2011程序设计大赛试题

一．解方程组1．用以下基本方法解方程组算法的数学描述：2．用列主元消去法解方程组●算法的数学描述：对上述算法进行如下改变：3．程序设计要求：1) 首先采用基本方法，任意输入一个维数小于5的n元一次方程组，求解该方程组，并对有解、无解、有多解的情况分别给出不同的提示。

2) 对上述方法进行改造，采用列主元消去法求解该方程组。

3) 方程组的输入及解的输出最好采用图形化界面。

4) 若程序运行通过，对关键代码部分要求画出流程图，并进行适当的中文注释，最好采用PowerPoint课件，以便于讲解。

4．示例方程组如下：二． 神经网络算法神经网络的理论研究是一门新兴的边缘的交叉学科，它的产生和发展一方面受其他学科的影响，反过来又影响其他学科的发展。

神经网络从信息论角度看，由于神经网络具有函数近似、数据聚集、模式分类、优化计算、概率密度、函数估计等功能，因此它是另一种信息处理的工具。

对它的研究涉及许多学科和专业，现在不少学科也都把这个课题作为它们的前沿在进行研究，如数学、物理学、信息科学、心理学、神经生理学、认知科学、计算机科学、微电子学甚至哲学等。

另一方面，直接应用现代科学的新理论和新方法如信息论、系统论、控制论、协同论和耗散结构理论等对它进行研究，可同时为这些学科提出许多新问题，将会推动这些学科理论和其他方面的发展。

因此，研究人工神经网络显然有重要的意义。

人工神经网络（Artificial Neural Networks, ANN ），简称神经网络(NN)，是对人脑或自然神经网络若干基本特性的抽象和模拟，是一种基于连接学说构造的智能仿生模型，是由大量神经元组成的非线性动力系统。

神经网络具有非线性、非局域性、非定常性和非凸性等特点，具有良好的容错性与联想记忆功能，以及较强的自学习功能，主要研究非程序的、自适应性的和脑模式的信息处理的本质和能力。

1. 人工神经元及其主要模型图1 神经元的结构模型其中x 1,x 2, ．．．,x n 为输入信号，u i 为神经元内部状态，θi 为阈值，w ij 为u i 到u j 连接的权值，s i 表示外部输入信号（在某些情况下，它可以控制神经元u i ，使u i 可以保持在某一状态），f(·)为激发函数，y i 为输出，上述模型可以描述为：每一个神经元的输入接受前一级神经元的输出，因此，对神经元i 的总作用σi 为所有输入的加权和减去阈值（若无阈值就不减了），此作用引起神经元i 的状态变化，而神经元i 的输出y i 为其当前状态σi 的函数。

2. BP 网络及其学习算法BP （Back Propagation ）神经网络是人工神经网络一个重要分支，最早由Werbos 在1974年提出。

Bumelhart 等在1985年发展了BP 网络学习算法，实现了Minsky 的多层网络设想。

BP 神经网络有一个输入层、一个输出层、一至多个隐层，图2给出了一个具有三层结构的BP 网络模型。

∑-+=jii j ij i s x w θσ)()()(∑-+===j i i j ij i i i s x w f f u h y θσ图2 BP 网络模型BP 算法的主要思想是把学习过程分为两个阶段：第一阶段（正向传播过程），首先给定输入信息，通过输入层经隐藏层逐层处理并计算每个单元的实际输出值；第二阶段（反向过程），若在输出层未能得到期望的输出值，则逐层递归地计算实际输出与期望输出之差值（即误差），以便根据此差调节权值，具体些说，就是可对每一个权重计算出接收单元的误差值与发送单元的激活值的积。

因为这个积和误差对权重的（负）微商成正比（又称梯度下降算法），把它称作权重误差微商。

权重的实际改变可由权重误差微商一个模式一个模式地计算出来，即它们可以在这组模式集上进行累加。

BP 算法是在导师指导下，适合于多层神经元网络的一种学习方式，它是建立在梯度下降法的基础上的。

下面对BP 算法进行详尽表述：设有N 个学习实例： k=1,2,…,N 其输入向量 对应输入层的n 个结点的输入，经过BP 网络的非线性映射，在输出层的m 个结点上得到计算输出向量：（1）今约定如下变量：：实例k 的输入向量输入后，向前传播至第l 层的结点j 的输入。

