2018一轮北师大版(理)数学训练：选修4-4 第1节 课时分层训练67 坐标系
新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．点P 对应的复数为33i -+，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A ．332,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．532,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．53,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．33,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知点P 的极坐标是1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A ．12ρ=B ．1cos 2ρθ=C ．12cos ρθ=-D ．2cos ρθ=-3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2±B ．(2,2)-C ．[1,1)-D ．[1,1)-或24．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（ ） A ．[23,32]B ．[]1,6C ．[]2,9D ．[]12,185．如图所示，极坐标方程sin (0)a a ρθ=>所表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．6．极坐标方程cos ρθ=与1cos 2ρθ=的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．7．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( ) A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈8．曲线cos 104πρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )A ．sin 10ρθ+=B ．sin 10ρθ-=C ．cos 10ρθ-=D ．cos 10ρθ+= 9．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线10．30x y -=的极坐标方程(限定0ρ≥)为 A ．6πθ= B ．76θπ=C ．6πθ=或76θπ=D ．56πθ=11．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ=D ．2sin ρθ=12．若曲线2 1x ty t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）与曲线22ρ=B ， C 两点，则BC 的值为（ ）A 30B 15C 30D 60二、填空题13．圆C ：4sin ρθ=-上的动点P 到直线l ：πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 14．已知圆M 的极坐标方程为242cos()604πρρθ--+=，则ρ的最大值为______.15．若点M 的柱坐标为2(2,,2)3π-，则点M 的直角坐标为______； 16．（坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的圆心为(6,)2π，半径为5，直线(,)2r πθαθπρ=≤<∈被圆截得的弦长为8，则α=_____．17．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B 分别在曲线C 1：3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为23x cosay sina =⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．19．将曲线221x y +=按伸缩变换公式'2'3x xy y =⎧⎨=⎩变换后得到曲线C ，则曲线C 上的点(,)P m n 到直线:260l x y +-=的距离最小值为_____________.20．已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=，则圆的极坐标方程为____________．三、解答题21．在极坐标系中，已知直线l 过点1,0A ，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，求：（1）直线的极坐标方程； （2）极点到该直线的距离.22．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos ρθ=，以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求圆C 在直角坐标系下的标准方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin 633πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:(0)6OM πθρ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)；以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 524πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)若把曲线1C 312，得到曲线3C ，求曲线3C 的方程；(3)设P 为曲线3C 上的动点，求点P 到曲线2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标. 24．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈），将曲线1C经过伸缩变换：x xy '='=⎧⎪⎨⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与12,C C 相交于,A B两点，且1AB =，求α的值.25．已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）.(Ⅰ)求证：OB OC OA +=；(Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.26．在极坐标系中，设圆1:4cos C ρθ=与直线:()4l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求以AB 为直径的圆2C 的极坐标方程；（2）在圆1C 上任取一点M ，在圆2C 上任取一点N ，求||MN 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】分析：先求出点P 的直角坐标，P 到原点的距离r ，根据点P 的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P 的极坐标． 详解：点P 对应的复数为33i -+，则点P 的直角坐标为()3,3-，点P到原点的距离r =，且点P 第二象限的平分线上，故极角等于34π，故点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P 的极角是解题的难点．2．C解析：C 【分析】把极坐标化为直角坐标，求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程． 【详解】1,2P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴过P 且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为12x =-，其极坐标方程为1cos 2ρθ=-，即12cos ρθ=-．故选：C ． 【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，解题时利用极坐标与直角坐标的互化求解．3．D解析：D 【解析】 【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】因为曲线1C 的极坐标方程为2sin ,4a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即222(sin cos )222a ρθθ+= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-或2 故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4．D解析：D 【分析】利用数形结合，采用建系的方法，根据向量的坐标表示以及运算，结合辅助角公式，可得结果. 【详解】 如图：由GE GF ⊥，可知EF 为直径 可设()()13cos ,3sin ,13cos ,3sin E F ϕϕϕϕ+--， ()13cos ,3sin G θθ+所以()33cos ,3sin 4QE ϕϕ=-+-，()33cos ,3sin 4QF ϕϕ=---- ()3cos 3,3sin 4QG θθ=--则()3cos 9,3sin 12QE QF QG θθ++=-- 所以()()223cos 93sin 12QE QF QG θθ++=-+-化简可得()23454cos 72sin QE QF QG θθ++=-+即3234tan 4QE QF QG ϕ++==所以当()sin 1θϕ+=时，min12QE QF QG++= 当()sin 1θϕ+=-时，max18QE QF QG++=所以||QE QF QG ++的取值范围为[]12,18 故选：D 【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，对这种几何问题，常会采用建系，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程即可。
