13年考研数学三真题
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222 0() dx x y dy+⎰（B）222 0() dx f x y dy+⎰（C）222 01() dx x y dy+⎰⎰（D）222 01() dx f x y dy++⎰⎰（4）已知级数11(1)ninα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+PX Y ≤22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（ ） （A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ（D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim (tan )x xx x π-→（10）设函数0ln1(),(()),21,1xdyxf x y f f xdxx x=⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y=满足1(,)22lim0,xyf x y x y→→-+-=则(0,1)dz=_______.（12）由曲线4yx=和直线y x=及4y x=在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A为3阶矩阵，|A|=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11 (),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos4limx x xe ex-→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y（万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y（万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XYX Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(14年)行列式【】A．(ad－bc)2B．－(ad－bc)2C．a2d2－b2c2D．b2c2－a2d2正确答案：B解析：按第1列展开，得所求行列式D等于D＝＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数2．(89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有【】A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜B．AB＝BAC．｜AB｜＝｜BA｜D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1正确答案：C 涉及知识点：线性代数3．(94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则【】A．r＞r1．B．r＜r1．C．r＝r1．D．r与r1的关系依C而定．正确答案：C解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)．知识模块：线性代数4．(96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则【】A．(A*)*＝｜A｜n-1AB．(A*)*＝｜A｜n+1AC．(A*)*＝｜A｜n-2AD．(A*)*＝｜A｜n+2A正确答案：C解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确．知识模块：线性代数5．(97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则【】A．AB＝BA．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝B．C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝B．D．存在可逆矩阵P和Q，使PAQ＝B．正确答案：D解析：因为，方阵A可逆A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA＝E．同理，由于B可逆，存在可逆矩阵M，使MB＝E．故有PA＝MB，PAM-1＝B，记M-1＝Q，则P、Q可逆，使PAQ＝B．于是知D正确．知识模块：线性代数6．(98年)设n(n≥3)阶矩阵A＝的秩为n－1，则a必为【】A．1B．C．－1D．正确答案：B解析：因为r(A)＝n－1＜n，故必有｜A｜＝0，而因此，或者a＝，或者a＝1．显然，当a＝1时，有r(A)＝1＜n－1,所以，有a＝，而且当a＝时，A 的左上角的n－1阶子式等于，可知此时确有r(A)＝n一1，故选项B正确．知识模块：线性代数7．(01年) 其中A可逆，则B-1等于【】A．A-1P1P2B．P1A-1P2C．P1P2A-1D．P2A-1P1正确答案：C解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B＝AP2P1，故B-1＝P1-1P2-1A-1，而P1-1＝P1，P2-1＝P2，故有B-1＝P1P2A-1．知识模块：线性代数8．(03年)设三阶矩阵A＝，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有【】A．a＝b或a＋2b＝0．B．a＝b或a＋2b≠0．C．a≠b且a＋2b＝0．D．a≠b且a＋2b≠0．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．(04年)设n阶矩阵A与B等价，则必有【】A．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝a．B．当｜A｜＝a(a≠0)时，｜B｜＝－a．C．当｜A｜≠0时，｜B｜＝0．D．当｜A｜＝0时，｜B｜＝0．正确答案：D解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有｜B｜＝－｜A｜，｜B｜＝k｜A｜(常数k≠0)，｜B｜＝｜A｜．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有D正确．知识模块：线性代数10．(05年)设矩阵A＝(aij)3×3满足A*＝AT，其中A*为A的伴随矩阵，A*为A的转置矩阵．若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为【】A．B．3C．D．正确答案：A解析：由题设条件A*＝AT，即其中Aij为｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，3)，得aij＝Aij(i，j＝1，2，3)，故有再从AT＝A*两端取行列式，得｜A｜＝｜AT｜＝｜A*｜＝｜A｜2，即｜A｜(1－｜A｜)＝0 由此得｜A｜＝1．所以，有知识模块：线性代数11．