第6章 命题逻辑2015-10-22

第6章 命题逻辑
Proposition Logic
第一节 命题与联结词
第二节 真值表与逻辑等价
第三节 范式
第四节 永真蕴涵式
第五节 推理理论
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• 逻辑学：研究推理的一门学科。 • 数理逻辑：用数学方法研究推理的一 门数学学科。
数理逻辑的内容： 古典数理逻辑：命题逻辑、谓词逻辑 现代数理逻辑：公理化集合论、递 归论、模型论、证明论
复合命题：由一个或几个原子命题通过联结 词“运算”构成的新命题。 一元运算（单目运算）：一个原子命题的运算。 二元运算（双目）：二个原子命题的运算。
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常用逻辑联结词：
１.否定：Ｐ为一个命题，Ｐ的否定作为一 个新命题，记为Ｐ，读作“非Ｐ”。 当Ｐ为“Ｔ”时，Ｐ为“Ｆ”； 当Ｐ为“Ｆ”时，Ｐ为“Ｔ”。 ２. 合取 ：Ｐ，Ｑ是两个命题，“Ｐ与Ｑ”构成 一个复合命题，记作Ｐ∧Ｑ，读作“Ｐ与Ｑ”。 当且仅当Ｐ，Ｑ均为“Ｔ”时，Ｐ∧Ｑ为 “Ｔ”。Ｐ与Ｑ的合取也称为Ｐ与Ｑ的积。
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常用的逻辑等价式:
名称
双重否律 (对合律) 幂等律 结合律 交换律 分配律 同一律
P P P∨P P
形 式 一
形 式 二
(P∨Q)∨R P∨(Q∨R) P∨Q Q∨P P∨F P P∨(Q∧R) （P∨Q)∧(P∨R)
P∧P P
(P∧Q)∧R P∧(Q∧R) P∧Q Q∧P P∧T P P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R)
文字（literal）/符号（symbol）：原子命题或其否定 小项（small item）/合取式（ conjunctive form ）: 若干个文字的合取。 大项（large item）/析取式（ disjunctive form ）: 若干个文字的析取。
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合取范式（conjunctive normal form): 若干个大项的合取。 析取范式（disjunctive normal form): 若干个小项的析取。 标准句(standard sentence)：合取范式或析取范式。 子句（clause）:合取范式中的大项或析取范式中的小 项。
（2）析取（∨）：P∨Q为P、Q的析取。规则：同假为假。 （3）合取（∧）：P∧Q为P、Q的合取。规则：同真为真。 （4）排斥析取( ) :P Q 为P、Q的排斥析取。 规则:不同为真。
（5规则：仅当P为真而Q为假时才为假。（充分条件） （6）双条件（↔）： P ↔ Q为P、Q的双条件。 规则：仅当P，Q中一个为真而另一个为假时才为假。(充要条件)
析取范式不唯一。 合取范式=？
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例３： 判别公式（Ｐ∨Ｒ）∨（Ｑ∧Ｒ）∨Ｐ的真假。 解: （Ｐ∨Ｒ）∨（Ｑ∧Ｒ）∨Ｐ （Ｐ∧Ｒ）∨（Ｑ∨Ｒ）∨Ｐ （Ｐ∧Ｒ）∨Ｑ∨Ｒ∨Ｐ（析取范式） （Ｐ∨(Ｑ∨Ｒ∨Ｐ））∧（Ｒ∨(Ｑ∨Ｒ∨Ｐ）） （合取范式） Ｔ∧Ｔ Ｔ（永真式）
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例３： 证明
((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ))))∨(Ｐ∧Ｑ)∨（Ｐ∧Ｒ)
是永真式 证：原式 ((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∧Ｒ)))∨（Ｐ∨Ｑ）∨（Ｐ∨Ｒ）
(De Ｍorgan律)
((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))
(Ｄe Ｍorgan律)
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归谬律 蕴涵式 等价式
Q)∧(P Q) P P Q P∨ Q P Q (P Q)∧(Q P) P Q (P∨Q)∧(Q∨P) P Q (P∧Q)∨(Q∧P)
(P
Q) P∧Q (P Q) (P∧Q)∨(Q∧P) (P Q) (P∨Q)∧(Q∧P) (P Q) P Q
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作业p253 1.(2)、(3) 2. 3.（3）、（4） 4.（2）、（3）
6.3 范式
本节要求掌握的知识点： 1、范式的概念和意义； 2、一个简单命题公式的主析取和主合取范式的求法； 重点及难点： 1、主析取和主合取范式的求法。
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所谓命题的范式，即命题的规范化表示形式。 范式：（主）析取范式，（主）合取范式。 范式的作用：统一命题公式的表示形式，便于计算机 处理。
((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Q)∧(Ｐ∨Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)) （分配律) ((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)) (结合律，幂等律） 该式是永真式Ｐ∨Ｐ的代换，故是永真式。
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例４：将下面 Ｃ程序段化简
if (A) { if (B) x; else y; } else { if (B) x; else y; }
命题的符号表示： 大/小写英文字母：P、Q、R、或 p 、q 、r
命题真值（Truth Values）的表示：
真：T 或 1； 假：F 或 0
4
