2017-2018学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)
数学试卷（理数）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数，，则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若，则全为”的逆否命题是“若全不为0，则”D.一个命题的否命题为假，则它的逆命题一定为假4.若，，，，则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明：(1)当时，左边，右边，所以等式成立；(2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数等式都成立．经判断以上评述A.命题，推理都正确B.命题正确，推理不正确C.命题不正确，推理正确D.命题，推理都不正确6.椭圆的一个焦点是，那么等于A.B.C.D.7.设函数（其中为自然对数的底数），则的值为A. B. C. D.8.直线（为参数）被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进步，然后再后退步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以步的距离为个单位长，令表示第秒时机器狗所在位置的坐标．且，那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小5分，满分20分）13.若，则__________.14.在三角形ABC中，若三个顶点坐标分别为，则AB边上的中线CD的长是__________．15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，M为AF1中点，N为AF2中点，O为坐标原点，则的最大值为__________．16.已知函数，过点作函数图象的切线，则切线的方程为。
绵阳市重点名校2017-2018学年高二下学期期末综合测试数学试题含解析
绵阳市重点名校2017-2018学年高二下学期期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线右支上的点，且1245F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF 的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】B 【解析】 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与c 之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，1OM PF ⊥，21⊥NF PF ，依题意OM a =，22NF a =， Q 且1245F PF ∠=︒，可知三角形2PF N 是一个等腰直角三角形，222PF a ∴=，1222PF a a =+，在12F PF △中，由余弦定理可得：()222(2)(222)(22)22222245=++-⨯+⨯⨯o c a a a a a a cos ，化简得223c a =，∴3故选：B ． 【点睛】本题主要考查余弦定理，双曲线的定义、简单几何性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．影部分的概率是（ ）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 【答案】D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.3．已知03cos 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰m x dx ππ，则()23-+m x y z 的展开式中，2-m x yz 项的系数等于（ ） A ．180 B ．-180 C ．-90 D ．15【答案】B 【解析】分析：利用定积分的运算求得m 的值，再根据乘方的几何意义，分类讨论，求得x m ﹣2yz 项的系数．详解：03cos 2m x dx ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰0π⎰3sinxdx=﹣3cosx 0|π=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，则（x ﹣2y+3z ）m =（x ﹣2y+3z ）6 ，x m ﹣2yz=x 4yz ．而（x ﹣2y+3z ）6表示6个因式（x ﹣2y+3z ）的乘积，故其中一个因式取﹣2y ，另一个因式取3z ，剩余的4个因式都取x ，即可得到含x m ﹣2yz=x 4yz 的项，∴x m ﹣2yz=x 4yz 项的系数等于()11465423180.C C C -⋅⋅=-故选：B ．点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。
2017-2018学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假2．（4分）设复数z满足（z+i）i＝1，则|z|＝（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知命题p：∀x＞0，e x﹣x＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，e x﹣x≤0B．∀x＞0，e x﹣x＜0C．D．4．（4分）设命题p：x＜1，命题q：|x|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过北京、上海、广州三个城市时，甲说：我没去过广州：乙说：我去过的城市比甲多，但没去过上海：丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断甲去过的城市为（）A．北京B．上海C．北京和上海D．北京和广州6．（4分）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜4）＝0.8，则P（X＜0）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.27．（4分）已知空间四边形ABCD，M，N分别是BC，CD的中点，如图，则等于（）A．B．C．D．8．（4分）从1，2，3，4，5中不放回地依次抽取两个数，已知第一次取到的是奇数，则第二次取到的也是奇数的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知直线y＝ax+2a与曲线y＝ln（x+2）相切，则a的值为（）A．1B．2C．D．10．（4分）已知（3x﹣2）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4+a5（x ﹣1）5，则a2＝（）A．15B．90C．180D．27011．（4分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组．现由甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲不能参加绘画，则不同的报名方法有（）A．72B．100C．114D．15012．（4分）已知不等式（a+4）lnx≤x+2﹣b（a，b∈R，a≠﹣4）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（）A．2﹣ln2B．﹣1﹣ln2C．﹣2ln2D．﹣ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案直接填写在答题卡中的横线上．13．（3分）函数f（x）＝x2e x的单调减区间是．14．（3分）（2+x）（1﹣x）10展开式中x4的系数是．15．（3分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为（用数字作答）16．（3分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣2，过点（2，m）（m≠6）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某校高二年级举办“诗词达人”的活动，其选拔方案为：从10道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，规定：至少正确完成其中2道题的便可通过选拔．已知10道备选题中学生甲能正确完成其中6道题，另4道题不能完成：学生乙正确完成每道题的概率都为且每题正确完成互不影响．（1）分别求学生甲、乙成为“诗词达人”的概率；（2）记所抽取的3道题中，学生甲能正确完成的题数为ξ，写出的概率分布列，并求出Eξ．18．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC＝120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥CD；（2）若P A＝PD＝AD＝2，且平面P AD⊥平面ABCD，求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．19．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数，并说明理由；（2）若﹣2＜a＜﹣1时，x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞6|x1﹣x2|，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]20．（10分）已知曲线C的参数方程为，以直角坐标系的原点o 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程是：（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：（Ⅱ）点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]21．设函数f（x）＝|x﹣3|+|x+1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）对任意的实数x∈R，不等式m2﹣m﹣2≤f（x）恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．2．【解答】解：∵复数z满足（z+i）i＝1，∴z+i＝＝﹣i，∴z＝﹣2i．∴|z|＝＝2．故选：C．3．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，﹣x0≤0，故选：D．4．【解答】解：命题p：x＜1，命题q：|x|＜1，即为﹣1＜x＜1，∴q⇒p，p推不出q，故p是q的必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：由甲说：我没去过广州，则甲可能去过上海或北京，但乙说：我去过的城市比甲多，但没去过上海，则甲只能是去过上海，北京中的一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断甲去过的城市为北京．故选：A．6．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，∴P（X＜0）＝P（X＞4）＝1﹣P（X＜4）＝0.2．