《正切函数的图像与性质》 教案及说明

课题：正切函数的图像与性质教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师：教学目标（1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．教学重点掌握正切函数的基本性质．教学难点正切函数的单调性及证明．教学方法教师启发讲授，学生积极探究．教学手段计算机辅助．教学过程一、 设置疑问，引入新课1、正切函数的定义有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数：对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2x k k Z ππ≠+∈．(设计意图：,2x k k Z ππ≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理解不能取,2k k Z ππ+∈的理由)今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）的图像与性质．2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）．教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质．二、 主动探究，解决问题（一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线：正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数．学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？（可举反例说明不是偶函数） 4、 周期性：π是最小正周期．学生会利用tan()tan x x π+=，得到π是函数的周期． 教师提问：能否说明π是最小正周期？ 引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢？ 反证法：假设存在00(0)T T π<<是tan y x =的周期，则|,,2x x x R x k k Z ππ⎧⎫∀∈∈≠+∈⎨⎬⎩⎭都有0tan()tan x T x +=．取0x =，则0tan tan 00T ==．∴0,T k k Z π=∈．00,01T k π<<∴<<，这与k Z ∈矛盾．从而，π是正切函数的最小正周期．5、 单调性：函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数． 有学生可能会在正切线的复习中，认为是个增函数． 若学生这样回答，则可以请同学思考，是否正确？如何说明？有学生可能说因为是周期函数，所以不是单调函数，就请同学继续思考，周期函数不是单调函数的原因． （举反例：1212125,,,tan tan 44x x x x x x ππ==<=．这与单调性的定义矛盾） 对每一个k Z ∈，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭内，函数单调递增． （可以先作图，通过图观察得到结论，然后证明） （二）结合性质，作出函数的图像（1）根据正切函数的周期性，我们可以先画出一个合适的、长度为π的区间上的图像，选择哪一个呢？ 选择区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭；简单说明选择的理由． （2）借助于正切线，描点，然后用光滑的曲线顺次连接，得到函数在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的图像．（3）根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan (,)2y x x R x k k Z ππ=∈≠+∈且的图像．（三）观察图像，进一步研究性质请同学们认真观察正切函数的图像，发现有何特征？ （正切函数的图像是它的性质的直观表现） 1、正切函数的图像是被相互平行的直线x=k π+2π,k ∈Z 所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的．2、对每一个k Z ∈，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭内，函数单调递增． （同学思考，完成证明）3、正切函数的图像关于原点对称；（问：还有其他的对称中心吗？）三、 通过练习，巩固基础例1．已知函数y=tanx ， （1）若[,]34x ππ∈-,求y 的取值范围； （2）若0,,22x πππ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭,求y 的取值范围． 说明：（1） 利用函数在区间[,]34ππ-上单调递增得到答案．（2） 把y=tanx 在区间0,,22πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭上的图像不断向左、右扩展，也可得到正切函数tan (,)2y xx R x k k Z ππ=∈≠+∈且的图像．因此， 有同学说正切函数在一个周期上递增是错误的．也可以对照说明，作正切函数图时选择,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的合理性．例2．写出使不等式0tan 1≥+x 成立的x 的集合．说明：先求在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上满足条件的x ，然后扩展到整个定义域．函数图像是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，通过例题提醒学生重视数形结合的思想方法．例3、研究函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的基本性质． 改为()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭呢？ 说明：大多数同学能够掌握()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可以通过tan y x =的图像向左平移4π个单位得到，从而方便地结合图像研究性质． 研究()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的性质要困难的多．希望同学能类比研究正弦、余弦函数时的方法解决，必要时通过代换24t x π=+来解决．四、 总结思考，提高能力（一）小结：学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．（1） 理解了正切函数的定义；理解了正切函数的图像特征；掌握了正切函数的基本性质．（2） 运用了举反例、类比、反证法等数学方法，体会了数形结合的思想． （3） 体验了成功的快乐． （二）思考：（1）函数cot y x =和1tan y x=是同一个函数吗？ （2）研究函数tan y x =的基本性质．（3）研究函数cot y x =的基本性质，作出大致图像．五、 分层作业，巩固拓展1、全体同学完成课本95页第4、5题．2、每位同学结合今天研究的内容，设计一道回家作业题，并完成．教学设计说明一、教学内容的分析1、教材的地位和作用本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数．为后面学习反正切函数及解析几何中直线斜率与倾斜角的关系等内容做好知识储备，从内容和方法上都起着承上启下的作用．学生在前面的学习中，已经掌握了正切和正切线的定义，为本节课的学习提供了知识的保障．学生在研究指数、对数函数、正弦、余弦函数过程中，积累了一些研究函数问题的方法．当时主要是通过观察具体的图像特征，归纳得出函数性质的．本节课的内容为引导学生用数形结合的思想方法研究数学问题、用严谨的代数论证解决数学问题提供了很好的条件．正切函数的性质都可以利用学生已掌握的知识加以证明，这种在研究方法上的突破与飞跃，对培养、提高学生的数学能力是十分有意义的．三角函数与函数概念是特殊与一般的关系，在教学中可以充分发挥学生头脑中函数概念及在正弦函数、余弦函数的学习中建立的经验的指导作用．通过联系和类比，使学生明确三角函数之间的通性，同时认识到各自的特殊性，真正掌握研究函数的方法．2、教学重点和难点学生在学习函数的过程中已经知道：证明函数的单调性、奇偶性、周期性必须严格用定义论证．在研究正弦、余弦函数的过程中，主要强调的是数形结合，从形中观察得到结论．由于知识储备的不足（和差化积还没有学习），暂时没有证明．但我们在教学中强调的是：数形结合，观察得到的结论应该尽量用代数证明．代数论证是学生比较薄弱的一个环节，而研究正切函数的性质，恰好为我们提供了一个培养学生代数论证能力的机会．所以本节课的重点是：研究、掌握正切函数的基本性质．教学难点是：正切函数的单调性及证明．二、教学目标的确定根据课程标准、教材的特点、教学要求以及学生的认知水平，我从不同的方面确定了以下教学目标．(1) 理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质．（2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．并在教学中使学了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三、教学方法的选择1．教学方法根据教学内容、教学目标，考虑到学生基础比较扎实,思维比较活跃,勇于表达自己的观点．这节课，我想引导学生通过已掌握的知识去主动的探究正切函数的图像与性质，希望学生在自主地开展探究活动的过程中，能够发现问题、提出问题、解决问题，体验研究函数的方法，提高解决问题的能力．教师在这个过程中对学生的活动给与合理的评价和适时的启发、点拨，保证教学活动的有效性．2．教学手段教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．四、本节课的特点对教材有比较深刻的理解和把握，根据我校学生的实际情况，对教材进行了有效的挖掘．从“数”到“形”，再从“形”到“数”，让学生经历正切函数性质与图像不断的完善过程；加强了对数学推理论证能力的培养；并根据教学目标，有坡度的设计例题和思考题，促进学生理解数学知识，发展学生的数学能力．整堂课设计思路清晰，目标明确．在数学课堂教学中，注重调动学生的积极性，让学生充分的参与课堂教学，较好的发挥了教师的主导和学生的主体作用．学生在有层次的问题驱动下高效地完成了即定的数学学习任务．。