(06年)设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则【】A．C＝p-1AP．B．C＝PAP-1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B＝PA．令矩阵则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C＝BQ，从而有C＝PAQ．由于所以，C＝PAQ＝PAP-1，只有选项B正确．知识模块：线性代数填空题12．(88年)＝_______．正确答案：－3解析：把行列式的各行都加到第1行，得知识模块：线性代数13．(16年)行列式＝_______．正确答案：λ4＋λ3＋2λ2＋3λ＋4解析：按第1列展开，得行列式为知识模块：线性代数14．(88年)设矩阵A＝，则A-1＝_______．正确答案：解析：利用初等行变换法：故A-1＝A．知识模块：线性代数15．(91年)设A和B为可逆矩阵，X＝为分块矩阵，则X-1＝_______．正确答案：解析：设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X12，X21分别为m阶、n阶方阵，则有XX-1＝Em+n，即由分块矩阵的乘法，得AX21＝Em，AX22＝0，BX11＝0，BX12＝En 因为A、B均为可逆矩阵，所以解得X21＝A-1，X22＝0，X11＝0，X12＝B-1 于是得知识模块：线性代数16．(92年)设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且｜A｜＝a，｜B｜＝b，C ＝，则｜C｜＝_______．正确答案：(－1)mnab解析：从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有知识模块：线性代数17．(93年)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_______．正确答案：0解析：因为r(A4×4)＝2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A*＝O，从而有r(A*)＝0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2013年考研数学三真题及答案解析
【解析】由 C AB 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有 A CB1 ，从而
A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
1 a 1 2 0 0
（6）矩阵
a
b
a
与
0
b
0
相似的充分必要条件为
1 a 1 0 0 0
（B） o(x) o(x2 ) o(x3 )
（C） o(x2 ) o(x2 ) o(x2 )
（D） o(x) o(x2 ) o(x2 )
（2）函数 f (x) | x |x 1 的可去间断点的个数为（ ） x(x 1) ln | x |
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（3）设 Dk 是圆域 D {(x, y) | x2 y2 1}位于第 k 象限的部分，记 Ik ( y x)dxdy k 1, 2,3, 4
（10）设函数 z z(x, y) 由方程 (z y) x
xy 确定，则 z x
(1, 2 )
________。
ln x
（11）求
dx ________。
1 (1 x)2
（12）微分方程 y y 1 y 0 通解为 y ________。 4
（13）设 A (aij ) 是三阶非零矩阵， | A | 为 A 的行列式， Aij 为 aij 的代数余子式，若
a 1
与
0 0
b 0
0 0
相似
1 a 1
的充分必要条件为
a
b
a
的特征值为
2,
b,0
。
1 a 1
1 a 1 又 E A a b a [( b)( 2) 2a2 ] ，从而 a 0,b为任意常数 。
历年考研数学三真题及答案解析
二、填空题： 9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .
1
lim (tan x ) cos x sin x
x
（9） 4
ln x , x 1
f (x)
,y
（ 10 ）设函数
2 x 1, x 1
dy f ( f ( x)), 求
dx x0
___________.
（11）函数 z
n
绝对收敛，
n
( 1)
2
n
条件收敛，则
1
1
（A） 0<
2
（B） 2 <
1
范围为（ ）
3
（C） 1<
2
3 （D） 2 < <2
0
0
1
1
1
0,2
1,3
（5 ）设
c1
c2
任意常数，则下列向量组线性相关的是（
）
1, 4 c3
1 c 4 其中 c1， c2， c3， c4 为
（A） 1， 2， 3
（B） 1， 2， 4
设该企业生产甲、 乙两种产品的产量分别为 元/ 件）与 6+y（万元 / 件） .
x( 件 ) 和 y( 件) ，且固定两种产品的边际成本分别为
x 20+ 2 （万
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 C ( x , y ) （万元）
2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本
|BA*|=________.
P ( AB )
（ 14 ） 设 A,B,C 是 随 机 事 件 ， A,C 互 不 相 容 ，
1 , P(C )
2013年考研数学三真题_完整版
3.设Dk是圆域D={(x,y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，记Ik= （k=1,2,3,4），则
A.I1>0, B.I2>0, C.I3>0, B.I4>0
4.设｛an｝为正项数列，下列选项正确的是
A.若an>an+1,则 收敛
B.若 收敛，则an>an+1
C.若 收敛，则存在常数p>1，使 npan存在
文都首发2013硕士研究生入学考试数学三真题
来源：文都教育
1.当x 0时，用“o（x）”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是
A.x·o（x2）=o(x3) B.o(x)·o(x2)=o(x3)
C.o(x2)+o(x2)=o(x2) D.o(x)+o(x2)=o(x2)
2.函数f(x)= 的可去间断点的个数为
（1）存在 ，使得 ；
（2）对（1）中的a，存在 ，使得 。
20.设 ，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。
21.设二次型 ，记 ， 。
（1）证明二次型f对应的矩阵为 ；
（2）若 正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 。
22.设（X,Y）是二维随机变量，X的边缘概率密度为 在给定 的条件下，Y的条件概率密度为
13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1,2,3)，则｜A｜=.
