在平行四边形ABCD中,E为BC边中点,点F、G分别在边AB、CD上,EG交AC于H,且∠D=∠ACB。-推荐下载
在平行四边形ABCD中
在平⾏四边形ABCD中⼀、在平⾏四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,E、F分别在AD、CD上,且CE=AF,CE与AF交与点P,求证PB=∠APC问题补充：如图，在平⾏四边形ABCD中，AB//CD,AD//BC,E、F分别在AD、CD上，且CE=AF，CE与AF交与点P，求证PB平分∠APC答案：连接BF，则△ABF的⾯积=1/2平⾏四边形ABCD的⾯积连接BE，则△BCE的⾯积=1/2平⾏四边形ABCD的⾯积∴△ABF的⾯积=△BCE的⾯积∵AF=CE∴AF和CE上的⾼相等，即点B到AF，CE的距离相等所以B在∠APC的平分线上∴∠APB=∠BPC所以PB平分∠APC是这个意思吧？⼆、如图，已知平⾏四边形ABCD及四边形外⼀直线l，四个顶点A、B、C、D到直线l的距离分别为a、b、c、d．（1）观察图形，猜想得出a、b、c、d满⾜怎样的关系式？证明你的结论．（2）现将l向上平移，你得到的结论还⼀定成⽴吗？请分情况写出你的结论．考点：平⾏四边形的性质；全等三⾓形的判定与性质．专题：综合题．分析：（1）此题可以连接平⾏四边形的对⾓线，交点是O．作OO1⊥l于O1．根据梯形的中位线定理得到2OO1=DD1+BB1=b+d=AA1+CC1=a+c．（2）将l向上平移，分别有直线l过B点时；直线l过B点与D点之间时；直线l过D点时；直线l过C点与D点之间时；直线l过C点时；直线l过C点上⽅时．结合三⾓形的中位线定理和梯形的中位线定理进⾏分析．解答：解：（1）a、b、c、d满⾜a+c=b+d．证明：连接AC、BD，且AC、BD相交于点O，OO1为点O到l的距离，∴OO1为直⾓梯形BB1D1D的中位线，∴2OO1=DD1+BB1=b+d；同理：2OO1=AA1+CC1=a+c．∴a+c=b+d．（2）不⼀定成⽴．分别有以下情况：直线l过A点时，c=b+d；直线l过A点与B点之间时，c-a=b+d；直线l过B点时，c-a=d；直线l过B点与D点之间时，a-c=b-d；直线l过D点时，a-c=b；直线l过C点与D点之间时，a-c=b+d；直线l过C点时，a=b+d；直线l过C点上⽅时，a+c=b+d．点评：本题考查了平⾏四边形的性质、三⾓形的中位线定理及梯形的中位线定理，难度较⼤，尤其第⼆问的解答，所分情况⽐较多，注意不要遗漏．三、如图、在ABC中，AP=QP=QB=BC，AB=AC。
(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试题(答案解析)(4)
一、选择题1．如图，在ABCD 中，AB AD ≠，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE BD ⊥交AD 于E ，若ABE △的周长为12cm ，则ABCD 的周长是（ ）A ．24cmB ．40cmC ．48cmD ．无法确定 2．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAE 的度数是（ ）A ．90°B ．108°C ．120°D ．135°3．在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，∠B ＝60°，AC ＝23cm ，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．10cmB ．11cmC ．12cmD ．13cm 4．如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 作线段EF ，使点E ，点F 分别在边AD ，BC 上（不与四边形ABCD 顶点重合），连结EB ，EC ．设ED kAE =，下列结论：①若1k =，则BE CE =；②若2k =，则EFC 与OBE △面积相等；③若ABE FEC ≌，则EF BD ⊥．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．②③ 5．已知如图：为估计池塘的宽度BC ，在池塘的一侧取一点A ，再分别取AB 、AC 的中点D 、E ，测得DE 的长度为20米，则池塘的宽BC 的长为（ ）A．30米B．60米C．40米D．25米6．如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD，且点E是CD的中点，有如下结论：①AE⊥EF；②AF=CF+CD；③AF=CF+AD；④AB＝BF，其中正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①③④7．已知一个多边形的内角和与一个外角的和是1160度，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形8．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为21，则对角线AC与BD的和是（）A．16 B．21 C．32 D．429．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°10．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，－3D点的坐标是 ( )A ．(4,0)B ．(92,0)C ．(5,0)D ．(112,0) 11．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（ ）A ．∠BDC ＝∠ABDB ．∠DAB ＝∠DCBC ．AD ＝BCD ．AC ⊥BD 12．如图，在周长为12cm 的▱ABCD 中，AB ＜AD ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm二、填空题 13．如图，AE 平分∠BAC ，DE 平分∠BDC ，已知∠B =10°，∠C =40°，则∠E =____________．14．如图，在ABCD 中，70A ∠=︒，将ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到111A BC D ，当11C D 首次经过顶点C 时，旋转角为_______度．15．如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得30ACB ∠=︒，则这个正多边形的边数是_________．16．如图，五边形ABCDE 中，//AE BC ，则C D E ∠+∠+∠的度数为__________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=60°，∠BCD 的平分线交AD 点E ，若CD=3，四边形ABCE 的周长为13，则BC 长为__．18．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，CE 平分BCD ∠，交AD 于点E ，6AB =，2EF =，则BC 长为_________．20．如图，在▱ABCD 中，AB >AD ，以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、CD 于E 、F ；再分别以E 、F 为圆心，大于EF 的一半长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线AG 交CD 于点H ．若AD ＝2，则DH ＝_____．三、解答题21．已知：在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 和BC 上，点G 、H 在对角线AC 上，且BF=DE ，AH=CG ，连接FH 、HE 、BG 、FG ．（1）求证：FG=EH ．（2）若EG 平分∠AEH ，FH 平分∠CFG ，FG//AB ，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF 的度数．22．如图，ABC 和BDE 都是等腰直角三角形，90ACB DBE ∠=∠=︒，连接CD ，以CA ，CD 为邻边作CAFD ，连接CE ，BF ．（1）如图1，当D 在BC 边上时，请直接写出CE 与BF 的关系；（2）如图2，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）若3AC =，2BD =，将图1中的BDE 绕点B 顺时针旋转一周，当BD 与直线BC 夹角为30°时，请直接写出CE 的值．23．如图，已知1,23180BDE ︒∠=∠∠+∠=．（1）证明：//AD EF ．（2）若DA 平分BDE ∠，FE AF ⊥于点F ，140∠=︒，求BAC ∠的度数． 24．如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC ．求证：BE=CF ．25．已知直线y=kx+b 经过点A （5，0），B （1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标，并根据图象，直接写出关于x 的不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集．（3）动点P 在y 轴上运动，动点Q 在x 轴上运动，是否存在以P 、Q 、A 、C 为顶点，且以AC 为边的平行四边形，若存在请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，等边ABC ∆的边长为4,,D B 分别是,AB AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连接,CD EF ． （1）求证：四边形CDEF 是平行四边形；（2）求EF 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据平行四边形的性质，及OE BD ⊥交AD 于E 可以证明OE 是线段BD 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，可以得到BE DE =，再利用线段间的关系可以证明ABCD 的周长为ABE △周长的两倍.【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AO CO =，BO DO =；∵OE BD ⊥交AD 于E ；∴OE 是线段BD 的垂直平分线，∴BE DE =；∴AE ED AE BE +=+；∴ABE △的周长为12AE BE +=∴ABCD 的周长为2()21224AB AD +=⨯=.故选：A.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和垂直平分线的性质，具有一定的综合性，属于中等题型. 2．B解析：B【分析】先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．【详解】解：正五边形的内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴∠BAE=5401085=︒︒， 故选：B ．此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．3．C解析：C【分析】可设AB x =，因为AB AC ⊥，60B ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，所以2BC x =，在t R ABC △中，利用勾股定理可求x ，则平行四边形的边AB ，BC 的长度可求，则周长可求．【详解】如图：9060906030AB ACBAC B ACB ⊥∴∠=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒设AB x =，则2BC x =在t R ABC △中，由勾股定理可得： 222BC AB AC -= 23AC =()(222223x x ∴-= 2312x ∴=24222,4x x x x AB BC ∴=∴=±>∴=∴==∴平行四边形ABCD 周长为： ()24212+⨯=故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质进行推理计算是解4．B解析：B【分析】由1k =，则有E ，F 分别是AD ，BC 的中点，进而可判定①，当2k =时，则有EFC 的面积=12BEF S ，OBE △的面积=12BEF S ，然后可判定②；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，进而可判定③．【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO=∠FBO ，∠DEO=∠BFO ，∵点O 是对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∴△DEO ≌△BFO （AAS ），∴DE=BF ，∵1k =，∴E ，F 分别是AD ，BC 的中点，∴EC AF BE =≠，故①错；连接EC ，如图所示：∵2k =，∴EFC 的面积=12BEF S ， ∵点O 是EF 的中点， ∴OBE △的面积=12BEF S ，所以EFC 与OBE △面积相等，故②对；若EF ⊥BD 成立，则必须BE BF =，因为前提ABE △≌FEC ，BE CE =，得不到CE BF =，故③错；故选B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．C解析：C根据三角形中位线定理可得DE=12BC ，代入数据可得答案． 【详解】解：∵线段AB ，AC 的中点为D ，E ，∴DE=12BC ， ∵DE=20米，∴BC=40米，故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．A解析：A【分析】首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM=EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ．【详解】延长AD ，交FE 的延长线于点M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠M=∠EFC ，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，在△DEM 和△CEF 中，M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEM ≌△CEF （AAS ），∴EM=EF ，∵AE 平分∠FAD ，∴AM=AF ，AE ⊥EF ．即AF=AD+DM=CF+AD；故①，③正确，②错误．∵AF不一定是∠BAD的角平分线，∴AB不一定等于BF，故④错误．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．D解析：D【分析】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据内角和与外角度数的和列出方程，由多边形的边数n为整数求解可得．【详解】设多边形的边数为n，多加的外角度数为x，根据题意列方程得，（n－2）•180°＋x＝1160°，∵0°＜x＜180°，∴1160°－180°＜（n－2）×180°＜1160°，∴549＜n−2＜649，∵n是整数，∴n＝8．故选：D．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．8．C解析：C【分析】首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为21，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，OA＝OC，OB＝OD，∵△OCD的周长为21，∴OD+OC＝21﹣5＝16，∵BD＝2DO，AC＝2OC，∴BD+AC＝2（OD+OC）＝32，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．9．A解析：A【分析】由▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD＝DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD＝60°，∠F＝100°，即可求出∠DAE的度数．【详解】∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD＝CD，∴AD＝DE，∵∠DAE＝∠DEA，∵∠BAD＝60°，∠F＝100°，∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝100°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠DAE＝（180°﹣140°）÷2＝20°，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．10．C解析：C【详解】解：如图，∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，3∴C的坐标为（7，3∴CH3CE3，∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC3∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．11．D解析：D【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，故选项A正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，故选项B正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，故选项C正确；由四边形ABCD是平行四边形，不一定得出AC⊥BD，故选D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的相关知识点是解答本题的关键．12．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的垂直平分线，∴BE＝ED，∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键是根据平行四边形的性质得出OB=OD，再结合线段垂直平分线的定义解答．二、填空题13．15°【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°根据角平分线的定义可得∠EAC=∠BAC∠EDC=∠BDC再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠E解析：15°【分析】根据周角定义和四边形的内角和为360°可得∠BDC﹣∠BAC=50°，根据角平分线的定义可得∠EAC=12∠BAC，∠EDC=12∠BDC，再根据对顶角相等和三角形的内角和为180°可证得∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，进而可求得∠E的度数．