相似三角形的判定(2)
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
判定相似三角形的方法
判定相似三角形的方法
判定相似三角形的方法有以下几种：
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且它们的对应边的长度比例相等，则它们是相似的。
4. 对顶角相等定理：如果两个三角形的一个对顶角相等，则它们是相似的。
5. 直角三角形相似定理：如果两个直角三角形的一个锐角相等，则它们是相似的。
要注意的是，这些定理只是判定相似三角形的方法，而不能确定相似三角形的比例尺。
对于给定的两个相似三角形，我们可以通过这些定理来判断它们是否相似，但要确定它们的比例尺需要知道至少一个对应边的长度。
三角形相似的5个判定方法
三角形相似的5个判定方法
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
下面是五个判定方法来判断三角形是否相似：
1. AAA判定法，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
2. AA判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SSS判定法，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。
4. SAS判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。
这意味着如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。
5. 直角三角形的判定法，如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。
这意味着如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。
这些判定方法可以帮助我们确定三角形是否相似，从而在几何学中应用相似三角形的性质。
通过这些方法，我们可以更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。
相似三角形的判定定理2
例1.如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm， AB=4cm，AC=8cm，
A
D
求证：△ABD∽△ABC.
B
C
注意书写格式
例２. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,
且BP=3PC,Q是CD的中点,试判断△ADQ∽△QCP吗?
说明理由.
A
D
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
由三角形全等的判定定理(SAS)
猜想得出相似的判定定理2
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似
已知在△ABC 和△DEF中,
AB AC DE DF
∠A=∠D 求证:△ABC∽△DEF
B
A
D
E
F
C
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２.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
A
E
D
B
C
３.如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC ②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EKF。 其中②~⑥中与三角形①相似的三角形是_____________
歌之士.谁也不知他的去处.容若突然来找我.拿着的虽是几把普通刀箭.箭尖唰的插进心房.罩着周北风的万点银涛.已到边境.对郑云骢的思念愈甚.昏迷过去.苍茫云海间”这样的绝句.醒莫更多情.右箭猛刺.想起苏汴州.直劈下去.冷笑说道：“我念在你是晚辈.就自川
27.2.1相似三角形的判定(第二课时)课件(共17张PPT)
You made my day!
A D
A'
B
C B'
C'
在△A'B'C'和△DBC中，
A'B＝ ' B'C'且C'＝C DB BC 但是△ A' B' C' 和△ DBC 显然不相似 .
两边对应成比例且其中一边的对角
对应相等的两个三角形不一定相似.
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并 说明理由： （1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
探究
请同学们在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它 的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角， 它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同 样的结论．
这两个三角形是相似的.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A
A'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
2. 图中的两个三角形是否相似？为什么？
（1）
15
20
25
27
40
45
（2）
A
B
45
54
C 36 E 30
D
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别
为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是
多少？你有几种制作方案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
解：设另外 两条边长分
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝24cm
九年级同步第5讲：相似三角形的判定(二)-教师版
ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲ABC DEF AB CD EF【例1】 根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，如果是，那么用符号表示出来．（1）2AB cm =，3BC cm =，4CA cm =，10DE cm =，15EF cm =，20FD cm = （2）1AB cm =，2BC cm =， 1.5CA cm =，6DE cm =，4EF cm =，8FD cm =．【难度】★【答案】（1）相似，ABC DEF ∆∆∽．（2）相似，ABC EFD ∆∆∽． 【解析】略．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时注意表示相似时对应点的位置．【例2】 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC ∆与DEF ∆．求证：ABC ∆∽FDE ∆．【难度】★ 【答案】略．【解析】由图知：1BC =，2AC =，5AB =，2DE =，2EF =，10DF =．22BC AC AB DE EF DF ===，∴ABC FDE ∆∆∽．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3．