湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学二模试卷含解析
湖北省宜昌市2019-2020学年第四次高考模拟考试数学试卷含解析
湖北省宜昌市2019-2020学年第四次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个陶瓷圆盘的半径为10cm ，中间有一个边长为4cm 的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率π的值为（精确到0.001）（ ）A ．3.132B ．3.137C ．3.142D ．3.147【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：22451 3.137101000S S ππ=≈⇒≈⋅正圆. 故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题2．已知函数2sin ()1x f x x =+．下列命题：①函数()f x 的图象关于原点对称；②函数()f x 是周期函数；③当2x π=时，函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x =的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为R ，最值点即为极值点，由02f π⎛⎫'≠ ⎪⎝⎭知③错误；令()()1g x f x x =-，在0x >和0x <两种情况下知()g x 均无零点，知④正确. 【详解】由题意得：()f x定义域为R，()()()() 22sin sin11x xf x f xxx--==-=-+-+Q，()f x∴为奇函数，图象关于原点对称，①正确；siny x=Q为周期函数，21y x=+不是周期函数，()f x∴不是周期函数，②错误；()()()2221cos2sin1x x x xf xx+-'=+Q，02fπ⎛⎫'∴≠⎪⎝⎭，2fπ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭不是最值，③错误；令()()221sin1sin111x xx xg x f xx x x x--=-=-=++，当0x>时，sin x x<，1x>，()0g x∴<，此时()f x与1yx=无交点；当0x<时，sin x x>，1x<，()0g x∴>，此时()f x与1yx=无交点；综上所述：()f x与1yx=无交点，④正确.故选：A.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.3．下图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为（）A3B6C3D33【答案】C【解析】【分析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F三点重合，记作D，取DC中点H，连接,,EG EH GH，EGH∠即为EG与直线BC所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ，由中位线定理可得//GH BC 且1122GH BC a ==， 所以EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，221322EG EH a a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 由余弦定理可得222cos 2EG GH EH EGH EG GH +-∠=⋅ 2223133444312a a a a a +-==⨯⋅， 所以直线EG 与直线BC 3， 故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.4．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ， C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.5．在棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P−ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π【答案】C【解析】【分析】 取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形QBC 的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】如图，取B 1C 1的中点Q ，连接PQ ，BQ ，CQ ，PD ，则三棱柱BCQ−ADP 为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O 的球面上，QBC ∆的外接圆直径为52sin 2QB r QCB ==∠，球O 的半径R 满足22241()216AB R r =+=，所以球O 的表面积S=4πR 2=41π4， 故选：C.【点睛】此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.6．a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i+=，则a=（ ） A ．2B 3C 2D ．1 【答案】B【解析】【分析】【详解】 2||21230,3a i a a a a i+=+=∴=±>∴=Q B. 7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】 由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.8．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =-【答案】B【解析】【分析】根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ；对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ；本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题. 9．已知函数()(0)f x x x x =->，()x g x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x << 【答案】C【解析】【分析】转化函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，数形结合，即得解.【详解】函数()(0)f x x x x =->，()xg x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点，即为y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的交点，作出y x =与(0)y x x =>，x y e =-，()ln 0y x x =->的图象，如图所示，可知231x x x <<故选：C【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题.10．设非零向量a r ，b r ，c r ，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||3b a -=r r 是“3πθ=”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论．【详解】解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=， 解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=， ∴“||b a -=r r 是“3πθ=”的充分必要条件． 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知函数2()sincos 444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ） A ．2018B ．1009C ．1010D ．2020 【答案】C【解析】【分析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．【详解】解：2()sin cos 444f x x x x πππ=．1(1cos )222x x ππ=- 1sin()262x ππ=-++， 1()sin()262f x x ππ∴=-++， ()f x ∴的周期为242T ππ==， ()1f ，()21f =， ()3f =，()40f =， ()()()()12342f f f f +++=．()()()122020f f f ∴+++L()()()()5051234f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦5052=⨯【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．12．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3 【答案】B【解析】【分析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省宜昌市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
湖北省宜昌市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ） A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】【分析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积． 2．某设备使用年限x （年）与所支出的维修费用y （万元）的统计数据(),x y 分别为()2,1.5，()3,4.5，()4,5.5，()5,6.5，由最小二乘法得到回归直线方程为ˆˆ1.6yx a +＝，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）A ．8年B ．9年C ．10年D ．11年【答案】D【解析】【分析】 根据样本中心点(,)x y 在回归直线上，求出$a ，求解$15y >，即可求出答案.【详解】 依题意 3.5, 4.5,(3.5,4.5)x y ==在回归直线上，由1ˆ 1.6 1.115,1016y x x->>＝，估计第11年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.3．已知函数32,0()ln,0x x xf xx x⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f fe=（）A．32B．1 C．-1 D．0【答案】A 【解析】【分析】由函数32,0()ln,0x x xf xx x⎧-≤=⎨>⎩，求得11()ln1fe e==-，进而求得1(())f fe的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0 ()ln,0x x xf xx x⎧-≤=⎨>⎩，则11()ln1fe e==-，所以1313(())(1)2(1)2f f fe-=-=--=，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2， 直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．5．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】【分析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( )A ．29B ．30C ．31D ．