故选：D．7．【解答】解：由题意知：）﹣＝+＝+2＝3故选：A．8．【解答】解：根据题意，记事件A为“第一次取出的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，则事件AB为“第一次取出的是奇数，第二次取到的也是奇数”则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，则第一次取到的是奇数，则第二次取到的也是奇数的概率P（B|A）＝＝；故选：A．9．【解答】解：依题意得y′＝，因此曲线y＝ln（x+2）在切点处的切线的斜率等于a，∴＝a，∴x＝﹣2．此时，y＝1，即切点坐标为（﹣2，1），可得ln＝1，∴a＝，故选：C．10．【解答】解：根据题意，（3x﹣2）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4+a5，5（x﹣1）则a2为其展开式中（x﹣1）2项的系数，又由（3x﹣2）5＝[3（x﹣1）+1]5，其展开式的通项T r+1＝C5r[3（x﹣1）]5﹣r，令r＝3可得：T4＝C53[3（x﹣1）]2＝90（x﹣1）2，则a2＝90；故选：B．11．【解答】解：甲不能参加绘画，若有1人参加绘画小组，有C41＝4种，则有4人参加象棋和篮球，分为（3，1），（2，2），故有C43A22+•A22＝14种，共有4×14＝56种，若有2人参加绘画小组，有C42＝6种，则有3人参加象棋和篮球，分为（2，1），故有C32A22＝6种，共有6×6＝36种，若有3人参加绘画小组，有C43＝4种，则还有2人参加象棋和篮球，分为（1，1），故有C21＝4种，共有4×2＝8种，根据分类计数原理，共有56+36+8＝100故选：B．12．【解答】解：由（a+4）lnx≤x+2﹣b，令f（x）＝（a+4）lnx﹣x﹣2+b，则f（x）≤0，x∈（0，+∞）．x＝1时，f（1）＝﹣3+b≤0，因此b≤3．则f′（x）＝﹣1＝．a+4＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，不合题意舍去．a+4＞0时，则x＝a+4时，函数f（x）取得极大值即最大值，于是f（a+4）＝（a+4）ln（a+4）﹣（a+4）﹣2+b≤0，得（a+4）ln（a+4）﹣（a+4）+2≤﹣（b﹣4）对任意正实数x恒成立，∵a≠﹣4，∴≤﹣ln（a+4）＝﹣ln（a+4）∵a+4＞0，令a+4＝t＞0，则函数g（t）＝1﹣lnt．g′（t）＝则当0＜t＜2时，g′（t）＞0，当t＞2时，g′（t）＜0，则当t＝2时，g（t）取得极大值，而g（2）＝1﹣ln2﹣1＝﹣ln2，∴则的最大值为﹣ln2．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案直接填写在答题卡中的横线上．13．【解答】解：函数f（x）＝x2e x的导数为y′＝2xe x+x2e x＝xe x（x+2），令y′＜0，解得﹣2＜x＜0，故函数的单调减区间是（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．14．【解答】解：（2+x）（1﹣x）10＝2（1﹣x）10+x（1﹣x）10，2（1﹣x）10展开式中含x4的项为：（﹣x）4＝420x4，x（1﹣x）10展开式含x4的项为：x（﹣x）3＝﹣120x4，∴（2+x）（1﹣x）10展开式中x4的系数为：420﹣120＝300．故答案为：300．15．【解答】解：2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为：p＝1﹣﹣﹣＝．故答案为：．16．【解答】解：∵点（2，m）（m≠﹣6）不在曲线y＝f（x）上，∴设切点为（x0，y0），则y0＝x03﹣3x02﹣2．∵f'（x0）＝3x02﹣6x0，∴切线的斜率为3x02﹣6x0．则3x02﹣6x0＝，即2x03﹣9x02+12x0+2+m＝0，因为过点（2，m）（m≠﹣6），可作曲线y＝f（x）的三条切线，所以方程2x03﹣9x02+12x0+2+m＝0有三个不同的实数解．即函数g（x）＝2x3﹣9x2+12x+2+m有三个不同的零点．则g'（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x2﹣3x+2）＝6（x﹣2）（x﹣1），令g'（x）＝0，解得x＝1或x＝2．∴即，解得﹣7＜m＜﹣6．故答案为：（﹣7，﹣6）．三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）设甲、乙能成为达人的事件分别为A、B，则P（A）＝＝，P（B）＝••+•＝；（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：数学期望为Eξ＝0×+1×+2×+3×＝．18．【解答】解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴AB∥EF，即可得EF∥CD…（5分）（2）取AD中点G，连接PG，GB，∵P A＝PD，∴PG⊥AD，又∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB＝AD，∠DAB＝60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设P A＝PD＝AD＝2，则G（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，E（﹣1，，），F（﹣，0，），，，设平面AFE的法向量为＝（x，y，z），则有⇒，不妨令x＝3，则平面AFE的一个法向量为．∵BG⊥平面P AD，∴是平面P AF的一个法向量，cos＝＝∴锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．．…（12分）19．【解答】解：（1）f′（x）＝2x﹣（a﹣2）﹣＝，（x＞0）．a≤0时，f′（x）＞0．此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．a＞0时，函数f（x）在（0，）内单调递减，在上单调递增，因此是函数f（x）的极小值点．综上可得：a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点．a＞0时，函数f（x）在（0，+∞）上只有一个极小值点．（2）由（1）可得：﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞6|x1﹣x2|，∴f（x1）﹣f（x2）＞6（x1﹣x2），即f（x1）﹣6x1＞f（x2）﹣6x2．令g（x）＝f（x）﹣6x，x∈（0，+∞）．则函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∴g′（x）＝f′（x）﹣6＝2x﹣（a﹣2）﹣﹣6≥0，化为：a≤．∵＝2＝2≥2．∴a≤4﹣8，又﹣2＜a＜﹣1，∴﹣2＜a≤4﹣8＜﹣1，∴a的取值范围是：（﹣2，4﹣8]．[选修4-4：坐标系与参数方程]20．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程为＝1，∵直线l的极坐标方程是：，∴2ρcosθ+ρsinθ＝6，∴直线l的直角坐标方程为2x+y﹣6＝0．（Ⅱ）∵点P是曲线C上的动点，∴设P（2cosφ，3sinφ），则P到直线l的距离：d＝＝，tanθ＝，∴当sin（φ+θ）＝﹣1时，点P到直线l距离取最大值d max＝＝；当sin（φ+θ）＝1时，点P到直线l距离取最小值d min＝＝．[选修4-5：不等式选讲]21．【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）＝（3﹣x）﹣（x+1）＝2﹣2x，由f（x）≥6，得2﹣2x≥6，解得x≤﹣2，此时，x≤﹣2；当﹣1＜x＜3时，f（x）＝3﹣x+x+1＝4≥6，不成立；当x≥3时，f（x）＝x﹣3+x+1＝2x﹣2，由f（x）≥6，得2x﹣2≥6，解得x≥4．综上所述，不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）；（Ⅱ）由题意可得m2﹣m﹣2≤f（x）min，由三角不等式可得f（x）≥|（x﹣3）﹣（x+1）|＝4，所以，f（x）min＝4，则有m2﹣m ﹣2≤4，即m2﹣m﹣6≤0，解得﹣2≤m≤3，因此，实数m的取值范围是[﹣2，3]．第11页（共11页）。
四川省绵阳市高二下学期数学期末考试试卷(理科)
四川省绵阳市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，至少有1件次品的抽法不正确的结果是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·六安月考) （）A .B .C .D .3. （2分）若用独立性检验的方法，我们得到能有99%的把握认为变量X与Y有关系，则（）A . K2≥2.706B . K2≥6.635C . K2＜2.706D . K2＜6.6354. （2分） (2017高一上·厦门期末) 保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（）A .B .C .D .5. （2分）一位母亲纪录了儿子3到9岁的身高数据（略），她根据这些数据建立的身高y（cm）与年龄x的回归模型为=7.19x+73.93，用此模型预测孩子10岁时的身高，则有（）A . 身高一定是145.83cmB . 身高在145.83cm左右C . 身高在145.83cm以上D . 身高在145.83cm以下6. （2分）设随机变量的概率分布如下表，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·怀化模拟) 若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是（）A . ﹣462B . 462C . 792D . ﹣7928. （2分） (2017高二下·长春期末) 有5本相同的数学书和3本相同的语文书，要将它们排在同一层书架上,并且语文书不能放在一起，则不同的放法数为（）A . 20B . 120C . 2400D . 14400二、填空题 (共5题；共5分)9. （1分） (2019高二下·虹口期末) 用0，1，2，3，4可以组成________个无重复数字五位数.10. （1分）（ +x3）5的展开式中x8的系数是________．（用数字作答）11. （1分）(2017·蚌埠模拟) 二项式（﹣）n的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则常数项等于________．12. （1分） (2020高三上·浦东期末) 已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为________（结果用数值表示）13. （1分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有________ 种（以数字作答）．三、解答题 (共4题；共40分)14. （15分）已知在（2x+ ）n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的两倍．（1）求n的值；（2）求含x的项的系数；（3）求展开式中系数的最大的项．15. （5分） (2016高二下·三亚期末) 将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？