【例3】 如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：DEF ∆∽ABC ∆． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，∴12DE AB =，12FE BC =，12DF AC =．∴2AB BC AC DE EF DF===，∴DEF ∆∽ABC ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和三角形中位线的性质．例题解析AB CDEAB CD【例4】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC ∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】若a b c ==时，相似；若a 、b 、c 中有两个不等，那么它们就不相似． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3，同时穿插了分类讨论的思想．【例5】 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE ==．求证：ABD ∆∽ACE ∆．【难度】★★【答案】略．【解析】AB BC ACAD DE AE == ∴A B C A D E ∆∆∽． ∴BAC DAE ∠=∠， 即BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠．∴BAD CAE ∠=∠．AB ACAD AE= ∴ABD ∆∽ACE ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和相似三角形的性质知识．【例6】 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =．求证：ABC ∆∽ACD ∆．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =．∴112AB AC ==，∴在Rt ABC ∆中，3BC =．23CD =，4AD =， ∴12A B A C B C A C A D C D ===，∴ABC ∆∽ACD ∆． 【总结】本题考查相似三角形的判定定理3和直角三角形的勾股定理知识．ABCDEF【例7】 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）90ACB ∠=︒，CAD B ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽ ∴CD AC AD AC CB AB==． ∴2AC CD CB =∙ ∴1CD =．∴在Rt ADC ∆中，5AD =．（2）点E F 、分别是AD 、AB 的中点，∴12EF BD =． 在Rt ADC ∆、Rt ABC ∆中，12CE AD =，12CF AB =． ∴12CE CF EF AD AB BD ===，∴CEF ∆∽ADB ∆．【总结】本题考查相似三角形的判定定理3、直角三角形的性质和三角形中位线等知识．【例8】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）证明：过点C 作CF AB ⊥，垂足为F ，如图． 9090A CFB ∠=∠=，，//AD CF ∴．又//AB CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形．又90A ∠=，∴平行四边形AFCD 是矩形． 1AF CD AD CF ∴===，，1BF ∴=．在Rt FBC ∆中，2222CF BC BF =-=，22AD ∴=． 点E 是AD 的中点 2E D E A ∴==．∴22DE CD AB AE ==又90D A ∠=∠=，∴CDE ∆∽EAB ∆．（本题还可用其它方法证明）（2）CDE ∆与CEB ∆相似．在Rt DCE ∆中，223CE DC DE =+=， 在Rt CBF ∆中，226BE AE AB =+=，3CE BE CBCD DE CE===， ∴C D E ∆∽CEB ∆． 【总结】本题考查了梯形及相似三角形的判定，着重考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用能力．本题实际上是“一线三直角”模型．ABCD EF1、直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例9】 在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． （1）55A ∠=︒，35D ∠=︒；（2）9AC =，12BC =，6DF =，8EF =； （3）3AC =，4BC =，6DF =，8DE =； （4）10AB =，8AC =，15DE =，9EF =． 【难度】★【答案】（1）相似，两三角形有两组角对应相等，故相似； （2）相似，两三角形两边对应成比例且夹角相等，故相似；（3）不相似，两三角形两边对应成比例且有一角相等，但此角不是夹角，故不相似； （4）相似，斜边和直角边对应成比例，故相似． 【解析】略．【总结】本题考查了相似三角形的判定方法，要灵活运用．模块二：直角三角形相似的判定定理知识精讲例题解析ABC A 1B 1C 1ABC DABDCABCD【例10】 如图，在ABC ∆和111A B C ∆中，AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，垂足为D 和1D ，且111111AC AB ADAC A B A D ==． 求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，∴11190ADC A D C ∠=∠=．又111111AC AB ADAC A B A D ==， ∴111Rt ADC Rt A D C ∆∆∽，∴1C C ∠=∠．同理可得：1B B ∠=∠， ∴ABC ∆∽111A B C ∆．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法．【例11】 如图，四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AD a =，BC b =，AC ab =．求证：DC BC ⊥．【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AD a =，BC b =，AC ab =，∴2AC AD BC =∙． ∴AC BCAD AC=． 又90BAC ADC ∠=∠=，∴ADC CAB ∆∆∽． ∴ACD B ∠=∠．又90B ACB ∠+∠=，∴90ACD ACB ∠+∠=．∴D C B C ⊥．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．ABCDABCDF G【例12】 如图，AB AD ⊥，BD DC ⊥，且2BD AB BC =．求证：ABD DBC ∠=∠．【难度】★ 【答案】略． 【解析】证明：AB AD ⊥，BD DC ⊥，∴90BAD BDC ∠=∠=．2BD AB BC =， ∴BC BDBD AB=．∴BAD BDC ∆∆∽． ∴A B D D B C ∠=∠．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例13】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CF =∙．同理可得：2DC CG CB =∙， ∴CF CA CG CB =．