：m C mn ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C mn＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！一般用于计算；而公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！及C mn ＝A mn A m m 一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m ≤n 且m ，n ∈N *”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Am n ＝C m n A m m 的逆向运用，如本例(1)中可利用“C 37A 33＝A 37”简化计算过程． (4)本例(4)所推导的结论“m C m n ＝n C m －1n －1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．[跟踪训练2] (1)①求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1；②求证：C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)计算：①C 58＋C 98100·C 77； ②C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； ③C n n ＋1·C n －1n .解 (1)①⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5， 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.②证明：因为C mn ＝n ！m ！(n －m )！，m ＋1n －m C m ＋1n ＝m ＋1(m ＋1)！·n ！(n －m )(n －m －1)！＝n ！m ！(n －m )！，所以C mn ＝m ＋1n －mC m ＋1n . (2)①原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. ③原式＝C 1n ＋1·C 1n ＝(n ＋1)n ＝n 2＋n . 探究3 简单的组合问题例3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？ (3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C 210＝10×92×1＝45种不同的选法． (2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C 26种方法；第2类，选出2名女教师，有C 24种方法，即共有C 26＋C 24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有C 26·C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法． 拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．1．下列问题不是组合问题的是 ( )A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，a n}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案 D解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1，∴n ＋1＝7＋8，n ＝14，故选C. 3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 ( ) A ．A 310种 B ．C 310种 C ．C 310A 310种 D ．30种答案 B解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B. 4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是________． 答案 {6,7,8,9} 解析 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生．解 (1)先选内科医生有C 36种选法，再选外科医生有C 24种选法，故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C 510－C 56＝246种选派方法．。
高中数学中的排列与组合解题技巧
高中数学中的排列与组合解题技巧在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和解题方法。
排列与组合涉及到数学中的计数和选择问题，掌握解题技巧对于理解和应用数学知识至关重要。
本文将介绍一些高中数学中排列与组合的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用这一知识点。
一、排列的解题技巧排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定顺序排列的结果。
在解决排列问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用排列的知识计算全排列：全排列是指将所有元素按照不同顺序排列的结果。
当需要计算给定元素全排列的数量时，可以使用排列的知识进行计算。
例如，在班级中选取任意3名同学参加演讲比赛，全排列的数量为P(全，3)。
2. 全排列中的重复元素处理：在计算全排列时，如果存在重复的元素，需要考虑重复元素的情况。
可以先计算全排列的总数，再除以重复元素的排列数量。
例如，在字母“MATH”中，字母“A”重复了2次，在计算全排列时，需要除以2!来消除重复的排列。
3. 限制条件下的排列计算：在一些题目中，可能会有某些元素需要满足一定的限制条件才能参与排列。
在解决这类问题时，需要先确定限制条件下可选的元素数量，再进行排列计算。
例如，从1-10中选取3个数字，要求所选数字之间的差值不小于2，可以先确定可选数字的范围，然后计算排列的数量。
二、组合的解题技巧组合是指从给定的元素中选取若干个元素无序地排列的结果。
在解决组合问题时，需要注意以下几个技巧：1. 使用组合的知识计算组合数量：组合的数量可以使用组合的公式进行计算。
例如，在10个人中选取3个人参加某项活动，可以使用组合的知识计算C(10, 3)。
2. 考虑组合的逆问题：在一些题目中，可能需要求解满足特定条件的组合数量。
此时可以考虑组合的逆问题，即求解不满足条件的组合数量，然后用总组合数量减去不满足条件的组合数量，得到满足条件的组合数量。
例如，在一组数字中，需要选出3个数字，使其和为15，可以先计算出不满足条件的组合数量，再用总组合数量减去不满足条件的组合数量。
高中数学排列组合
1、排列定义
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排列.
排列的定义中包含两个基本内容： 一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定 顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问 题的重要标志．
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排 列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．
思考 上述问题1,2 的共同特点是什么?你能将它 们推广到一般情形吗?
一般地,从n个不同的元素中取出m(m n)个元素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列,叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取
出m个元素的一个排列 (arrangement).
思考 你能归纳一下排列的特征吗?