：第l 层的结点j 的输出。

：第l-1层的结点i 连接第l 层的结点j 的权值。

1-l n ：第l-1层的结点数。

f ：神经元传递函数。

BP 网络的学习算法可描述如下： （1）输入N 个学习实例k=1,2,…,N ，确定输入层结点数n ，输出层),...2,1(nk x k x kx k X =),...,(21mk k k k y y y Y =)(l jk I k x )(l jk O )1(-l ijω)_,(k Y k X )_,(k Y k X结点数m 。

（2）建立BP 网络结构，包括：1）确定隐藏层层数L 。

2）确定第l 层(隐藏层)的结点数n l ，l=1,2,…L 。

3）初始化各层间的连接权矩阵： 输入层至第一层隐藏层的权矩阵为：（2）第l 层隐藏层至l +1层隐藏层之间的权矩阵为：l=1,2,…L -1 （3） 最后一个隐藏层至输出层之间的权矩阵为：（4）（3）确定输入允许误差ε和学习率η，并设置初始化迭代次数t=1，实例序号k=1。

（4）读取学习实例k : （5）（5）由输入向量X k 进行正向传播计算：输入层各结点的输出采用Sigmoid 激励函数：（6） 通层计算各隐藏层的各结点的输入与输出：（7）其中j=1,2,…,n l ， l=1,2,…,L 。

计算输出层各结点的输入与输出值：（8）（9）（6）计算各输出结点的误差：m 1,2,j _⋯=-=jkjk jk y y E （10）若 ，(j=1,2,…m ，k=1,2,…,n) 则学习过程结束，否则，进行误差反向传播过程，修改各连接权矩阵的元素值。

（7）计算各隐藏层的误差，并修改相应的权值：10][n n w W ij ⨯=1][+⨯=l l n n ij w l W m n w W l ij L ⨯=][)_,(k Y k X ),...2,1(nkx kx kx kX =),...,(_2_1__mk k k ky y y Y=n ,1,2,j )exp(11)()0(⋯=-+==jk jk jk x x f O )1(1)1()(1-=-=∑-l ikO n i l ij wl jkI l )()()(l jk l jk I f O =)(1)()1(L ik ni L ij L jk O w I L ∑=+=m1,2,j )()1(⋯==+L jkjkIf yε≤jk E（11）（12）（13） （8）设k=(k+1) mod N ，t=t+1，转(4)。

∑+=+-=11)1()()()()()1(l n j l jl ij l ikl ikl ikEw OOE )()1()(l ik l jk l ij O E w +=∆η)()1()()()()(l ikl jk l ij l ij l ij l ij O E w w w w +-=∆-=η= 0.3-0.3*(-0.333666)*0.569028 = 0.35696=0.35-0.3*(-0.333666)*0.64174 = 0.414238=0.45-0.3*(-0.333666)*0.658516 =0.515917=0.35-0.3*0.635793*0.569028 =0.241465 = 0.25-0.3*0.635793*0.64174=0.127596)()1()(l il j l ij O Ew +=∆η)()1()()()()(l il jl ijl ij l ij l ijO E w w w w +-=∆-=η)3(1)4(1)3(11)3(11O E w w η-=)3(2)4(1)3(21)3(21O E w w η-=)3(3)4(1)3(31)3(31O E w w η-=)3(1)4(2)3(12)3(12O E w w η-=)3(2)4(2)3(22)3(22O E w w η-=)3(3)4(2)3(32)3(32O E w w η-== 0.3-0.3*0.635793*0.658516 = 0.174396………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………解题要求：1.选择一种语言编程实现BP算法，要求给定最大的误差为0.0001，算法运行完后给出学习的遍数，并能给出一个提示界面，要求输入一组实例后给出其正向传播的计算值，并给出其模糊评判。

2. 查阅相关BP算法的资料，对其中的学习率等其它参数或公式进行修改，尽量减少学习的遍数，并能对实例给出满意的解释。