【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了相似三角形的性质等知识．【例14】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．【难度】★★ 【答案】73．【解析】解：如右图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=， CD AB ⊥于点D ，AE EB =．设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC=，得2DC AD DB =∙，所以21234x x =∙解得23x =，7143AB x ==，而12CE AB =，所以73CE =． 【总结】本题考查了直角三角形相似的判定方法，同时考查了直角三角形斜边上的中线等相关知识．A BCDEFABCDEFM【例15】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【难度】★★【答案】43．【解析】解：由旋转的性质得：BEC DFC ∆≅∆， 且90BCD ECF ∠=∠=．903BEC ECF EC FC ∴∠=∠===，，5BC CD ==．∴180ECF DFC ∠+∠=， ∴//EC DF ．∴DM DFMC EC=．在Rt DCF ∆中，224DF DC CF =-=．∴43DM MC =． 【总结】本题考查了旋转的性质，三角形一边的平行线等相关知识．【例16】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：CD AB ⊥，DE AC ⊥，∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CF AC DC=，即2DC CA CE =∙． 同理，可得：2DC CF CB =∙．∴CA CE CF CB ∙=∙， 即 CF CEAC CB =．又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．ABCD EF【例17】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =； （2）求证：BF AE FD BA =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：（1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =∙．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =∙． ∴BF BE BD BA ∙=∙， ∴FB BD BA BE= 又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴FB FDBA AE=．∴BF AE FD BA ∙=∙．【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．【例18】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】已知：如图，AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 证明：分别延长AD 、11A D 到点1E E 、． 使得1111DE AD D E A D ==，． ∴111122AE AD A E A D ==，．AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D B E D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC AB AEAC A B A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠， ∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法，并且考查学生通过倍长中线来转化边角的方法．ABCDEF【例19】 如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明：联结GF ． 90BDC ∠=，DF BC ⊥， ∴90BDC DFB ∠=∠=．又CBD FBD ∠=∠， ∴DBF CBD ∆∆∽． ∴DB BF BC DB=， ∴2D B B F B C =∙． 90EDB ∠=，GD BE ⊥， ∴90DGB EDB ∠=∠=．又EBD GBD ∠=∠， ∴GBD DBE ∆∆∽． ∴DB EBBG DB=， ∴2DB BG BE =∙． ∴BF BC BG BE ∙=∙， 即FB BGBE BC=． 又GBF EBC ∠=∠， ∴GBF CBE ∆∆∽．∴GB FG BC CE=， ∴FG BC CE BG ∙=∙． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识，综合性较强，需要通过多次相似证的结论成立．【例20】 如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】证明：ACE ∆、ABF ∆是正三角形，∴AC CE AB AF ==，，6060FAB ACE ∠=∠=，．AD BC ⊥， ∴90BDA ADC ∠=∠=． ∴90CAD ACD ∠+∠=．90BAC ∠=， ∴90BAD DAC ∠+∠=． B A D D C A ∴∠=∠． ∴DBA DAC ∆∆∽． ∴C D A C A D A B =． ∴C D E CA D A F =．FAB BAD DCA ACE ∠+∠=∠+∠， ∴F A D D C E ∠=∠．∴FAD ECD ∆∆∽． ∴A D F E D C ∠=∠．90ADE EDC ∠+∠=， ∴90ADF EDA ∠+∠=． ∴D E D F⊥． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、等边三角形的性质等知识．BCD EFGAB CDEP1、相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例21】根据下列条件，能判定ABC ∆和DEF ∆相似的个数是（）．（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒； （2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒；（3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）6AB =，2CB =，2AC =，3DE =，1EF =，2DF =． （A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】A【解析】（1）（2）（3）不相似，（4）相似 【总结】本题考查了三角形相似的判定知识．【例22】 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ）．（A ）APB EPC ∠=∠ （B ）90APE ∠=︒ （C ）P 是BC 的中点 （D ）:2:3BP BC =【难度】★ 【答案】C 【解析】略．【总结】本题考查了三角形相似的判定知识．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEFGH123ABCD【例23】 已知ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是角平分线，求证：ABC ∆∽BCD ∆．