根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排 列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例 如在问题2中,123与134的元素不完全相同,它们 是 不 同 的 排 列;123与132虽 然 元 素 完 全 相 同, 但 元 素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作 过另一个点的射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？ （10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
例2.某年全国足球甲级 A组 联赛有14
个队参加, 每队要与其余各队在主、客场 分别比赛一次, 共进行多少场比赛?
nn
1n
2 n n m
m 1n
2 1
m
2
1
n! nm!
A
n n
A nm nm
.
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
数学的秩序之美高中数学中的排列与组合
数学的秩序之美高中数学中的排列与组合在高中数学课程中，排列与组合是一个重要的内容，它们揭示了数学的秩序之美。
排列与组合是数学中的两项基本概念，它们分别代表着数学中的有序选择和无序选择。
在实际应用中，排列与组合可以用于解决各种问题，从简单的生日派对座位安排到复杂的密码破解，都离不开这两个概念。
排列是从一组元素中有序地选择若干个元素的方式。
在高中数学中，排列常常被用于计算特定事件发生的可能性。
例如，在一个有5个不同颜色的球的箱子中，有几种不同的方法可以排列这些球？这个问题可以通过计算5的阶乘来获得答案，即5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120。
因此，这个箱子中的球可以有120种不同的排列方式。
组合则是从一组元素中无序地选择若干个元素的方式。
与排列相比，组合不考虑元素的顺序，只关注元素的选择。
在高中数学中，组合经常被用于确定某种情况下的可能性数目。
假设有一个有10个人的小组，需要从中选出3个人进行一项任务。
通过使用组合的概念，可以计算出这个小组中选择3个人的可能性数目。
这可以使用组合公式来解决，即C(10, 3) = 120。
因此，从这个小组中选择3个人的可能性有120种。
排列与组合在实际应用中有着广泛的用途。
举个例子，假设我们要设计一个五位数的密码锁，每个位数有10个可能的数字选项。
通过排列的概念，我们可以计算出总共有多少种不同的密码组合。
这可以用10的五次幂来计算，即10^5 = 100,000。
因此，我们有100,000种不同的密码组合选项。
此外，还有一些与排列与组合相关的问题需要考虑。
例如，假设要从一组数中选择3个数，但要求这3个数不能有重复。
这种情况下可以使用排列的概念，即从一组数中有序地选择3个数，再除以这3个数的所有可能的排列。
这可以通过P(10, 3) / 3!来计算，其中P(10, 3)表示有序的选取3个数的排列数目，3!表示3的阶乘。
总结来说，排列与组合是高中数学中的重要内容，它们展示了数学的秩序之美。
高中数学排列组合相关公式3篇
高中数学排列组合相关公式第一篇：排列组合基本概念和公式排列和组合是数学中的重要概念，属于初中和高中数学中的基础知识。
这两个概念通常用于处理有关选择或安排事物的问题。
排列：从n个不同的元素中任选r个元素排成一列，称为从n个不同元素中选r个元素的排列。
排列的基本公式如下：An^r = n(n-1)(n-2) …… (n-r+1)其中An^r表示从n个不同的元素中任选r个元素排成一列的方案数。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素排成一列，即为5选3的排列。
根据排列的基本公式，5选3的排列数为An^r=5×4×3=60。
组合：从n个不同的元素中任选r个元素，不考虑元素之间的顺序，称为从n个不同元素中选r个元素的组合。
组合的基本公式如下：Cn^r = n!/r!(n-r)!其中Cn^r表示从n个不同的元素中任选r个元素的组合方案数。
n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×……×2×1。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素的组合数，即为5选3的组合。
根据组合的基本公式，5选3的组合数为C5^3=5!/(3!2!)=10。
排列和组合的关系：排列和组合有很多类似的性质，但是也有不同点。
其中最重要的一点是：一个排列中，每个元素的位置不同，导致不同的排列。
而在一个组合中，元素之间是不考虑顺序的，所以如果元素相同，不同的顺序算作同一种组合。
第二篇：排列组合的应用排列组合在数学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子。
1. 生日问题如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？将每一个人的生日当做一个元素，一共有365个不同的生日（不考虑闰年的情况）。
这时我们要求的其实是在这23个人中选取2个或2个以上有相同生日的概率，也就是不出现任何两个人生日相同的概率。
按照组合的计算方法，我们可以得到不出现任何两个人生日相同的概率为：P = C365^23/365^23 ≈ 0.493所以至少有两个人生日相同的概率为：1-P ≈ 0.5072. 球队比赛现在有5个球队进行比赛，每个球队需要和其他球队各打一场比赛，问总共需要打几场？我们可以将这个问题看作是5个不同的元素进行排列组合。
高中数学高考复习：第九章第2讲 排列与组合
第2讲 排列与组合[学生用书P189])1．排列与组合的概念2.排列数与组合数的概念3.排列数与组合数公式 (1)排列数公式①A m n ＝n (n －1)·…·(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！；②A n n ＝n ！． (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n （n －1）·…·（n －m ＋1）m ！＝n ！m ！（n －m ）！．4．组合数的性质(1)C m n ＝C n－mn；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1．1．辨明两个易误点(1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．(2)计算A m n 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )． 2．排列与组合问题的识别方法续 表1.教材习题改编 从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．6B ．8C ．12D ．16C [解析] 由于lg a －lg b ＝lg ab ，从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给a和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．2．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A ．24种B ．12种C ．10种D ．9种B [解析] 第一步，为甲校选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B ．3．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( )A ．1 800B ．3 600C ．4 320D ．5 040B [解析] 两个舞蹈节目不连排，可先安排4个音乐节目和1个曲艺节目，有A 55种排法；再将2个舞蹈节目插到6个空中的2个中去，有A 26种排法，故由分步乘法计数原理，有A55·A26＝3 600(种)．故选B．4．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种(用数字作答)．