逻辑学：命题逻辑
命题逻辑原理
命题逻辑原理
命题逻辑是一种数学模型，用于对逻辑表达式的真假进行推理。
其基本原理包括使用逻辑运算符（如AND、OR和非NOT）来构建代表“命题”的公式，并允许某些公式构成“定理”，有一套形式“证明规则”。
在命题逻辑中，原子命题是最基本的单位，它们不能进一步被分解为更简单的命题。
原子命题通过逻辑运算符可以组合成更复杂的命题。
基本的逻辑运算符包括“与”AND、“或”OR和非NOT。
在命题逻辑中，一个重要的概念是“有效性”。
一个逻辑公式被称为有效的，当且仅当它对于所有的解释都为真。
在逻辑学中，有效性是通过演绎推理来确定的。
此外，命题逻辑的适用范围也相当广泛。
它被用于计算机科学中的许多领域，如电路设计、编程语言和系统设计（如Prolog语言）。
在更近的时代里，
命题逻辑也用于人工智能和机器学习等领域。
以上内容仅供参考，如需更全面准确的信息，可查阅命题逻辑相关的教材或论文。
逻辑学 命题逻辑
第五章命题逻辑上一章我们学习了词项逻辑，词项逻辑是以词项的研究为基础的，讨论的是简单命题和简单命题的推理。
在这一章中，我们来学习在简单命题的基础上构成的复合命题以及复合命题推理。
由于对复合命题和复合命题推理的研究是以命题为基本单位的，不再分析简单命题的内部结构，因此被称为命题逻辑。
命题逻辑也叫联结词的逻辑，因为它是以命题联结词的研究为基础的。
第一节复合命题复合命题是由一定的联结词（常称为命题联结词或逻辑联结词）将一个、两个或两个以上命题联结起来构成的命题。
与简单命题不同，复合命题中包含着其他命题。
作为复合命题组成部分的命题称为支命题。
复合命题按照其不同的逻辑含义，可分为负命题、联言命题、选言命题和假言命题。
一、负命题（一）什么是负命题负命题是否定某种事物情况的命题。
负命题由表示否定的联结词联结一个支命题构成。
负命题只有一个支命题，这显然与其他复合命题不同。
在日常语言中，表达负命题的联结词的语词有“并非”、“并不是”等，我们在表示负命题的形式时，以“并非”作为代表，即将负命题的形式表示为：并非p这里的p是表示任一命题（常表示任一简单命题）的符号，称为命题变项。
负命题的联结词也可以用符号“⌝”表示。
这样，上述形式就可表示为：⌝p这里的“⌝”称为否定词，⌝p称为否定式，可读作“非p”。
负命题是否定某种事物情况，而不是否定事物具有某种性质，因而它不同于直言命题中的否定命题。
直言命题中的否定命题的否定联项处于命题当中，而负命题的否定词则处于命题的最前端。
不过，直言命题中的单称否定命题形式“s不是P”逻辑等值于“并非s是P”，而后者可表示为“并非p”的形式，因此，直言命题中的单称否定命题常被作为负命题处理。
特别是在单称肯定命题与相应的单称否定命题同时出现，而又将单称肯定命题用某个命题变项符号（如p）代替时，为反映出它们之间的逻辑联系，更需要将相应的单称否定命题直接表示为负命题的形式（如⌝p）。
这种处理方法在复合命题推理中是常用的。
离散数学-----命题逻辑
离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。
公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。
作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。
它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。
其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。
）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。
命题的真值：命题的判断结果。
命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。
真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。
假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。
说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。
一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。