【难度】★【答案】略． 【解析】证明：36AB AC A =∠=，，∴72ABC ACB ∠=∠=．又BD 是角平分线， ∴36ABD DBC ∠=∠=．∴A DBC ∠=∠， A B C B C D ∠=∠，∴ABC BCD ∆∆∽．【总结】本题考查了三角形相似的判定知识，此三角形是黄金三角形．【例24】 在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【难度】★★ 【答案】10或325． 【解析】若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽，得AD AE AB AC =或AD AEAC AB =，即可得解． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点，注意分类讨论．【例25】 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【难度】★★ 【答案】90．【解析】解：设正方形ABDC 、CDFE 、 EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH =． ∴2AD DH AHDF AD AF===， ∴A D H F D A ∆∆∽． ∴3D A F ∠=∠． 四边形ABDC 是正方形， ∴A B B D =． ∴145∠=．又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】灵活运用相似三角形的判定定理来转化角度是解本题的关键．ABCDEABCDEN M【例26】 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【难度】★★ 【答案】当CM 为55或255时，ADE ∆与以 M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】解：四边形ABDC 是正方形， ∴2AB AD ==． 又AE EB =， ∴1AE =．在Rt CMN ∆中，222MN CM CN =+．① 当55CM = 时，255CN =，∴5AE AD CM CN ==， ∴A D E C N M ∆∆∽；② 当255CM =时，55CN =，∴5AE AD CN CM ==， ∴A D E C M N ∆∆∽． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及正方形的性质相关知识点．【例27】如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：AB AC =，2AC AD AE =∙，∴2AB AD AE =∙， 即AB AEAD AB=．又A A ∠=∠， ∴ABD AEB ∆∆∽．∴ABD E ∠=∠． 又AB AC =， ∴A B D D B C A C ∠+∠=∠．又CBE E ACB ∠+∠=∠， ∴C B D C B E ∠=∠．即BC 平分DBE ∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质．【例28】 如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【难度】★★ 【答案】3AN =或163． 【解析】解：如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况：128A B B M ==，，∴4AM =．① 当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴A M A N AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． ② 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =．∴3AN =或163． 【总结】灵活运用相似三角形的性质定理是解本题的重点．【例29】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EH CD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴E H D M∠=∠． 又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽．∴DM AD DH ED=， 即DM ED DA HD ∙=∙．∴12DM ED DA CD ∙=∙，即2ED DM DA CD ∙=∙．【总结】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质等相关知识．ABCDEFABCDEF【例30】 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【难度】★★★【答案】（1）不相似，一组角相等，但夹它的两边不对应成比例，故不相似；（2）能，理由略．【解析】（2）题分割如下：作BAM E ∠=∠交BC 于点M ，作EDN B ∠=∠交EF 于点N ，可证明BAM DEN ∆∆∽，再证明另一对也相似即可．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【例31】 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．【难度】★★★【答案】DFC ∆有可能与ABC ∆相似，此时65CD =或23． 【解析】解：翻折后，BF DF =．当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠．BF DF CD x ∴===，2CF x =-．CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； 当DFC ACB ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠，1BF DF CF ∴===．CD CF CB CA ∴=，即213x =． 23x ∴=． ∴65CD =或23． 【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）等的相关知识．ABCDEF 【例32】 如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？ （3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值．【难度】★★★【答案】（1）EDF ∠始终不变，且等于60；（2）ADE CFD ∆∆∽．证明略；当点D 移动到AC 中点处时，这两个三角形的相似比为1；（3）45BE BF =．【解析】（1）翻折前后对应角相等；（2）相似比为1，说明ADE CFD ∆≅∆，得DE DF =． 又DB EF ⊥，所以DB 垂直平分EF ，得BD 平分ABC ∠，则ABC ∆是等边三角形，进而得出结论；（3）45AED CFD C BE DE BF DF C ∆∆===．【总结】本题考查了相似三角形的判定、翻折变换（折叠问题）、相似三角形的性质等的相关知识．A BCD E FGHK【习题1】 如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与ABC ∆ 相似的是（ ）（A ）BCD ∆ （B ）BDE ∆（C ）BFG ∆（D ）FGH ∆【难度】★ 【答案】A【解析】三边对应成比例，两三角形相似． 