①小球不同，盒子不同，盒子不空；②小球不同，盒子不同，盒子可空；③小球不同，盒子相同，盒子不空；④小球不同，盒子相同，盒子可空；⑤小球相同，盒子不同，盒子不空；⑥小球相同，盒子不同，盒子可空；⑦小球相同，盒子相同，盒子不空；⑧小球相同，盒子相同．16. （15分）(2018·石嘴山模拟) 某中学每年暑假举行“学科思维讲座”活动，每场讲座结束时，所有听讲者都要填写一份问卷调查.2017年暑假某一天五场讲座收到的问卷分数情况如下表：用分层抽样的方法从这一天的所有问卷中抽取300份进行统计，结果如下表:（1）估计这次讲座活动的总体满意率；（2）求听数学讲座的甲某的调查问卷被选中的概率；（3）若想从调查问卷被选中且填写不满意的人中再随机选出5人进行家访，求这5人中选择的是理综讲座的人数的分布列及数学期望.17. （5分）(2017·银川模拟) 某校举办“中国诗词大赛”活动，某班派出甲乙两名选手同时参加比赛．大赛设有15个诗词填空题，其中“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”各5个．每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答，3个全答对选手得3分，答对2个选手得2分，答对1个选手得1分，一个都没答对选手得0分．已知“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5，4，3，乙能答对的题目个数依此为4，5，4，假设每人各题答对与否互不影响，甲乙两人答对与否也互不影响．求：（Ⅰ）甲乙两人同时得到3分的概率；（Ⅱ）甲乙两人得分之和ξ的分布列和数学期望．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共5分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共4题；共40分)14-1、14-2、14-3、15-1、16-1、16-2、16-3、17-1、。
四川省绵阳市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
四川省绵阳市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．命题“00x ∃<，0112x ⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定是（ ） A ．00x ∃≥，0112x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ B ．0x ∀≥，112x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．0x ∀<，121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝ D ．0x ∀<，112x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据特称命题的否定为全称命题直接判定即可. 【详解】“00x ∃<,0112x ⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定为“0x ∀<,112x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”. 故选：D 【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.2．若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．±1【答案】B【解析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】因为复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故21010a a ⎧-=⎨+≠⎩ ,解得1a =.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.3．在高台跳水运动中，s t 时相对于水面的高度（单位：m ）是()24.9 6.510h t t t =-++，则该高台跳水运动员在1t s =时瞬时速度的大小为（ ） A ．11.6m /s B ．1.6m/sC ．3.3m /sD ．4.9m /s【答案】C【解析】根据瞬时速度就是1t s =的导数值即可求解. 【详解】由()24.9 6.510h t t t =-++，则()9.8 6.5h t t '=-+，当1t s =时，()19.8 6.5 3.3h '=-+=-. 故选：C 【点睛】本题考查了导数的几何意义，同时考查了基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题. 4．“不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】分别求解不等式101x x +≤-与()()110x x -+≤再判定即可. 【详解】101x x +≤-可得()()11010x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩,解得11x -≤<.又()()110x x -+≤解得11x -≤≤. 故“不等式101x x +≤-成立”是“不等式()()110x x -+≤成立”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了分式与二次不等式的求解以及充分必要条件的判定.属于基础题.5．已知命题:p 对1x ∀，()212x R x x ∈≠，()()12120f x f x x x ->-成立，则()f x 在()0,∞+上为增函数；命题0:q x R ∃∈，200210x x -+<，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】根据函数的性质分别判断命题,p q 的真假再判断各选项的真假即可. 【详解】命题:p 当12x x <时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x -<；当12x x >时,因为()()12120f x f x x x ->-故()()120f x f x ->；故()f x 随x 的增大而增大.故命题p 为真.命题q ,因为()220002110x x x --+=≥.故命题q 为假命题.故p q ∨为真命题. 故选：B 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与函数的性质运用,属于基础题.6．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ） A ．35B ．310C ．12D ．25【答案】C【解析】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率. 【详解】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=， 则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率()()()3110325P AB P B A P A ===.故选：C 【点睛】本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题. 7．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A ．24个 B ．30个 C ．36个D ．42个【答案】B【解析】利用分类计数原理，个位数字为0时有24A ；个位数字为2或4时均为1133C C ⋅，求和即可. 【详解】 由已知得：个位数字为0的偶数有24A ，个位数字为2的偶数为1133C C ⋅， 个位数字为4的偶数有1133C C ⋅，所以符合条件的偶数共有211114333330A C C C C +⋅+⋅=.故选：B 【点睛】本题考查了分类计数运算、排列、组合，属于基础题.8．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回.重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是（ ） A ．316B ．516C ．716D ．916【答案】B【解析】取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率21513612C C P C ==，重复6次这样的试验，利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式能求出“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率 【详解】从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个， 再将电子元件放回，取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率21513612C C P C ==， 重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是：()333611532216P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查了n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题. 9．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1120BAD BAA ∠=∠=︒，160DAA ∠=︒，则1AC =（ ）A ．1B ．2C 3D 2【答案】D【解析】利用11AC AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，即可求解.【详解】11AC AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA ∴=+++⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1111112112112112222⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,12AC ∴=故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的三角形法则、平行四边形法则、空间向量的数量积以及向量模的求法，属于基础题. 10．(1nx+的展开式中各项系数之和为243，设()()()2220122111nn n x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a =（ ）A ．120B ．120-C ．45D ．45-【答案】B【解析】先求出n 的值，再根据()()()()22202210111111n n n x a a x a x a x x =+++++⋅⋅⋅=-++⎡⎤⎣⎦++，利用通项公式求出3a 的值. 【详解】令1x =，可得()12nx+的展开式中各项系数之和为3243n=，5n ∴=，设()()()()22202210111111nn n x a a x a x a x x =+++++⋅⋅⋅=-++⎡⎤⎣⎦++，则()733101120a C =⋅-=-.