32 【答案】B【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．【详解】设正项等比数列的公比为q ，则a 4=16q 3，a 7=16q 6，a 4与a 7的等差中项为9，即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94， 解得q=12（负值舍去）， 则有S 5=()5111a qq --=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 7．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】B【解析】【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值.【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+， 二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项.【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q , cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数，故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<， 所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.9．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．13±B ．22C ．±1D ．3± 【答案】B【解析】【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】由题意可知点,02p C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===，解得m =， 因此，直线l的斜率为13m =±. 故选：B.【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ）A ．23，-2B ．23-，-9C ．-2，-9D ．2，-2【答案】B【解析】【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值.【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩， 作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-， 当2x =-时，()f x 有最小值9-.故选：B.【点睛】 本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.11．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】 ()2log 31,2a =∈，()422log 6log 61,log 3b ==∈，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cmB 36463cmC 33223cmD 36423cm设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则2h a =，故由题设可得11222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积231=3V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省宜昌市2019-2020学年高考第四次模拟数学试题含解析
湖北省宜昌市2019-2020学年高考第四次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）A ．3πB ．3π-C ．23πD ．23π- 【答案】B【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.故选：B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．28B ．14C ．7D ．2 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 3．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u v u u u v u u u v ，则λμ+等于（ ）A ．12B ．23C ．16D ．13【答案】A【解析】【分析】根据题意，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,AH BH u u u r u u u r 与AM u u u u r ，求出,λμ的值即可.【详解】解：根据题意，设BH xBC =u u u r u u u r，则 11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11(1)22x AB xAC =-+u u u r u u u r ， 又AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r， 11(1),22x x λμ∴=-=， 111(1)222x x λμ∴+=-+=， 故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题. 4．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 5．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．圆，但要去掉两个点B ．椭圆，但要去掉两个点C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点 【答案】A【解析】【分析】根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上.【详解】PB α⊥Q ,AC α⊂，PB AC ∴⊥,又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBCAC BC ∴⊥，故C 在以AB 为直径的圆上，又C 是α内异于,A B 的动点，所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.6．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．1【答案】A【解析】【分析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案.【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥，当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.8．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12 CD【答案】A【解析】【分析】 设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y p p ==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2p F ，设200(,),(,)2y P y M x y p， 因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=， 所以直线OM的斜率020*******OM y k y p y p y p p ==≤=++， 当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立， 所以直线OM 的斜率的最大值为1.故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9．若集合{|A x N x =∈=，a = ） A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉ 【答案】D【解析】【分析】由题意{|A x N x =∈==∅，分析即得解 【详解】由题意{|A x N x =∈==∅，故a A ∉，{}A a ⊆故选：D【点睛】本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( ) AB ．12 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，有21b a =，再利用222a b c =+即可解决. 【详解】由F 到直线20bx ay -=的距离为2c ，得直线20bx ay -=的倾斜角为45o ，所以21b a =， 即()2224a ca -=，解得32e =. 故选：A.【点睛】 本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题.11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得 9x =，故输入的实数值的个数为1．考点：程序框图．12．已知函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A 2B ．14C ．1162D ．14或4 【答案】C【解析】【分析】 对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a m a m⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m m a m a m ⎧=⎨=⎩，所以12m a =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年高中数学(人教版必修2)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数． 解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积． 解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ， ∴MN ∥AC ，又∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .(2)证明：在△ABD 中，AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴∠ABD ＝45°.∵在平面四边形ABCD 中，∠B ＝135°， ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴BC ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中，∵BC ＝1，∠CBD ＝90°，∠BCD ＝60°， ∴BD ＝ 3.在△ABD 中，∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴AB ＝AD ＝62， ∴S △ABD ＝12AB ·AD ＝34，由(2)知BC ⊥平面ABD ， ∴V A BCD ＝V C ABD ＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB 与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BD解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 如图，二面角αl β为45°，AB ⊂β，且与棱l 成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1， 可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD1AB＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)． 