2013考研数学一真题及解答(高清整洁完整版)
2013年考研数学一真题及答案解析(全国硕士研究生入学统一考试数学一试题)
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）已知极限0arctan limkx x xc x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）（A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==-（D ）13,3k c ==（2）曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==⎰，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9(4S -=（ ） （A ）34 （B ）14（C ）14-（D ）34-（4）设222222221234:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33((2)(1,2,3,4)63ii l y x I y dx x dy i =++-=⎰Ñ，则()i MAX I =( )（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（6）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为 （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=（7）设123X X X ，，是随机变量，且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α-（C ）2α （D ）12α-二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)x y y x e --=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= ．(10)已知321xx y exe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为y = ．(11)设sin sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== ．(12)21ln (1)xdx x +∞=+⎰．（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。
2013考研数一真题及解析
【答案】1 − 1 e
【解析】
f
(y)
=
e− y， y > 0， 0， y ≤ 0，
{ { { ∫∫ P
Y
≤ a +1Y
> a} =
P
Y
> P
a,Y Y>
≤a
a}
+
1}
=
a +1
a +∞
f ( y)dy f ( y)dy
=
e−a
− e−(a+1) e−a
=1− 1 e
a
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证
1
f (x)d
0x
0
x = 2 f (x)
x
1 0
−2
1 0
x f ′(x)dx
= 2 f (1) − 2∫1 ln(x +1) xdx = −2∫1 ln(x +1) dx = −4∫1ln(x +1)d x
0x
0x
0
∫ ∫
= −4 ln(x +1)
x
1 0
−
1
x
dx = −4 ln 2 + 4
【答案】A
【解析】曲面在点 (0,1,-1) 处的法向量为
→
n =(Fx′,Fy′,Fz′) (0,1,-1) =(2x-y sin (xy)+1,-x sin (xy)+z,y) (0,1,-1) =(1,-1,1) 故曲面在点 (0,1,-1) 处的切面方程为 1⋅ (x-0)-(y-1)+(z+1)=0, 即 x − y + z = −2 ，选 A
2013考研数学一真题解析
则｜A｜＝
。
【考点分析】：伴随矩阵。
【求解过程】：-1
从题目条件 aij + Aij = 0 得知 Aij = −aij ，根据 A 和它的伴随矩阵之间的关系得知
A* = −AT （1）
再根据公式 AA* =| A | E = −AAT ，两边取行列式 − | A |2 =| A |3 解得：
| A |= 0 或| A |= -1
得 y(0)=1，因此极限的值为 1.
【方法总结】： lim n[ f ( 1) −1] 为 0* 型的极限，此类极限求法为先将其化作 0 型或者
n→
n
0
型，然后使用洛必达法则，等价无穷小代换或者泰勒公式求得。
10.已知 y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解， 则该方程的通解 y= 。 【考点分析】：二阶常系数微分方程求解。
【求解过程】：1− 1 。 e
PY a +1 Y a
dy dx
=
dt dx
=
sin t
+ t cos t cos t
− sin t
=t，
dt
d2y dx2
=
d (dy ) dx dx
=
d(dy ) dx dt
•
dt dx
=
sec t
，带入
t
的值，原式=
2。
【方法总结】：对于参数方程求导和反函数求导的题目，需要掌握求导的过程，特别对于其
中二阶倒数甚至更高阶导数的求法，更需认真对待。
x→ 1+ x
1
= 0 − 0 + 0 − (− ln 2)
2013年考研数学一真题及参考答案整理
2013硕士研究生入学考试数学一一、选择题:1—8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题．．纸．指定位置上. 1.已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（） A.12,2k c ==- B.12,2k c == C.13,3k c ==- D.13,3k c ==2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（） A.2x y z -+=- B.0x y z ++= C.23x y z -+=- D.0x y z --=3.设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰ ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4-=S （）A.34B.14C.14-D.34- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰ ，则{}1234m a x ,,,I I I I =A.1IB.2IC.3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（） A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价6.矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（）A.0,2a b ==B.0,a b =为任意常数C.2,0a b ==D.2,a b =为任意常数7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（） A.123P P P >> B.213P P P >> C.322P P P >> D 132P P P >>8.设随机变量~()X t n ，~(1,)Y F n ，给定α,(00.5)α<<,常数C 满足{}2P X c >=，则{}2P Y c >=(A) α (B) 1-α (C) 2α (D)1-2α二、填空题：9—14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y)确定，则01lim [()1]n n f n→-＝ 。