故选：B 【点睛】本题考查了二项式定理求多项式的系数和，二项式定理展开式的通项公式，需熟记公式，属于基础题.11．直三棱柱ABC A B C '''-中，AC BC AA '==，90ACB ∠=︒，E 、D 分别为AB 、BB '的中点，则异面直线CE 与C D '所成角的余弦值为（ ）A ．104B ．105C ．26D ．155【答案】B【解析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C D '所成角的余弦值. 【详解】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA '===,则()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,1,0E 、()0,0,2C '，()0,2,1D ，()1,1,0CE =u u u r 、()0,2,1C D '=-u u u u r，设异面直线CE 与C D '所成角为θ，则cosCE C DCE C Dθ'⋅==='u u u r u u u u ru u u r u u u u r∴异面直线CE与C D'故选：B【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.12．已知函数()313lnxaf x xa=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（）A．()20,11,e e e⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭B．()0,1C．2,e e⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．21,e e e⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据函数()313lnxaf x xa=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，则()20'=-=xf x x a.在()0,+∞有两个不相等实根求解.【详解】因为()313lnxaf x xa=-所以()2xf x x a'=-.因为函数()313lnxaf x xa=-在其定义域()0,+∞内既有极大值也有极小值，所以只需方程20xx a-=在()0,+∞有两个不相等实根.即2lnlnxax=，令()2ln xg xx=，则()()221ln xg xx-'=.()g x在()0,e递增，在(),e+∞递减.其图象如下:∴2ln 0,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴21ea a ＜＜.故选：:D. 【点睛】本题主要考查了导数与函数的极值，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．设i 是虚数单位，则1i2i-=+______. 【答案】13i 55- 【解析】根据复数的除法计算即可. 【详解】()()()()1211313i 222555i i i i i i i ----===-++-. 故答案为：13i 55- 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,属于基础题.14．若曲线ln y x x =上在点P 处的切线与直线210x y +-=垂直，则点P 的坐标为______. 【答案】()e,e【解析】设切点()P m n ,，求得ln y x x =的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得,m n ，即为点P 的坐标. 【详解】设切点()P m n ,，ln y x x =的导数为1ln y x '=+，可得切线的斜率为1ln k m =+， 由切线与直线210x y +-=垂直， 可得1ln 2m +=，解得,m e n e ==， 即(),P e e . 故答案为：()e,e 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及直线垂直斜率之间的关系，属于基础题. 15．()51a b -+的展开式中，2ab 项的系数为______.（用数字作答）【答案】-30【解析】由题意利用幂的意义，组合数公式，求得2ab 项的系数. 【详解】()51a b -+，表示5个因式1a b -+的积，要得到含2ab 项，需1个因式选a -，2个因式选b ， 其余的2个因式选1即可.展开式中，2ab 项的系数为()122542130C C C -⋅⋅=-.故答案为：-30 【点睛】本题考查了二项式定理、组合数公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知()()()12ln x a x x a R =-+∈在定义域上满足()0f x ≤恒成立，则a =______.【答案】2【解析】求出原函数的导函数，可得0a ≤时，不满足()0f x ≤；0a >时，()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，求出函数的最大值，转化为最大值小于等于0，再由导数求解a 值. 【详解】Q ()()()12ln x a x x a R =-+∈，()()20f x a x x'∴=->，若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上为增函数， 若0a >，由()20f x a x '=->，得20x a<<， ∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()max 22212ln f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2212ln 0a a a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，得222ln 0a a-+≤， 令()222lng a a a =-+， 则()221a g a a a-'=-=，∴当()0,2a ∈时，()0g a '<，当()2,a ∈+∞时，()0g a '>，()g a ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，又()20g =，∴只有当2a =时，有()0g a =， 2a ∴=.故答案为：2 【点睛】本题考查了导数在研究不等式恒成立问题，考查了转化与化归、分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题17．某超市举办酬宾活动，单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球，其中3个红球、2个白球和2个黑球，从中不放回地随机抽取2个球，每个球被抽到的机会均等.每抽到1个红球记0分，每抽到1个白球记50分，每抽到1个黑球记100分.如果抽取2个球总得分200分可获得10元现金，总得分低于100分没有现金，其余得分可获得5元现金.（1）设抽取2个球总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列； （2）设每位顾客一次抽奖获得现金Y 元，求Y 的数学期望. 【答案】（1）分布列见解析；（2）()6521E Y =【解析】（1）由题意X 的可能得分为0,50,100,150,200，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列.（2）由题意得Y 的可能取值为0,5,10，分别求出相应的概率，由此能求Y 的数学期望()E Y .【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，50，100，150，200.()2327107C P X C ===，()1132272507C C P X C ===，()2112322711003C C C P X C +===，()112227415021C C P X C ===，()2227120021C P X C ===.∴随机变量X 的分布列为（2）由（1）知()3111650510*******E Y ∴=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学期望，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -中，2PD CD ==，4AD AB ==，PB =23PDC π∠=，//AB DC ，BC DC ⊥.（1）求证：PD BC ⊥；（2）求钝二面角A PD C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）5-【解析】（1）推导出BC PC ⊥，BC DC ⊥，从而BC ⊥平面PCD ，由此能证明PD BC ⊥.（2）过点C 在平面PCD 内作直线Cz CD ⊥，由（1）以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法求出钝二面角A PD C --的余弦值. 【详解】（1）证明：在CDP V 中，2PD CD ==，且23PDC π∠=， 由余弦定理，得23PC =.过点D 作DE AB ⊥，可知四边形BCDE 是矩形，DE BC ∴=，且2AE EB ==.又4=AD ，故23DE BC ==，于是有()()()222222232326BC PC PB +=+==，即BC PC ⊥.又BC DC ⊥，且PC DC C ⋂=，BC ∴⊥平面PCD ，PD BC ∴⊥.（2）过点C 在平面PCD 内作直线Cz CD ⊥， 由（1）可知BC ，DC 和直线Cz 两两垂直， 如图，以点C 为坐标原点建立空间直角坐标系C xyz -. 由题意，可得()2,0,0D ，(3P ，()4,23,0A ，(3DP ∴=u u u r ，()2,23,0DA =u u u r.设平面PAD 的法向量为(),,m x y z =u r，由0,0,m DP m DA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得30,2230.x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令3x =-，得1y =，1z =，即()3,1,1m =-u r.再取平面PCD 的一个法向量()0,1,0n =r.设二面角A PD C --的大小为θ，则5cos cos ,55m n m n m nθ⋅=-=-=-=-u r ru r r u r r ，即二面角A PD C --的余弦值为55-.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、定义，空间向量法求面面角，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题. 19．已知函数()2e xf x x =-.（1）当0x ≥时，求()f x 的最小值；（2）若存在实数1x ，2x ，使得()()221112323ln 42x f x x -+-=+，求21x x -的最小值.【答案】（1）1；（2）1ln 22+ 【解析】（1）由函数()2e xf x x =-，根据函数的单调性证明即可. （2）设()()221112323ln 42x f x x m -+-=+=，求出1ln 32m x +=，1422m x e -=，0m >，令()()14ln 3202xx h x e x +=->，根据函数的单调性求出其最小值即可. 