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠C+(360°﹣∠BDC)=360°，∠B=10°，∠C=40°，∴∠BDC﹣∠BAC=50°，∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，∴∠EAC=12∠BAC，∠EDC=12∠BDC，∴∠EDC﹣∠EAC==12∠BDC﹣12∠BAC=25°，设CD与AE相交于F，则∠DFE=∠AFC，∵∠E+∠EDC+∠DFE=∠C+∠EAC+∠AFC，∴∠E+∠EDC=∠C+∠EAC，∴∠E=∠C﹣(∠EDC﹣∠EAC)=40°﹣25°=15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查角平分线的定义、四边形的内角和为360°、周角定义、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握这些知识的运用与联系是解答的关键．14．40【分析】由旋转的性质可知：BC=BC1得到∠BCC1=∠C1又因为旋转角∠ABA1=∠CBC1根据等腰三角形的性质计算即可【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1∴BC=BC解析：40【分析】由旋转的性质可知：BC=BC1，得到∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．【详解】解：∵▱ABCD 绕顶点B 顺时针旋转到▱A 1BC 1D 1，∴BC=BC 1，∴∠BCC 1=∠C 1，∵∠A=70°，∴∠BCD=∠A=∠C 1=70°，∴∠BCC 1=∠C 1=70°，∴∠CBC 1=180°-2×70°=40°，∴当11C D 首次经过顶点C 时，旋转角为40°，故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC 1是等腰三角形．15．12【分析】根据瓷片为正多边形及可知正多边形的外角为进而可求得正多边形的边数【详解】如图延长BC 可知∠1为正多边形的外角∵瓷片为正多边形∴AD=DB=BC ∠ADB=∠DBC ∴四边形ACBD 为等腰梯形解析：12【分析】根据瓷片为正多边形及=30ACB ∠︒，可知正多边形的外角为30︒，进而可求得正多边形的边数．【详解】如图，延长BC ，可知∠1为正多边形的外角，∵瓷片为正多边形，∴AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC ，∴四边形ACBD 为等腰梯形，∴BD ∥AC ，∴∠1==30ACB ∠︒，∴正多边形的边数为：360=1230︒︒， 故答案为：12．【点睛】本题考查正多边形的外角和，掌握相关知识点是解题的关键．16．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键 解析：360︒【分析】根据//AE BC 求出180A B ∠+∠=︒，根据多边形内角和公式求出五边形ABCDE 的内角和，即可得到答案．【详解】∵//AE BC ，∴180A B ∠+∠=︒，∵五边形内角和=5218540(0)-⨯︒=︒，∴C D E ∠+∠+∠=540180︒-︒=360︒，故答案为：360︒．【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．17．5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行进而得出DE=CD=3再求出AE+BC=7BC-AE=3即可求出BC 的长【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ∴∠ECD=∠ECB ∵在平行四边形ABCD解析：5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出DE=CD=3，再求出AE+BC=7，BC-AE=3，即可求出BC 的长．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=3，AD=BC ，∠D=∠B=60°，∴∠DEC=∠ECB ，∴∠DEC=∠DCE ，∴DE=CD=3，∴△CDE 是等边三角形，∴CE=CD=3，∵四边形ABCE 的周长为13，∴AE+BC=13-3-3=7①，∵AD-AE ═DE=3，即BC-AE=3②，由①②得：BC=5；故答案为：5．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠DEC=∠DCE是解题关键．18．18【解析】∵点DE分别是△ABC的边ABAC的中点∴DE是△ABC的中位线∴AB=2AD=2×3=6AC=2AE＝2×2=4BC=2DE=2×4=8∴AB+AC+BC=18即△ABC的周长为18故解析：18【解析】∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2AD=2×3=6，AC=2AE＝2×2=4，BC=2DE=2×4=8，∴AB+AC+BC=18，即△ABC的周长为18，故答案为18.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理的内容是解题的关键. 19．10【分析】先证明AB＝AF＝6DC＝DE再根据EF＝AF＋DE−AD求出AD即可得出答案【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD＝6BC＝ADAD∥BC∵BF平分∠ABC交AD于FCE平分解析：10【分析】先证明AB＝AF＝6，DC＝DE，再根据EF＝AF＋DE−AD求出AD，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD，AD∥BC，∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，∴EF＝AF＋DE−AD＝6＋6−AD＝2．∴AD＝10，∴BC＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．20．2【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质即可得到∠DAH＝∠DHA进而得到DA＝DH【详解】解：由作图可得AH平分∠BAD∴∠BAH＝∠DAH ∵平行四边形ABCD 中CD ∥AB ∴∠BAH ＝∠D解析：2【分析】依据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到∠DAH ＝∠DHA ，进而得到DA ＝DH ．【详解】解：由作图可得，AH 平分∠BAD ，∴∠BAH ＝∠DAH ，∵平行四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠BAH ＝∠DHA ，∴∠DAH ＝∠DHA ，∴DA ＝DH ，又∵AD ＝2，∴DH ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查基本作图以及平行四边形的性质的运用，解题关键是掌握平行四边形的对边平行．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）77°【分析】（1）根据平行四边形的性质可得//AD BC ，AD BC =，通过证明AEH △≌CFG △即可得证；（2）利用角平分线的定义可得35GFH CFH ∠=∠=︒，再根据平行四边形的性质求出18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，利用三角形外角的性质即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴EAH FCG ∠=∠，∵BF DE =，∴AD DE BC BF -=-，即AE CF =，在AEH △和CFG △中，AE CF EAH FCG AH CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEH △≌CFG △，∴FG=EH ；（2）∵FH 平分∠CFG ，∠GFH=35°，∴35GFH CFH ∠=∠=︒，∵FG//AB ，∴70B GFC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴70D B ∠=∠=︒，∴18042ACB D ACD ∠=︒-∠-∠=︒，∴77GHF CFH ACB ∠=∠+∠=︒．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．22．（1）CE BF =，CE BF ⊥；（2）成立，证明见解析；（3）7或19【分析】（1）证明△BEC ≌△DBF （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，则可得到结论；（2）延长FD 交BC 于点G ，证明△CBE ≌△△FDB （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠ECB=∠BFG ，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案；【详解】（1）CE BF =，CE BF ⊥；如图，设CE 与BF 相交于点M ，∵△ABC 和△BDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DBE=90°，∴AC=BC ，DE=DB ，∵四边形CAFD 是平行四边形，∴CA=DF=BC ，CA ∥DF ，∠ACB=∠FDB ，∴∠CBE=∠FDB=90°，∴△BEC ≌△DBF （SAS ），∴CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，∵∠DFB+∠DBF=90°，∴∠BCE+∠DBF==90°，∴∠CMB=90°，⊥．∴CE BF（2）成立证明：如图，延长FD交BC于点G．四边形ACDF是平行四边形，=，∴，AC FDAC FD//DGB ACB∴∠=∠=︒，90∴∠=∠+∠，FDB DGB DBG∴∠=︒+∠，90FDB DBG∠=︒，90DBE∴∠=︒+∠，CBE DBG90∠=∠，FDB CBEABC是等腰直角三角形，∴=，AC BC=，又AC DF∴=，BC DF=，BD BECBE FDB∴≌，∴=，ECB BFGCE BF∠=∠，∠+∠=︒，90BFG FBG∴∠+∠=︒，90ECB FBG∴⊥．CE BF（3）如（2）题图，由（2）知∠DGB=90°，BF=CE，∵∠DBC=30°，BD=2，∴DG=1，3，∵AC=3，AC=DF，∴FG=DF+DG=3+1=4，∴()2222=+=+=，BF FG BG4319∴CE=19，如图所示，延长CB交DF于点M，∵AC∥DF，AC⊥BC，∴BM⊥DF，∴∠BMF=∠BMD=90°，∵∠MBD=30°，BD=2，∴DM=1，3，∵AC=DF=3，∴FM=DF-DM=3-1=2，∴22347=+=+，BF BM FM∴7，∴CE719【点睛】本题是四边形几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；23．（1）见解析；（2）70°【分析】（1）根据平行线的判定得出AC//DE，根据平行线的性质得出∠2=∠ADE，求出∠3+∠ADE=180°，根据平行线的判定得出即可；（2）求出∠BDE的度数，求出∠2的度数，求出∠3的度数，根据四边形的内角和定理求出∠B，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】（1）证明：∵∠1=∠BDE，∴AC//DE，∴∠2=∠ADE，∵∠2+∠3=180°，∴∠3+∠ADE=180°，∴AD//EF ；（2）∵∠1=∠BDE ，∠1=40°，∴∠BDE=40°，∵DA 平分∠BDE ，∴∠ADE=12∠BDE=20°， ∴∠2=∠ADE=20°，∵∠2+∠3=180°∴∠3=160°，∵FE ⊥AF ，∴∠F=90°，∴∠B=360°-90°-160°-40°=70°，在△ABC 中，∠BAC=180°-∠1-∠B=180°-40°-70°=70°．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，多边形的内角和定理，角平分线的定义，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．24．证明见解析．【解析】试题分析：先利用平行四边形性质证明DE=CF ，再证明EB=ED ，即可解决问题． 试题∵ED ∥BC ，EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴DE=CF ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBD=∠DBC ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠EBD=∠EDB ，∴EB=ED ，∴EB=CF ． 考点：平行四边形的判定与性质．25．（1）5y x =-+；（2）3x >；（3）存在，（0，2）或（0，2-）．【分析】（1）利用待定系数法把点A （5，0），B （1，4）代入y kx b =+可得关于k 、b 得方程组，再解方程组即可；（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可求得点C 的坐标；根据C 点坐标可直接得到关于x 的不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集；（3）分CQ 为对角线和CP 为对角线时两种情况讨论，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）∵直线y kx b =+经过点A （5，0），B （1，4），∴504k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：5y x =-+；（2）∵若直线24y x =-与直线AB 相交于点C ，∴524y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得32x y =⎧⎨=⎩， ∴点C （3，2）；根据图象：当3x >时，直线24y x=﹣在直线y kx b =+的上方， ∴不等式2x ﹣4＞kx +b 的解集为：3x >；（3）存在，理由如下：当CQ 为对角线时，如图1所示：根据平行四边形的性质得PC ∥AQ ，∴点P 的纵坐标与点C 的纵坐标相等，此时点P 的坐标为（0，2）；当CP 为对角线时，如图2所示：根据平行四边形的性质得PC 的中点在x 轴上，设点P 的坐标为（0，n ）， 则202n ，解得2n =-，此时点P 的坐标为（0，2-）；综上，点P 的坐标为（0，2）或（0，2-）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息，利用数形结合思想解决问题．26．（1）见解析；（2）【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，进而得出DE=FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．【详解】解：（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∵延长BC至点F，使CF=12BC，∴DE=FC，∵DE∥FC，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）∵DE∥FC，DE=FC∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是4，∴AD=BD=2，CD⊥AB，BC=4，∴．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理、勾股定理等知识，得出DE∥BC，DE=12BC是解题关键．。
2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题6三角形与四边形(含解析)
2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题6三角形与四边形一．选择题（共15小题）1．（2021•宜宾）若长度分别是a 、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．82．（2021•资阳）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD ．连结EG 并延长交BC 于点M ．若AB =√13，EF ＝1，则GM 的长为（ ）A ．2√25B ．2√23C ．3√24D ．4√253．（2021•乐山）如图，已知直线l 1、l 2、l 3两两相交，且l 1⊥l 3，若α＝50°，则β的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°4．（2021•自贡）如图，A （8，0），C （﹣2，0），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）5．（2021•广元）下列命题中，真命题是（）A．2x﹣1=1 2xB．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D．已知抛物线y＝x2﹣4x﹣5，当﹣1＜x＜5时，y＜06．（2021•眉山）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1 7．（2021•南充）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是（）A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF 8．（2021•南充）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，BC上，AE ＝BF＝2，△DEF的周长为3√6，则AD的长为（）A．√6B．2√3C．√3+1D．2√3−1 9．（2021•眉山）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动，连接DF ，以DF 为边作等边三角形DFE ，点E 和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①∠BDE ＝∠EFC ；②ED ＝EC ；③∠ADF ＝∠ECF ；④点E 运动的路程是2√3，其中正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④10．（2021•乐山）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若∠ABC ＝120°，AB ＝2，则PE ﹣PF 的值为（ ）A ．32B ．√3C ．2D ．52 11．（2021•资阳）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1：2两部分12．（2021•成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（ ）A ．BE ＝DFB ．∠BAE ＝∠DAFC ．AE ＝AD D ．∠AEB ＝∠AFD13．（2021•泸州）下列命题是真命题的是（ ）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形14．