(北师大版)北京市高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测题(包含答案解析)
一、选择题1．如图所示，某人P 去草场打靶，猎物R 被放在了两个固定物E 、F 之间，满足4EF =，1RF =,此人在移动过程中，始终保持到E ，F 两点的距离和不小于6，当他离猎物最近时开枪命中猎物，则此时他离猎物的距离为（ ）A ．2B ．152C ．1D ．21032．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（ ）. A ．1B ．2C ．22D ．323．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4．若点P 的直角坐标为()1,3-，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭5．在极坐标中，为极点，曲线：上两点对应的极角分别为，则的面积为 A ．B ．C ．D ．6．在平面直角坐标系中，抛物线23x y =-经过伸缩变换1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后得到的曲线方程是（ ） A ．2''4y x =- B ．2''4x y =- C ．2'9'4y x =-D ．2'9'4x y =-7．将直角坐标方程y x =转化为极坐标方程，可以是( )A ．1ρ=B ．ρθ=C ．1()R θρ=∈D ．()4R πθρ=∈8．在极坐标系中，下列方程为圆ρ2sin θ=的切线方程的是（ ） A ．cos 2ρθ=B ．2cos ρθ=C ．cos 1ρθ=-D ．sin 1ρθ=-9．在同一平面直角坐标系中，将直线22x y -=按124x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'变换后得到的直线l 的方程，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为（ ） A ．4cos sin 4ρθρθ-= B ．cos 16sin 4ρθρθ-= C ．cos 4sin 4ρθρθ-=D ．cos 8sin 4ρθρθ-=10．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－3π)＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为（ ）A ．(1,)3B．(,)36π C ．3π⎫⎪⎪⎝⎭， D．2⎛ ⎝⎭11．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。
2018版数学《课堂讲义》北师大版选修4-4练习：第一讲 坐标系 1 课时作业
一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )， 则⎩⎨⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5.∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1B.9x 2＋100y 2＝1C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入x ′2＋4y ′2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程. 答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零).⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D 二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点， 且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0). 答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的图形所对应的方程是____________. 解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1. 答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后曲线方程变为________.解析 由⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′. 答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1 三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一 坐标法 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2， |BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二 向量法 在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →， 以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)， 即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解 先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）上的点到曲线cos sin 4ρθρθ+=的最短距离是（ ）.A ．1B C ．D ．2．极坐标方程2cos22cos 1ρθρθ-=表示的曲线是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线3．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称4．已知三个不同的点,,E F G 在圆22(1)9x y -+=上运动，且GE GF ⊥，若点Q 的坐标为()4,4，则QE QF QG ++的取值范围是（ ）A ．B ．[]1,6C ．[]2,9D ．[]12,185．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ）A ．2B ．4C D ．6．若点P 的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ） A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫⎪⎝⎭7．点(,)ρθ满足223cos 2sin 6cos ρθρθθ+=，则2ρ的最大值为（ ） A ．72B ．4C ．92D ．58．在球坐标系中，点3,,46P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点33,,46Q ππ⎛⎫⎪⎝⎭之间的距离为（ ）A B ．C ．D ．29．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．1210．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）． A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离11．在极坐标系中，曲线1C 的方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，曲线2C 的方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正方向建立直角坐标系xOy 。
高中数学北师大版选修4-4课时分层作业 共9套含解析
∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)．
∵P也在AB的垂直平分线上，
∴|PA|＝|PB|，
即 ＝ ，
化简得x2－6y＋5＝0.