【详解】（1）()2xf x e x '=-Q ，()2x f x e ''=-⎡⎤⎣⎦，由20x e ->，解得ln 2x >， 由20x e -<，解得0ln 2x ≤<，()f x '∴在[)0,ln 2单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，()()ln 222ln 20f x f ''∴≥=->， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，∴当0x ≥时，()f x 的最小值为()01f =.（2）设()()221112323ln 42x f x x m -+-=+=， 则12321eln 42x x m -=+=. 1x R ∈Q ，则1230x e ->，即0m >，故123ln x m -=，21ln24x m =-， 1ln 32m x +∴=，1422m x e -=，即1421ln 322m m x x e-+-=-，0m >. 令()()14ln 3202x x h x e x -+=->，则()14122x h x e x-'=-， 因为142x e-和12x-在()0,∞+上单调递增， 所以()h x '在()0,∞+上单调递增，且104h '⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴当14x >时，()0h x '>， 当104x <<时，()0h x '<，()h x ∴在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当14x =时，()h x 取最小值，此时11ln 242h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即21x x -最小值是1ln 22+. 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性的应用、导数在求函数最值中的应用，考查了转化与化归的思想，属于难题.20．在平面直角坐标xOy 中，直线l的参数方程为1,2,x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a 为常数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin ρθθρ+=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，若24AB =，求a 的值. 【答案】（10y a +-=；24x y =（2）6a =【解析】(1) 消去参数t 可得l 的普通方程,再根据2sin 4sin ρθθρ+=两边乘以ρ,根据极坐标与直角坐标的关系化简即可.(2)联立直线的参数方程与曲线C 的直角坐标方程,利用直线参数的几何意义与韦达定理求解即可. 【详解】解：（1）Q 直线l的参数方程为1,2,2x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数,a 为常数）,消去参数t 得l0y a +-=. 由2sin 4sin ρθθρ+=,得222sin 4sin ρθρθρ+= 即2224y y x y +=+,整理得24x y =. 故曲线C 的直角坐标方程为24x y =.（2）将直线l的参数方程代入曲线中得2160t a --=, 于是由()6430a ∆=+>, 解得3a >-,且12t t +=1216t t a =-,1224AB t t ∴=-===,解得6a =. 【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题.21．设函数()22f x x x m =++-. （1）当1m =时，解不等式()3f x x ≤+；（2）若存在实数x ，使得不等式()3f x m x ≤+-成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）51m -≤≤【解析】(1)分段去绝对值求解不等式即可.(2) 由题意,存在实数x ,使得不等式23x x m ++-≤成立,再根据三角不等式求解即可. 【详解】解：（1）()2213f x x x x =++-≤+, 于是当1x ≥时,原不等式等价于33x x ≤+, 解得312x ≤≤； 当21x -<<时,原不等式等价于43x x -+≤+, 解得112x ≤≤； 当2x -≤时,原不等式等价于33x x -≤+,无解； 综上,原不等式的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由题意,存在实数x ,使得不等式23x x m ++-≤成立, 则只需()min23x x m++-≤,又222x x m x x m m ++-≥+-+=+,当()()20x x m +-≤时取等号. 所以23m +≤,解得51m -≤≤. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式的运用,属于中档题.。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
四川省绵阳市高二数学下学期期末考试试题理(扫描版)
数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（每小题4分，共48分）1~5 BDBCC 6~10 CACDB 11~12 AB12．解析：原题意等价于方程a x =x 3恰有两个不同的解．当0<a <1时，y =a x 与y =x 3的图象只有一个交点，不符合题意．当a >1时，y =a x 与y =x 3的图象在x ∈(-∞，0)上没有交点，所以只考虑x >0，于是可两边同取自然对数，得x ln a =3ln x ，即ln a =x x ln 3，令g (x )=x x ln 3，则2ln 33)(x x x g -='，于是当x ∈(0，e )时，g (x )单增，且当x <1时，当g (x )<0，x ∈(e ，+∞)时，g (x )单减且g (x )>0．∴要有两个交点，0<ln a < g (e )=e3，即1<a <e e 3． 二、填空题（每小题3分，共12分）13．1 14．-84 15．272 16．217 16．解析：由a +2b =1，得1≥ab 22，于是0<ab ≤81，当且仅当a =21，b =41时取“=” ．又a 2+b 2+ab 1=(a +2b )2+ab 1-4ab =ab 1-4ab +1在ab ∈]810(，上单调递减，故a 2+b 2+ab1≥8+21=217． 三、解答题（每小题10分，共40分） 17．解：由已知有要使p 正确，则必有Δ=(-a )2-4a <0，解得0<a <4．…………………2分由23-+x x ≥0，可得x ≤-3，或x >2， ∴ 要使q 正确，则a >2．………………………………………………………………4分 由“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题可知，p 和q 有且只有一个正确．………5分 若p 真q 假，则0<a ≤2；………………………………………………………………7分 若p 假q 真，则a ≥4. …………………………………………………………………9分 ∴ 所求a 的取值范围为)4[]20(∞+⋃，，． ……………………………………10分18．解：（1）设小王能进入面试环节为事件A ，则P (A )=21364631023C C C C +=．………………………………………………………………4分 （2）设抽到小王会作答的题目的数量为X ，则X =0，1，2，3，…………………5分P (X =0)=0364310130C C C =，P (X =1)=1264310310C C C =， P (X =2)=216431012C C C =，P (X =3)=3631016C C =，………………………………………………9分 ∴抽到小王会作答的题目数量X 的分布列为X 0 1 2 3P 130 310 12 16 …………………………………………………………10分19．解：（1）f (x )的定义域为(0，+∞)，由f (x )=2ax -ln x ，得)(x f '=2ax -x1，…………………………………………………1分 ①若a ≤0，则)(x f '<0，于是f (x )在(0，+∞)上是减函数； ……3分②若a >0，由2ax -x1=0解得x =a a 22， 则当x ∈)220(a a ，时，)(x f '<0， f (x )在)220(a a ，上是减函数； 当x ∈)22(∞+，a a 时，)(x f '>0， f (x )在)22(∞+，aa 上是增函数．……………5分 （2）曲线y = f (x )在x =t 处的切线方程为)())((t f t x t f y +-'=．当a =81-时，f (x )=281x --ln x ，)(x f '=-41x -x1， 设=)(x g f (x )-[)())((t f t x t f +-']，则)()()(t f x f x g '-'='，于是g (t )=0，0)(='t g ．设h (x )=)(141)(t f x x x g '---='，则当x ∈(0，2)时，2141)(xx h +-='>0， ∴ )(x g '在(0,2)上是增函数，且0)(='t g ，∴ 当x ∈(0，t )时，)(x g '<0，g (x )在(0，t )上是减函数；当x ∈(t ，2)时，)(x g '>0，g (x )在(t ，2)上是增函数，故当x ∈(0，t )或x ∈(t ，2)，g (x )>g (t )=0，∴ 当且仅当x =t 时，f (x )=)())((t f t x t f +-'，即当x ∈(0，2)时，曲线y =f (x )与l 有且仅有一个公共点．…………………………10分以下是选做题，考生只需在第20、21、22题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．20．（1）证明：∵ CD //AP ，∴ ∠APE =∠ECD ，∵ ∠EDF =∠ECD ，∴ ∠APE =∠EDF ．又∵ ∠DEF =∠AEP ，∴ △DEF ∽△PEA ．……………………………………………………………………5分（2）解：∵ ∠EDF =∠ECD ，∠CED =∠FED ，∴ △DEF ∽△CED ，∴ DE ∶EC =EF ∶DE ，即DE 2=EF •EC ，∵ DE =6，EF =4，于是EC =9.∵ 弦AD 、BC 相交于点E ，∴ DE •EA =CE •EB ． …………………………………7分 又由（1）知EF •EP =DE •EA ，故CE •EB =EF •EP ，即9×6=4×EP ，∴ EP =227． …………………………………………………………………………8分 ∴ PB =PE -BE =215，PC =PE +EC =245， 由切割线定理得：PA 2=PB •PC ，即PA 2=215×245，进而PA =2315．……………10分 21．解：（1）由已知ρsin 2θ=4cos θ有ρ2sin 2θ=4ρcos θ，∴ y 2=4x ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ．………………………………………3分（2）设点M 对应的参数为t 1，点N 对应的参数为t 2，则 把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 23211，代入y 2=4x 得3t 2-8t -16=0，……………………………………………6分∴ t 1+t 2=38，t 1t 2=316-， ………………………………………………………………7分 ∴ NA MA 11+=2111t t -=14)(21212212121=-+=-t t t t t t t t t t ．…………………………10分 22．解：（1）当x ≤1时，f (x )=1-x +2-x =3-2x ，于是f (x )≥3变为3-2x ≥3，解得x ≤0，即此时不等式f (x )≥3的解为x ≤0； 当1<x <2时，f (x )=x -1+2-x =1，显然f (x )≥3不成立；当x ≥2时，f (x )=x -1+x -2=2x -3，于是f (x )≥3变为2x -3≥3，解得x ≥3，即此时不等式f (x )≥3的解为x ≥3．∴ 综上不等式f (x )≥3的解集为{x | x ≤0，或x ≥3}． ………………………………5分（2）由不等式|a +b |+|a -b |≥af (x )得ab a b a -++≥f (x )， 又∵ a b a b a -++≥ab a b a -++=2， ∴ 2≥f (x )，即2≥|x -1|+|x -2|，同（1）解此不等式得21≤x ≤25， 即实数x 的范围为21≤x ≤25．………………………………………………………10分。