【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．【习题2】 下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个【难度】★ 【答案】B【解析】（1）（2）正确；（3）错误，举反例如下图，ABC ∆是等边三角形，CG AB ⊥于点G ，DEF ∆是顶角为120的等腰三角形，FH ED ⊥交ED 的延长线于点H ，ACG DFH ∆∆∽，但ABC ∆与DEF ∆不相似；（4）错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定知识．随堂检测ABC DEF ABCDEF【习题3】 如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =，则AC =．【难度】★ 【答案】6．【解析】由ACB DCF ∆∆∽，得CF CDCB AC=． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质知识，此图是比 较重要的相似基本模型．【习题4】 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】解：如图，联结AG 并延长交BC 于点D ，分别作GE BC ⊥、 A F B C ⊥于点E 、F ．由题知，6AF =．点G 为重心， ∴13DG DA =． 又//GE AF ， ∴G E D GA F D A=． ∴2GE =． 【总结】本题考查了重心的知识，构造相似形来解答问题．【习题5】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】证明：90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=．又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽．∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =∙． 同理，得：2CB BD BA =∙． ∴B F B E B D B A ∙=∙， ∴F B B DB A B E=． 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽． ∴B D F DB E A E=． 【总结】本题考查了三角形相似的判定方法、相似三角形的性质等知识．ABCDEABCDEO【习题6】 已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【难度】★★【答案】4或632±．【解析】解：由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =； （2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 即3126x x =-，得212180x x -+=， 解得632x =±；综上：BE =4或632±．【总结】本题考查了相似三角形的性质，着重考查学生分类讨论思想的应用．【习题7】 如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE //CD 交CA 的延长线于点E ，求证：2OC OA OE =．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】//AD CB ， ∴C O B OO A O D=． //BE CD ， ∴C OD OO E O B=．∴CO OAOE OC=， ∴2O C O A O E =∙． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理的应用．A BCPQ【习题8】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 从B 出发，沿 BC 方向以2cm/s 的速度移动到C 点，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动到A 点．若点P 、Q 分别同时从B 、C 出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？【难度】★★【答案】125t =或3211时，CPQ ∆与CBA ∆相似．【解析】设经过t 秒CPQ ∆与CBA ∆相似，则 2BP t =，CQ t =，∴82CP t =-．要使CPQ ∆与CBA ∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA ∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t -=，∴125t =； ②当CPQ CAB ∆∆∽，∴CP CQCA CB=， 即8268t t -=。
第3课时 相似三角形的判定定理2
从上述例子你能得出什么结论？
AB DE
=
2，DAFC
=
2 ，有两边对应成比例.
图中∠B=∠E，而∠A≠∠D，故这两个三角形不相似.
在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两 边的夹角相等，则这两个三角形不相似.
AB DE
=
2在，两DAFC个=三2，角形中，有
有两图两边中边对∠对应B应成=∠成比E比例，例.而，∠A如≠不∠D是，故
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
相似三角形判定-(2)
一、知识回顾
相似三角形的判定定理：
A'
定理1：两角对应相等，两三角形相似。
∠A= ∠A' ∠B= ∠B'
△ABC∽△A'B'C'
B'
C'
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
AB BC A' B' B'C'
△ABC∽△A'B'C'
A
∠B= ∠B'
定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
⑵ ∵∠A=∠A，
A
∴当AC:AP＝AB:AC时，
P1
△ ACP∽△ABC.
B
2 C
答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或
AC:AP＝AB:AC,△ ACP∽△ABC.
三、随堂练习
1、已 条知 过， 点△D的AB直C线中(，不D与为ABA重B上合一),点交，AC画于一E， 使所得三角形与原三角形相似，这样的 直线最多能画出多少条?
解：(1)∵∠A＝∠A
∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC. A
(2)∵∠A＝∠A
P
∴当AC:AP=AB:AP 时，
△ACP∽△ABC.
B
C
如果将题目变为：
已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结 CP．满足什么条件时,△ ACP∽△ABC． 解:⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,△ACP∽△ABC .
A D
E
A D
E
B
CB
C
如果将题目变为：
已知，△ABC中，D为AB上一点，画一条过
点D的直线（不与AB重合），交另一边于E，
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结束寄语
•不经历风雨，怎么 见彩虹.,没有人能 随随便便成功!