[解析] 由题意知，从剩余7人中选出4人担任其余4个学科的课代表，共有A47＝840种．[答案] 8405．四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．[解析] 分两步：先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C24种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A33种．依分步乘法计数原理，共有N＝C24A33＝36(种)．[答案] 36排列应用题[学生用书P190][典例引领]3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．【解】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．在本例条件下，求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．[解] (1)先排甲有4种，其余有A66种，故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙，再排其余5人，共有A22·A55＝240种排法．(1)求解有限制条件排列问题的主要方法(2)解决有限制条件排列问题的策略①根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．②根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2，3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1，2，3必须由大到小顺序排列的六位数？[解] (1)不考虑0在首位，0，1，4，5先排三个位置，则有A34个，2，3去排四个空当，有A24个，即有A34A24个；而0在首位时，有A23A23个，即有A34A24－A23A23＝252个含有2，3，但它们不相邻的五位数．(2)在六个位置先排0，4，5，不考虑0在首位，则有A36个，去掉0在首位，即有A36－A25个，0，4，5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1，2，3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A36－A25＝100个六位数．组合应用题[学生用书P191][典例引领]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C22C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．[解] 至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？[解] (1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24，又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种，因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)[学生用书P192] 排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题多为中档题．高考对此问题的考查主要有以下三个命题角度：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．[典例引领](1)(2016·高考四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24B．48C．60 D．72(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．【解析】(1)由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A 44种方法，所以奇数的个数为A 13A 44＝3×4×3×2×1＝72，故选D ．(2)将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A 22A 44种方法，将产品A ，B ，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A 22A 33种方法．于是符合题意的排法共有A 22A 44－A 22A 33＝36(种)．【答案】 (1)D (2)36解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(或位置)的性质进行分类；(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．[题点通关]角度一、三 相邻、相间及特殊元素(位置)问题1．(2017·湖北黄冈3月质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．[解析] 不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N 1＝A 33×A 24＝72种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2＝A 22×A 23＝12种，所以出场顺序的排法种数为N ＝N 1－N 2＝60.[答案] 60角度二 分组、分配问题2．(2017·福建厦门海沧实验中学等联考)将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有( )A ．240种B ．180种C ．150种D ．540种C [解析] 5名学生可分成2，2，1和3，1，1两种形式， 当5名学生分成2，2，1时，共有12C 25C 23A 33＝90种方法， 当5名学生分成3，1，1时，共有C 35A 33＝60种方法，根据分类加法计数原理知共有90＋60＝150种保送方法．[学生用书P192]——分类讨论思想求解排列、组合问题在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．【解析】 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.【答案】 60对于有附加条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质分类，二是按事件发生的过程分类．本题是按元素的性质分成两类．1.(2017·云南昆明两区七校模拟)某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有( )A ．900种B ．600种C ．300种D ．150种B [解析] 依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C 25·A 44＝240种；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A 46＝360种．因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600种，选B ．2．(2017·郑州检测)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( )A ．51个B ．54个C ．12个D ．45个A [解析] 分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A 33＝6(个)；第二类，只有2或3，需从1，4，5中选两个数字，可组成2C 23A 33＝36(个)；第三类，2，3均有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 13A 33＝9(个)．故这样的三位数共有51个，故选A.[学生用书P308(独立成册)]1．不等式A x 8＜6×A x －28的解集为( )A ．[2，8]B ．[2，6]C ．