绵阳市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题
高中2016级第二学年末教学质量测试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（每小题4分，共48分）1~5BCDBA 6~10DAACB11~12BD 二、填空题（每小题3分，共12分）13．(20)-，14．30015．0.616．（-7，-6）三、解答题（每小题10分，共40分）17．解：（1）设“学生甲成为诗词达人”为事件A ，“学生乙成为诗词达人”为事件B ，根据题意，得2136463310102()3C C C P A C C =+=；22333321220()33327P B C C =⨯+=（）（）．……………………………………………………4分（2）根据题意，得ξ=0，1，2，3，343101(0)30C P C ξ===，12643103(1)10C C P C ξ===，21643101(2)2C C P C ξ===，363101(3)6C P C ξ===．∴ξ的分布列为……………………………………………………………………………8分∴数学期望E (ξ)=13110123 1.8301026⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………10分18．解：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴AB //CD ，∵CD ⊄面ABE ，AB ⊂面ABE ，∴CD //面ABE ．…………………………………………………………………………3分∵CD ⊂面PCD 且面ABEF ∩面CDP =EF ，∴EF //CD ．……………………………………………………………………………4分（2）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ．∵PA =PD =AD =2，故PO ⊥AD ．由平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD∩平面ABCD=AD ，ξ0123P 1303101216B PA DFE C y x zO∴PO ⊥平面ABCD ．∵在菱形ABCD 中，∠ABC =120º，∴△ABD 为等边三角形，∴OB ⊥AD ．以OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，以OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，…………………………………………………………………………………6分则(100)(003)(100)A P D -，，，，，，，，，(230)C -，，，于是PD 的中点13(0)22F -，，，PC 的中点33(1)22E -，，，∴33(0)22AF =- ，，，33(2)22AE =- ，，．……………………………………7分令m =(x ，y ，z )为平面AEF 的一个法向量，由00AF AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m ，，得33022332022x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，，得m =(3，3，33)．………………8分又取平面PAD 的一个法向量为n =(0，1，0)．∴313cos ||||1339⋅<>===m n m n m n ，．故锐二面角P -AF -E 的余弦值为1313．………………………………………………10分19．解：（1）()f x 的定义域为(0，+∞)，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x-+'=---=，……………………………………………2分（ⅰ）若a ≤0，则()0f x '>，所以()f x 在(0，+∞)上单调递增，无极值点．……3分（ⅱ）若a >0，则由()0f x '=得2a x =．当(0)2a x ∈，时，()0f x '<；当()2a x ∈+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在(0)2a ，上单调递减，在()2a +∞，上单调递增，此时()f x 有一个极值点．综上，当a ≤0时，()f x 无极值点；当a >0时，()f x 有一个极值点．……………5分（2）若-2<a <-1，由（1）知，()f x 为(0，+∞)上的增函数，∴12(0)x x ∀∈+∞，，，当12x x >，都有12()()f x f x >．由1212|()()|6||f x f x x x ->-，得1122()6()6f x x f x x ->-．令h (x )=f (x )-6x=x a x a x ln )4(2-+-，则h (x 1)>h (x 2)，即h (x )在(0)+∞，上单调递增．………………………………………7分()2(4)a h x x a x'=-+-≥0，所以a ≤22242(1)81662(1)811(1)x x x x x x x x -+-++==++-+++（）．………………………8分62(1)8(1)x x ++-+≥438-，故a ≤438-．综上，a 的取值范围为(2438]--，．……………………………………………10分20．解：（1）曲线C 的普通方程为22149x y +=．直线l 的极坐标方程变形为：2cos sin 6ρθρθ+=，因此直角坐标方程为2x +y =6．…………………………………………………………4分（2）曲线C 上动点(2cos 3sin )P θθ，到l 的距离为4cos 3sin 6|5sin()6|55d θθθα+-+-==||，其中α为锐角且4tan 3α=，………………………………………8分当sin()1θα+=-时，d 取得最大值，最大值为1155，当sin()1θα+=时，d 取得最小值，最小值为55．……………………………10分21．解：（1）当x ≤-1时，原不等式变为3-x -x -1≥6得x ≤-2；当-1<x <3时，原不等式变为3-x +x +1≥6，不成立；当x ≥3时，原不等式变为x -3+x +1≥6得x ≥4．综上，原不等式的解集为2]∞（-，-∪[4)+∞，．……………………………………5分（2）因为|x -3|+|x+1|≥|(x -3)-(x+1)|=4，当且仅当-1≤x ≤3时，等号成立，所以()f x 的最小值等于4．……………………………………………………………8分对于任意的实数x ∈R ，不等式m 2-m -2≤)(x f 恒成立，即m 2-m -2≤4．故-2≤m ≤3．………………………………………………………10分。
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2017-2018学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假2．（4分）设复数z满足（z+i）i=1，则|z|=（）A．0B．1C．2D．33．（4分）已知命题p：∀x＞0，e x﹣x＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，e x﹣x≤0B．∀x＞0，e x﹣x＜0C．D．4．（4分）设命题p：x＜1，命题q：|x|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过北京、上海、广州三个城市时，甲说：我没去过广州：乙说：我去过的城市比甲多，但没去过上海：丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断甲去过的城市为（）A．北京B．上海C．北京和上海D．北京和广州6．（4分）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜4）=0.8，则P（X＜0）=（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.27．（4分）已知空间四边形ABCD，M，N分别是BC，CD的中点，如图，则等于（）A．B．C．D．8．（4分）从1，2，3，4，5中不放回地依次抽取两个数，已知第一次取到的是奇数，则第二次取到的也是奇数的概率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知直线y=ax+2a与曲线y=ln（x+2）相切，则a的值为（）A．1B．2C．D．10．（4分）已知（3x﹣2）5=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4+a（x﹣1）5，则a2=（）5A．15B．90C．180D．27011．（4分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组．现由甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲不能参加绘画，则不同的报名方法有（）A．72B．100C．114D．15012．（4分）已知不等式（a+4）lnx≤x+2﹣b（a，b∈R，a≠﹣4）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（）A．2﹣ln2B．﹣1﹣ln2C．﹣2ln2D．﹣ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案直接填写在答题卡中的横线上．13．（3分）函数f（x）=x2e x的单调减区间是．14．（3分）（2+x）（1﹣x）10展开式中x4的系数是．15．（3分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为（用数字作答）16．