2013年1月 MBA 数学真题详解

C.1920
D.1960
E.2000
x y 12 x y 1 解： 设熟练工和普通工人各需 x, y 人， 则条件是 10 15 ， 目标函数是 C x, y 200 x 120 y 。 x 0 y 0
图中阴影部分即为条件（可行域） ，问题归结为求 C x, y 200 x 120 y 在可行域内的最小值。 显然 x 6 ，又因为 C x, y 200 x 120 y 中 x 的系数大于 y 的系数，故 x 越小越使目标函数达 到最小值， 6, 6 在可行域内，此时目标函数取值 1920，达到最小值。
1 （2） ABC 的面积为 ab 2
解： （1 ） c 2 a 2 b2 a 2 b2 0 a b 或 c2 a 2 b2 ，未必是直角三角形。 （2）由面积的正弦定理知 S 选 B。 19.已知二次函数 f x ax 2 bx c ，则 f x 0 有两个不同的实根 （1 ） a c 0 （2 ） a b c 0
3.甲班共有 30 名学生，在一次满分为 100 的考试中，全班平均成绩为 90，则成绩低于 60 的学 生至多有（）个 A.8 B.7 C.6 D.5 E.48
解：若有 8 人不及格，则他们的分数之和少于 480，所以剩余的 22 人分数之和大于 2200，矛 盾。所以不及格人数少于 8，让剩余 23 人得满分，则 7 人总分为 400，可使 7 人均不及格。因 此，至多 7 人不及格。选 B 。 4.某工程由甲公司 60 天完成， 由甲乙两公司共同承包需 28 天完成， 由乙丙公司共同承包需 35 天完成，则由丙公司承包完成该工程需要的天数为（） A.85 B.90 C.95 D.100 E.105
为 95。选 E。 10．将体积为 4 cm3 和 32 cm3 的两个实心金属球融化后铸成一个实心大球，则大球的表面积 是（） cm2 。 A.32 B.36 C.38 D.40 E.42
4 解：设大球的半径为 R ，则 R3 36 R3 27 R 3 S 4 R 2 36 。选 B。 3
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数学真题详解
（1） m 为正整数， q 为质数
（2） m, q 均为质数
解： （1 ）取 m 1, q 5 p 6 ，不是质数。 （2）取 m 3, q 3 p 10 ，不是质数。 选 E。 18. ABC 的边长为 a, b, c ，则 ABC 是直角三角形 （1） c 2 a 2 b2 a 2 b2 0
x 1 5 8 解 ： 设 甲 乙 进 货 量 分 别 为 x, y ， 则 y 1 0 7 。 令 y 1 0 t , x 1 5 t ， 5 则 x 1 5 y 1 0 5
t 5 8 5 1 1 1 t 3 5 y t 7 t 7 4x 5 ,
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解二：因答案各点分散，画草图可观察出结果。选 E。
9. x 2 3x 1 的展开式中， x 2 的系数是（） A.5 B.10 C.45 D.90 E.95