(7，12)D ．{8}D [解析] 由题意得8！（8－x ）！＜6×8！（10－x ）！，所以x 2－19x ＋84＜0，解得7＜x＜12.又x ≤8，x －2≥0，所以7＜x ≤8，x ∈N *，即x ＝8.2．从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为( )A ．12B ．18C ．24D ．36C [解析] 从1，3，5中取两个数有C 23种方法，从2，4中取一个数有C 12种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，故奇数的个数为C 23C 12A 12A 22＝3×2×2×2×1＝24.3．(2017·武汉市调研测试)“2016中国杭州G20峰会”于2016年9月4日－9月5日在浙江省杭州市举行，组委会要从小郑、小赵、小李、小汤、小王五名工作人员中选派四人分别从事翻译、保卫、礼仪、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A ．48种B ．36种C ．18种D ．12种B [解析] 先安排后两项工作，共有A 23种方案，再安排前两项工作，共有A 23种方案，故不同的选派方案共有A 23×A 23＝36种方案，故选B ．4．(2017·黑龙江哈尔滨第六中学期末)某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )A ．484B ．472C ．252D ．232B [解析] 若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C 14C 212＝264种选法．若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．5．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有()A．1 260种B．2 025种C．2 520种D．5 040种C[解析] 第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C18种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C17种选派方法．根据分步乘法计数原理知，选法有C210·C18·C17＝2 520种．6．(2017·福建漳州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是() A．540B．480C．360 D．200D[解析] 由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C14＝4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．7．在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m ＋n＋1个点，现任取其中3个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为() A．C1m＋1C2n＋C1n＋1C2m B．C1m C2n＋C1n C2mC．C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n D．C1m C2n＋C2m＋1C1mC[解析] 作出的三角形可以分成两类，一类是含有O点的，另一类是不含O点的．(1)含有O点的，则在OA，OB上各取1个点，共有C1m C1n个；(2)不含有O点的，则在OA上取一点，OB上取两点，或者在OA上取两点，OB上取一点，共有C1m C2n＋C1n C2m个．所以可作的三角形个数为C1m C2n＋C1n C2m＋C1m C1n，故选C.8．(2017·北京朝阳期末)甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为________．[解析] 特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N1＝C11·C12＝2种站法，其余三名学生任意排列有N2＝A33＝6种排法，则不同站法共有N＝N1×N2＝2×6＝12(种)．9．(2017·长春市质量检测(二))小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有________种．[解析] 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C37，为35种，共计37种取法．[答案] 3710．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．[解析] 首先排两个奇数1，3，有A22种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C12种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.[答案] 811．“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“量子卫星”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．[解析] 先从“雾霾治理”“延迟退休”“里约奥运”“神舟十一号”这4个热点中选出3个，有C34种不同的选法，在调查时，“量子卫星”安排的顺序有A13种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A33种可能情况，故有C34A13A33＝72种．[答案] 7212．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．[解析] 利用正方体中两个独立的正四面体解题，如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对，两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C26－3)×2×2＝48对．13．现有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．[解] (1)任选3名男运动员，方法数为C36，再选2名女运动员，方法数为C24，共有C36·C24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求解，不同选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法，不选女队长时，必选男队长，其他人任意选，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有(C48－C45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．。
高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理
高中数学知识点总结排列组合问题的计数原理高中数学知识点总结：排列组合问题的计数原理在高中数学中，排列组合是一个重要的知识点，它涉及到一些计数原理和组合技巧。
了解和掌握排列组合的计数原理对于解决各种实际问题以及在数学竞赛中的应用非常有帮助。
本文将对排列组合问题的计数原理进行总结和归纳，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、排列与组合的概念在开始讨论计数原理之前，我们首先需要了解排列与组合的概念。
排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式，简单来说就是“有序选择”。
排列问题中，元素的顺序是重要的，即不同的顺序会产生不同的排列结果。
组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，简单来说就是“无序选择”。
组合问题中，元素的顺序不重要，即不同的顺序不会产生不同的组合结果。