（3分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣2，过点（2，m）（m≠6）可作曲线y=f （x）的三条切线，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某校高二年级举办“诗词达人”的活动，其选拔方案为：从10道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，规定：至少正确完成其中2道题的便可通过选拔．已知10道备选题中学生甲能正确完成其中6道题，另4道题不能完成：学生乙正确完成每道题的概率都为且每题正确完成互不影响．（1）分别求学生甲、乙成为“诗词达人”的概率；（2）记所抽取的3道题中，学生甲能正确完成的题数为ξ，写出的概率分布列，并求出Eξ．18．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥CD；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．19．（10分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数，并说明理由；（2）若﹣2＜a＜﹣1时，x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞6|x1﹣x2|，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]20．（10分）已知曲线C的参数方程为，以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程是：（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：（Ⅱ）点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值与最小值．[选修4-5：不等式选讲]21．设函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）对任意的实数x∈R，不等式m2﹣m﹣2≤f（x）恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．2．（4分）设复数z满足（z+i）i=1，则|z|=（）A．0B．1C．2D．3【分析】求出z+i==﹣i，从而z=﹣2i．由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z满足（z+i）i=1，∴z+i==﹣i，∴z=﹣2i．∴|z|==2．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（4分）已知命题p：∀x＞0，e x﹣x＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，e x﹣x≤0B．∀x＞0，e x﹣x＜0C．D．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，﹣x0≤0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（4分）设命题p：x＜1，命题q：|x|＜1，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：命题p：x＜1，命题q：|x|＜1，即为﹣1＜x＜1，∴q⇒p，p推不出q，故p是q的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件与充要条件的概念及应用，理解掌握这些概念是判断的关键，属于基础题．5．（4分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过北京、上海、广州三个城市时，甲说：我没去过广州：乙说：我去过的城市比甲多，但没去过上海：丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断甲去过的城市为（）A．北京B．上海C．北京和上海D．北京和广州【分析】可先由甲推出，可能去过甲可能去过上海或北京，再由乙推出只能是上海，北京中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由甲说：我没去过广州，则甲可能去过上海或北京，但乙说：我去过的城市比甲多，但没去过上海，则甲只能是去过上海，北京中的一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断甲去过的城市为北京．故选：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．6．（4分）已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＜4）=0.8，则P（X＜0）=（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【分析】随机变量X服从正态分布N（2，σ2），可得对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（X＜0）=P（X＞4）=1﹣P（X＜4）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ=2，∴P（X＜0）=P（X＞4）=1﹣P（X＜4）=0.2．故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及所表示的意义，是基础题．7．（4分）已知空间四边形ABCD，M，N分别是BC，CD的中点，如图，则等于（）A．B．C．D．【分析】∵M，N为BC，CD的中点，2=，=，=代入计算得答案．【解答】解：由题意知：）﹣=+=+2=3故选：A．【点评】本题考查向量的加法和三角形的中位线定理．8．（4分）从1，2，3，4，5中不放回地依次抽取两个数，已知第一次取到的是奇数，则第二次取到的也是奇数的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，记事件A为“第一次取出的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，根据题意分别算出事件A与事件AB发生的概率，再利用条件概率公式加以计算，可得所求的概率大小【解答】解：根据题意，记事件A为“第一次取出的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，则事件AB为“第一次取出的是奇数，第二次取到的也是奇数”则P（A）==，P（AB）==，则第一次取到的是奇数，则第二次取到的也是奇数的概率P（B|A）==；故选：A．【点评】本题考查条件概率的计算，关键是掌握条件概率的计算公式，属于基础题．9．（4分）已知直线y=ax+2a与曲线y=ln（x+2）相切，则a的值为（）A．1B．2C．D．【分析】欲求a的大小，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，求得切点，代入曲线方程，从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线y=ln（x+2）在切点处的切线的斜率等于a，∴=a，∴x=﹣2．此时，y=1，即切点坐标为（﹣2，1），可得ln=1，∴a=，故选：C．【点评】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．10．（4分）已知（3x﹣2）5=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4+a（x﹣1）5，则a2=（）5A．15B．90C．180D．270【分析】根据题意，分析可得a2为（3x﹣2）5展开式中（x﹣1）2项的系数，又由（3x﹣2）5=[3（x﹣1）+1]5，由二项式定理分析可得其展开式中含（x﹣1）2项，即可得答案．【解答】解：根据题意，（3x﹣2）5=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+a4（x﹣1）4+a5（x﹣1）5，则a2为其展开式中（x﹣1）2项的系数，又由（3x﹣2）5=[3（x﹣1）+1]5，其展开式的通项T r+1=C5r[3（x﹣1）]5﹣r，令r=3可得：T4=C53[3（x﹣1）]2=90（x﹣1）2，则a2=90；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式．11．（4分）某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组．现由甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，且甲不能参加绘画，则不同的报名方法有（）A．72B．100C．114D．150【分析】根据分组分配的方法，若有1人参加绘画小组，若有2人参加绘画小组若有3人参加绘画小组，即可求出．【解答】解：甲不能参加绘画，若有1人参加绘画小组，有C41=4种，则有4人参加象棋和篮球，分为（3，1），（2，2），故有C43A22+•A22=14种，共有4×14=56种，若有2人参加绘画小组，有C42=6种，则有3人参加象棋和篮球，分为（2，1），故有C32A22=6种，共有6×6=36种，若有3人参加绘画小组，有C43=4种，则还有2人参加象棋和篮球，分为（1，1），故有C21=4种，共有4×2=8种，根据分类计数原理，共有56+36+8=100故选：D．【点评】本题考查分类加法计数原理，解题时要认真审题，注意平均分组和不平均分组的合理运用．12．（4分）已知不等式（a+4）lnx≤x+2﹣b（a，b∈R，a≠﹣4）对任意正实数x恒成立，则的最大值为（）A．2﹣ln2B．﹣1﹣ln2C．﹣2ln2D．﹣ln2【分析】不等式（a+4）lnx≤x+2﹣b（a，b∈R，a≠﹣4）对任意正实数x恒成立，构造函数f（x）=（a+4）lnx﹣x﹣2+b，利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，求f（x）的最值，构造，利用函数的思想，通过导函数研究其最值可得答案；【解答】解：由（a+4）lnx≤x+2﹣b，令f（x）=（a+4）lnx﹣x﹣2+b，则f（x）≤0，x∈（0，+∞）．x=1时，f（1）=﹣3+b≤0，因此b≤3．则f′（x）=﹣1=．a+4＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，不合题意舍去．a+4＞0时，则x=a+4时，函数f（x）取得极大值即最大值，于是f（a+4）=（a+4）ln（a+4）﹣（a+4）﹣2+b≤0，得（a+4）ln（a+4）﹣（a+4）+2≤﹣（b﹣4）对任意正实数x恒成立，∵a≠﹣4，∴≤﹣ln（a+4）=﹣ln（a+4）∵a+4＞0，令a+4=t＞0，则函数g（t）=1﹣lnt．g′（t）=则当0＜t＜2时，g′（t）＞0，当t＞2时，g′（t）＜0，则当t=2时，g（t）取得极大值，而g（2）=1﹣ln2﹣1=﹣ln2，∴则的最大值为﹣ln2．故选：D．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，考查了构造函数与转化思想，是综合题二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案直接填写在答题卡中的横线上．13．（3分）函数f（x）=x2e x的单调减区间是（﹣2，0）．【分析】先求出函数的导数，令导数小于零，解得x的范围，就可得到函数的单调减区间．