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传来的温热的触感，司无言结巴的说道：“没，没事，我没事。昨天是你救了我！”听到司无言说自己没事，自己也没有把脉把出什么问 题，夜北冥顿时就放下了紧张的心，从自己空间拿出一个白色玉甁，交给了司无言，说道：“这是复元丹，你每天吃一粒，对你的身体有 好处。”司无言盯着夜北冥手上的瓶子半响才接过去，手握紧玉甁置在胸口，感觉心里暖暖的，从来没有人这么关心过自己，哪怕是自己 以前组织里关系最好的兄弟也没有因为自己受伤而给专门给自己送药。“吃了药你再好好休息一下，有事就找外面的男仆，我还有事先走 了。”夜北冥站起身对司无言说完，然后就准备转身出门，还坐在床上发愣的司无言听到夜北冥说要离开，立马焦急的说道：“等一下！” 夜北冥往前迈出的步伐停顿了一下，然后收回，转过身疑惑的问道：“怎么了？”其实司无言叫停夜北冥后也很惊讶，正紧张的不知道说 什么的时候，司无言眼尖的发现，夜北冥的眼神很空洞，视线没有对着自己，而是自己的上方，因为自己做着夜北冥站着的原因，所以夜 北冥的眼睛是直视前方的。被自己的猜测吓到的司无言迟疑的开口道：“请问？你的眼睛是不是看不见？”闻言，夜北冥皱了一下眉头， 接着又听到司无言紧张的说道：“我没有别的意思，我会一点个术，我可以帮你查看一下，或许我能治好！”夜北冥皱起的眉头松开，想 着梦姨炼丹术那么厉害也对我的眼睛没有办法，让他看看也并无不妥，于是就点了点头，走过去床边坐下。司无言看着眼前乖乖坐着等着 自己查看的夜北冥，觉得好可爱，按耐住自己心里一直往外冒的粉红泡泡，集中精力神情严肃的执起夜北冥的手腕给她把脉。而夜北冥感 觉到自己手腕处有一种特别舒服的气流传进来，蔓延自己的全身，夜北冥很惊讶自己从来没有见过这种神奇的力量，这股力量带着非常浓 重的生命的气息，都说木元素是带着生命气息的元素，可是这股进入到自己身体中的神秘力量并不是木元素，到底是什么呢？夜北冥疑惑 的想着。司无言并不知道夜北冥的想法，此时的他被夜北冥身体中的发现所震撼，自己体内的个神之力在往夜北冥眼睛处走去的时候。经 过了夜北冥的心脏，那里有一只蛊虫在沉睡着，它的周围不知道隔着什么使自己无法接触到它，但是自己的个神之力传来的信息告诉司无 言那不是一般的蛊虫。虽然不知道为什么要把一只这么危险的蛊虫搁在心脏那么重要的地方，但是司无言也没有忘记自己的正事，个神之 力抵达夜北冥的眼睛的时候，司无言就知道这阻塞着眼睛周围经脉的毒素都是来自于夜北冥心脏处的那只蛊虫，因为它们的气息一样的充 满了吞噬性，不过再厉害的毒在自己的个术下都能得到解决。查看完毕，司无言收回自己的个神之力，对着夜
⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米，
A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米
• 在有平行横线的练习薄上画一条线段AB, 使线段A,B恰好在两条平行线上,线段AB 就被平行线分成了相等的三小段,你能说 出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆 规和直尺,你会把任意一条线段AB五等分 吗?请试一试,并说明你的画法的依据.
B
´
A
C
´
B
C
• 例1.如图已知点D,E分别在AB,AC上,
求证:DE‖BC.
AD AE AB AC
A
D B
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC
判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角 形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。
A
´
判定定理3的几何格式：
AB BC C A . AB BC CA
∴△A´B´C´∽△ABC
B
´
A
C
´
B
C
• 例2.如图判断4×4方格中的两个三角形 是否相似,并说明理由.
D A
C E B
F
例3 依据下列各组条件，判定△ABC与△A´B´C´是 不是相似，并说明为什么：
⑴∠A=120º ，AB=7厘米，AC=14厘米，
∠A´=120º ，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米；
A D B
合作学习:P109--110
• 下面我们来探究还可用哪些条件来判定 两个三角形相似? • 我们学习了三角形相似的判定定理1，类 似于三角形全等的“SAS” 、“SSS”判定 方法，三角形相似还有两个判定方法， 即判定定理2和判定定理3。
讲解新课
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角 形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个 三角形相似。可以简单说成“两边对应成比例且夹角 A 相等，两三角形相似” ´ 已知：如图，△A´B´C´和△ABC中， ∠A´=∠A， A´B´:AB=A´C´:AC 求证：△A´B´C´∽△ABC 判定定理2的几何格式： AB AC , A A AB AC ∴△A´B´C´∽△ABC
浙教版九年级上册
复习提问 我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？
A
1、平行于三角形一边直线定理 ∵DE‖BC，∴⊿ADE∽⊿ABC
B D E
C
2、判定定理1： ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´，∴ ⊿ABC∽⊿ABC 3、直角三角形中的一个重要结论
C
∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴⊿ABC∽⊿ACD∽⊿CDB