2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。
三段论和命题逻辑
三段论和命题逻辑
三段论和命题逻辑是形式逻辑中的两个重要概念，它们在逻辑推理中扮演着不同的角色。
三段论（Syllogism）：
1、三段论是亚里士多德逻辑体系中的核心内容，它是一种古典的演绎推理形式。
一个完整的三段论包含三个直言命题：大前提、小前提和结论。
2、大前提是一个一般性的陈述或原则，例如：“所有哺乳动物都是温血动物”。
3、小前提是一个具体的事实或情况，例如：“猫是哺乳动物”。
结论是从这两个前提通过逻辑推导得出的必然结果，例如：“所以，猫是温血动物”。
命题逻辑（Propositional Logic）：
1、命题逻辑则更加基础和抽象，它研究的是命题之间的逻辑关系以及如何通过逻辑联接词（如“与”、“或”、“非”等）将简单命题组合成复合命题。
2、在命题逻辑中，不关注命题内部的具体词项关系，而是关注命题之间的真值关系，即当原始命题为真或假时，整个复合命题会如何变化。
3、命题逻辑可以用来分析任何类型的陈述，而不局限于像三段论那样特定的结构，它可以构建更复杂的逻辑表达式，并通过真值表、等价性、蕴含关系等工具进行分析和证明。
尽管两者都属于逻辑学范畴，但三段论主要处理的是具有明确类比关系的简单命题间的推理，而命题逻辑则更多地关注命题本身的真假性质以及不同命题之间可能存在的各种逻辑联系。
在现代逻辑中，命题逻辑是形式系统的一个基本组成部分，而三段论则是其中一种具体的应用形式。
数学逻辑中的命题逻辑和谓词逻辑的基本概念
数学逻辑是数学中的一门重要学科，它研究的是关于命题和谓词的逻辑关系。
命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念，它们在逻辑推理和论证中起着重要的作用。
首先，让我们来了解一下命题逻辑。
命题逻辑是逻辑学中研究命题和命题之间逻辑关系的一门学科。
命题是陈述句，可以是真或假的陈述句。
命题逻辑关注的是命题之间的“与”、“或”、“非”等逻辑关系。
在命题逻辑中，我们可以使用逻辑运算符来表示不同的逻辑关系。
例如，“与”运算符用符号“∧”表示，表示命题p和命题q都为真时整个命题为真。
同样地，“或”运算符用符号“∨”表示，表示命题p和命题q中至少有一个为真时整个命题为真。
此外，在命题逻辑中，还有一些常用的推理规则，如简化规则、析取规则、假言推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的命题推导出新的命题，并进行正确的推理和论证。
接下来，我们来了解一下谓词逻辑。
谓词逻辑是逻辑学中研究谓词和谓词之间逻辑关系的一门学科。
谓词是带有变量的物质，它表示一个属性或特征。
谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系以及变量的取值范围。
在谓词逻辑中，我们可以使用量词来表示变量的范围。
例如，“∀”表示全称量词，表示一个命题对于所有的变量都成立。
“∃”表示存在量词，表示存在一个变量使得命题成立。
与命题逻辑类似，谓词逻辑也有一些常用的推理规则，如全称推理规则、存在推理规则等。
这些推理规则可以帮助我们根据已知的谓词条件推导出新的谓词条件，并进行正确的推理和论证。
同时，命题逻辑和谓词逻辑在数学中具有广泛的应用。
它们可以帮助我们进行逻辑推理，判断论证的有效性。
在数学证明中，命题逻辑和谓词逻辑也是必不可少的工具。
利用命题逻辑和谓词逻辑，我们可以对命题进行分析和论证，从而得出正确的结论。
总而言之，命题逻辑和谓词逻辑是数学逻辑中的两个基本概念。
命题逻辑关注的是命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑关注的是谓词之间的逻辑关系和变量的取值范围。
这两个概念在逻辑推理和论证中起着重要的作用，并在数学中具有广泛的应用。
逻辑学第3章简单命题推理
关于太阳系的“行星”，这个语词的定义， 我们可以通过列举每一个属于行星的对象来 说明。但是，列举全部外延对象的方式只适 于少数语词。（列举定义）
2020/7/28