（2021•自贡）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，∠ACD的度数是（）A．72°B．36°C．74°D．88°15．（2021•泸州）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（）A．61°B．109°C．119°D．122°二．填空题（共9小题）16．（2021•达州）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为．17．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为．18．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．19．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是．20．（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD 上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF 交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD=√2BF；④S△AEF 为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有（填入正确的序号即可）．21．（2021•眉山）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是．22．（2021•南充）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为．23．（2021•凉山州）菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24．则菱形的高等于．24．（2021•泸州）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是．三．解答题（共12小题）25．（2021•宜宾）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．26．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD 于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．27．（2021•资阳）已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，已知点D在BC边上，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．试探究BD与CE的关系；（2）如图2，已知点D在BC下方，∠DAE＝90°，AD＝AE，连结CE．若BD⊥AD，AB＝2√10，CE＝2，AD交BC于点F，求AF的长；（3）如图3，已知点D在BC下方，连结AD、BD、CD．若∠CBD＝30°，∠BAD＞15°，AB2＝6，AD2＝4+√3，求sin∠BCD的值．28．（2021•乐山）如图．已知AB＝DC，∠A＝∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC ＝∠OCB．29．（2021•凉山州）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB 于E，若DE＝BE．（1）求证：DA＝DC；（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．30．（2021•泸州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD ＝CE．31．（2021•广元）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC＝CF；（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．32．（2021•广安）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．33．（2021•南充）如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB＝1，DE=1 3．（1）求tan∠ACE；（2）设AF＝x，GH＝y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；（3）当∠ADF＝∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由．34．（2021•眉山）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√5，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写出AD的长．35．（2021•遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF 与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．36．（2021•自贡）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．2021年四川省中考数学试题分类汇编——专题6三角形与四边形参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．【解答】解：由图可知∠AEB＝90°，EF＝1，AB=√13，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设AE＝x，则在Rt△AEB中，有AB2＝AE2+BE2，即13＝x2+（1+x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍去）．过点M作MN⊥FC于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NC＝GC﹣GN＝2﹣a，∵tan∠FCB=BFCF=23=NMCN=a2−a，解得：a=4 5．∴GM=√GN2+NM2=√(45)2+(45)2=4√25．故选：D．3．【解答】解：如图，根据对顶角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故选：C．4．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．5．【解答】解：A、∵2x﹣1=2 x，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形（菱形的判定定理），∴选项B不符合题意；C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，理由如下：在矩形ABCD中，连接AC、BD，如图：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=12BD，同理，FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形，∴选项C 不符合题意；D 、∵抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣5的开口向上，与x 轴的两个交点为（﹣1，0）、（5，0）， ∴当﹣1＜x ＜5时，y ＜0，∴选项D 符合题意；故选：D ．6．【解答】解：这个八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°；这个八边形的每个内角的度数为：1080°÷8＝135°；这个八边形的每个外角的度数为：360°÷8＝45°；∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：135:45＝3:1．故选：D ．7．【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，∴AO ＝CO ，BO ＝DO ，AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，AE ＝CF ，∠CFE ＝∠AEF ，又∵∠DOC ＝∠BOA ，∴选项A 正确，选项B 、C 、D 不正确，故选：A ．8．【解答】解：如图，连结BD ，作DH ⊥AB ,垂足为H ，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD,AD∥BC,∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝180°﹣∠A＝120°,∴AD＝BD,∠ABD＝∠A＝∠ADB＝60°,∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°,∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF,∠FDB＝∠ADE，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠EDB+∠ADE＝∠ADB＝60°,∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长是3√6，∴DE=√6,设AH＝x,则HE＝2﹣x，∵AD＝BD,DH⊥AB,∴∠ADH=12∠ADB＝30°,∴AD＝2x,DH=√3x，在Rt△DHE中，DH²+HE²＝DE²,∴（√3x）²+(2﹣x)²＝(√6)²,解得：x=1+√32(负值舍去），∴AD＝2x＝1+√3，故选：C．9．【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA ＝∠DAO ＝∠ODA ＝60°，AD ＝OD ，∵△DFE 为等边三角形，∴∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，DF ＝DE ，∵∠BDE +∠FDO ＝∠ADF +∠FDO ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF ，∵∠ADF +∠AFD +∠DAF ＝180°，∴∠ADF +∠AFD ＝180°﹣∠DAF ＝120°，∵∠EFC +∠AFD +∠DFE ＝180°，∴∠EFC +∠AFD ＝180°﹣∠DFE ＝120°，∴∠ADF ＝∠EFC ，∴∠BDE ＝∠EFC ，故结论①正确；②如图，连接OE ，在△DAF 和△DOE 中，{AD =OD ∠ADF =∠ODE DF =DE，∴△DAF ≌△DOE (SAS )，∴∠DOE ＝∠DAF ＝60°，∵∠COD ＝180°﹣∠AOD ＝120°，∴∠COE ＝∠COD ﹣∠DOE ＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE ＝∠DOE ，在△ODE 和△OCE 中，{OD =OC ∠DOE =∠COE OE =OE，∴△ODE ≌△OCE (SAS )，∴ED ＝EC ，∠OCE ＝∠ODE ，故结论②正确；③∵∠ODE ＝∠ADF ，∴∠ADF ＝∠OCE ，即∠ADF ＝∠ECF ，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2√3，∴点E运动的路程是2√3，故结论④正确；故选：D．10．【解答】解：设AC交BD于O，如图：∵菱形ABCD，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAC＝∠DCA＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，Rt△AOD中，OD=12AD＝1，OA=√AD2−OA2=√3，∴AC＝2OA＝2√3，Rt△APE中，∠DAC＝30°，PE=12AP，Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，PF=12CP，∴PE﹣PF=12AP−12CP=12（AP﹣CP）=12AC，∴PE﹣PF=√3，故选：B．11．【解答】解：A、每条边、每个内角都相等的多边形是正多边形，故错误，是假命题；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确，是真命题；C、过线段中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故错误，是假命题；D、三角形的中位线将三角形的面积分成1：3两部分，故错误，是假命题．（∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，相似比为1:2，∴S△ADE：S△ABC＝1:4，∴S△ADE：S四边形DECB＝1：3．）故选：B．12．【解答】解：由四边形ABCD是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；故选：C．13．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；故选：B．14．【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴每个内角为180°﹣360°÷5＝108°，∵AB＝BC，∴∠BCA ＝∠BAC ＝36°，∴∠ACD ＝∠BCD ﹣∠BCA ＝108°﹣36°＝72°，故选：A ．15．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠D ＝58°，∴∠BAD ＝122°，∠B ＝∠D ＝58°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝61°，∴∠AEC ＝∠B +∠BAE ＝119°，故选：C ．二．填空题（共9小题）16．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ACB ＝60°，在△ABE 和△ACF 中，{AB =AC ∠BAC =∠ACB AE =CF，∴△ABE ≌△ACF （SAS ），∴∠ABE ＝∠CAF ，∴∠BPF ＝∠P AB +∠ABP ＝∠CAP +∠BAP ＝60°，∴∠APB ＝120°，如图，过点A ，点P ，点B 作⊙O ，连接CO ，PO ，∴点P 在AB̂上运动， ∵AO ＝OP ＝OB ，∴∠OAP＝∠OP A，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OP A﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO=ACCO=√32，CO＝2AO，∴CO＝4√3，∴AO＝2√3，在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴当点P在CO上时，CP有最小值，∴CP的最小值＝4√3−2√3=2√3，故答案为2√3．17．【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC=12AB＝2，当点P在线段AB上时，∵∠PCB＝30°，故CP⊥AB，则PC＝BC cos30°＝2×√32=√3；当点P（P′）在AB的延长线上时，∵∠P′CB＝30°，∠ABC＝60°，则△P′BC为的等腰三角形则BP′＝BC＝2，（2）当∠ABC＝30°时，同理可得，PC＝2；故答案为2或√3．18．【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，则斜边的平方＝36+64＝100．故答案为100．19．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．∴△ABD的周长是12．故答案为：12．20．【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵AT＝TF，∴BT＝AT＝TF＝PT，∴A，B，F，P四点共圆，∴∠P AF＝∠PBF＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴P A＝PF，故①正确，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠ABM＝180°，∴C，B，M共线，∵∠EAF＝45°，∴∠MAF＝∠F AB+∠BAM＝∠F AB+∠DAE＝45°，∴∠F AE＝∠F AM，在△F AM和△F AE中，{FA =FA ∠FAM =∠FAE AM =AE，∴△F AM ≌△F AE （SAS ），∴FM ＝EF ，∵FM ＝BF +BM ＝BF +DE ，∴EF ＝DE +BF ，故②正确，连接PC ，过点P 作PG ⊥CF 于G ，过点P 作PW ⊥CD 于W ，则四边形PGCW 是矩形， 在△PBA 和PCB 中，{PB =PB ∠PBA =∠PBC BA =BC，∴△PBA ≌△PBC （SAS ），∴P A ＝PC ，∵PF ＝P A ，∴PF ＝PC ，∵PG ⊥CF ，∴FG ＝GC ，∵PB =√2BG ，PD =√2PW =√2CG =√2FG ，∴PB ﹣PD =√2（BG ﹣FG ）=√2BF ，故③正确，∵△AEF ≌△AMF ，∴S △AEF ＝S △AMF =12FM •AB ，∵FM 的长度是变化的，∴△AEF 的面积不是定值，故④错误，∵A ，B ，F ，P 四点共圆，∴∠APG ＝∠AFB ，∵△AFE ≌△AFM ，∴∠AFE ＝∠AFB ，∴∠APG ＝∠AFE ，∵∠P AG ＝∠EAF ，∴△P AG ∽△F AE ，∴S △APGS △AFE =（PA AF ）2＝（√2PA ）2=12， ∴S 四边形PEFG ＝S △APG ，故⑤正确，故答案为：①②③⑤．21．【解答】解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ＝10，∴AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴∠CBD ＝30°，∵PE ⊥BC ， ∴PE =12PB ， ∴MP +12PB ＝PM +PE ，∴当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ，∵AM ＝3，∴MC ＝7，∵sin ∠ACB =ME MC =√32，∴ME =7√32，∴MP +12PB 的最小值为7√32， 故答案为7√32． 22．【解答】解：在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∵F 为BE 的中点，AF ＝3，∴BE ＝2AF ＝6．∵G ，H 分别为BC ，EC 的中点，∴GH =12BE ＝3，故答案为3．23．【解答】解：由题意得，菱形的面积=12×AC •BD =12×10×24＝120，则AO ＝5，BO ＝12，则AB =√AO 2+BO 2=13，设菱形的高为h ，则菱形的面积＝BC •h ＝13h ＝120，解得h =12013，故答案为12013．24．