河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第6章 图形的变化 第2节 平移与旋转(精讲)试题
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第2章
第二节 一元二次方程及应用河北五年中考命题规律年份题号 考查点 考查内容 分值 总分201719 一元二次方程的解法 综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程 37 26(2) 一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况 4201614 一元二次方程根的判别式 利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 2201512 一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值范围 2 2201421 解一元二次方程 (1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式； (2)用配方法解一元二次方程10 102013年未考查命题规律纵观河北近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.河北五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(2014河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(2017沧州中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(2016石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是( B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2015河北中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a<1 B ．a>1 C ．a ≤1 D ．a ≥15．(2016河北中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为06．(2016唐山十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(2017唐山二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3；①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3. 一元二次方程的应用8．(2016邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(2016石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2017河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x ＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100(1)求y 与x(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m.解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0，∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50)＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法：(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(2016保定十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22；(2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，得x(x －2)＝0.即x 1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(2016唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A ) A ．(x ＋2)2＝9 B ．(x －2)2＝9 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＝1 3．用公式法解方程：(1)(广东中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(兰州中考)x 2－1＝2(x ＋1)． 解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2017包头中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是( A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(2016唐山丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是( D ) A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根5．(2016保定博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(2017咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断一元二次方程的应用【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( A ) A ．17人 B ．16人 C ．15人 D ．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x ＋1)人，每人传染x 个人，则传染x(x ＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x 个人＋第二轮传染的x(x ＋1)人，列方程：1＋x ＋x(1＋x)＝256，解得x 1＝15，x 2＝－17.因为x 表示人数，所以x ＝－17不合题意，应舍去；取x ＝15，故选C .【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x 元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x 件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x 2－35x ＋300＝0. 解得x 1＝15，x 2＝20. ∵要尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去，只取x ＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(2017南通中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m .(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．(2017巴中中考)某地2014年外贸收入为2.5亿元，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为( A )A ．2.5(1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C ．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4D ．2.5(1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x 棵树苗． 120×60＝7 200(元)． ∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x －60)]＝8 800， x 1＝220，x 2＝80，当x ＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100， ∴x ＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．。