令人注意的是，在证券交易活动中，按照《证券、期货业 金融机构反洗钱规定（征求意见稿）》规定：客户资金账 户原因不明地频繁出现低于但接近大额现金交易报告限额 的现金收付，明显逃避大额现金交易监测；客户短期内将 资金分散存入、集中转出或集中存入、分散转出资金账户； 没有交易或交易量较小的客户，要求将大量资金划转到他 人账户，且没有明显的交易目的或用途；客户的证券账户 长期闲置不用，而资金账户却频繁发生大额资金收付；长 期闲置的账户原因不明地突然启用，并在短期内发生大量 证券交易；与洗钱高风险国家和地区有业务联系；客户连 续大量以高价只买进不（或少量）卖出证券，或以低价只 卖出不（或少量）买进证券；开户后短期内大量买卖证券， 然后迅速销户；在不同客户的资金账户之间频繁进行资金 划转；将资金从单位客户的资金账户转入个人客户的资金 账户等十种情况属于证券类可疑交易。
在直言命题中，如果断定了一个词项的全部 外延，则称它是周延的，否则就是不周延的。词项 是否周延取决于该命题本身的形式。
“ 所有（一切、凡是、任何等）”后面的词项 周延；
“ 有（有些、少数等）”后面的词项不周延；
“是”后面的词项 不周延；
“ 不是”后面的词项周延。
2020/7/28
SP
SAP 1 SEP 0 SIP 1 SOP 0
B与C是A中具有矛盾关系的种概念，如B是正概念那么C（ ）
A、一定是负概念
B、 一定不是负概念
命题的逻辑特征
命题的逻辑特征
命题是逻辑学中的一个概念，它是陈述语句或表达式，可以被判断为真或假。
命题具有以下逻辑特征：
1.真值：命题可以是真（True）或假（False），没有其他取值。
例如，命题"P是一个素数"可以是真或假，而命题"这是一本书"也可以是真或假。
2.独立性：命题的真值不依赖于其他命题或上下文。
即使命题的内容可能与其他命题相关，但它的真值仍然是独立确定的。
3.可否定性：命题可以被否定，即命题的真值可以被取反。
例如，如果命题"P是一个素数"为真，则其否定命题"P不是一个素数"为假。
4.组合性：命题可以通过逻辑连接词（如与、或、非）进行组合，形成更复杂的命题。
这种组合可以用来表示逻辑关系，如合取（与）、析取（或）、条件（如果...则...）等。
5.确定性：命题的真值是确定的，不会随时间或情境的变化而改变。
例如，命题"2加2等于4"的真值在任何情况下都是真。
这些是命题的一些基本逻辑特征，它们为逻辑推理和论证提供了基础。
在逻辑学中，命题是研究推理和推断的基本单位，通过对命题的组合和分析，我们可以进行逻辑推理和推断，并得出结论。
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离散数学第3章 命题逻辑
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一般来说, 只要不是非常明显的不可兼就使用.
例 p: 今天晚上我在寝室上自习, q :今天晚上我去电影 院看电影. 今天晚上我在寝室上自习或去电影院看电影。 p q.
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5. 蕴涵(条件)联结词 : p q p: 我有时间, q : 我去看望我的父母. p q : 如果我有时间, 那么我去看望我的父母 . “”相当于“如果…那么…”, “若…则…”,等. p q 可读作“(若)p则q”. p称为前件, q称为后件.
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 pq 1 1 1 0
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4. 异或联结词 : p q “不可兼或”, 它表示两者不能同时为真
例 p: 明天去深圳的飞机是上午八点起飞, q :明天去深圳 的飞机是上午八点半起飞. p q: 明天去深圳的飞机是上午八点或上午八点半起飞 . p 1 1 0 q 1 0 1 pq 0 1 1 p q pq 1 1 1
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例
判断下列语句是否是命题. 2 + 3 = 5. √ 大熊猫产在我国东北. √ x > 3. 立正！ 这朵花真漂亮！ 你喜欢网络游戏吗? 1+1=10. √ 火星上有生物. √ 我说的都是假话. 小王和小李是同学. √ 你只有刻苦学习,才能取得好成绩. √
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2. 命题的真值 命题的真值就是命题的逻辑取值. 经典逻辑值只有两个: 1和0 在数理逻辑中, 更多时候逻辑真是用 T(True) 或 t, 逻辑假用 F(False) 或 f 表示的.