【解答】解：作FM ⊥AB 于点M ，作GN ⊥AB 于点N ，如右图所示，∵正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 的中点，点F 在CD 上，且CF ＝3DF ， ∴BE ＝2，MF ＝4，BM ＝CF ＝3，∵GN ⊥AB ，FM ⊥AB ，∴GN ∥FM ，∴△BNG ∽△BMF ，∴BN NG =BM MF =34， 设BN ＝3x ，则NG ＝4x ，AN ＝4﹣3x ，∵GN ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴△ANG ∽△ABE ，∴AN AB =NG BE ， 即4−3x 4=4x 2， 解得x =411，∴GN ＝4x =1611，∴△AGF 的面积是：AB⋅MF 2−AB⋅GN 2=4×42−4×16112=5611， 故答案为：5611．三．解答题（共12小题）25．【解答】证明：∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠AOC ﹣∠AOD ＝∠BOD ﹣∠AOD ，即∠COD ＝∠AOB ，在△AOB 和△COD 中，{OA =OC ∠AOB =∠COD OB =OD，∴△AOB ≌△COD （SAS ）．26．【解答】证明：∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE +∠F AC ＝90°，∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠AFC ＝90°，∴∠BAE +∠EBA ＝90°，∴∠EBA ＝∠F AC ,在△ACF 和△BAE 中，{∠AFC =∠BEA ∠FAC =∠EBA AC =BA ,∴△ACF ≌△BAE (AAS ),∴AF ＝BE ．27．【解答】解：（1）∵∠EAC +∠CAD ＝∠EAD ＝90°，∠BAD +∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°，BD ＝CE ，∴∠BCE ＝∠ACB +∠ACE ＝45°+45°＝90°，∴BD ＝CE 且BD ⊥CE ；（2）延长BD 和CE 交于点H ，由（1）知BD ⊥CE ，即∠H ＝90°，CE ＝BD ＝2，而∠ADH ＝90°，∠DAE ＝90°，故四边形ADHE 为矩形，而AD ＝AE ，故四边形ADHE 为正方形，在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=√AB 2−CE 2=√(2√10)2−22=6＝DH ＝EH ＝AD ， 则BH ＝BD +DH ＝2+6＝8，CH ＝HE ﹣CE ＝6﹣2＝4，在Rt △BCH 中，tan ∠CBH =CH BH =48=12，在Rt △BDF 中，DF ＝BD tan ∠CBH ＝2×12=1，故AF＝AD﹣DF＝6﹣1＝5；（3）作∠DAE＝90°，使AD＝AE，连结CE，延长EC和BD交于点H，连接DE，由（1）BD＝CE且BD⊥CE，即∠H＝90°，由作图知，△ADE为等腰直角三角形，设CE＝BD＝x，在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，BC=√2AB=√2⋅√6=2√3，则CH=12BC，BH＝BC cos30°＝3，则DH＝BH﹣x＝3﹣x，EH＝CH+CE＝x+√3，则DE2＝2AD2＝DH2+EH2，即（3﹣x）2+（√3+x）2＝2×（4+√3），解得x＝2−√3（舍去）或1，即BD＝x＝1，过点D作DN⊥BC于点N，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝2√3，BD＝1，则ND=12BD=12，BN＝BD cos30°=√32，则CN＝CB﹣BN＝2√3−√32=3√32，∴CD=√CN2+DN2=√7，则sin∠BCD=DNCD=12√7=√714．28．【解答】证明：在△AOB与△COD中，∵∠A＝∠D，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．29．【解答】（1）证明：作DG ⊥BD ，交BC 的延长线于点G ，如右图所示， ∵DE ⊥AB ，∠B ＝90°，DG ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠B ＝∠BGD ＝90°，∴四边形DEBG 是矩形，又∵DE ＝BE ，∴四边形DEBG 是正方形，∴DG ＝BE ，∠EDG ＝90°，∴DG ＝DE ，∠EDC +∠CDG ＝90°，∵∠ADC ＝90°，∴∠EDC +∠ADE ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，在△ADE 和△CDG 中，{∠ADE =∠CDG DE =DG ∠AED =∠CGD，∴△ADE ≌△CDG （ASA ），∴DA ＝DC ；（2）∵∠ADE ＝30°，AD ＝6，∠DEA ＝90°，∴AE ＝3，DE =√AD 2−AE 2=√62−32=3√3，由（1）知，△ADE ≌△CDG ，四边形DEBG 是正方形，∴DG ＝DE ＝3√3，AE ＝CG ＝3，BE ＝DG ＝BG ＝3√3，∴BC ＝BG ﹣CG ＝3√3−3，AE ＝AE +BE ＝3+3√3，∵FG ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴FE ∥CB ，∴△AEF ∽△ABC ，∴AE AB =EF BC ， 即3+3√3=3√3−3，解得EF ＝6﹣3√3，∴DF ＝DE ﹣EF ＝3√3−（6﹣3√3）＝3√3−6+3√3=6√3−6， 即DF 的长是6√3−6．30．【解答】证明：在△ABE 与△ACD 中{∠A =∠A AB =AC ∠B =∠C，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）．∴AD ＝AE ．∴BD ＝CE ．31．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AD ＝BC ，∴∠D ＝∠FCE ；∵E 为DC 中点，∴ED ＝EC ，在△ADE 与△FCE 中，{∠D =∠FCE ED =EC ∠AED =∠FEC，∴△ADE ≌△FCE （ASA ），∴AD ＝CF ，∴BC ＝CF ．（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝DC ，∴△ABG ∽△CEG ，∴AB EC =BG EG ，S △ABGS △CEG =(AB EC )2，∵DE ＝CE ，∴AB ＝2CE ，∴BG EG =2，S △ABGS △CEG =4，∵△GEC 的面积为2，∴S △BGC ＝2S △CEG ＝4，S △ABG ＝4S △CEG ＝8，∴S △ABC ＝S △BGC +S △ABG ＝4+8＝12，∴平行四边形ABCD 的面积＝2S △ABC ＝24．32．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC +∠CBE ＝180°，∠ADC +∠CDF ＝180°，∴∠CBE ＝∠CDF ，在△CDF 和△CBE 中，{CD =CB ∠CDF =∠CBE DF =BE，∴△CDF ≌△CBE （SAS ），∴CE ＝CF ．33．【解答】解:(1)过点E 作EM ⊥AC 于点M ,∴∠AME ＝∠EMC ＝90°,∵四边形ABCD 是边长为1的正方形,DE =13,∴∠CAD ＝45°,AE ＝AD ﹣DE ＝1−13=23,∴EM ＝AM ＝AE •sin ∠CAD =23×√22=√23,AC =√2, ∴CM ＝AC ﹣AM =√2−√23=2√23,∴tan ∠ACE =EM CM =√232√23=12；(2)∵GH ⊥AD ,AB ⊥AD ,∴GH ∥AB ,∴△DHG ∽△DAF ,∴HG AF=DH DA , ∴y x =1−y 1,∴y ＝x ﹣xy ,∴y =x x+1(0＜x ≤1)；(3)当∠ADF ＝∠ACE 时,EG ⊥AC ,理由如下:∵tan ∠ADF ＝tan ∠ACE =12,∴AF AD =x 1=12, ∴x =12,y =13,∴HA ＝GH =13,∴EH ＝AD ﹣DE ﹣AH =13,∴EG =√GH 2+EH 2=√(13)2+(13)2=√23,∴EG ＝EM ,又∵EM ⊥AC ,∴点G 与点M 重合,∴EG ⊥AC ．34．【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG 是正方形， ∴∠DCE ＝90°，CD ＝CE ；∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠BCE ＝90°﹣∠BCD ，在△ACD 和△BCE 中，{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．（2）如图1，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，则∠AHM ＝∠DHM ＝90°． ∵∠DCG ＝90°，CD ＝CG ，∴∠CDG ＝∠CGD ＝45°，∴∠ADC ＝90°，∴∠MDH ＝90°﹣45°＝45°，∴MH ＝DH •tan45°＝DH ；∵CD ＝DG •sin45°＝2×√22=√2，AC ＝2√5，∴AD =√(2√5)2−(√2)2=3√2，∴MH AH =CD AD =tan ∠CAD =√23√2=13， ∴AH ＝3MH ＝3DH ，∴3DH +DH ＝3√2；∴MH ＝DH =3√24，∵MH AM =CDAC =sin ∠CAD =√22√5=√10， ∴AM =√10MH =√10×3√24=3√52． （3）如图3，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在点A 和点E 之间． ∵CD ＝CE ＝CF ，∠DCE ＝∠ECF ＝90°，∴∠CDE ＝∠CED ＝∠CEF ＝∠CFE ＝45°；由△ACD ≌△BCE ，得∠BEC ＝∠ADC ＝135°，∴∠BEC +∠CEF ＝180°，∴点B 、E 、F 在同一条直线上，∴∠AEB ＝90°，∵AE 2+BE 2＝AB 2，且DE ＝2，AD ＝BE ，∴（AD +2）2+AD 2＝（2√5）2+（2√5）2， 解得AD =√19−1或AD =−√19−1（不符合题意，舍去）；如图4，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在AE 的延长线上． ∵∠BCF ＝∠ACE ＝90°﹣∠ACF ，BC ＝AC ，CF ＝CE ，∴△BCF ≌△ACE （SAS ），∴∠BFC ＝∠AEC ，∵∠CFE＝∠CED＝45°，∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，∴点B、F、E在同一条直线上；∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵AE2+BE2＝AB2，∴（AD﹣2）2+AD2＝（2√5）2+（2√5）2，解得AD=√19+1或AD=√19−1（不符合题意，舍去）．综上所述，AD的长为√19−1或√19+1．35．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，BE ∥DF ，∴∠E ＝∠F ，在△AOE 和△COF 中，{∠E =∠F∠AOE =∠COF OA =OC，∴△AOE ≌△COF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）当EF ⊥BD 时，四边形BFDE 是菱形，理由如下： 如图：连结BF ，DE ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．36．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF＝BE，又AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE＝BF．。
辽宁省大连市中考几何题专练(无答案)
中考几何题专练1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，连接 AD ，EF△ BC ，且EF 分别与AB 、AC 、AD 交于点E 、F 、G ，求证：DCBD GF EG ．2. 如图，E 是菱形 ABCD 的边 CD 上的点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F ， EG △ AD 交 DF 于点 G ，求证：EG = EC ．3. 如图，已知 DE △ AB ，OA 2 = OC·OE ，求证：BC △ AD ．4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，连接 AE 并延长AE 交 DC 的延长线于点 M ，交 BD 于点 G ，过点 G 作 GF △ BC 交 DC 于点 F ，求证：CDDM FC DF =．5. 如图，已知 AB △ EF △ CD ，B 、F 、D 共线，若 AB = a ，CD = b ，EF = c ，求证：b a c +=．6. 如图，在四边形 ABCD 中，AD △ EF △ BC ，已知 AD = a ，BC = b ，AE = 3 ，BE =1，求 EF 的长．7. 如图，D 、E 分别是线段 BC 、AC 上的点，且 BD = DC ，CE = 2 AE ，BE 与 AD 交AF 于 F ，求FD AF ．8. 如图，△ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE = 41 AB ，连接 EM并BC 延长交 BC 的延长线于 D ，求CDBC ．9. 如图，在△ABC 的边 AB 上取一点 D ，在 AC 上取一点 E ，使 AD = AE ，线段 DE 和 BC 的延长线相交于 P ，求证：CE BD CP BP =．10. 如图，P 为 △ABC 的中位线 MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交 AC 、 AB 于D 、 E ．求证：1=+EBAE DC AD ．11.如图，在△ABC 中，E 、F 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 分别交AE 、AF 于G 、H ．求证：BG : GH : HM = 5 : 3 : 2 ．12.如图，在矩形ABCD 中，AB = 4 ，BC = 6 ，M 是边BC 的中点，DE △ AM ，垂足为E ，求DE ．13.如图△ABC 中，D 、F 在AB 上，E 、G 在AC 上，且AD = DF = FB ，DE △ FG △ BC ，，求14.如图，在△ABC 中，AB = AC ，AD △ BA 于点A ，交BC 边于E ，DC △ BC 于点C ，与AD 交于点D ．（1）求证：△ACE△△ADC ；（2）若CE =1，CD = 2 ，求AC的长．15.如图，在△ABC 中，AD 是△BAC 的平分线，EF 垂直平分AD ，交CB 的延长线于点F ，交AD 于点E ，交AC 于点M ．（1）求证：△ACF∽△BAF ；（2）若AF = 6 ，BD = 2 ，AC = 4 ，求DC 和AM 的长．16.如图，在锐角△ABC 中，已知BE 、CF 分别是△ABC 的高．求证：△ABC△△AEF ．17.如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，△BAC = △CDB ．求证：△DAC = △CBD ．18. 如图，在△ABC 中，△BAC = 90° ， AD △ BC 于点 D ， E 是 AC 的中点，延长 ED 和AB 的延长线交于点 F ．求证：AFDF AC AB .19. 已知田豆包的身高 1.75 米，旗杆在太阳照射下的影子长为 6 米，田豆包在太阳照射下的影子长为 1 米．（1）求旗杆的高度；（2）若田豆花的在太阳照射下的影子长为 0.87 米，则田豆花的身高约为多少？20.王小锤家想在自家门口池塘两岸A 、B 之间架一座桥，现在小锤妈妈让小锤去量一下A 、B 之间的距离，但小锤不知如何测量．请你帮小锤出个主意准确量出A 、B 之间的距离．21.如图，AB △ CD ，E 是AB 上一点，DE 交AC 于点F ，AF = FC ，分别延长DE 和CB 交于点G ．（1）求证：△AEF △△CDF ；（2）若GB = 2 ，BC = 4 ，BE =1 ，求AB 的长．22.如图，△ABC 和△AED 是等腰直角三角形，△BAC = △EAD = 90 ，点D 、E 在△BAC 的外部，连接DC、BE，CD 交AB于点G ，交BE 于点K ．若AC = 8，GA = 2 ，求KGGC•的值．23. 如图，在 Rt △ABC 中，△C = 90 ，Rt △BAP 中，△BAP = 90 ，已知 △CBO = △ABP ，BP 交 AC 于点 O ， E 为 AC 上一点，且 AE = OC ．（1）求证： PE △ AO ；（2）当 AE =83AC ， AB =10 时，求线段 BO 的长度．24. 如图，已知正方形 ABCD 中， BE 平分 △DBC 且交 CD 边于点 E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转到△DCF 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G ．（1）求证：△BDG△△DEG ；（2）若 BG EG • = 4 ，求 BE 的长．25.如图， ABCD 中，△DBC = 45°，DE △ BC 于E ，BF △ CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G ．（1）求证：AB = BH ；（2）若GA =10 ，HE = 2 ，求AB ．26.已知正方形ABCD 的对角线交于点O ，△CAB 的平分线分别交BD 、BC 于点E 、F ，作BH △ AF ，垂足为H ，BH 的延长线分别交AC、CD 于点G、P ．（1）求证：AE = BG ；（2）求证：GO·AG = CG·AO ．2，27.如图，AB 是○O的直径，C是圆上一点，过点C 作CD △ AB 于D ，AC = 10AD : BD = 4 :1，求CD 的长．28.如图，PA 、PB 切○O 于A 、B ，AB 交OP 于点C ．若OA = 2 ，PC = 4 ，求线段OC的长．29.如图，在圆O 中，AB 为直径，△ABC 内接于圆，CD 是高，AE = AC ，连接BE 交圆O于点 F ．求证：∠ACF =∠AED ．30.如图，线段AB 的中点为C ，以A 为圆心、AB 长为半径作圆．在线段AB 的延长线上取点D ，使BD = AC ，再以D 为圆心、DA 的长为半径作圆，与圆A 分别交于点 F 、 G ．延长 AD 交圆 D 于 E ，连接 EF ．连接 FG 交 AB 于点 H ，求 ABAH .31. 如图，直线 PM 切 O 于点 M ，直线 PO 交 O 于 A 、B 两点，弦 AC △ PM ，连接OM 、BC ．求证：（1）△ABC △ △POM ；（2） 2OA 2 =OP ·BC ．32.如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 与BD 相交于点E ，AB = CD ．（1）求证：AC = BD ；（2）若 F 是O 上一点，且CF = AD ，AF 的延长线与DB 的延长线交于点P ，求证：ED 2 =EB·EP ．33.