2019年高考数学二轮复习名校精品资料 专题5.4 高考热点链接 Word版含解析

2019年高考数学二轮复习名校精品资料
专题5.4 高考热点链接
一．知识结构：
二、复习策略
1.等差、等比数列性质的综合、灵活应用是解决数列综合问题的关键，不仅要熟练的记忆而且要有应用意识。

2.涉及到函数、方程、不等式的综合问题。

在解题过程中通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等数学思想。

3.数列的应用问题都有数列的共同特征，即变量为正整数，所以解决问题首先考虑能否把转化为等差、等比数列，不易发现由特殊归纳出一般思路，这样对解题有所帮助。

三、典例分析
1.等差数列与等比数列的交汇
例1（2018春•徐州期中）已知等差数列{a n}中，a2=5，a4+a7=24，
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=2，求b1+b2+b3+…+b10的值．
（2）∵b n=2=22n=4n，
∴b1+b2+b3+…+b10
=4+42+43+…+410
=
=．
2.数列的函数性质交汇
例2若数列中的最大项是第k项，则k=________.
【分析】：由于数列是特殊的函数，所以解决最值问题可以通过函数思想，一般是利用数列的单调性与涉及数列的图像，结合函数的性质求解。

【答案】4
【点评】：在数列{}n a中，若，则n a最大；若，则n a最小。

上面两个结论在求项的最值与和的最值中具有重要的意义。

3.数列与不等式交汇
例3（2018•黔东南州二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n﹣1），n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：T n．
【解析】（I）解：当n=1时，有，解得a1=4．
当n≥2时，有S n﹣1=（a n﹣1﹣1），
则，
整理得：a n=4a n﹣1，
∴数列{a n }是以q=4为公比，以4为首项的等比数列． ∴
即数列{a n }的通项公式为：．
（ II ）证明：由（ I ）有
，则
，
∴T n =+……+=，
故得证．
【点评】：数列求和的常用方法：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法，其中裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

常见的裂项有：（1）
；（2）
；（3）
4存在性与探索性
例4（1）已知两个等比数列}{
n a ，}{
n b ，满足，若数列}
{
n a 唯一，求a 的值；
（2）是否存在两个等比数列}{
n a ，}{
n b ，使得
成公差不．
为0的等差数列？若存在，求}{
n a ，}{
n b 的通项公式；若不．
存在，说明理由. 【分析】：根据已知条件列出关于a 、q 的方程，根据判别式是否大于0进行判断，由{a n }唯一，知方程必有一根为0，得到q 的情况。

第二问先假设结论成立，进行推论求解。

（2）假设存在两个等比数列}{},{n n b a 使
成公差不．
为0的等差数列，设}{n a 的
公差为,1q }{n b 的公比为2q 。

则
，
由
成等差数列得：
即
①-⨯2q ②得：
由
ⅰ)当
，这时与公差不为0矛盾；
ⅱ)当q 1=1时，
与公差不为0矛盾；
综上所述，不存在两个等比数列}{
n a ，}{
n b 使得
成公差不．
为0的等差数列 【点评】：探索性问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用． 必刷题：
1． 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足
．
（Ⅰ）证明：数列{}2-n a 为等比数列，并求出n a ； （Ⅱ）设，求{}n b 的最大项．
【解析】（Ⅰ）由.
由
可得
，两式相减得
，，
{}2-∴n a 是首项为121-=-a ，公比为
2
1
的等比数列，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由,
由
得3>n ，所以
.
故{}n b 的最大项为4
143=
=b b ． 2 已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程
的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，
且
(*
n N ∈).
（1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2） 记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1.
∴数列{b n }是等比数列，
∴
( *
n N ∈)
…………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 …………10分
∴
∴.1n n c c ≤+
…………………………12分
3. 设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且构成
等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令
求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（2）由于由（1）得3312
n
n a +=
又
，
{}n b ∴是等差数列．
故．
4. 已知
，数列{}n a 的首项
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n
n n
b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使2014n S >的最小正整数n 。

【解析】：（Ⅰ），，.
数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以1为首项，4为公差的等差数列．………………………… 3分
，则数列{}n a 的通项公式为1
43
n a n =
-．…………………6分 （Ⅱ）
……………………①
……………………②
②-①并化简得
．………………………………10分
易见n S 为n 的增函数，2014n S >，即
．
满足此式的最小正整数6n =．…………………………………12分 5.已知等差数列{a n }的首项a 1 =4, 且a 2＋a 7＋a 12＝－6. （I ）求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；
（II ）将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项,记{b n }的前n 项和为T n , 若存在m ∈+N , 使对任意n ∈+N 总有T n ＜S m ＋λ恒成立, 求实数λ的最小值. 【解析】（I ）由
得72a =-，又14a =，
，
∴5n a n =-，从而
故
.
若存在m N *∈, 使对任意n N *
∈总有n m T S λ<+
则810λ≤+，得2λ≥-，∴λ的最小值为2-.
6. 已知公差不为零的等差数列{}n a 的前四项和为14，且137a a a ，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记
，n S 为数列{n b }的前n 项和，求2n S .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a n =+，所以
…………………………………...5’
[]x 表示不超过x 的最大整数，当122t t n +≤<时，[]2log n t =……………………………..7’
……………………..10’
①
②
①-②得：
……………………………………….11’
…………………………………………14’。