二、排列问题的计数原理1. 从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P(n, m)）可以用以下公式求解：P(n, m) = n! / (n - m)!其中"!"表示阶乘，即n的阶乘等于n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。
2. 当元素可重复使用时，从n个元素中选取m个元素的排列数（记为P'(n, m)）可以用以下公式求解：P'(n, m) = n^m其中"^"表示乘方。
三、组合问题的计数原理从n个元素中选取m个元素的组合数（记为C(n, m)）可以用以下公式求解：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)四、排列组合问题的应用排列组合的计数原理在实际问题中有着广泛的应用，例如：1. 考虑一个班级有n个学生，其中要选出m个学生参加数学竞赛，那么参赛学生的选择方法就是一个排列问题。
2. 在排列问题的基础上，如果要求被选中的学生必须按照特定的顺序进行比赛，那么可以用排列数来计算不同的比赛顺序总数。
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ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个 点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？
例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通 法语，还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其 中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同 的名单？
n1
n
n
证明:
Cmn
Cm1 n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
Cmn1.
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线 段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
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一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有
多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种
c c c m m m1
n1
n
n
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标
较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
例１ 计算：
C C ( 1 )
3 2;
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 C A C 4
3
C43 34 3
P3 4
P3 3
如何计算:
m n
概念讲解 组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
二、不相邻问题插空法
99
99
C1300 100 99 98 161700
3 21
2C C C ( 2)
3 3 2 .
8
9
8
2C83 (C83 C82) C82 C83 56
例2 求证:
( 1)
C C C C ; m
m1
m
m1
n1
n
n1
n1
( 2)
Cm1 n
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素
的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Anm ． 根据分步计数原理，得到： Anm Cnm Amm
因此：Cnm
Anm Amm
这里m、n
nn 1n 2 n m 1
m! N，* 且 m n，这个公式叫做组合
车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？
组合问题
(多3少)1种0名分同法学?分成人数相同的数组学合和英是语选两择个组学合的习问结小题果组,，共有排列 (4)10人聚会，见面后每两人之是间选要握择手后相再互问排候序,共的需结握手果.
多少次?
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,
有多少种不同的方法?
排列问题
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组
合分别是:
ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的
所有组合.
a
b
c
b cd
cd
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明:
Cm n
m（! nn！m）!,
m 1 nm
C m1 n
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
n! m!(n m)!
Cm n
.
例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以 前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时 一个足球队的上场队员是11人。问：
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac
你发现a了dc cda dca 什么b?cd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求 3可分两步考虑： 求4P34 可分两步考虑：
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解。
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
bd
ac
d abc ， abd ， acd ， bcd .
b
cd
组合
abc abd acd bcd
排列
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（（（（（12345）））））甲甲甲甲甲、 、 必 、 、乙 须 乙乙 乙、 当 、、 、丙 选 丙丙 丙三 ， 三三三人人乙人人必不、只至须能丙有多2当当不一人选选能人当；；当当选选选C；；；33CCC921131CC94943C613032C76985 126
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中
至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 9
。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
为（ C ）
A.(C83 C72 )(C73 C82 )
B.(C83 C72 ) (C73 C82 )
小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念
性质2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？
C.C83C72 C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
A.C52 A33
B.2C53 A33
C.A53
D.2C52 A33 A53
课堂练习：
5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
解：（1） C83 56 ⑵
⑶ C73 35
C72 21
我们发现：
C83
C
2 7
C
3 7
为什么呢
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．