14.设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），则E( )=.
三、解答题
15.当 时， 与 为等价无穷小，求n与a的值。
16.设D是由曲线 ，直线 及x轴所围成的平面图形， 分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若 ，求a的值。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(87年)若二事件A和B同时出现的概率P(AB)＝0，则【】A．A和B不相容(互斥)．B．AB是不可能事件．C．AB未必是不可能事件．D．P(A)＝0或P(B)＝0．正确答案：C解析：由P(AB)＝0不能推出AB＝的结论，故A、B均排除．而D明显不对，应选C．知识模块：概率论与数理统计2．(89年)以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：【】A．“甲种产品滞销，乙种产品畅销”．B．“甲、乙两种产品均畅销”．C．“甲种产品滞销”．D．“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(90年)议A、B为随机事件，且BA，则下列式子正确的是【】A．P(A＋B)＝P(A)．B．P(AB)＝P(A)．C．P(B｜A)＝P(B)．D．P(B－A)＝P(B)－P(A)．正确答案：A解析：∵AB，∴A＋B＝A，故选A．知识模块：概率论与数理统计4．(91年)设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：【】A．不相容．B．相容．C．P(AB)＝P(A)P(B)．D．P(A－B)＝P(A)．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计5．(92年)设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则【】A．P(C)≤P(A)＋P(B)－1．B．P(C)≥P(A)＋P(B)－1．C．P(C)＝P(AB)．D．P(C)＝P(A∪B)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计6．(93年)设两事件A与B满足P(B｜A)＝1，则【】A．A是必然事件．B．P(B｜)＝0C．AB．D．AB．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计7．(94年)设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P()＝1，则事件A和B 【】A．互不相容．B．互相对立．C．不独立．D．独立．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(96年)已知0＜P(B)＜1，且P[(A1＋A2)｜B]＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)，则下列选项成立的是【】A．P[(A1＋A2)｜]＝P(A1｜)＋P(A2｜)B．P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B)C．P(A1＋A2)＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)D．P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)正确答案：B解析：由已知得，化简得B项正确．知识模块：概率论与数理统计9．(00年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电．以E 表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于【】A．{T(1)≥t0}B．{T(2)≥t0}C．{T(3)≥t0}D．{T(4)≥t0}正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(88年)设P(A)＝0．4，P(A∪B)＝0．7，那么(1)若A与B互不相容，则P(B)＝_______；(2)若A与B相互独立，则P(B)＝_______．正确答案：0．3；0．5．解析：由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) (1)若A、B互不相容，则AB ＝，∴P(AB)＝0，代入上式得0．7＝0．4＋P(B)－0，故P(B)＝0．3 (2)若A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，代入得0．7＝0．4＋P(B)－0．4×P(B)，故P(B)＝0．5．知识模块：概率论与数理统计11．(88年)若事件A，B，C满足等式A∪C＝B∪C，则A＝B．该命题是否正确_______．(填正确或不正确)正确答案：不正确涉及知识点：概率论与数理统计12．(90年)一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_______．正确答案：解析：设该射手的命中率为p，则4次射击(独立重复)中命中k次的概率为C4kpk(1－p)4-k．由题意＝P(他至少命中一次)＝1－P(他命中0次)＝1－C40p0(1－p)4-0＝1－(1－p)4 解得p＝知识模块：概率论与数理统计13．(92年)将C，C，E，E，I，N，S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为_______．正确答案：解析：这7个字母排一行共有71种排法(第1位置有7种放法，第2位置有6种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数．而在有利场合下，第1位置有1种放法(1个S)，第2位置有2种放法(2个C中选1个)，同理，第3位置有1种放法(1个D，第4位置有2种放法(2个E中选1个)，后边都是1种选法(即使是C或E，只剩1个了)，故有1×2×1×2×1×1×1＝4种放法，这是有利样本点个数．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计14．(07年)在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_______．正确答案：解析：设这两个数分别为χ，y，则二维点(χ，y)可能取的点为图4．