这就是所求的轨迹方程．
[能力提升练]
1．方程x2＋xy＝0的曲线是()
A．一个点B．一条直线
C．两条直线D．一个点和一条直线
[解析]x2＋xy＝x(x＋y)＝0，即x＝0或x＋y＝0.
∴b2＝c2－a2＝4－ ＝ .
∴点P的轨迹方程为 － ＝1 .
由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是 .
[答案]A
二、填空题
6．x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________．
[解析]如果x轴上的单位长度不变，y轴上的单位长度缩小为原来的 ，圆x2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆．
故方程x2＋xy＝0表示两条直线．
[答案]C
2．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sinB－sinC＝ sinA，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是()
A. － ＝1B． － ＝1(x<－3)
C. － ＝1D． － ＝1(x<－3)
8．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝ AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________．
[解析]过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连结PH，PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－ ＝1，化简得y2＝ x－ .
(北师大版)北京市高中数学选修4-4第一章《坐标系》测试题(答案解析)
一、选择题1．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()2R πθρ=∈对称2．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：4πθ=（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于AB 、两点，则AB 为（ ）A B ．C D ．3．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3πθ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）A ．14B C D ．134．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含5．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为( )A ．sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ B ．sin 32πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．sin 62πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 7．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（ ）A ．2B C ．D ．18．将点的直角坐标(－2，化成极坐标得( )． A ．(4，23π) B ．(－4，23π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π)9．曲线cos 104πρθθ+==关于对称的曲线的极坐标方程是( )A ．sin 10ρθ+=B ．sin 10ρθ-=C ．cos 10ρθ-=D ．cos 10ρθ+=10．在极坐标系中，圆心为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，且过极点的圆的方程是（ ）． A ．2sin ρθ=B ．2sin ρθ=-C ．2cos ρθ=D ．2cos ρθ=-11．极坐标方程24sin 52θρ=表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线12．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为A ．22(1)4x y -+=B ．22(1)4x y +-=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1y x +-=二、填空题13．已知点1,0A ，()3,4 B ，O 为坐标原点，点C 在AOB ∠的平分线上，且2OC =，则点C 的坐标为_______________.14．圆C ：4sin ρθ=-上的动点P 到直线l ：πsin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的最短距离为______． 15．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________． 16．求圆心为(3,)6C π,半径为3的圆的极坐标方程为 ___________________.17．在极坐标系下，点π(1,)2P 与曲线2cos ρθ=上的动点Q 距离的最小值为_________．18．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为______. 19．已知直线l 的参数方程为{4x ty t==+ （为参数），圆的极坐标方程为22sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为_____________.20．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B分别在曲线C 1：3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 三、解答题21．在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.22．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C ：222x ax y -+=0(a >0)，曲线2C 的参数方程为cos {1sin x y αα==+(α为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系；(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程; (2)已知极坐标方程为θ=6π的直线与曲线1C ，2C 分别相交于P ，Q 两点（均异于原点O ），若|PQ|=1，求实数a 的值；23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2214y x +=，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心极坐标为(3,)π，半径为1的圆. （1）求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求MN 的取值范围.24．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos ,3sin x m a y α=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数）.在以原点O 为极点、以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围. 25．已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，且取相同的单位长度建立平面直角坐标系，则直线l 的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设点(),0P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB ⋅=，求非负实数m 的值．26．已知平面直角坐标系xOy ，直线l过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N两点，若||||PM PN -=，求直线l 的倾斜角α的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系.【详解】解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.故选：A. 【点睛】考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.2．B解析：B 【分析】把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。
高考数学统考一轮复习 第十章 选修系列 选修4-4 第1节 坐标系课时规范练(文,含解析)北师大版
学习资料第十章选修系列选修4-4 坐标系与参数方程第一节坐标系课时规范练1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin错误!＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．解析：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2，0),直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsin错误!＝2,化成直角坐标方程为y＝错误!（x－4)，则直线l过A(4，0)，倾斜角为错误!，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B,则∠OAB＝错误!。
如图，连接OB。
因为OA为直径,从而∠OBA＝错误!，所以AB＝4cos π6＝2错误!.所以直线l被曲线C截得的弦长为2错误!。
2．(2020·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!(其中φ为参数)．以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1）求圆C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程是ρsin错误!＝2，射线OM：θ＝错误!与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解析:(1)圆C的普通方程为x2＋（y－1)2＝1，又x＝ρcos θ,y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ。
(2)把θ＝错误!代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，把θ＝错误!代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，所以｜PQ｜＝|ρP－ρQ|＝1。