【解答】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），令y′＜0，解得﹣2＜x＜0，故函数的单调减区间是（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．14．（3分）（2+x）（1﹣x）10展开式中x4的系数是300．【分析】（2+x）（1﹣x）10=2（1﹣x）10+x（1﹣x）10，分别求出2（1﹣x）10展开式中含x4的项和x（1﹣x）10展开式含x4的项，由此能求出（2+x）（1﹣x）10展开式中x4的系数．【解答】解：（2+x）（1﹣x）10=2（1﹣x）10+x（1﹣x）10，2（1﹣x）10展开式中含x4的项为：2C（﹣x）4=420x4，x（1﹣x）10展开式含x4的项为：x（﹣x）3=﹣120x4，∴（2+x）（1﹣x）10展开式中x4的系数为：420﹣120=300．故答案为：300．【点评】本题考查二项展开式中系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．（3分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为（用数字作答）【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为：p=1﹣﹣﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（3分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣2，过点（2，m）（m≠6）可作曲线y=f （x）的三条切线，则m的取值范围是（﹣7，﹣6）．【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义以建立条件关系，构造函数，求得导数和单调性、极值，即可得到结论．【解答】解：∵点（2，m）（m≠﹣6）不在曲线y=f（x）上，∴设切点为（x0，y0），则y0=x03﹣3x02﹣2．∵f'（x0）=3x02﹣6x0，∴切线的斜率为3x02﹣6x0．则3x02﹣6x0=，即2x03﹣9x02+12x0+2+m=0，因为过点（2，m）（m≠﹣6），可作曲线y=f（x）的三条切线，所以方程2x03﹣9x02+12x0+2+m=0有三个不同的实数解．即函数g（x）=2x3﹣9x2+12x+2+m有三个不同的零点．则g'（x）=6x2﹣18x+12=6（x2﹣3x+2）=6（x﹣2）（x﹣1），令g'（x）=0，解得x=1或x=2．∴即，解得﹣7＜m＜﹣6．故答案为：（﹣7，﹣6）．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系以及导数的几何意义，要求熟练掌握导数的综合应用．三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某校高二年级举办“诗词达人”的活动，其选拔方案为：从10道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，规定：至少正确完成其中2道题的便可通过选拔．已知10道备选题中学生甲能正确完成其中6道题，另4道题不能完成：学生乙正确完成每道题的概率都为且每题正确完成互不影响．（1）分别求学生甲、乙成为“诗词达人”的概率；（2）记所抽取的3道题中，学生甲能正确完成的题数为ξ，写出的概率分布列，并求出Eξ．【分析】（1）设甲、乙能成为达人的事件分别为A、B，利用互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验概率计算公式求出甲、乙成为达人的概率；（2）由题意知ξ的可能取值，分别求出相应的概率，写出分布列与数学期望值．【解答】解：（1）设甲、乙能成为达人的事件分别为A、B，则P（A）==，P（B）=••+•=；（2）由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：数学期望为Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了概率的计算与离散型随机变量的分布列和数学期望计算问题，是中档题．18．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形且∠ABC=120°，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：EF∥CD；（2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．【分析】（1）由AB∥CD，即可证明AB∥面PCD，然后证明AB∥EF∥CD；（2）取AD中点G，连接PG，GB证明AD⊥GB，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，求出相关点的坐标，求出平面AFE的法向量，求出平面PAF 的一个法向量，利用的数量积求锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值．【解答】解：（1）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF，即可得EF∥CD…（5分）（2）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，E（﹣1，，），F（﹣，0，），，，设平面AFE的法向量为=（x，y，z），则有⇒，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为．∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，cos==∴锐二面角P﹣AF﹣E的余弦值为．．…（12分）【点评】本题考查空间向量的数量积应用，二面角的平面角的求解，直线与平面平行的判断与性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（10分）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数，并说明理由；（2）若﹣2＜a＜﹣1时，x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞6|x1﹣x2|，求a的取值范围．【分析】（1）f′（x）=，（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性与极值点．（2）由（1）可得：﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．由x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞6|x1﹣x2|，可得f（x1）﹣f（x2）＞6（x1﹣x2），即f（x1）﹣6x1＞f（x2）﹣6x2．令g（x）=f（x）﹣6x，x ∈（0，+∞）．可知：函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=，（x＞0）．a≤0时，f′（x）＞0．此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点．a＞0时，函数f（x）在（0，）内单调递减，在上单调递增，因此是函数f（x）的极小值点．综上可得：a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点．a＞0时，函数f（x）在（0，+∞）上只有一个极小值点．（2）由（1）可得：﹣2＜a＜﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵x1，x2∈（0，+∞），当x1＞x2时，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞6|x1﹣x2|，∴f（x1）﹣f（x2）＞6（x1﹣x2），即f（x1）﹣6x1＞f（x2）﹣6x2．令g（x）=f（x）﹣6x，x∈（0，+∞）．则函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∴{g′（x）{g′（x）g′（x）=f′（x）﹣6=2x﹣（a﹣2）﹣﹣6≥0，化为：a≤．∵=2=2≥2．∴a≤4﹣8，又﹣2＜a＜﹣1，∴﹣2＜a≤4﹣8＜﹣1，∴a的取值范围是：（﹣2，4﹣8]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法\等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]20．（10分）已知曲线C的参数方程为，以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程是：（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：（Ⅱ）点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；直线l 的极坐标方程化为2ρcosθ+ρsinθ=6，由此能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）设P（2cosφ，3sinφ），则P到直线l的距离：d=，由此能求出点P到直线l距离的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程为=1，∵直线l的极坐标方程是：，∴2ρcosθ+ρsinθ=6，∴直线l的直角坐标方程为2x+y﹣6=0．（Ⅱ）∵点P是曲线C上的动点，∴设P（2cosφ，3sinφ），则P到直线l的距离：d==，tanθ=，∴当sin（φ+θ）=﹣1时，点P到直线l距离取最大值d max==；当sin（φ+θ）=1时，点P到直线l距离取最小值d min==．【点评】本题考查曲线的普通方程、直线的直角坐标方程求法，考查曲线上的点到直线的距离的最值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]21．设函数f（x）=|x﹣3|+|x+1|（Ⅰ）求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）对任意的实数x∈R，不等式m2﹣m﹣2≤f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用零点分段法解不等式f（x）≥6，分三段x≤﹣1，﹣1＜x＜3，x≥3进行讨论即可；（Ⅱ）由题意得m2﹣m﹣2≤f（x）min，并利用绝对值的三角不等式求出f（x）的最小值，然后代入不等式中，解出不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=（3﹣x）﹣（x+1）=2﹣2x，由f（x）≥6，得2﹣2x≥6，解得x≤﹣2，此时，x≤﹣2；当﹣1＜x＜3时，f（x）=3﹣x+x+1=4≥6，不成立；当x≥3时，f（x）=x﹣3+x+1=2x﹣2，由f（x）≥6，得2x﹣2≥6，解得x≥4．综上所述，不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）；（Ⅱ）由题意可得m2﹣m﹣2≤f（x）min，由三角不等式可得f（x）≥|（x﹣3）﹣（x+1）|=4，所以，f（x）min=4，则有m2﹣m﹣2≤4，即m2﹣m﹣6≤0，解得﹣2≤m≤3，因此，实数m的取值范围是[﹣2，3]．【点评】本题考查绝对值不等式的求法以及函数最值的几何意义，考查计算能力与推理能力，属于中等题．。