如图，BD 为O 的直径，AB = AC ，AD 交BC 于点E ，AE = 2 ，ED = 4 ．（1）求AB 的长；（2）延长DB 到 F ，使得BF = BO ，连接FA ，试判断直线FA 与O 的位置关系，并说明理由．34.如图，A 、D 、E 在一条直线上，△ABC 为等腰直角三角形，△BAC = 90 ，BD △ DE ，CE △ DE ．求证：△ABD△△CAE ．35.如图，A 、D 、E 在一条直线上，△BAC = 90 ，BD △ DE ，CE △ DE ．探究△ABD 与△CAE 有什么关系，并证明．36. 如图， A 、D 、E 在一条直线上，△1 = △D = △E = 80°， . 、求证：37. 已知等边△ABC 的边长为 2 ，D 、E 、F 分别是 AB 、BC 、CA 上的点，且 BD =1 ，BE = 31 ， △DEF = 60 ，求 CF ．38. 如图，在平面直角坐标系中， 第一象限内的点 C 满足 AC △ AB ，且 AC = 3 ，求点 C 的坐标．39. 如图，在△ABC 中， AB = AC =10 ， BC =12 ， D 为 BC 的中点．以 D 为顶点作 ∠EDF = ∠B ， ∠EDF 的两边交 AC 、AB 于 E 、F ．（1）证明：△BDF 、△DEF 、△CED 两两相似．（2）当△DEF 的面积是△ABC 面积的 41 时，求线段 EF 的长．40.如图，在△ABC 中，AB = AC = 5 ，BC = 6 ，P 是BC 上的一个动点（与B 、C 不重合），PE △ AB 于E ，PF △ BC 交AC 于F ，设PC = x ，记PE = y1，PF = y2．（1）分别求y1、y2关于x 的函数关系式；（2）△PEF 能为直角三角形吗？若能，求出CP 的长；若不能，请说明理由．41. 如图，以平面上一点 O 为直角顶点作出两个直角三角形，分别记为△AOB 和△COD ，使∠ABO =∠DCO = 30°．（1）连接 AD 、 BC ．证明：△AOD △ △BOC ．（2）AC 、CD 、BD 中点分别为 E 、F 、M ，连接 EM 、FM ．求EM FM 的值．42. 如图，△ABC 中， AB = AC =10 厘米，BC =12 厘米，D 是 BC 的中点，点 P 从 B 出发，以 a 厘米/秒（ a 0 ）的速度沿 BA 匀速向点 A 运动，点 Q 同时以1厘米/秒的速度从 D 出发，沿 DB 匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为 t 秒．（1）若 a = 2 ， △BPQ △ △BDA ，求 t 的值；（2）设点 M 在 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形．△若 a = 25 ，求 PQ 的长； △是否存在实数 a ，使得点 P 在 ACB 的平分线上？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．43.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，AB =10cm ，AC =8cm ，点P从点A出发沿AB方向向点B 运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B 出发沿B→C→A方向向点A 运动，速度为2cm/ s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设P的运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y 平方厘米，当△PBQ存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围44.如图，△ABC中，AB = AC，BC = 6 ，D为BC中点，连接AD，AD = 4 .四边形ADCE 是矩形，将矩形ADCE 沿CD以每秒一个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t （0＜t ≤6 ）秒，平移后的四边形 A ' D ' C ' E '与△ABC重叠的部分面积为S，求S关于t 的函数表达式，并写出相应的t 的取值范围．45.如图，在△ABC 中，∠BAC = 90 ，AB = AC =1，D 是BC 上一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取点 E ，使∠ADE = 45 ．（1）求证：△ABD △ △DCE ；（2）设BD = x ，AE = y ，求y 关于x 的函数关系式．46.如图，四边形ABCD 中，AD △ BC ，∠ABC = 90 ，AD = 9 ，BC =12 ，AB =6 ，在线段BC 上任取一点P ，连接DP ，作射线PE △ DP ，PE 与直线AB 交于点E ．若设CP = x ，BE = y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式．47.如图，在四边形ABCD 中，∠B = 90 ，AD △ BC ，AB = 4 ，BC =12 ，点E 在BA 的延长线上，AE = 2 ，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF △ EF ，设AG = x ，DF = y ，求y 关于x 的函数关系式．48.如图，已知锐角△ABC 的边长BC 的长为6 ，面积为12 ，PQ △ BC ，点P 在AB 上，点Q 在AC 上，四边形RPQS 为正方形（RS 与 A 在PQ 的异侧），其边长为x ，正方形RPQS 与△ABC 的公共面积为y ．（1）当正方形RPQS 的边RS 恰好落在BC 上时，求边长x ．（2）求y 关于x 的函数关系式以及自变量x 的取值范围．（3）求y 的最大值．49.正方形ABCD 的边长为8 ，正方形EFGH 的边长为3 ，正方形EFGH 可在线段AD 上滑动，EC 交AD 于点M ，设AF = x ，FM = y ，△ECG 的面积为s ．（1）求y 与x之间的关系；（2）求s 与x 之间的关系；（3）求s 的最大值和最小值．50.如图，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点，EF △ DE 交BC 于点F ，设正方形边长为4 ，AE = x ，BF = y ，当x 取何值时，y 有最大值？并求出这个最大值．51.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(1, 0) ，点B 的坐标为(0,1) ，E 、F 是线段AB上的两个动点，且∠EOF = 45°，过点 E 、F 分别作x 轴和y 轴的垂线CE 、DF 相交于点P ，垂足分别为C 、D ，设P 点的坐标为( x , y) ，令xy = k ．（1）求证：△AOF △ △BEO ；（2）在点E 、F 运动过程中，点P 也随之运动，探索：k 是否为定值？请证明你的结论．52.如图，以点O 为圆心的圆交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，点P 为AC 上的一动点，OH △ AP 交PD 于点H ，当点P 在AC 上运动时，试问DHAP 的值是否保持不变；若不变，试证明，求出它的值；若发生变化，请说明理由．53.已知：如图3，AD = mAB，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF 、GH 交于点O ，∠EOH =∠C ，（1）如图1，当平行四边形ABCD是正方形时，求证：EF = GH；（2）如图2，当平行四边形ABCD是矩形时，探究EF 与GH 之间的关系，并证明；（3）如图3，求证：GH = mEF .54.已知：在平行四边形ABCD 中，AE ⊥ BC 于E，∠ADC 的平分线交AE于F．（1）若AE = AD ，证明：CD=AF+BE．（2）若AE:AD=m:n，探究线段CD 、AF 、BE 的数量关系，并说明理由．55. 已知：如图，在 Rt △ABC 中， BAC = 90 ， AB = AC ，D 是 BC 的中点，E 为 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F ，若 ∠FGE = 45°．（1）求证： BD ·BC = BG ·BE ；（2）求证： AG △ BE ；（3）若 E 为 AC 的中点，求FDEF 的值．56.在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(2, 2) ，点C 是线段OA 上的一个动点（不运动至O 、A 两点），过点C 作CD △ x 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x 轴的正半轴于点B ，连接OF ，设OD = t ．是否存在点B ，使以B 、E 、F 为顶点的三角形与△OFE 相似？若存在，请求出所有满足要求的B 点的坐标；若不存在，请说明理由．57.如图，已知直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线过点C 且与直线交于点A(5,12) ．在线段AB上是否存在点P ，过P 作x 轴的垂线交抛物线于E 点，使得以P、B、E为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．58.如图，P 为正方形ABCD 的对称中心，正方形ABCD的边长为10 ，tan∠ABO = 3 ，直线OP 交AB 于N ，交DC 于M ，点H 从原点O 出发沿x 轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R 从O 出发沿OM 方向以2 个单位每秒速度运动，运动时间为t ．当t 为何值时，△ANO 与△DMR 相似？59. 如图，已知抛物线的方程 C 1 ：()()m x x my -+-=21与 x 轴交于点 B 、C ，与 y 轴交于点 E ，且点 B 在点 C 的左侧．在第四象限内，抛物线 C 1 上是否存在点 F ，使得以B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理 由．。
人教版初中数学九年级下册27.2：相似三角形 解答题专项
人教版九年级下册27.2相似三角形解答题专项1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝cm，CP＝cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．相似三角形专项练习参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．2．如图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，AP⊥BE于点P，延长AP交CD于点F，连接CP．（1）求证：①BP＝2AP；②PC＝BC；（2）求的值．【解答】解：（1）证明：①∵在正方形ABCD中，E是AD边的中点，∴在Rt△EBA中，AB＝2AE，∵AP⊥BE于点P，∴Rt△ABP∽Rt△EBA，∴＝＝，∴BP＝2AP．②如图，过点C作CH⊥BE于点H，则∠BCH+∠PBC＝90°，又∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠BCH＝∠ABP，又BC＝AB，∴Rt△BCH≌Rt△ABP（AAS），∴BH＝AP，又BP＝2AP，∴BH＝PH，又CH⊥BE，∴PC＝BC．（2）如图，同（1）②可证：Rt△AFD≌Rt△BEA，∴AF＝BE，在Rt△BEA中，若设AE＝1，则AB＝2，BE＝，∵AP⊥BE于点P，∴AP•BE＝AB•AE，∴AP＝＝，则PF＝AF﹣AP＝BE﹣AP＝﹣＝，∴＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若△MBN与△ABC相似，求t的值．（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5．分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，则，即，解得：t＝．②当△NBM∽△ABC时，同理可得：t＝，综上所述：当t＝或时，△MBN与△ABC相似；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即＝，解得：MD＝t．设四边形ACNM的面积为y，y＝×5×5﹣（5﹣t）t＝（t﹣2.5）2+．根据二次函数的性质可知，当t＝2.5时，y的值最小值为．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．（1）判定△ABP与△PCD是否相似，说明理由；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．【解答】解：（1）△BAP∽△CPD，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠BAP，∴△BAP∽△CPD；（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP，又∵∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠B＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△PBA，∴，∴，∴BP＝．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若＝3，求的值．【解答】解：如图，过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△EHF，∴，∴AB＝3EH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴EH∥CD，CD＝AB＝3HE，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG＝2EH，∴＝＝．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD、BC交于点E，连接AC、BD．（1）求证：AB＝AE；（2）若AB＝5，DE＝2，求线段CE的长．【解答】证明：（1）∵C为的中点，∴＝，∴∠BAC＝∠CAD，∵AB是直径，∴∠BCA＝90°＝∠ACE，∴∠E＝∠ABC，∴AB＝AE；（2）∵AB＝AE＝5，∠ACB＝90°，∴CE＝BC＝EB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠ABC，又∵∠E＝∠E，∴△EDC∽△EBA，∴，∴，∴EC＝．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝6，AD＝8，AF＝4，求AE的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠ADE＝∠DEC，∠B+∠C＝180°，∵∠AFB＝∠B，∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠C＝∠AFD，∴△ADF∽△DEC；（2）∵△ADF∽△DEC，∴，∴，∴DE＝12，∵AE2＝DE2﹣AD2＝144﹣64＝80，∴AE＝4．8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t 秒．（1）根据题意知：CQ＝t cm，CP＝（4﹣2t）cm；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：（1）经过t秒后，CQ＝t，CP＝4﹣2t，故答案为：t；（4﹣2t）．（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即，解得t＝1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，即，解得t＝；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或秒．9．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．10．如图，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE．求证：△ABC∽△DBE．【解答】证明：∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴＝，即，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠DBE＝∠DBC+CBE，∵，∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE．11．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．12．已知：如图，BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，BF与CE相交于点O，AN 是∠BAC的角平分线，交EF于点M，交BC于点N．（1）求证；△ABF∽△ACE；（2）求证：＝．【解答】解：（1）证明：∵BF、CE分别是△ABC的边AC、AB上的高，∴BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠BAF，∴△ABF∽△ACE；（2）证明：∵△ABF∽△ACE，∴＝，∴＝，又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝①，∠AEF＝∠ACB，∵AN是∠BAC的角平分线，∴∠EAM＝∠CAN，∴△EAM∽△CAN，∴＝②，由①②可得：＝．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE．（1）求证：△ABC∽△BGA；（2）若AF＝5，AB＝8，求FG的长；【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，∴BF＝AC＝AF，∴∠F AB＝∠FBA，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABC＝∠AGB，∴△ABC∽△BGA；（2）∵AF＝5，∴AC＝2AF＝10，BF＝5，∵△ABC∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝，∴FG＝BG﹣BF＝﹣5＝．14．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC 两边交于点P和点Q，且EP＝EQ．（1）当点P和点B重合的时候，求证：；（2）当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：．【解答】证明：（1）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，∴△FQE∽△DPE，∴＝，又∵QE＝EP，∴BD＝FQ，EF＝DE，∵QF∥CD，∴△AFQ∽△ADC，∴，∴，∴；（2）如图，过点Q作QF∥BC交AD于F，过点P作PH∥BC交AD于H，∴QF∥PH，∴△FQE∽△HPE，∴，又∵QE＝EP，∴PH＝FQ，EF＝HE，∵FQ∥BC，∴△AQF∽△ACD，∴，∵PH∥BC，∴△APH∽△ABD，∴，∴＝＝＝．