2013年考研数学一真题
．
【答案】 C1ex + C2e3x − xe2x
（11）设
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
sin t t sin
t
+
cos
t
（t
为参数），则
d2y dx2
t=π
=
．
4
【答案】 2
∫ （12）
+∞ ln x 1 (1 + x)2 dx =
．
【答案】 ln 2
（ 13 ） 设 A = (aij ) 为 3 阶 非 零 矩 阵 ， A 为 A 的 行 列 式 ， Aij 为 aij 的 代 数 余 子 式 ， 若
【答案】（A）
∫ ∑ （3）设
f
(x) =
x−
1 2
， bn
=2
1 0
f (x)sin nπ xdx
(n
= 1, 2,⋯) ，令 S( x) =
∞
bn sin nπ x ，
n=1
则 S(− 9) = （ ） 4
3
1
(A)
(B)
4
4
【答案】 （C）
1 (C) −
4
3 (D) −
4
（4）设 L1 : x2 + y2 = 1， L2 : x2 + y2 = 2 ， L3 : x2 + 2 y2 = 2 ， L4 : 2x2 + y2 = 2 为四条逆
�∫ 时针方向的平面曲线，记
Ii
=
Li
(y
+
y3 )dx 6
+ (2x
−
x3 )dy 3
(i
= 1, 2,3, 4) ，则
2013年全国硕士研究生入学考试数学一试题答案(详解)
∫ 1
1
= −4 x ln(1+ x) + 4
x dx （设 x = t ）
0 01+ x
= −4 ln 2 + 8 − 2π
（16）（本题满分 10 分）设数列{an} 满足条件： a0 = 3 ， a1 = 1 ， an−2 − n(n − 1)an = 0
∞
∑ (n ≥ 2) ， S( x) 是幂级数 an xn 的和函数。
【答案】（A）
∫ ∑ （3）设
f
(x) =
x−
1 2
， bn
=2
1 0
f (x)sin nπ xdx
(n
= 1, 2,⋯) ，令 S( x) =
∞
bn sin nπ x ，
n=1
则 S(− 9) = （ ） 4
3
1
(A)
(B)
4
4
【答案】 （C）
1 (C) −
4
3 (D) −
4
（4）设 L1 : x2 + y2 = 1， L2 : x2 + y2 = 2 ， L3 : x2 + 2 y2 = 2 ， L4 : 2x2 + y2 = 2 为四条逆
0
⎟ ⎟
（
k,
l
为任意常数）
⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
⎟ ⎠
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故
C
=
⎛ ⎜ ⎝
k
+l k
+
1
−k l
⎞ ⎟ ⎠
（
k,
l
2013年考研数学一真题及答案
2013年考研数学一真题及答案2013年的考研数学一科目是众多考生备战考研的重要内容之一。
下面将为大家详细解析该年度的数学一真题，并提供对应的答案，帮助考生更好地复习和备考。
一、选择题1. 设函数f(x)=x^2-3，g(x)=2x+1，若f(g(x))=0，则函数g(f(x))的根是：答案：x=-2，32. 已知整数n，下列命题中正确的是：A. 若n为奇数，则n(n+1)(n+2)为偶数；B. 若n为奇数，则n^2+n为偶数；C. 若n^2+n为偶数，则n为奇数；D. 若n(n+1)(n+2)为偶数，则n为奇数。
答案：B3. 已知复数z满足|z-1+i|=2，则z可能的值为：答案：z=3, -1-i4. 设等差数列{a_n}的公差不为0，若lim(n→∞)(a_n+a_{n+1})=2，则lim(n→∞)a_n的值是：答案：15. 设函数f(x)=x^3-3x+p，若f(x)在区间[-2,2]上有且仅有一个零点，则p的值为：答案：-4二、填空题1. 已知向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，则|a+b|的值为：答案：√992. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)={k(x^2-x+1), 0<a≤x≤b; 0, 其他}，则k的值为：答案：1/(b^2-b-a^2+a)3. 设y=f(x)是定义在R上的奇函数，若f(e^3)=2，则f(ln2)的值为：答案：-24. 设f(x)是定义在[-1,1]上的连续函数，且f(0)=0，当x≠0时，|f(x)|≤x^2，则f(x)的最大值是：答案：15. 设f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n，若f(1)=f'(1)=f''(1)=0，则f(0)的值为：答案：0三、解答题1. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n=(-1)^{n+1}/n，试求其前n项和S_n。
解答：数列{a_n}的前n项和可以表示为S_n=∑_{k=1}^n a_k，代入通项公式，得到S_n=∑_{k=1}^n (-1)^(k+1)/k。
2013年全国硕士研究生入学考试数学一真题答案及解析
1 a 1 2 0 0 【解析】设 A a b a ，B 0 b 0 ，因为 A与 B 为实对称矩阵， 1 a 1 0 0 0
则 A与B 相似的充要条件是 A 的特征值分别为 2,b, 0 ，
1
A的特征方程 E-A a 1
1 /2 1 2 2 1 1 /2 2 1 3 2 sin d r dr 2 2 4 cos d sin d 0 0 0 0 2 0 4 2 0 4 1!! 1 1 1!! 1 11 . 2 2 4 4 2 2!! 2 4 2 2!! 2 4 2 8 8
/2 1 1 cos 2 d sin 2 d 0 4 4
I 3 I 4 故应选 (D). .
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2013年考研真题
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（5）设 A, B, C 均为 n 阶矩阵，若 AB C ，且 B 可逆，则（ ）. （A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价. （B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价. （C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价. （D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价. 【答案】B. 【解析】将 A, C 按列分块，若 A=(1 ,..., n ),C=( 1 ,..., n ) 由于 AB C ，故
a
1
a
1
b
a
a 0 b a 1 0 2a 2
[( b)( 2) 2a 2 ]
因为 0， 2,b 是 A 的特征值，所以 2a 0，即a 0 .
2
当a 0时