解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确． 答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行． 其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b 上一点P 作a ′∥a ，则a ′、b 确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC ∥面DEFG, ∠BAC ＝∠EDG＝120°，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG ＝90°，四边形DEFG是梯形， EF ∥DG ，AB ＝AC ＝AD ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：FG ⊥面ADF ； (2)求四面体 CDFG 的体积．解：(1)连接DF 、AF ，作DG 的中点H ， 连接FH ，EH ，∵EF ∥DH ，EF ＝DH ＝ED ＝1， ∴四边形DEFH 是菱形，∴EH ⊥DF ， 又∵EF ∥HG, EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴FG ∥EH ，∴FG ⊥DF ，由已知条件可知AD ⊥DG ，AD ⊥ED ， 所以AD ⊥面EDGF ，所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD，FG⊥DF，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD∩DF＝D ，∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ， 所以四边形ADHC 为平行四边形， 所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ， 所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°， S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32. 四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH＝13×32×1＝36. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G在线段BM 上，且BGGM＝2.(1)求证：AB ⊥PD ； (2)求证：GN ∥平面PCD . 证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°， 所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD 中，∠ABD ＝30°， 所以AD ＝12BD ，所以MD ＝14BD .又因为BGGM＝2，所以BG ＝GD .又N 为线段PB 的中点，所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以GN ∥平面PCD .18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC，EC1＝12A1C1.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1EFC的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高，CF ＝BF ＝ 2. ∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF2＋BB21＝2＋22＝6， B 1E ＝B1D21＋D1E2＝12＋2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴S △B 1EF ＝12EF ·B 1F ＝322，∴VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×322×2＝1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1，∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1＝90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。
湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学第四次调研试卷含解析
湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学第四次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3 B ．13-C ．12-D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案. 【详解】由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得13a =-. 故选：B 【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.2．52mx⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C 【解析】 【分析】利用通项公式找到5x 的系数，令其等于-10即可. 【详解】二项式展开式的通项为15552222155()()r rrr rr r TC x mx m C x---+==，令55522r -=，得3r =， 则33554510T m C x x ==-，所以33510m C =-，解得1m =-. 故选：C 【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.3．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】 【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可 【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 4．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y x ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】 由11y x =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 5．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ）A ．3B ．3iC ．3±D ．3i ±【答案】C 【解析】 【分析】设z a bi =+,则z a bi =-,利用0z z -=和9z z ⋅=求得a ,b 即可. 【详解】设z a bi =+,则z a bi =-,因为0z z -=,则()()20a bi a bi bi +--==,所以0b =, 又9z z ⋅=,即29a =,所以3a =±, 所以3z =±, 故选:C 【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.6．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据演绎推理进行判断． 【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D ． 【点睛】本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 8．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.9．已知点P 是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M满足MA MO= ，则·OM ON u u u u r u u u r 的取值范围是（ ） A ．[]0,2B．0,⎡⎣ C ．[]22-,D．-⎡⎣【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M的参数方程，则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r结果. 【详解】 设(,)M x y ，则∵MA MO=，()0,2A -=∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M 的参数方程为22cos 222sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：c ·22os OM ON θ=u u u u r u u u r又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2cos [22,22]OM ON θ=∈-u u u u r u u u r故选：D 【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果。
湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题含解析
湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2} C ．{0，1，2} D ．{x ﹣1≤x≤2} 【答案】A【解析】【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集.【详解】∵集合3{|0}2x A x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故选：A ．【点睛】此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 2．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2， 4πC ．2， 3π-D ．2， 6π 【答案】D【解析】【分析】 由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案【详解】由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=，21A ω∴==， 函数的图象过点16π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭， 2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果3．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】 由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．4．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos B <,即充分性成立;必要性:ABC V中,0180B ︒︒<<,若cos B <结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ）A ．14种B ．15种C ．16种D ．18种 【答案】D【解析】【分析】采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好，再插入红球.情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种.