5
解：利用二项展开式，将 x 2 看作一项， 3x 1 看作一项。
x 3x 1
2
5
0 C5 x2 C51 x2 3x 1 C54 x2 3x 1 C55 x2 3x 1 5 4 4 0
2.甲乙两人同时从 A 点出发，沿 400 米跑道同向均匀行走，25 分钟后乙比甲少走了一圈，若 乙行走一圈需 8 分钟，甲的速度是（单位：米/分钟） （） A.62 B.65 C.66 D.67 E.69
400 50 v2 解：设甲乙速度分别为 v1 , v2 ，由题意知 8 v1 66 ，选 C。 25 v2 v1 400
p 。该库房遇烟火发出警报的概率达到 0.999。
（1） n 3,： （ 1 ）每个报警器遇烟火而不发出警报的概率是 0.1 ，三个报警器都不发出警报的概率是
0.13 0.001 ，所以至少一个发出警报的概率是 0.999。
（ 2 ）每个报警器遇烟火而不发出警报的概率是 0.03 ，两个报警器都不发出警报的概率是
1 ab sin C ，故知 sin C 1 C 。 2 2
解： （1）因为题干中强调 f x ax 2 bx c 是二次函数，所以 a 0 ，由（1）知 a, c 异号，所 以 ac 0 ，所以 b2 4ac 0 ，充分。 （2）若 x 1 是二重根，则 f 1 a b c 0 ，如 f x x 2 2 x 1 就是反例，不充分。 选 A。 20.档案馆在一个库房中安装了 n 个烟火感应报警器， 每个报警器遇到烟火发出警报的概率均为
1 1 1 1 1 1 1 y 60 28 解一：设乙每天完成 ，丙每天完成 ，则 ，两式相减得 。 1 1 1 z z 105 y y z 35
解二：由等量替换法，易知丙效是甲效的
4 1 ，故丙效是 ，故丙单干需 105 天。选 E。 7 105
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D
E
S ADE DE 2 3 2 。选 D。 BC DE S ABC BC 3 2
8．点 0, 4 关于 2 x y 1 0 的对称点为（） A. 2, 0 B. 3, 0 C. 6,1
B
D. 4,2 E. 4, 2
2013 年 1 月 MBA 真题详解
一、 问题求解
1.某工厂生产一批零件，计划 10 天完成任务，实际提前 2 天完成。则每天的产量比计划平均 提高了（） A.15% B.20% C.25% D.30% E.35%
解： 设有 x 个零件， 则计划每天完成 选 C。
x x x x 10 25% 。 个， 实际每天完成 。 故比计划提高了 8 x 10 8 10
5 设 200 x 120 y 120k y x k ，即求 k 在可行域中的最小值，由图知在交点 6, 6 处达到 3
最小值 1920。选 C。 12.已知抛物线 y x 2 bx c 的对称轴为 x 1 ，且过 1,1 ，则（） A. b 2, c 2 D. b 1, c 1 解：由题意知 B. b 2, c 2 E. b 1, c 1
C62 1 2 ，故所求事件的概率为 。选 B。 2 3 C10 3
15.要确定两人从 A 地出发经过 B ，C，尚逆时针方向行走一 圈到 A 地的方案。若从 A 地出发时每人均可选择大路或山 道，经过 B，C 时，至多有一人可以更改道路，则不同的方 案有（）种。 A.16 E.64 解：设两人为甲乙，从 A 到 B 甲有 2 种选择，乙有 2 种选 择，故这一步有 4 种可能。从 B 到 C，因为至多有 1 人可 以改路线，分为三种情况：甲乙都不改，甲改乙不改，甲 不改乙改，共 3 种情况。同理，从 C 到 A 也是 3 种情况。所以，共 36 种可能。选 C。 二、 条件充分性判断 B.24 C.36 D.48
5
可见，展开式中只有最后两项才可能产生 x 2 项。其中
C54 x 2 3x 1 中 x 2 系数为 C54 5 ；
4
5 C5 x2 3x 1 3x 1 C50 3x C53 3x ，其中 x 2 系数为 32 C53 90 。故 x 2 系数 0 5 5 5 2
b 10 。选 D。 a
解：由等差数列性质及韦达定理知 a5 a7 a2 a10
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14.已知 10 件产品中有 4 件一等品，从中任取 2 件，则至少有 1 件一等品的概率为（） A.1/3 B.2/3 C.2/15 D.8/15 E.13/15
解：其反面事件是两件都不是一等品，概率为
ABO 2 1 AOC 2 3 2 。 ，所以 3 3

3
，
故 D1 , D2 覆盖区域的边界长度为 2 2 3 2 8 。 条件（2）中， D2 圆心在直线上，它与 D1 所围区域变化，故不充分。选 A。 17. p mq 1 为质数
16.已知平面区域 D1 域的边界长度为 8 。
2 2 （1） x0 y0 9
x, y x
2
y 2 9 , D2

x, y x x y y 9 ，则 D , D 覆盖区
2 2 0 0
1 2
（2） x0 y0 3
解：易知 D1 , D2 均表示圆及其内部，且 D2 的圆心 在 D1 上，从虚圆可见，无论 D2 在哪，它与 D1 所 交区域形状都相同，故将 D2 特殊化为以 3, 0 为 圆心的圆。 因为 OA AB BO， 所以 ABO
。选 5 5 D。
7.如图，直角三角形 ABC 中， AB 4, BC 3, DE / / BC ，已知梯形 BCDE 的面积为 3，则 DE 长 为（） A. 3 D. B. 3 1 E. 2 1 C. 4 3 4
A
3 2 2
解 ： 易 知 SA
2
B C
6 , S
A D E
，由相似关系知 3
f 8
1 1 1 1 1 1 1 ，选 E。 9 10 17 18 9 10 10 11 18
6.甲乙两店同时购进了一批某品牌电视机，当甲店售出 15 台时，乙售出了 10 台，此时两店的 库存比为 8:7，库存差为 5 ，甲乙两店总进货量为（）台。 A.75 B.80 C.85 D.100 E.125