例： （１）离散数学是计算机系的必修课。 （２）三角形之内角之和等于１８０°。 （３）１＋１０１＝１１０。 （４）凡是国旗都是红色的。 （５）我正在说谎。 （６）本命题是假的。 这６句都是陈述句， （１）－（４）是命题， （１）和（２）是真的，（3 ）和（４）是假的，（５）， （６）是自相矛盾的特殊陈述句，是悖论，不作为命题。 [定义]： 表示命题的符号称为命题标识符。 表示确定命题的标识符称为命题常量。 表示任意命题的标识符称为命题变元。
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限定性命题公式： 最多仅含有否定、析取、合取逻 辑联结词的命题公式。 命题公式P的对偶公式（Dual）：将P中的析取联结 词换成合取联结词，合取联结词换成析取联结词，T换 成F，F换成T（如果存在的话）。记为P* 对偶原理（Duality Principle)：设P、Q是限定性 命题公式。如果 PQ,则 P*Q* 例：A：（P ∧ Q） ∨ Q B： P ∨ Q 易知：AB, 则A*B*
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原子命题：已不能分解为更简单的陈述句的命题。 原子变元：命题变元表示的是原子命题。 变元指派：一个命题变元用特定命题取代时
可确定真假，称为对此变元进行指派。
注：
指派通常不需具体的命题，用“真”、 “假” 值来指派，如“真”—“Ｔ”，“假”— “Ｆ”。
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2. 逻辑联结词
将自然语言中的“与”、“或”、“如果…则”等联 结词严格定义，并且符号化，形成逻辑联结词。
零律 排中律 吸收律 德·摩根律 逆反律 输出律
P∨T T P∨P T P∨(P∧Q) P (P∨Q) P∧Q P Q Q P （P∧Q） R P (Q R)
P∧F F P∧P F（矛盾律） P∧(P∨Q) P (P∧Q) P∨Q 见例 2
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命题公式的运算规则：
逻辑联接词的优先级： ¬ 、 ∧、 ∨、 → 、↔
命题公式的表达式的运算规律：同代数表达式
命题公式的运算方法： 所有公式中的命题变量用 指定命题（真值）代入（或指派），得到一个公式 对应的真值。
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6.2 真值表与逻辑等价
本节要求掌握的知识点： 1、真值表，会列一个命题公式的真值表； 2、逻辑等价概念和一些常用的逻辑等价式； 3、代换规则； 4、对偶原理； 重点及难点： 1、真值表 2、常用的逻辑等价式
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6.1 命题与联结词
本节要求掌握的知识点： 1、命题的概念； 2、联结词（否定、合取、析取、排斥析取、单条件、 双条件）的运算规则.
重点及难点： 联结词（否定、合取、析取、排斥析取、单条件、双 条件）的运算规则.
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1、命题 定义：一个有确定真或假意义的语句。
命题的语句形式： 陈述句
非命题语句：疑问句，命令句（祈示句）， 感态句，非命题陈述句：悖论语句。
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P、Q、R…称为原子命题。
原子命题加上逻辑联结词组成的表达式成为复合命 题。 从命题常量到命题变量。
对命题进行运算及推理，须公式化。
命题公式：（Proposition Formulas） 1、原子命题是命题公式； 2、设P是命题公式，则¬ P也是命题公式； 3、设P、Q是命题公式，则（P∧Q）、（P∨Q）、 （P→Q）、（P↔Q）也是命题公式； 4、有限次地使用1、2、3所得到的也是命题公式。 命题公式也称合式公式，简称公式。
0 0
1 1 1 1
1 0
0 0 0 0
1 0
1 1 1 1
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如果一个命题公式有n个互异的命题变量， 则命题公式对应的命题变量真值有2n种可能 分布。
逻辑等价： 已知两个命题公式A和B，如果在其变元的每一 种可能的指派下取真假值对应相同，称之为逻 辑等价的。 记为：A B 例：通过构造真值表，易知下面命题公式是逻 辑等价的。
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[定义] 真值表：将一个命题公式在其变元的每一种可能 的指派下的取值情况列成一个表格，即叫该命题公式的 真值表。 如：命题公式 （P→Q）∨（P∧R）的真值表如下： P
1 1
Q
1 1
R P→Q
1 0 1 1
P∧R
1 0
（P→Q）∨（P∧R）
1 1
1 1
0 0 0 0
0 0
1 1 0 0
1 0
1 0 1 0
分析： 执行ｘ的条件： (Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ） ((Ａ∧Ｂ)∨Ａ)∧((Ａ∧Ｂ)∨Ｂ) （Ａ∨Ａ）∧（Ｂ∧ Ａ）∧Ｂ Ｔ∧Ｂ Ｂ 执行 y 的条件：同理 Ｂ 故程序化为：if (B) x; else y; 与Ａ无关。
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判断命题公式逻辑等价的方法： 1、真值表 2、命题公式的演算 基本等值定理； 公式的代入不变性； 等值关系的传递性。 命题公式逻辑等价关系的应用： 1、判定是否逻辑等价； 2、判断是否为永真公式或永假公式； 3、命题公式的化简
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３.析取：
复合命题Ｐ∨Ｑ，读作“Ｐ或Ｑ”。 Ｐ与Ｑ的析取也称为Ｐ与Ｑ的和。
P Q 读作“Ｐ异或Ｑ” 4. 排斥析取（异或）： 当且仅当P，Q取不同真假值时， P Q 为真
５.条件： 两个命题Ｐ和Ｑ，“如果Ｐ，那么Ｑ”是一个 复合命题, 记作Ｐ→Ｑ，读作“若Ｐ，则Ｑ”。 注： （ 1 ）Ｐ→Ｑ为假“Ｆ”：若Ｐ为“Ｔ”，Ｑ为 “Ｆ” 9 （2）Ｐ→Ｑ为真“Ｔ”：其它情况