综上所述，共有14+4=18种.故选：D【点睛】本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题6．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U 【答案】A【解析】【分析】 函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x-+-=的解，设()ln x g x x =，方程可化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x g x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =． 因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ．【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．7．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．y x =C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程.【详解】 由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．8．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ）A ．12e -B ．14e -C ．1e -D ．2e- 【答案】A【解析】【分析】求导得到'()x f x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=. 故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．2223S S ，且B ．2223S S ，且C ．2223S S ，且D ．2223S S ，且【答案】D【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件.故12AB BC CD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =故{}2,22,23S =，故2S ，23S .故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.10．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．33-D ．32 【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()26399y x =-+≥，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值．设(),P x y ，则()()2233y x y =-+-，化简得：()23690x y --+=， 则()26399y x =-+≥，解得：32y ≥，即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32. 故选：D .【点睛】 本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.11．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,4 【答案】C【解析】【分析】 以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.【详解】以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈.故选：C.【点睛】本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.12．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．【详解】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D．【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
宜昌市名校2019-2020学年高二下学期期末2份数学联考试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( )A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种2．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B =( )A ．}{1x x <B ．}{11x x -≤<C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤< 3．下列说法中正确的是 （ ）①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱；②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度；④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好.A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③4．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由1，2，3，4，5五个数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（ ）个A ．16B ．12C ．28D ．205．若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（ ）. A ．55128C C B ．12589C C C ．339085C C - D ．329085C C -6．在等差数列{}n a 中，21a =-，57a =-，则{}n a 的前10项和为（）A ．-80B ．-85C ．-88D ．-907．已知空间向量(3,1,0),(,3,1)a b x ==-，且a b ⊥，则x =（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．38．证明等式()()()2222+1211+23?··6n n n n n N *++++=∈ 时，某学生的证明过程如下 （1）当n=1时，212316⨯⨯= ，等式成立； （2）假设n k =时，等式成立，即()()2222k+1211+23?··6k k k ++++=，则当1n k =+时，()()()()222222k+1211+23?··116k k k k k ++++++=++()()()()()2127611121166k k k k k k ++++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦== ，所以当1n k =+时，等式也成立，故原式成立.那么上述证明（ ）A ．过程全都正确B ．当n=1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n k =到1n k =+的推理不正确9．当σ取三个不同值123,,σσσ时，正态曲线()20,N σ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．123σσσ<<B ．132σσσ<<C ．213σσσ<<D ．321σσσ<< 10．不等式2140x x -->的解集是（ ） A ．(21)-，B ．(2)，+∞C ．(21)(2)-⋃+∞，，D ．(2)(1)-∞-⋃+∞，， 11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．6012．某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布2(10,0.1)N （单位：kg ）现抽取500袋样本，X 表示抽取的面粉质量在(10,10.2)kg 的袋数，则X 的数学期望约为（ ）附：若2~(,)Z N μσ，则()0.6872P Z μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<≤+≈A ．171B ．239C ．341D ．477二、填空题：本题共4小题13．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，二面角A ﹣BD ﹣A 1的大小为_____．14．给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．15．根据所示的伪代码，若输入的x 的值为-1,则输出的结果y 为________.16．若799x C C = ，则x 的值是_________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析
湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800 户【答案】D【解析】【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确，该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确，该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D.【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.2．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A．B．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．3．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i【答案】A【解析】【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】 2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.4．已知双曲线()222:10y C x b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( )A ．9B ．5C ．2或9D ．1或5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求得b ，再利用双曲线定义即可求得2PF .【详解】由于b a=b = 又122PF PF -=且22PF c a ≥-=，故选：B.【点睛】本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.5．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( )A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥B ．x R ∀∈，sin 1x ≥C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】 Q 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.6．已知集合{|M x y =，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( )A ．[1,2]B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2) 【答案】C【解析】【分析】分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案.