中考数学 第一编 教材知识梳理篇 第六章 图形的变化
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河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第6章 图形的变化 第3节 视图与投影(精讲)试题
第三节视图与投影,河北五年中考命题规律)年份题号考查点考查内容分值总分20178 几何体的三视图已知几何体确定主视图3 320168 正方体的展开图还原补图将展开图还原成正方体3 32015 4 几何体的三视图已知三视图，确定几何体3 3201410 正方体展开图的还原将正方体的展开图折叠还原，求正方体上两点的距离3 3201326(2) 三视图的相关计算以装有液体的正方体容器倾斜放在水平桌面上为背景，计算液体体积3 3命题规律视图、立体图形的展开与折叠在中考中一般设置1道题，分值为2～3分，题型以选择题为主，仅2013年在解答题中考查还原三视图并计算体积．分析近五年河北中考试题可以看出，本课时常考类型有：(1)判断几何体的三视图；(2)视图的相关计算；(3)正方体展开图的还原及相关计算.,河北五年中考真题及模拟)视图的识别与相关计算1．(2017河北中考)如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是( A ),A) ,B),C) ,D) 2．(2016沧州一模)如图中的三视图所对应的几何体是( B ),A) ,B),C) ,D) 3．(2014张家口二模)图中几何体的主视图是( A ),A),B),C) ,D)正方体展开图的还原及相关计算4．(2016河北中考)图①和图②中所有的正方形都全等，将图①的正方形放在图②中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( A )A．①B．②C．③ D．④5．(2015保定中考模拟)将图①围成图②的正方体，则图①中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的( A ) A．面CDHE B．面BCEFC．面ABFG D．面ADHG6．(2014河北中考)图①是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是( B )A．0 B．1 C. 2 D. 37．(2014保定中考模拟)图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上面的字是( D )A．和 B．谐 C．社 D．会投影8．(2017沧州一模)如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子( C)A．逐渐变短B．逐渐变长C．先变短后变长D．先变长后变短9．(2017邯郸中考模拟)小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是( A),A) ,B),C) ,D),中考考点清单)投影平行投影由平行光线照射在物体上所形成的投影，叫做平行投影正投影投影线垂直照射在投影面上的物体的投影叫做正投影中心投影由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影几何体的三视图1．一个几何体的正投影，又叫做这个几何体的视图．从正面得到的视图叫做主视图，从上面得到的视图叫做俯视图，从左面得到的视图叫做左视图．2．三种视图的关系(1)主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽．(2)在画三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，俯、左视图要宽相等，看得见的轮廓线要画成实线，看不见的轮廓线要画成虚线．34.名称几何体体积表面积正方体__a3__ 6a2长方体abc__2(ab＋bc＋ac)__三棱柱h·S底面2S底面＋h·C底长圆锥13πr2hπr2＋πlr(l为母线长)圆柱πr2h2πr2＋2πrh球43πR34πR21．由三视图确定出实物的形状和结构．2．由部分特殊图确定出实物的形状和结构．立体图形的展开与折叠5常见几何体展开图图示(选其一种)6.续表【易错警示】由上面几个展开图可以看出，不会出现两种形式的图形即“凹”字型和“田”字型．如下面2个图形：图①与图②两种形式不是正方体的表面展开图．7．立体图形的折叠一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆的过程．,中考重难点突破)几何体的三视图【例1】(2017烟台中考)如图所示的工件，其俯视图是( D),A) ,B),C) ,D) 【解析】俯视图是从上往下看的，有两个圆面，但小圆面的线条应该是虚线．【答案】B1．(2017武汉中考)某物体的主视图如图所示，则该物体可能为( A ),A) ,B),C) ,D) 2．(宜昌中考)将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是( A ),A) ,B),C) ,D) 3．(2017绵阳中考)如图所示的几何体的主视图正确的是( D),A) ,B),C) ,D) 4．(2017常德中考)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( B),A) ,B),C) ,D)5．(山西中考)如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是( A),A) ,B),C) ,D) 6．(2017绍兴中考)如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是( B),A),B),C),D)7．(2017通辽中考)下列四个几何体的俯视图中与众不同的是( B),A),B),C) ,D) 8．(枣庄中考)有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置(如图)，请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是( C)A．白B．红C．黄D．黑9．(2017齐齐哈尔中考)一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有a个小正方体组成，最少有b个小正方体组成，则a＋b等于( C)A．10 B．11 C．12 D．13立体图形的有关计算【例2】(扬州中考)如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据(单位：cm)可以得出该长方体的体积是____cm3.【解析】观察其视图知：该几何体为长方体，且长方体的长为3，宽为2，高为3，故其体积为：3×3×2＝18.【答案】1810．(2017荆州中考)如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为( D)A．800π＋1 200 B．160π＋1 700C．3 200π＋1 200 D．800π＋3 00011．(2017湖州中考)如图是按1∶10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是( D) A．200 cm2B．600 cm2C．100πcm2D．200πcm212．(2017呼和浩特中考)如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的表面积为__(225＋252)π__．(第12题图)(第13题图)13．(2017滨州中考)如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形．一个扇形，则这个几何体表面积的大小为__15π＋12__.。