15．如图，△ADE∽△ABC，且＝，点D在△ABC内部，连结BD、CD、CE．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）若CD＝CE，BD＝3，且∠ABD+∠ACD＝90°，求DE的长．【解答】证明：（1）∵△ADE∽△ABC，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴，∠ABD＝∠ACE，又∵BD＝3，∴CE＝2，∴CD＝CE＝2，∵∠ABD+∠ACD＝90°，∴∠ACD+∠ACE＝90°，∴∠DCE＝90°，∴DE＝CD＝2．16．如图，⊙O中的弦AC、BD相交于点E．（1）求证：AE•CE＝BE•DE；（2）若AE＝4，CE＝3，BD＝8，求线段BE的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠B，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴＝，∴AE•CE＝BE•DE；（2）解：由（1）得，AE•CE＝BE•DE，则4×3＝BE×（8﹣BE），解得，BE1＝2，BE2＝6，即线段BE的长为2或6．17．如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．（1）求证：△ABD∽△ACE；（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD 的长．【解答】证明：（1）∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵，∴△ABD∽△ACE；（2）如图，∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝2，AE＝CE＝2，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，∵，∴＝，∴DE＝3，∴CD＝＝＝．18．如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠B＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠B，而∠DCE＝∠BCA，∴△CDE∽△CBA；（2）连接BD，如图，∵AB为直径，∵∠BDC＝90°，∠C＝60°，∴BC＝2CD，∵△CDE∽△CBA；∴＝＝，∴DE＝AB＝×4＝2．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，点E是AB上动点，以DE为直径的圆交对角线AC于F，EG⊥AC垂足为G．（1）求证：△EFD∽△EGA；（2）求FG的长；（3）直接写出DF+DG的最小值为2．【解答】解：（1）∵以DE为直径的圆交对角线AC于F，∴∠EAG＝∠EDF，∠EFD＝90°，∵EG⊥AC垂足为G，∴∠EGA＝90°＝∠EFD，∴△EFD∽△EGA；（2）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∴∠EAD＝90°＝∠EFD，∴tan∠EAG＝＝＝，∴在三角形EGA中，sin∠EAG＝＝，∵∠EGF＝∠EAD＝90°，∵DE为圆的直径，∴∠GFE＝∠ADE，∴△EGF∽△EAD，∴＝＝，∵DA＝BC＝4，∴FG＝2；（3）过点G作GM⊥AD于点M，如下图所示：设AE＝2x，∵∠EAG＝30°，∴∠GAM＝60°，∴EG＝x，GA＝x，∴在直角三角形GAM中，AM＝x，GM＝x，∵AD＝BC＝4，∴MD＝4﹣x，∴在直角三角形GMD中，GD2＝GM2+MD2，∴GD2＝x2+16+x2﹣4x＝3x2﹣4x+16，∵在直角三角形AED中，直径ED＝，∵在直角三角形EFD中，∠EDF＝∠EAG＝30°，∴DF＝×ED，∴DF2＝3x2+12，∵当DF＝DG时，DF+DG取最小值，∴3x2﹣4x+16＝3x2+12，∴x＝，∴DF＝，DG＝，∴DF+DG取最小值为2．故答案为：2．20．如图，点E在△ABC的边AB上，过点B、C、E的⊙O切AC于点C，直径CD交BE 于点F，连接BD、DE，已知∠A＝∠CDE．（1）求证：∠CDB＝2∠A；（2）若AC＝，BD＝1，求BF的长．【解答】解：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥CF，∴∠ACF＝90°，∴∠A+∠AFC＝90°，∴∠A+∠BCD+∠ABC＝90°，又∠CDE＝∠ABC，∠A＝∠CDE，∴2∠A+∠BCD＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠CDB＝2∠A；（2）过C作CH⊥AB于H，交BD的延长线于G，如图：∵∠DCH+∠ACH＝90°，∠A+∠ACH＝90°，∴∠DCH＝∠A，又∵∠CDB＝2∠A；∴∠CDB＝2∠DCH，∴∠G＝∠DCH，∴CD＝DG．∵BD＝1，BC＝，在Rt△BCD中，CD＝，∴DG＝3，∴BG＝BD+DG＝4，CG＝，∴cos∠G＝，∴cos∠A＝，又cos∠A＝，∴AH＝AC•cos∠A＝，AF＝，∵∠A＝∠CDE，∠ABC＝∠CDE，∴∠A＝∠ABC，∴AC＝BC，∴AB＝2AH＝，∴BF＝AB﹣AF＝．。
2020—2021学年北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练(一)
北师大版八年级下册第六章《平行四边形》常考综合题专练（一）1．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．2．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．3．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．4．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明．【结论应用】（1）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F．求证：∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．6．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．7．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，连接AN、CM．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）连接MN，过点C作CE⊥MN于点E，连接DN，交OM于点O交CE于点P，若∠AND＝90°，PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长．8．已知：在▱ABCD中，点E是边AD上一点，点F是线段AE的中点，连接BF并延长BF至点G，使FG＝BF，连接DG、EG．（1）如图1，求证：四边形CDGE是平行四边形；（2）如图2，当DA平分∠CDG时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与AB相等的线段（AB除外）．9．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF（填“是”或“不是”）平行四边形．10．如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：BM＝DN；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，又∵ED平分∠AEC，∴∠ADE＝∠CED＝45°，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∴AE＝BC；（2）△ABF是等腰直角三角形，证明：∵CF⊥DE，∴∠CFE＝90°，又∵∠CEF＝45°，∴∠ECF＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，∴EF＝CF，在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（SAS），∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，即∠AFB＝∠EFC＝90°，∴△ABF是等腰直角三角形．2．（1）证明：∵AB∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．∵F是AC中点，∴AF＝CF．在△AFD与△CFE中，．∴△AFD≌△CFE（AAS），∴AD＝CE，∴四边形ADCE是平行四边形；（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．∵CD＝BD，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°，∴∠CDA＝60°．在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，∴．在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，∴GD＝1，∴．3．（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DFA．∴∠DAF＝∠DFA．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG＝．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．4．【教材呈现】证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM＝BC，同理，PN＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，【结论应用】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，∴PM∥BC，∴∠PMN＝∠F，同理，∠PNM＝∠AEN，∵∠PMN＝∠PNM，∴∠AEN＝∠F；（2）解：∵PN∥AD，∴∠PNB＝∠A，∵∠DPN是△PNB的一个外角，∴∠DPN＝∠PNB+∠ABD＝∠A+∠ABD，∵PM∥BC，∴∠MPD＝∠DBC，∴∠MPN＝∠DPN+∠MPD＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝×（180°﹣122°）＝29°，∴∠F＝∠PMN＝29°，故答案为：29°．5．（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝2，∴BD＝＝＝2．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠CDM，∵M、N分别是AD，BC的中点，∴BN＝DM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵M是AD的中点，∠AND＝90°，∴MN＝MD＝AD，∴∠1＝∠MND，∵AD∥BC，∴∠1＝∠CND，∵∠1＝∠2，∴∠MND＝∠CND＝∠2，∴PN＝PC，∵CE⊥MN，∴∠CEN＝90°，∴∠2＝∠PNE＝30°，∵PE＝1，∴PN＝2PE＝2，∴CE＝PC+PE＝3，∴CN＝＝，∵N是BC的中点，∴AD＝BC＝CN＝，∴AN＝AD×sin∠1＝4＝．8．解：（1）∵点F是线段AE的中点，∴AF＝EF，在△ABF和△EGF中，，∴△ABF≌△EGF（SAS），∴AB＝GE，∠ABF＝∠FGE，∴AB∥GE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴GE＝CD，GE∥DC，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．理由：∵DA平分∠CDG，∴∠CDE＝∠GDE，由（1）可得，GE∥CD，∴∠CDE＝∠GED，∴∠GDE＝∠GED，∴GE＝GD，又∵四边形CDGE是平行四边形，∴四边形CDGE是菱形，∴CD＝DG＝GE＝CE，又∵AB＝CD，∴图2中与AB相等的线段为：GE，GD，DC，CE．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．10．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴AM∥CN，∴四边形AMCN为平行四边形，∴CM＝AN，∴BC﹣CM＝AD﹣AN，即BM＝DN；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠EMB＝∠FND＝90°，在△BME和△DNF中，，∴△BME≌△DBF（ASA），∴EM＝DF，∵四边形AMCN为平行四边形，∴AM＝CN，AM∥CN，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．。
北师大版八年级下册数学第六章平行四边形含辅助线证明题—截长补短类 训练
北师大版数学八年级下册第六章平行四边形含辅助线证明题——截长补短类1.在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，F为AB边上一点，连接CF，交AE于点G，CF=CB=AE．（1）若AB=2√2，BC=√7，求CE的长；（2）求证：BE=CG-AG．2.在平行四边形ABCD中，以边AD为边在平行四边形内作等边△ADE，连接BE.（1）如图1，若点E在对角线BD上，且∠DAB=75°，AB=√6，求BE的长；（2）如图2，若点F是BE的中点，且CF⊥BE，过点E作MN∥CF，分别交AB，CD于点M，N，求证：DN=CN+EN.3.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AE=CE.BF⊥AC，垂足为F，分别与AE，AD交于点G，H.（1）若AG=GE=BE=1，求▱ABCD的面积；（2）若CH平分∠BCD，求证：BC=AG+CH.4.已知在▱ABCD中，AE⊥CD，且AB=AE，F为AE上一点，且BF平分∠ABC，（1）若∠ABC=60°，AB=√3，求EF的长；（2）求证：AF+DE=BC.5.在平行四边形ABCD中，E为对角线AC上任意一点，连接BE（1）如图①所示，若AB=BE，AC=BC，∠BAC=75°，AB=2√2，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图②所示，延长BE至F，使得EF=EB，连接CF，FD，求证：CE=AE+FD．6.在平行四边形ABCD中，连接BD，过点B作BE⊥BD于点B交DA的延长线于点E，过点B作BG⊥CD于点G．（1）如图1，若∠C=60°，∠BDC=75°，BD=6√2，求AE的长度；（2）如图2，点F为AB边上一点，连接EF，过点F作FH⊥FE于点F交GB的延长线于点H，在△ABE的异侧，以BE为斜边作Rt△BEQ，其中∠Q=90°，若∠QEB=∠BDC，EF=FH，求证：BF+BH=BQ．7.在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG=FB．（1）若CD=6，AF=3，求△ABF的面积；（2）求证：BE=AG+CE．8.如图，在▱ABCD中，点F是对角线BD上一点，且满足AB=AF，过点F作EG交AD于E，交BC于G，作AH⊥BC于点H，交BD于M．（1）若F为MD中点，AF=2，AM=√3，求BC的长度；（2）若∠ABH=∠AFE，求证：BH+FG=HG．9.如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点G是线段BC的中点，点E是线段AD上的一点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠ABE=∠CDG=∠FDG.（1）∠A=45°，∠ADF=75°，CD=3+√3，求线段BC的长；（2）求证：AB=BF+DF.10.如图，△ABC的高AD与中线BE相交于点F，过点C作BE的平行线，过点F作AB的平行线，两平行线相交于点G，连接BG，FG．（1）若AE＝2.5，CD＝3，BD＝2，求AB的长；（2）若∠CBE＝30°，求证：CG＝AD+EF．11.如图，在□ABCD中，E为BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE.（1）若∠D=100°，∠DAF=30°，求∠FAE的大小；（2）求证：AF=CD+CF.12.已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．（1）如图1，若EFDF =12，AF=√13，求DG的长；（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM-EM=2DG．13.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=AD，EG⊥AB于点G，延长GE、DC交于点F，连接AF.（1）若BE=2EC，AB=√13，求AD的长；（2）请猜想线段EG、BG、FC之间的等量关系并证明.14.如图，已知平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD，CE=3，AB=5．(1)求线段CF的长度；(2)求证：AB=DG+CE．15.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAC=60°，点E是BC边上一点，连接AE，AE=AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF.（1）如图1，若点F与对角线交点O重合，已知BE=4，OC：EC=5：3，求AC的长度；（2）如图2，若EC=FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AEG=60°，∠AGB+∠BCD=180°，求证：BG+EG=DC.16.如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC=AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．（1）若AE=2，CD=5，求△BCF的周长；（2）求证：BC=AG+EG．。
第六章 平行四边形复习题---解答题（含解析）