【详解】因为集合{}|1M x x =≥，{}{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=，所以{}1,2M N =I故选：C【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力.7．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i +=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15【答案】B【解析】 17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 8．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516- B ．18932- C ．2164- D ．28358【答案】D【解析】【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可.【详解】二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22r r r r r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】 本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116 D ．1516【答案】D【解析】【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】 执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ．【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．10．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】B【解析】【分析】求出1b ，2b ，3b ，4b ，5b ，6b ，判断出{}n b 是一个以周期为6的周期数列，求出即可．【详解】 解：2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦.*111(102)n n n b a b a a n n --∈≥N ＝，＝，， ∴112027[]a b ＝＝＝，2200[287]a ＝＝， 2281028b -⨯＝＝，同理可得：332855a b ＝，＝；4428577a b ＝，＝；55285711a b ＝，＝.662857144a b ＝，＝；72857142a ＝，72b ＝，…….∴6n n b b +＝.故{}n b 是一个以周期为6的周期数列，则20196336335b b b ⨯+＝＝＝.故选：B.本题考查周期数列的判断和取整函数的应用．11．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2211648x y -= D ．2214816x y -= 【答案】A【解析】【分析】由题意求得c 与b a 的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又b a=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.12．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】 根据复数的运算，化简得到3155z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555i i i i z i i i i +-+-====-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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湖北省宜昌市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，所以几何体的体积为1445443643V V V=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=柱锥，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。
求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。
2．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n，如果n为偶数就除以2，如果n是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n=，则输出i的（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．3．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33 B ．3C 33-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()26399y x =-+≥，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值． 设(),P x y ，则()()2233y x y =-+-，化简得：()23690x y --+=，则()26399y x =-+≥，解得：32y ≥， 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32. 故选：D . 【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值. 4．函数52sin ()([,0)(0,])33x xx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ，又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．5．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．33B ．23C ．33D 73【答案】D 【解析】 【分析】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=，从而求得CD ，再由由正弦定理得sin sin120AB ACα=︒，求得sin α，然后在BCD ∆中，用余弦定理求解. 【详解】设ACB α∠=，在ABC ∆中，由余弦定理得2106cos12013AC =-︒=， 则13AC =133CD =由正弦定理得sin sin120AB AC α=︒，即3sin 213α=， 从而()3cos cos 90sin 213BCD αα-∠=︒+=-=， 在BCD ∆中，由余弦定理得：21313349923333213BD =++⨯=， 则73BD =. 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 6．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数24 5 11 12 2825 16 22 12 5426 16 22 12 5027 28 16 15 5928 32 17 14 6329 51 21 28 10030 38 27 23 88A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5【答案】B【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可.【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确；故选：B【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.7．设等差数列{}n a的前n项和为n S，若5632a a a+=+，则7S=（）A ．28B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45 B ．42C ．25D ．36【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a +=+,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可. 【详解】 由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和.9．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体将三视图还原，观察可得最长棱为AD ，算出长度. 【详解】几何体的直观图如图所示，易得最长的棱长为23AD =故选：C. 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，其中利用正方体作衬托是关键，属于基础题.10．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且2)a b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得2)0a b b -⋅=r r，利用向量的数量积即可求解夹角. 【详解】因为2)2)0a b b a b b -⊥⇒-⋅=r r r r22||a b b ⋅=r r而22cos ,||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b rr 夹角为4π故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题. 11．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?k „C ．5?k „D ．5?k <【答案】B 【解析】 【分析】模拟程序框图运行分析即得解. 【详解】2111,0;2,0226k S k S ====+=+； 21113,6334k S ==+=+；21134,44410k S ==+=+.所以①处应填写“3?k „” 故选：B 【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得函数()f x 的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（） ，利用周期性可得函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数． 【详解】∵()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33332222f x f x ∴-++=++（）（） ，可得3f x f x （）（）+=，函数()f x 的周期为3， ∵当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+， 令0fx =（），则211x x -+=，解得0x =或1， 又∵函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴在区间33[]22-，上，有11000f f f -=-==（）（），（）． 由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取0x =，得3322f f -=（）（） ，得33022f f =-=（）（）， ∴33101022f f f f f -=-====（）（）（）（）（）． 又∵函数()f x 是周期为3的周期函数，∴方程()f x =0在区间[]0,6上的解有39012345622，，，，，，，，． 共9个，故选D ． 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。