2023河北中考数学考点总结
2023河北中考数学考点总结数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理数和无理数。
由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数，它是数学中一切“数”的起点。
今天小编在这给大家整理了一些河北中考数学考点总结，我们一起来看看吧!河北中考数学考点总结知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向;两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限点P(x,y)在第二象限点P(x,y)在第三象限点P(x,y)在第四象限2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为(0，0)3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：(1)点P(x,y)到x轴的距离等于(2)点P(x,y)到y轴的距离等于(3)点P(x,y)到原点的距离等于中考数学考点总结1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x 的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).中考数学考点直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第2章 方程(组)与不等式(组)第2节 一元二次方程及
第二节一元二次方程及应用年份题号考查点考查内容分值总分201719 一元二次方程的解法综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程37 26(2)一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况4201614一元二次方程根的判别式利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 2201512一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值X围2 2201421 解一元二次方程(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程10 102013年未考查命题规律纵观某某近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.某某五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(2014某某中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－c a，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(2017某某中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(2016某某二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是(B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2015某某中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值X 围是(B )A ．a<1B ．a>1C ．a ≤1D ．a ≥15．(2016某某中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为06．(2016某某十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(2017某某二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6； (2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3； ①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3.一元二次方程的应用8．(2016某某25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为(D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(2016某某十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2017某某中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月)120100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m. 解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0， ∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13， ∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x ，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0， ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50) ＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法： (1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a ，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根； (2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(2016某某十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22； (2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3； (3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是(C )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(2016某某路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为(A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝13．用公式法解方程： (1)(某某中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(某某中考)x 2－1＝2(x ＋1)．解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2017某某中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是(A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(2016某某丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是(D )A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5．