3．（2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0,曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程;（2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π。
解析：(1）依题意，将错误!代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0。
将错误!代入y2＝x,得ρsin2θ＝cos θ.故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cos θ.（2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去），当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1，1)，(1,－1),记A（1，1)，B （1，－1）,所以ρA＝错误!＝错误!，ρB＝错误!＝错误!，tan θA＝1，tan θB＝－1，因为ρ≥0，0≤θ＜2π，点A在第一象限,点B在第四象限，所以θA＝错误!，θB＝错误!，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为错误!，错误!. 4．(2020·山西八校联考）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3）2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1:θ＝错误!，l2：θ＝错误!，若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB 的面积．解析：（1）∵曲线C的普通方程为（x－3)2＋(y－4）2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.(2）设A错误!,B错误!。
高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：选修4-4
(建议用时：50分钟)1.(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上.(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.3.(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，∴⎩⎨⎧5cos t ＝x －4，5sin t ＝y －5.∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎨⎧（x －4）2＋（y －5）2＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1，1)，(0，2).∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 4.在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程.解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3).故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤ 3 法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数).M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.6.(2015·湖南卷)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.7.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值. 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎨⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3).故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 8.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围.解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1).(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52].。
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课时分层训练(六十七) 坐标系
1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π6＝1的距离．
[解] 点⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，
3分
直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，
得32y －1
2x ＝1，
即直线的方程为x －3y ＋2＝0，
6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝
|3－3×1＋2|12
＋(－3)
2
＝1. 10分
2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝22.
(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 2分
圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，
4分
直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.
6分 (2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2
－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝1，
8分 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，π2.
10分
3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝
1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，π4，圆的半径为1.
(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．
[解] (1)设O 为极点，O D 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，
则∠AO D ＝π4－θ或∠AO D ＝θ－π
4，
2分
OA ＝O Dcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝O Dcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4，
∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π4.
4分 (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
6分
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，
又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，22，满足直线l 的方程，
∴直线l 过圆C 的圆心，
8分 故直线被圆所截得的弦长为直径2.
10分
4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.
(1)求圆C 的极坐标方程；
(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →
，求动点P 的轨迹方程.
【导学号：57962485】
[解] (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点． 在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
θ－π3，由余弦定理得
|CM |2
＝|OM |2
＋|OC |2
－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3，
化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3.
4分
(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →
， ∴ρ1＝2
3ρ，θ1＝θ，
8分
代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π3，
即ρ＝9cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π3.
10分
5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． [解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，
2分
联立⎩⎨⎧
x 2＋y 2
－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，
解得⎩⎨
⎧
x ＝0，y ＝0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝32，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32.
4分
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α). 8分
所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π
6时，|AB |取得最大值，最大值为4.
10分
6．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．
[解] (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
2分
∵ρ0cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程. 4分 (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，
得x 2＋y 2＝3x ，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
322
. 8分
知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，0为圆心，半径为32的圆．
直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP |的最小值为1. 10分。