3中的正方形内部(面积为1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值＜”)的点集合{(χ，y)：0＜χ＜1，0＜y＜1，｜χ－y｜＜}为图中阴影部分G，而G的面积为1－2×．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计15．(12年)设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝，P(C)＝，则P(AB｜)＝_______．正确答案：解析：∵AC＝，∴A，得P(AB)＝P(AB)＝，又P()＝1－P(C)＝，故知识模块：概率论与数理统计16．(16年)设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为_______．正确答案：解析：用古典概型，4次取球共有34种取法；而“第1次取红球，第2、3次至少取得1白球且未取得黑球，第4次取黑球”共有3种取法：(按顺序)“红红白黑，红白红黑，红白白黑”，故上述事件(引号内的事件)的概率为．而红、白、黑3种颜色排列有31种，故本题所求概率为．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编12(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．对任意两个随机变量X和Y，若E(XY)＝E(X).E(Y)，则A．D(XY)＝D(X).D(Y)．B．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)．C．X与Y独立．D．X与Y不独立．正确答案：B解析：∵D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2[E(XY)－E(X)E(Y)]，可见选项B与E(XY)＝E(X)E(Y)是等价的．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与V必然A．不独立．B．独立．C．相关系数不为零．D．相关系数为零．正确答案：D解析：∵X与Y同分布，∴DX＝DY 得cov(U，V)＝cov(X－Y，X＋Y)＝cov(X，X)＋cov(X，Y)～cov(Y．X)－cov(Y，Y) ＝DX－DY=＝0 ∴相关系数ρ＝0 知识模块：概率论与数理统计3．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．－1B．0C．D．1正确答案：A解析：∵X＋Y＝n，∴Y＝n－X 故DY＝D(n－X)＝DX，cov(X，Y)＝cov(X，n－X)＝－cov(X．X)＝－DX．∴X和Y的相关系数ρ(X，Y)＝＝－1．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(χ)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(χ｜y)为A．fX(χ)．B．fY(y)．C．fX(χ)fY(y)．D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关．故X与Y独立，∴(X，Y)的概率密度f(χ，y)＝fX(χ).fY(y)，(χ，y)∈R2．得fX｜Y(X｜Y)＝＝fX(χ) 故选A．知识模块：概率论与数理统计填空题5．设随机变量Xij(i，j＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij＝2，则行列式的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量则方差DY＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率密度为：则P(X＞0)＝∫0＋∞f(χ)dχ＝P(X ＜0)＝∫－∞0＝，而P(X＝0)＝0 故EY＝1.P(X＞0)＋0.P(X＝0)＋(－1)P(x ＜0)＝E(Y2)＝12.P(X＞0)＋02.P(X＝0)＋(－1)2P(X＜0)＝＝1 ∴DY＝E(Y)2－(EY)21－知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．正确答案：－0．02解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为：关于Y的边缘分布律为：∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，EY2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0．9解析：因为D(Z)＝D(X－0．4)＝DX，且cov(Y，Z)＝cov(Y，X－0．4)＝cov(Y，X)＝cov(X，Y) 故ρ(Y，Z)＝＝ρ(X，Y)＝0．9．知识模块：概率论与数理统计9．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．正确答案：解析：由题意，DX＝，而X的概率密度为故＝e-1．知识模块：概率论与数理统计10．设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．正确答案：解析：由EX2＝DX＋(EX)2＝1＋12＝2，故P{X＝EX2}＝P{X＝2}＝知识模块：概率论与数理统计11．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．正确答案：μ3＋μσ2解析：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，解：由题意知X与Y独立同分布，且X～N(μ，σ2)，故EX＝μ，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝σ2＋μ2 ∴E(XY2)＝EX.E(Y2)＝μ(σ2＋μ2)＝μ3＋μσ2 知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．正确答案：2e2解析：E(Xe2X)＝而－χ2＋2χ＝－(χ2－4χ＋4－4)＝－(χ－2)2＋2 ∴E(Xe2X)＝＝2e2 知识模块：概率论与数理统计13．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．正确答案：解析：由题意可知X～N(1，1)，Y～N(0，1)，且X与Y独立．可得X－1～N(0，1)，于是P(Y＞0)＝P(Y＜0)＝，P(X－1＞0)＝P(X－1＜0)＝，可得P(XY －Y＜0)＝P{Y(X－1)＜0}＝P{Y＞0，X－1＜0}＋P{Y＜0，X－1＞0} ＝P(Y ＞0)P(X－1＜0)＋P(Y＜0)P(X－1＞0) ＝知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2013硕士研究生入学考试数学三真题