(2016某某博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值X 围是(C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(2017某某中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断一元二次方程的应用【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染(A)A．17人B．16人C．15人D．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x＋1)人，每人传染x个人，则传染x(x＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x个人＋第二轮传染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2，所以x＝－17不合题意，应舍去；取x＝15，故选C.【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(2017某某中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m.(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为(A )A (1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C (1＋x)(1＋2x)＝4D (1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为(C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__word个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x棵树苗．120×60＝7 200(元)．∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．11 / 11。
(河北专版)2019年中考数学一轮复习第六章图形的变换6.1图形的相似(讲解部分)素材(pdf)
（３） 在 әＢＣＡ 与 әＡＣＤ 中， øＢ ＋ øＣ ＝ ９０ʎ ， øＤＡＣ ＋ øＣ ＝ ＡＣ ＤＣ ＝ ， ＢＣ ＡＣ
ＢＤ ＡＢ ＝ ，即 ＡＢ ２ ＝ ＢＤ㊃ＢＣ． ＡＢ ＢＣ
（１） ＡＤ ２ ＝ ＢＤ㊃ＤＣ． （２） ＡＢ ２ ＝ ＢＤ㊃ＢＣ． （３） ＡＣ ２ ＝ ＣＤ㊃ＢＣ． 证明㊀ （１） 在әＢＡＤ 与әＡＣＤ 中，øＢ ＋øＣ ＝ ９０ʎ ，øＤＡＣ ＋ øＣ ＝ ９０ʎ ，ʑ øＢ ＝ øＤＡＣ，
㊀ ㊀ 变式训练 １㊀ 如图， 小正方形的边长均为 １， 则下列图中的 三角形（ 阴影部分） 与әＡＢＣ 相似的是 （㊀ ㊀ ）
ȵ әＡＢＣ 是等腰直角三角形，ʑ ＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ３ａ， ʑ ＡＰ ＝ ＡＢ － ＢＰ ＝ ２ａ，ＡＱ ＝ ＣＱ － ＡＣ ＝ ʑ Ｐ，Ｑ 两点间的距离 ＰＱ ＝ ３ ａ， ２
㊀ ㊀ ㊀ ㊀
角形余料 ＡＢＣ，它的边 ＢＣ ＝ １２０ ｍｍ， 高 ＡＤ ＝ 正方形零件，使正方形的一边在 ＢＣ 上， 其余两个 顶点分别在 ＡＢ， ＡＣ 上． 问加工成的正方形零件的 边长为多少 ｍｍ？ ８０ ｍｍ． 要把它加 工成
如 图， 有 一 块 三
ＡＥ ２ｘ ８０－ ｘ ２４０ ４８０ ＝ ，ʑ ，解得 ｘ ＝ ，ʑ ＰＮ ＝ ２ｘ ＝ ｍｍ． ＡＤ １２０ ８０ ７ ７ ʑ 这个矩形零件的两条邻边长分别为 ʑ （２） 设 ＰＱ ＝ ｙ ｍｍ，易得әＡＰＮʐәＡＢＣ，
ʑ Ｓ 矩形 ＝ ｙ １２０－
ＰＮ ＡＥ ＰＮ ８０－ ｙ ３ ＝ ，ʑ ＝ ，解得 ＰＮ ＝ １２０－ ｙ ｍｍ， ＢＣ ＡＤ １２０ ８０ ２
(
)
(
两个并排放置的正方形所组成的， 如图 ①， 此时， 这个矩形零件 的两条邻边长又分别为多少 ｍｍ？ 请你计算； 样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定， 但这个矩形面积有最 大值，求达到最大值时矩形零件的两条邻边长．
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第2章
第四节一元一次不等式(组)及应用河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分201726 (3) 一元一次不等式的应用以销售问题为背景，考查一元一次不等式解决实际问题3 32016年未考查201523 一元一次不等式的应用以往水容器中装球为背景考查列一次函数表达式和列一元一次不等式解决实际问题10 102014 6 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解集在数轴上的表示(结合一次函数图像所经过象限求出未知系数的取值范围)2 2201321(2) 一元一次不等式的解法新定义下求一元一次不等式解集，并将解集在数轴上表示出来5 5命题规律纵观河北近五年中考，一元一次不等式(组)在中考中每年最多设一道题，分值2～10分，题型有两种，选择、解答．其中一元一次不等式的解法在选择题中考了1次，解答题中考了1次，而一元一次不等式的应用在2015、2017年各考查了1次.河北五年中考真题及模拟一元一次不等式(组)的解法1．(2013河北中考)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．解：由3⊕x小于13，得3(3－x)＋1<13，去括号，得9－3x＋1＜13，移项合并，得－3x＜3，解得x>－1.在数轴上表示如图．一元一次不等式的应用2．(2015河北中考)水平放置的容器内原有210 mm 高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升 4 mm ，每放入一个小球水面就上升 3 mm ，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm .(1)只放入大球，且个数为x 大，求y 与x 大的函数关系式；(不必写出x 大的范围) (2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x 小． ①求y 与x 小的函数关系式；(不必写出x 小的范围) ②限定水面高不超过260 mm ，最多能放入几个小球？解：(1)y ＝4x 大＋210；(2)①当x 大＝6时，y ＝4×6＋210＝234， ∴y ＝3x 小＋234；②依题意，得3x 小＋234≤260，解得x 小≤823，∵x 小为自然数，∴x 小最大为8， 即最多能放入8个小球．,中考考点清单)不等式的概念及性质1．不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做__不等式__．2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的__值__叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的__解集__．3．不等式的基本性质：性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__不变__；性质2：不等式两边同乘(或除以)以一个正数，不等号的方向__不变__；性质3：不等式两边同乘(或除以)以一个负数，不等号的方向__改变__．【温馨提示】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3——不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．一元一次不等式的解法及数轴表示4．一元一次不等式：只含有__一个__未知数，且未知数的次数是__1次__的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是__ax＋b>0__或ax＋b<0(a≠0)．5．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)__合并同类项__；(5)系数化为1.6．