北师大版数学第六章平行四边形---解答题一．解答题1．（2018•济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE＝CF，连接EF交BD于点O．求证：OB＝OD．2．（2018•巴彦淖尔）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；（1）求证：△CFG≌△AEG；（2）若AB＝6，求四边形AGCD的对角线GD的长．3．（2018•青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD＝BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．4．（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．5．（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．求证：BE＝DF．6．（2018•曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．7．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．8．（2018•临安区）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．9．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．10．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE＝CF．11．（2018•新疆）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．12．（2018•黄冈）如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD ＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．13．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．14．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．15．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF 分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．16．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．17．（2018•衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．18．（2018春•罗山县期中）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：四边形OPMN是平行四边形．19．（2018春•三水区期末）已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．20．（2018春•沈阳期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形．21．（2018春•无为县期末）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．22．（2018春•黔东南州期末）如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．23．（2018春•吉安县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？24．（2018春•揭西县期末）如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形．25．（2018•河北二模）如图，已知∠A＝∠D，AB＝DC，AC、BD相交于O，（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB＝BC，∠A＝32°，求∠AOB的度数；（3）作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．26．（2018春•西华县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？27．（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．28．（2018•巴中）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN ⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．29．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．30．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．31．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．32．（2017•鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．33．（2018秋•张家港市期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD．（2）若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，求AC的长；34．（2018春•罗山县期中）如图，在等腰三角形ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE、CD和EF．（1）求证：DE＝CF．（2）求EF的长．（3）求四边形DEFC的面积．35．（2018春•海州区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD 于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．36．（2018春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．37．（2018春•锦州期末）如图、在△ABC中，AB＝AC，M，N分别为AC，BC的中点，以AC为斜边在△ABC的外侧作Rt△ACD，且∠CAD＝30°，连接MN，DM，DN．（1）求证：△DMN是等腰三角形；（2）若AC平分∠BAD，AB＝6，求DN的长．38．（2018春•龙岗区期末）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E 作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．39．（2018秋•昆明期末）如图，在五边形ABCDE中满足AB∥CD，求图形中的x的值．40．（2018秋•宜都市校级期中）一个n边形的内角和比四边形的外角和大540°，求n．41．（2018秋•襄州区期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB ＝105°，求∠C+∠D的度数．42．（2018秋•武昌区校级月考）一个正多边形每个内角比外角多90°，求这个正多边形所有对角线的条数．43．（2018秋•顺河区校级月考）一个凸多边形，除了一个内角外，其余各内角的和为2750°，求这个多边形的边数．44．（2018秋•老河口市期中）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD 的度数．45．（2018秋•安徽期中）在各个内角都相等的多边形中若外角度数等于每个内角度数的，求这个多边形的每个内角度数以及多边形的边数．46．（2018春•黄陂区期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE．（1）如图1，求证：AD∥BC（2）若∠DAE和∠DCE的角平分线相交于点F，连接AC．①如图2，若∠BAE＝70°，求∠F的度数②如图3，若∠BAC＝∠DAE，∠AGC＝2∠CAE，则∠CAE的度数为（直接写出结果）北师大版数学第六章平行四边形---解答题参考答案与试题解析一．解答题1．（2018•济南）如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE＝CF，连接EF交BD于点O．求证：OB＝OD．【分析】欲证明OB＝OD，只要证明△EOD≌△FOB即可；【解答】证明：∵▱ABCD中，∴AD＝BC，AD∥BC．∴∠ADB＝∠CBD．又∵AE＝CF，∴AE+AD＝CF+BC．∴ED＝FB．又∵∠EOD＝∠FOB，∴△EOD≌△FOB．∴OB＝OD．2．（2018•巴彦淖尔）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；（1）求证：△CFG≌△AEG；（2）若AB＝6，求四边形AGCD的对角线GD的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，AC＝BC，得到AB＝AC＝BC，求得∠B＝60°，于是得到∠BAF＝∠BCE＝30°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的判定定理得到▱ABCD是菱形，求得∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，求得∠ADG＝30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB＝AC，AC＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴∠B＝60°，∴∠BAF＝∠BCE＝30°，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE＝CF，在△CFG和△AEG中，，∴△CFG≌△AEG；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD，∵△CFG≌△AEG，∴AG＝CG，∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA＝GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG＝30°，∵AD＝AB＝6，∴DG＝＝4．3．（2018•青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD＝BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．【分析】（1）依据中点的定义可得到AE＝BE，然后依据平行线的性质可得到∠ADE＝∠F，接下来，依据AAS可证明△ADE≌△BFE，最后，依据全等三角形的性质求解即可；（2）过点D作DM⊥AB于M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高，先求得△AED的面积，然后依据S四边形EBCD＝S平行四边形ABCD﹣S△AED求解即可．【解答】解：（1）∵E是AB边上的中点，∴AE＝BE．∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠F．在△ADE和△BFE中，∠ADE＝∠F，∠DEA＝∠FEB，AE＝BE，∴△ADE≌△BFE．∴AD＝BF．（2）过点D作DM⊥AB与M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高．∴S△AED＝•AB•DM＝AB•DM＝×32＝8，∴S四边形EBCD＝32﹣8＝24．4．（2018•梧州）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAC＝∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．5．（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．求证：BE＝DF．【分析】只要证明△BEO≌△DFO即可；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AF＝CE，∴OE＝OF，在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF．6．（2018•曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM＝FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．【分析】（1）利用平行线的性质，根据SAS即可证明；（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF＝∠ECM，求出∠ECM即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN＝∠CEM，∵FN＝EM，AF＝CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）解：∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF＝∠ECM，∵∠CMF＝∠CEM+∠ECM，∴107°＝72°+∠ECM，∴∠ECM＝35°，∴∠NAF＝35°．7．（2018•福建）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF．8．（2018•临安区）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．【分析】（1）要证△ADF≌△CBE，因为AE＝CF，则两边同时加上EF，得到AF＝CE，又因为ABCD 是平行四边形，得出AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；（2）由全等可得到∠DF A＝∠BEC，所以得到DF∥EB．【解答】证明：（1）∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+FE，即AF＝CE．又ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC．∴∠DAF＝∠BCE．在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DF A＝∠BEC．∴DF∥EB．9．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF＝CE，即可得到DF＝BE＝CG．【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．10．（2018•淮安）已知：如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F．求证：AE＝CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAC＝∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．11．（2018•新疆）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE＝CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD＝EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）首先证明四边形EBFD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，在△DEO和△BOF中，∴△DOE≌△BOF．（2）解：结论：四边形EBFD是矩形．理由：∵OD＝OB，OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD＝EF，∴四边形EBFD是矩形．12．（2018•黄冈）如图，在▱ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD ＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE．（1）求证△ABF≌△EDA；（2）延长AB与CF相交于G．若AF⊥AE，求证BF⊥BC．【分析】（1）想办法证明：AB＝DE，FB＝AD，∠ABF＝∠ADE即可解决问题；（2）只要证明FB⊥AD即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC，∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE，∵∠ADE+∠ADC+∠EDC＝360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△EDA．（2）证明：延长FB交AD于H．∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB，∵∠EAD+∠F AH＝90°，∴∠F AH+∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即FB⊥AD，∵AD∥BC，∴FB⊥BC．13．（2018•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF＝CE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴∠ABF＝∠CDE14．（2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFC＝∠DCG，∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD，∴AB＝AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠F AG＝60°，∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG，∵AG＝GD，∴AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形．15．（2018•宿迁）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF 分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG＝CH．【分析】利用平行四边形的性质得出AF＝EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠E＝∠F，∵BE＝DF，∴AF＝EC，在△AGF和△CHE中，∴△AGF≌△CHE（ASA），∴AG＝CH．16．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．【分析】（1）依据BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，可得等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC ＝12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF ＝EF，AP＝AG＝CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB＝EH，AB＝BE，即可得到BE＝EH．