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第二章 命题逻辑
第二节 复合命题及其推理
负命题
负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命 题。例如： (1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
20语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：
首先，有的语句不能直接表达命题，如： •（1）西南大学在重庆吗? •（2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。
真值表的作用
•p •T •F •¬p F T
根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。
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负命题
根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与 p相同，真值表如下：
•p •T •F •¬p •F •T •¬¬p •T •F
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命题的分类
简单命题
非模态命题 命 题
模态命题 复合命题
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命题分析的层次
将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待
•
•
——研究关于联结词的推理(命题逻辑)
——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑)
深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、量项和联项 深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、量词及联 结词
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联言命题的推导规则
合取引入规则（∧+）：从A和B可推出A∧B。图示如下：
•A •B •—— • A∧B
合取消去规则（∧-）：从A∧B可推出A，从A∧B可推出B。图示如下： A∧B A∧B —— —— A B 小张喜爱音乐，小张喜爱体育，所以，小张不但喜爱音乐，也喜爱体育。 •根据∧+作出一个形式正确的推理，推理形式为：p,q├ p∧q 。 小张既有优点，也有缺点，所以，小张是有优点的。 根据∧_作出一个形式正确的推理，推理形式为：p∧q├ p。
•p •T •T •F •F •q •T •F •T •F •p∧q T F F F
从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时为真 时，p∧q才为真；只要p、q其中一个为假，则p∧q为假。 由∧的真值表,可得出∧运算的规律: （1）∧的交换律：p∧qq∧p （2）∧的结合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r （3）∧的重言（幂等）律：p∧pp
•
——研究关于量词的推理(现代谓词逻辑)
——研究关于模态词的推理(模态逻辑)
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把命题中包含的模态词分析出来
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逻辑语形学与逻辑语义学
逻辑语形(语法)学:研究符号与符号关系的逻辑理论。 逻辑语义学:研究符号及其解释的逻辑理论，如:把p、q、r解释为 取真假值的命题变元，把∧、∨ 、→解释为真值集上的运算，把 p∧q、p∨q、p→q解释为真值函数的表达式。 推理是由前提和结论组成的，前提和结论之间的关系称为推出（推 论、推理）关系。例如： 小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。 • 在推理中，前提是“小王既有缺点，又有优点”，结论是“小王 有优点”， “所以”标志前提和结论之间的推出关系。 • 推理形式：p且q，所以，q。 逻辑学是从语形和语义两个方面来研究推理的： (1)从前提和结论的形式方面进行 (2)从前提和结论的真假方面进行 语形和语义对推出关系的双重刻画
（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。 （2）这样建立的逻辑系统既有可靠性，又有完全性。
联言命题的形式：p并且q（p∧q）。 p称为∧的左辖域， q 称为∧的右辖域。
p∧q是二元真值函数： f(p,q)=p∧q。∧是在两个真值变元p 和q上进行运算的二元运算。
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合取词∧的真值表
由上真值表知，对任意公式A，有等值关系：A ¬¬A 负命题的推导规则:
A 双重否定引入规则（¬¬+）：从A可推出A。图示： —— ¬¬A ¬¬ A 双重否定消去规则（¬¬-）：从A可推出A。图示： —— A
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联言命题
联言命题是由联言联结词(如“并且”)联结支命题而 形成的复合命题，又称合取命题。例如：
第二章 命题逻辑
第一节 命题逻辑概述
命题
命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。例如：
（1）西南大学在重庆。 （2）闪光的东西都是金子。 （3）如果小王有作案动机，那么他就会作案。
命题的 主要特征： 命题有真假
符合实际的命题是真命题，不符合实际的命题是假命 题。上述（1）是真命题; 而（2）、（3）是假命题。
负命题的形式: ¬p。其中p称为¬的辖域。 负命题的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是 相反的。
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负命题
真值表：真值集合只有两个元素｛T，F｝，其中T表示命题为真，而F表示命 题为假。因此，可用列表的方式表示真值运算的过程，这种表称为真值表。 真值函数：当p在真值集合｛T，F｝上取真值后， p 的真值也唯一确定。所 以， p是p的函数，表达形式为f(p)=p，这种函数称真值函数。 的真值表如下：
语句(陈述句和反诘句)有内涵也有外延:语句的内涵即它表达的命题； 语句的外延即真、假这两个真值。 采用这种观点的逻辑理论，称为 二值外延逻辑或经典逻辑。 逻辑学上所说的命题，一般指这种或者 为真或者为假的抽象语句。
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命题和判断
判断：就是被断定者断定了的命题。 判断的主要特征：有所断定。 一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、 立场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被 断定就与断定者的知识水平有很大关系。 充分假言命题被断定是前后件的关系，而不是 支命题。如：“如果物体受到摩擦，那么物体发 热”这个命题，我们既没有断定“物体受到摩 擦”，也没有断定“物体发热”，我们所断定的 只是前件是后件的充分条件。