一元一次不等式的解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示__x<a____x>a____x≤a____x≥a__(组)的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．(2)解决实际应用题：应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“等于”“大于”“小于”等关键词．注意分析题中的不等关系，列出不等式(组)，然后根据不等式(组)的解法，结合题意求解．一元一次不等式组的解法及数轴表示7．一元一次不等式组：含有相同未知数的若干个__一元一次__不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．8．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的__解集__的公共部分．9．解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的__解集__；(2)再利用数轴找它们的__公共部分__；(3)写出不等式组的解集．10．几种常见的不等式组的解集(a<b ，且a ，b 为常数)如表：不等式 组(其中 a<b)图示 解集 口诀 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≥b__x ≥b__ 同大取大⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤b__x ≤a__ 同小取小⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤b__a ≤x ≤b__大小、小大中间找⎩⎪⎨⎪⎧x≤a，x ≥b__空集__小小、大大找不到11.__解集____特殊__ 列不等式(组)解应用题12．列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的__不等__关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．,中考重难点突破一元一次不等式(组)的解法 【例1】(1)(2017石家庄中考模拟)解不等式2x －13－5x ＋12≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；(2)求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －7<2，①2x ＋3≥1②的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．【解析】解一元一次不等式(组)时，一般是先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，这样就可以确定出不等式组的解集．【答案】解：(1)去分母，得2(2x －1)－3(5x ＋1)≤6. 去括号，得4x －2－15x －3≤6. 移项，得4x －15x≤6＋2＋3. 合并同类项，得－11x≤11. 系数化为1，得x≥－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：(2)解不等式①，得x<3.解不等式②，得x≥－1.∴不等式组的解集为：－1≤x<3.解集在数轴上表示为：1．若x＞y，则下列式子中错误的是( D) A．x－3＞y－3B．3x＞3yC ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y2．(2017福州中考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －3＞0的解集为(B )A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜－1D ．x ＜33．(2016石家庄长安质检)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是( A )A .⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，x ≤2B .⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x<2C .⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≤2D .⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，x ≥2 根据不等式组的整数解确定字母的取值范围【例2】关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞4（x －1），x ＜m的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是( D )A ．m ＝3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m ≥3【解析】给出不等式组的解集，确定其中一个不等式的解集，最有效的方法是用数轴． 【答案】D4．(2016沧州九中模拟)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a>0，1－2x>x －2无解，则a 的取值范围为__a ≥1__． 一元一次不等式的应用【例3】(2017邯郸中考模拟)小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买________瓶甲饮料．【解析】买东西时，首先要保证“钱够用”，即花的钱不能超过50元；还应注意，用不等式(组)解决问题，设未知数时，不要加“最多”．设小宏买x 瓶甲饮料，则买乙饮料(10－x)瓶．则7x ＋4(10－x)≤50，解得x≤313.所以小宏最多能买3瓶甲饮料． 【答案】35．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：一户居民一个月用电量的范围电费价格(单位：元/千瓦时)不超过160千瓦时的部分x超过160千瓦时的部分x＋0.15(1)求x和超出部分电费单价；(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．解：(1)根据题意，得160x＋(190－160)(x＋0.15)＝90，解得x＝0.45，则超出部分的电费单价为x＋0.15＝0.6元/千瓦时；(2)设该户居民六月份的用电量为a千瓦时．则75≤160×0.45＋0.6(a－160)≤84，解得165≤a≤180.则该户居民六月份的用电量范围为165千瓦时到180千瓦时．。
河北省中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第2节一元二次方程及应用精讲试题