【解答】解：（1）如图，∵BF⊥AC，∠ACB＝45°，BC＝12，∴等腰Rt△BCF中，BF＝sin45°×BC＝12，又∵AB＝13，∴Rt△ABF中，AF＝＝5；（2）如图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，∵BE＝BA，BF⊥AC，∴AF＝FE，∴BG是AE的垂直平分线，∴AG＝EG，AP＝EP，∵∠GAE＝∠ACB＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°，△APE是等腰直角三角形，即∠APE＝90°，∴∠APE＝∠P AG＝∠AGE＝90°，∴四边形APEG是正方形，∴PF＝EF，AP＝AG＝CH，又∵BF＝CF，∴BP＝CE，∵∠APG＝45°＝∠BCF，∴∠APB＝∠HCE＝135°，∴△APB≌△HCE（SAS），∴AB＝EH，又∵AB＝BE，∴BE＝EH．17．（2018•衢州）如图，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE＝CF．【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE＝CF．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°．在△ABE与△CDF中，，∴得△ABE≌△CDF（AAS），18．（2018春•罗山县期中）如图，∠MON＝∠PMO，OP＝x﹣3，OM＝4，ON＝3，MN＝5，MP＝11﹣x．求证：四边形OPMN是平行四边形．【分析】由题意可证∠MON＝90°＝∠PMO，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得PM＝ON，OP＝MN，即结论可证．【解答】证明：在△MON中，OM＝4，ON＝3，MN＝5，因此，OM2+ON2＝42+32＝25，MN2＝52＝25∴OM2+ON2＝MN2∴△MON是直角三角形．∴∠MON＝∠PMO＝90°因此，在Rt△POM中，OP＝x﹣3，OM＝4，MP＝11﹣x，由勾股定理可得，OM2+MP2＝OP2即：42+（11﹣x）2＝（x﹣3）2解得：x＝8∴OP＝x﹣3＝8﹣3＝5，MP＝11﹣x＝11﹣8＝3∴OP＝MN MP＝ON∴四边形OPMN是平行四边形．19．（2018春•三水区期末）已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】只要证明AB∥CD即可解决问题．【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF，∴ABE＝∠CDF，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．20．（2018春•沈阳期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，已知DE∥BC，∠ADE＝∠EFC．求证：四边形BDEF是平行四边形．【分析】想办法证明EF∥AB即可解决问题；【解答】证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠ADE＝∠EFC，∴∠EFC＝∠B，∴EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形．21．（2018春•无为县期末）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是平行四边形．【分析】连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，首先得出四边形ABDE是平行四边形，进而得出OF ＝OC得出四边形BCEF是平行四边形．【解答】证明：连接AE、DB、BE，BE交AD于点O，∵AB DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴OB＝OE，OA＝OD，∵AF＝DC，∴OF＝OC，∴四边形BCEF是平行四边形．22．（2018春•黔东南州期末）如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】首先利用平行线的性质与判定方法得出∠DAE＝∠BCF，进而利用AAS得出△ADE≌△CBF，即可得出AD BC，即可得出答案．【解答】证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中∵，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．23．（2018春•吉安县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝t；DP＝12﹣t；BQ＝15﹣2t．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？【分析】（1）直接利用P，Q点的运动速度和运动方法进而表示出各部分的长；（2）利用平行四边形的判定方法得出t的值．【解答】解：（1）由题意可得：AP＝t，DP＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，故答案为：t，12﹣t，15﹣2t；（2）∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，∴t＝15﹣2t，解得：t＝5．24．（2018春•揭西县期末）如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】首先利用三角形中位线定理的性质得出ED∥BH，FD∥BG，进而得出四边形BHDG是平行四边形，即可得出AO＝CO，进而得出答案．【解答】证明：∵G、H是AC的三等分点且GE∥BH，HF∥EG，∴AG＝GH＝HC，EG、FH分别是△ABH和△CBG的中位线，∴ED∥BH，FD∥BG，∴四边形BHDG是平行四边形，∴OB＝OD，OG＝OH，OA＝OG+AG＝OH+CH＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．25．（2018•河北二模）如图，已知∠A＝∠D，AB＝DC，AC、BD相交于O，（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB＝BC，∠A＝32°，求∠AOB的度数；（3）作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．【分析】（1）根据AAS即可证明；（2）利用全等三角形的性质求解即可；（3）证明两组对边分别相等即可解决问题；【解答】解：（1）证明：∵∠A＝∠D，AB＝DC，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB≌△DOC（AAS）（2）∵AB＝BC，∠A＝32°，∴∠ACB＝∠A＝32°，∵△AOB≌△DOC（AAS），∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝32°，∴∠AOB＝∠OCB+∠OBC＝64°．（3）∵△AOB≌△DOC，∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠A＝∠D，AB＝DC∴△ABC≌△DCB，∴AC＝BD，∵△BDC、△BEC关于直线BC对称，∴DC＝CE＝AB，BD＝BE，∴AC＝BE，∴四边形ABEC是平行四边形．26．（2018春•西华县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？【分析】分别利用①当BQ＝AP时以及②当CQ＝PD时，得出答案．【解答】解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，PD＝9﹣t．①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形．即6﹣2t＝t，解得t＝2．②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t，解得：t＝3．所以经过2或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．27．（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．【分析】（1）由E是AC的中点知AE＝CE，由AB∥CD知∠AFE＝∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF＝CD，结合AB∥CD即可得证；（2）证△GBF∽△GCD得＝，据此求得CD＝，由AF＝CD及AB＝AF+BF可得答案．【解答】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴＝，即＝，解得：CD＝，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD＝，∴AB＝AF+BF＝+＝6．28．（2018•巴中）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN ⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．29．（2018•孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD．求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】由AB∥DE、AC∥DF利用平行线的性质可得出∠B＝∠DEF、∠ACB＝∠F，由BE＝CF可得出BC＝EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出AB＝DE，再结合AB∥DE，即可证出四边形ABED是平行四边形．【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F．∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．30．（2018•永州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB＝6，求平行四边形BCFD的面积．【分析】（1）在Rt△ABC中，E为AB的中点，则CE＝AB，BE＝AB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°．又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60度．所以FC∥BD，又因为∠BAD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD是平行四边形．（2）在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题；【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°．在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°．∵E为AB的中点，∴AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AB，BE＝AB．∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°．又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，∴S平行四边形BCFD＝3×＝9．31．（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，判断出AB∥CD，且AB＝CD，然后根据AE＝CF，判断出BE＝DF，即可推得四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，又∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴BE∥DF且BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．32．（2017•鞍山）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD和∠BCD的平分线AE，CF分别交DC，BA的延长线于点E，F，交边BC，AD于点H，G．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB＝5，BC＝8，求AF+AG的值．【分析】（1）由平行四边形的性质，结合角平分线的定义可证得AE∥CF，结合AF∥CE，可证得结论；（2）由条件可证得△DCG∽△AFG，利用相似三角形的性质可求得DG与AG的关系，结合条件可求得AG的长，从而可求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∵AE、CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴∠BCG＝∠CGD＝∠HAD，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：由（1）可知∠BCF＝∠DCF＝∠F，∴BF＝BC＝AD＝8，∵AB＝CD＝5，∴AF＝BF﹣AB＝3，∵BF∥DE，∴∠DCG＝∠F，∠D＝∠F AG，∴△DCG∽△AFG，∴＝＝，∴DG＝AG，∴AD＝AG+DG＝AG＝8，∴AG＝3，∴AF+AG＝3+3＝6．33．（2018秋•张家港市期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：EF垂直平分AD．（2）若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，求AC的长；【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DE＝AE，DF＝AF，根据线段垂直平分线的判定定理证明；（2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝AB＝，DF＝AF＝AC，根据四边形的周长公式计算．【解答】（1）证明：∵AD是高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AB＝AE，DF＝AC＝AF，∴EF垂直平分AD；（2）解：由（1）得，DE＝AE＝AB＝，DF＝AF＝AC，∵四边形AEDF的周长为24，∴AE+ED+DF+F A＝24，∴DF+F A＝24﹣15＝9，∴AC＝9．34．（2018春•罗山县期中）如图，在等腰三角形ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DE、CD和EF．（1）求证：DE＝CF．（2）求EF的长．（3）求四边形DEFC的面积．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理分析得出答案；（2）首先利用勾股定理得出CD的长，再利用已知得出DE CF，进而得出答案；（3）过点D作HD⊥BC，垂足为点H，求出DH的长，再得出CF的长，进而得出答案．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝BC．又∵CF＝BC∴DE＝CF；（2）解：EF＝4．理由如下：∵在等腰三角形ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，点D是AB的中点，∴CD⊥AB，BD＝AB＝3，∴在Rt△BCD中，BD＝3，CB＝5，由勾股定理可得，CD＝＝＝4，由（1）可知，DE是△ABC的中位线．∴DE∥CF，又∵DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CD＝EF＝4；（3）解：四边形DEFC的面积为6，理由如下：过点D作HD⊥BC，垂足为点H．∵S△BCD＝BD•CD＝BC•DH∴×3×4＝×5×DH∴DH＝，∵DE＝BC＝，∴DE＝CF＝，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝×＝6．35．（2018春•海州区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD 于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．【分析】根据等腰三角形的判定和性质定理得到AB＝AF＝6，BD＝DF，求出CF，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AB＝AF＝6，BD＝DF，∴CF＝AC﹣AF＝4，∵BD＝DF，E为BC的中点，∴DE＝CF＝2．36．（2018春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF＝，FH∥EC，FH＝，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF＝FH∥EC，FH＝∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°37．（2018春•锦州期末）如图、在△ABC中，AB＝AC，M，N分别为AC，BC的中点，以AC为斜边在△ABC的外侧作Rt△ACD，且∠CAD＝30°，连接MN，DM，DN．（1）求证：△DMN是等腰三角形；（2）若AC平分∠BAD，AB＝6，求DN的长．【分析】（1）依据三角形的中位线定理可得到MN＝AB，由直角三角形斜边上中线的性质可得到DM＝AM＝AC，然后结合已知条件可得到DM＝MN；（2）由AM＝DM可得到∠CAD＝∠ADM＝30°，从而可得到∠DMC＝60°，然后再证明∠CMN＝30°，从而可得到∠DMN＝90°，最后，依据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，∴MN∥AB，MN＝AB，AM＝MC＝AC．∵∠ADC＝90°，DM为斜边上的中线，∴MD＝AC．∵AC＝AB，∴MN＝DM．∴△DMN是等腰三角形．（2）∵∠CAD＝30°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD＝30°．∵MN∥AB，∴∠NMC＝∠BAC＝30°．由（1）DM＝AM，∴∠DMC＝60°．∴∠DMN＝∠DMC+∠NMC＝30°+60°＝90°．在Rt△ABC中，DN2＝DM2+MN2，DM＝MN＝AB＝3，∴DN＝3．38．（2018春•龙岗区期末）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E 作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，再利用平行四边形的判定方法得出答案；（2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出DC＝EF，进而求出答案．【解答】解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∵EF∥CD∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE＝CF．（2）∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴DC＝EF＝．39．（2018秋•昆明期末）如图，在五边形ABCDE中满足AB∥CD，求图形中的x的值．【分析】根据平行线的性质先求∠B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值．【解答】解：∵AB∥CD，∠C＝60°，。