1. 当x →0时，用“o （x ）”表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 A. x ·o （x 2）=o(x 3) B.o(x )·o(x 2)=o(x 3) C.o(x 2)+o(x 2)= o(x 2) D.o(x )+ o(x 2)= o(x 2)
2. 函数f (x )=1
(1)ln x
x x x x
-+的可去间断点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
3. 设D k 是圆域D ={(x ,y )|x 2+y 2≤1}位于第k 象限的部分，记I k =
()k
D y x dxdy -⎰⎰（k =1,2,3,4）
，则
A.I 1>0,
B. I 2>0,
C. I 3>0, B. I 4>0 4. 设｛a n ｝为正项数列，下列选项正确的是 A. 若a n > a n+1, 则
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛
B. 若
1
1(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛，则a n >a n+1
C. 若
1
n
n a
∞
=∑收敛，则存在常数p >1，使lim n →∞
n p
a n 存在
D. 若存在常数p >1，使lim n →∞
n p
a n 存在,则
1
n
n a
∞
=∑收敛
5. 设A,B,C 均为n 阶短阵，若AB=C,且B 可逆，则 A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
6. 矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似的充分必要条件为（ ）
A. a =0,b =2
B. a =0,b 为任意常数
C. a =2,b =0
D. a =2,b 为任意常数
7. 设x 1, x 2, x 3是随机变量，且x 1~N (0,1),x 2~N (0,22),x 3~N (5,32),P j =P {-2≤x j ≤2}(j =1,2,3),则A.P 1>P 2>P 3 B.P 2>P 1>P 3 C.P 3>P 1>P 2 D.P 1>P 3>P 2 8. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为
X 0
1 2 3
则P {X+Y =2}= A.
112
B.
18
C.
16
D.
12
9. 设曲线y=f(x )与y=x 2
-x 在点（1，0）处有公共切线，则lim n →∞
nf 2n n ⎛⎫
⎪+⎝⎭
= . 10. 设函数z=z(x,y)由方程（z+y ）x
=xy 确定，则
(1,2)
z
x ∂∂= . 11.
2
1
ln (1)
x
dx x +∞
+⎰
= . 12. 微分方程1
04
y y y '''-+
=的通解为y= . 13. 设A =(a ij )是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若a ij + A ij =0(i ，j=1,2,3)，则｜A ｜= .
14. 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），则E (2X
Xe ) = .
三、解答题
15.当0x →时，1cos ,cos 2,cos3x x x -与n
ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
16.设D 是由曲线1
3
y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。
17.设平面区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成，计算
2
D
x dxdy ⎰⎰。
18.设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000
Q
P =-,(P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润；
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义； （3）使得利润最大的定价P 。
19.设函数f(x)在[0,)+∞上可导，(0)0f =，且lim ()2x f x →∞
=，证明
（1）存在0a >，使得()1f a =；
（2）对（1）中的a ，存在(0,)a ξ∈，使得1()f a
ξ'=。
20. 设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当a,b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩
阵C 。
21. 设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，
123b b b β⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭。
（1） 证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；
（2） 若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22
12
2y y +。
22.设（X,Y ）是二维随机变量，X 的边缘概率密度为33,01,()0,X x x f x ⎧<<=⎨⎩其他在给定
(01)X x x =<<的条件下，Y 的条件概率密度为2
33,01,()0,Y X y x f y x x ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩
其他
（1）求(,)X Y 的概率密度(,)f x y ； （2）求Y 的边缘概率密度()Y f y 。
（3）求{2}P X Y >.
23. 设总体X 的概率密度为23,0,
(;)0,x e x f x x θ
θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩
其他其中θ为未知参数且大于零，
12,,n X X X ，为来自总体X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量；
（2） 求θ的最大似然估计量。