第二节 一元二次方程及应用河北五年中考命题规律年份题号 考查点 考查内容 分值 总分19 一元二次方程的解法 综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程 37 26(2) 一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况 414 一元二次方程根的判别式 利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 212 一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值范围 2 221 解一元二次方程 (1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式； (2)用配方法解一元二次方程10 10未考查命题规律纵观河北近五年中考，、、、考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.河北五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(沧州中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是( B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(河北中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a<1 B ．a>1 C ．a ≤1 D ．a ≥15．(河北中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为06．(唐山十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(唐山二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3；①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3. 一元二次方程的应用8．(邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市投入教育经费2 500万元，预计要投入教育经费 3 600万元．已知至的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x ＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m.解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0，∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50)＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法：(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论．6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(保定十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22；(2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，得x(x －2)＝0.即x 1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A ) A ．(x ＋2)2＝9 B ．(x －2)2＝9 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＝1 3．用公式法解方程：(1)(广东中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(兰州中考)x 2－1＝2(x ＋1)． 解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(包头中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是( A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(唐山丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是( D ) A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根5．(保定博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 一元二次方程的应用【例3】(达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( A ) A ．17人 B ．16人 C ．15人 D ．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x ＋1)人，每人传染x 个人，则传染x(x ＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x 个人＋第二轮传染的x(x ＋1)人，列方程：1＋x ＋x(1＋x)＝256，解得x 1＝15，x 2＝－17.因为x 表示人数，所以x ＝－17不合题意，应舍去；取x ＝15，故选C .【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x 元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x 件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x 2－35x ＋300＝0. 解得x 1＝15，x 2＝20. ∵要尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去，只取x ＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(南通中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m .(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．(巴中中考)某地外贸收入为2.5亿元，外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为( A )A ．2.5(1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C ．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4D ．2.5(1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x 棵树苗． 120×60＝7 200(元)． ∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．。
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第二节 平移与旋转以三角形旋转题.,河北五年中考真题及模拟)图形平移的相关计算1．(2017保定中考模拟)边长为1和2的两个正方形的一边在同一水平线上，小正方形沿水平线自左向右匀速平移穿过大正方形，如图反映了这个运动的全过程．设小正方形的运动时间为t ，两正方形重叠部分为s ，则s 与t 的函数图像大约为( B ),A ) ,B ) ,C ) ,D )2．(2016保定十七中一模)如图，将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，得到△A ′B ′C ′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA ′等于__4或8__.图形旋转的相关计算3．(2016沧州十三中一模)如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B 的度数是( B )A ．70°B ．65°C ．60°D ．55°4．(2016张家口中考模拟)如图，线段OA 垂直射线OB 于点O ，OA ＝4，⊙A 的半径是2.将OB 绕点O 沿顺时针方向旋转，当OB 与⊙A 相切时，OB 旋转的角度为__60°或120°__．,(第4题图)) ,(第5题图))5．(2016邯郸中考模拟)如图所示，在正方形ABCD 中，AD ＝1，将△ABD 绕点B 顺时针旋转45°得到△A ′BD ′，此时A ′D ′与CD 交于点E ，则DE 的长度为．6．(2014河北中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC 40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F .(1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求∠ACE 的度数；(3)求证：四边形ABFE 是菱形．解：(1)根据图形旋转的性质可得△ABC ≌△ADE ，且AB ＝AC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ＝AD ＝AE .∵∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS)；(2)根据图形旋转的性质可知，∠CAE ＝100°，且AC ＝AE ，∴∠ACE ＝∠AEC ＝(180°－100°)÷2＝40°，∴∠ACE 的度数为40°；(3)∵∠BAC ＝∠ACE ＝40°，∴BA ∥CE .由(1)知∠ABD ＝∠ACE ＝40°，∠BAE ＝∠BAC ＋∠CAE ＝140°，∴∠BAE ＋∠ABD ＝180°，∴AE ∥BD .∴四边形ABFE 是平行四边形．又∵AB ＝AE ，∴平行四边形ABFE 是菱形．,中考考点清单)图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离． 3．性质：(1)平移前后，对应线段__平行且相等__、对应角相等； (2)各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等； (3)平移前后的图形全等． 4．作图步骤：(1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离； (2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．图形的旋转5．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．6．三大要素：旋转中心、旋转方向和__旋转角度__． 7．性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前后的图形全等． 8．作图步骤：(1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； (2)找出原图形的关键点；(3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； (4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【方法技巧】坐标系中的旋转问题：1．关于原点对称的点的坐标的应用．其基础知识为：点P (x ，y )关于原点对称点的坐标为(－x ，－y )，在具体问题中一般根据坐标特点构建方程组来求解，常用到的关系式：点P (a ，b )，P 1(m ，n )关于原点对称，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋m ＝0，b ＋n ＝0. 2．坐标系内的旋转作图问题．与一般的旋转作图类似，其不同点在于若是作关于原点的中心对称图形，可以根据点的坐标规律，直接在坐标系内找到对应点的坐标，描点后连线．,中考重难点突破)图形平移的相关计算【例1】如图，已知△ABC 的面积为3，且AB ＝AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA.(1)求四边形CEFB 的面积；(2)试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； (3)若∠BEC ＝15°，求AC 的长．【解析】(1)根据平移的性质和平行四边形的性质可得S △EFA ＝S △BAF ＝S △ABC ＝3，进而求即可；(2)容易证▱EFBA 为菱形，再据菱形的对角线的性质可得AF 与BE 的位置关系；(3)过点B 作高，用面积法求解即可．【答案】解：(1)由平移的性质得：AF∥BC 且AF ＝BC ，△EFA ≌△ABC ，∴四边形AFBC 为平行四边形．∴S △EFA＝S △BAF ＝S △ABC ＝3.∴四边形CEFB 的面积为9；(2)BE⊥AF.理由如下：由(1)知四边形AFBC 为平行四边形，∴BF ∥AC 且BF ＝CA.又∵AE ＝CA ，∴BF ∥AE 且BF ＝AE.∴四边形EFBA 为平行四边形．又∵AB＝AC ，∴AB ＝AE.∴▱EFBA 为菱形，∴BE ⊥AF ；(3)过点B 作BD⊥AC 于点D ，∠BAC ＝∠ABE＋∠AEB＝15°×2＝30°.在Rt △ABD 中，sin 30°＝BD AB ＝12，故AB＝2BD ＝AC.S △ABC ＝12AC ·BD ＝12AC ·12AB ＝14AC 2＝3，∴AC ＝2 3.1．(泉州中考)如图，△ABC 沿着由点B 到E 的方向，平移到△DEF ，已知BC ＝5，EC ＝3，那么平移的距离为( A )A ．2B ．3C ．5D ．7图形旋转的相关计算【例2】如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点．将△ABC 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB ′C ′(如图②)．(1)探究DB ′与EC ′的数量关系，并给予证明； (2)当DB ′∥AE 时，试求旋转角α的度数．【解析】(1)由于AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，则AD ＝AE ＝12AB ，再根据旋转的性质得到∠B ′AD ＝∠C ′AE ＝α，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，则AB ′＝AC ′，根据三角形全等的判定方法可得到△B ′AD ≌△C ′AE (SAS)，则有DB ′＝EC ′；(2)由于DB ′∥AE ，根据平行线的性质得到∠B ′DA ＝∠DAE ＝90°，又因为AD ＝12AB ＝12AB ′，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠AB ′D ＝30°，利用互余即可得到旋转角∠B ′AD 的度数．【答案】解：(1)DB ′＝EC ′.证明如下：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，∴AD ＝AE ＝12AB .∵△ABC 绕点A 顺时针旋转α角(0°<α<180°)得到△AB ′C ′，∴∠B ′AD ＝∠C ′AE ＝α，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴AB ′＝AC ′，在△B ′AD 和△C ′AE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ′＝AC ′，∠B ′AD ＝∠C ′AE ，AD ＝AE ，∴△B ′AD ≌△C ′AE (SAS)，∴DB ′＝EC ′；(2)∵DB ′∥AE ，∴∠B ′DA ＝∠DAE ＝90°.在Rt△B ′DA 中，∵AD ＝12AB ′，∴∠AB ′D ＝30°，∴∠B ′AD ＝90°－30°＝60°，即旋转角α的度数为60°.2．(2016石家庄四十二中三模)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A ，B ，C 的坐标分别是A(－2，3)，B(－1，2)，C(－3，1)，△ABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A 1B 1C 1.(1)在正方形网格中作出△A 1B 1C 1；(2)在旋转过程中，点A 经过的路径AA 1︵的长度为________；(3)在y 轴上找一点D ，使DB ＋DB 1的值最小，并求出D 点的坐标． 解：(1)如图所示；(2)132π； (3)∵点B ，B 1在y 轴两旁，连接BB 1交y 轴于点D ，设D′为y 轴上异于D 的点，显然D′B＋D′B 1>DB ＋DB 1，∴当点D 是BB 1与y 轴交点时，DB ＋DB 1最小．设直线BB 1的表达式为y ＝kx ＋b ，依据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，2k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝53.1 3x＋53，∴D⎝⎛⎭⎪⎫0，53.∴y＝－。