角平分线尺规作图
角平分线的性质(含尺规作图动画)
A M E P
C B
O
F
N
动手画一画
A C
3
E
1
2
4
用尺规作图法，画出角平分线
在角平分线上取一点E，分别作角两 边的垂线，垂足为C,D
有什么发现吗？
O
D
B
证明
在△COE与△DOE中
∠1=∠2 ∠3=∠4
△COE ≌△DOE（AAS）
OE=OE
∴CE=DE
角平分线的性质
主讲人：王雨婷 数本1605
回顾
全等三角形的判定
AAS
角角边
ASA
角边角
SAS
边角边
SSS
边边边
HL
直角三角形中 直角边,斜边分别相等
角平分仪 D
A B
AB=AD C BC=DC
说明原理
在△ABC与三角形ADC中
AB=AD
BC=DC
△ABC≌△ADC（SSS)
AC=AC
尺规作图
角平分线的性质一
角平分线上的一点，到角两边的距离相等
思考
角内部的一点，到角两边的距离相等，那么 这个点在角平分线上吗
A C
E
O
连接OE 在Rt△COE与△COE≌RT△DOE（HL）
OE=OE
∴∠COE=∠DOE，即OE是角平分线，即点 E在角平分线上
角平分线的性质二
在角的内部到角两边的距离相等的点在 角的平分线上
实际应用练习
完成课后习题1~3
尺规作图角平分线原理证明
尺规作图角平分线原理证明要证明尺规作图角平分线原理，我们可以考虑证明两个定理：1）尺规可以作出角的平分线，2）尺规不能作出非整数倍的角。
首先，我们来证明尺规可以作出角的平分线。
给定一个角，我们需要找到它的平分线。
我们可以利用角的一些性质来进行尺规作图。
设给定一个角AOB，我们需要作出它的平分线。
1.用尺子，在OA上任意取一点C，将OC延长到D，使得OC=OD，连接DB。
2.以O为圆心，OC为半径，画一个圆，与OB交于E。
3.连接OE。
我们来证明OE是角AOB的平分线：首先，我们可以证明△OAC≅△OAD，这是因为OC=OD，AC=AD，以及角AOC=角AOD=90度。
因此，OA=OA，OC=OD，角OAC=角OAD。
接下来，我们来证明△OBE≅△ODE，这是因为OB=OD，OE=OD，以及角OBE=角ODE。
因此，OB=OD，OE=OD，角OEB=角OED。
由于角OEB与角OED是△OBE内的相对角，而且△OBE≅△ODE，所以它们是相等的角。
因此，OE是角AOB的平分线。
证毕。
接下来，我们来证明尺规不能作出非整数倍的角。
设给定一个角AOB，我们需要证明尺规不能作出它的非整数倍角。
假设我们可以使用尺规作出角AOB的非整数倍角。
由于尺规只能作出长度为1的线段，所以我们只能作出整数长度的线段。
设尺规作出的非整数倍角为角COD。
由于COD是AOB的非整数倍角，所以COD不等于AOB。
我们可以通过多次作角分的操作来逼近COD。
例如，我们可以作出COE、EOF、FPG……，以此类推。
由于尺规只能作出整数长度的线段，所以每次作角分的操作都是有限的。
假设我们作了n次角分操作，最后得到的角为角CODn。
如果最后的角CODn等于角AOB，那么我们就成功地作出了非整数倍角。
然而，由于尺规只能作出有限次角分操作，所以最后得到的角CODn不可能等于角AOB。
因此，尺规不能作出角AOB的非整数倍角。
证毕。
综上所述，我们证明了尺规可以作出角的平分线，并且尺规不能作出非整数倍的角。
几何画板中怎样用尺规作图法构造角平分线
几何画板中怎样用尺规作图法构造角平分线
利用几何画板可以很快速地作出角的平分线，但在研究角平分线的相关性质时会需要利用尺规作图，以便能更好地理解。
下面就介绍尺规作图法怎样构造几何画板角平分线。
（几何画板官网）
操作步骤如下：
1.利用线段工具构造一个角，顶点为O。
利用圆工具以O点为圆心，任意长为半径画圆。
利用线段工具和圆工具构造角与圆
2.圆O与角的两条边产交点分别为A、B。
选中点A、B，选择“构造”——“以圆心和圆周上的点绘圆”构造出圆A，同样的方法构造圆B。
两圆的交点为P。
利用圆工具分别以A、B为圆心AB为半径画圆
3.选中点O、点P，选择“构造”——“线段”，线段OP就是角的平分线。
选中多余的圆与点，按下“Ctrl+H”，尺规作图完成。
选中点O、点P构造线段即为角平分线
以上内容向大家介绍了尺规作图法构造几何画板角平分线的方法，操作非常简单，可以看到作图过程中利用了几何画板圆工具，利用圆工具可以辅助构造很多图形，比如等分线段。
尺规作图角平分线
目 录
• 引言 • 尺规作图基础知识 • 角平分线的尺规作图方法 • 角平分线在实际问题中的应用 • 角平分线与其他几何概念的联系 • 总结与展望
01 引言
目的和背景
尺规作图角平分线的目的
通过尺规作图的方式，将一个角平分为两个相等的角，以便在几何图形中构造特定的角度或解决与角度相关的问 题。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
对角平分线尺规作图的总结
尺规作图角平分线的基本原理
利用尺规作图的基本操作，通过构造等腰三角形或利用圆的性质，将给定角平分为两个相 等的小角。
尺规作图角平分线的步骤
首先，在角的两边上分别截取相等的线段；然后，分别以这两个点为圆心，以大于截取线 段长度为半径画弧，两弧交于一点；最后，连接角的顶点和交点，所得射线即为角的平分 线。
内部画弧，两弧交于一点。
连接角的顶点和这个交点，所得 的射线就是这个角的平分线。
方法二：利用三角板和直尺作图
利用三角板上的45°角或30°角， 通过角的和或差的方式，画出 所需角。
通过移动三角板，使得三角板 的一边与角的一边重合，另一 边落在角的内部。
沿着三角板的另一边画射线， 这条射线就是角的平分线。
角平分线的性质
角平分线将原角平分为两个相等的角。
角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线是角的对称轴，即角的两边 关于角平分线对称。
在三角形中，角的平分线与对边相交，将对边 分为两段，这两段与角的两边对应成比例。
02 尺规作图基础知识
尺规作图的基本工具
直尺
用于画直线段、连接两点或延长 线段。
圆规
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的 小角的射线。
19.3第二课时 尺规作图(2)角平分线、垂线和中垂线
(第 1 题 2、如图，画 △ABC 边 BC 上的高 .)
（第 2 题）
什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线） 线段垂直平分线有哪些特征？ （线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
已知线段AB，画出它的垂直平分线.
1、平分已知角
已知： ∠AOB
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC
B
O
A
B
E
C
O
D
A
1、在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE。 2、分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作 弧，在∠AOB内，两弧交于点C。 3、作射线OC。 OC就是所求的射线。
1、任意画一个钝角，并作出它的平分线。
B A
灌 溉总 渠
4、如图，已知线段a，h， 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高为h
h
aபைடு நூலகம்
教学反思
本节课你掌握了哪些知识？ 还有哪些疑惑？
《课课练》P53-P54 第二课时尺规作图
全做
最基本最常用的尺规作图通常称一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的
第19章 全等三角形
19.3 尺规作图
基本作图
在几何里,把限定用直尺和圆规来画
图,称为尺规作图.最基本,最常用的 尺规作图,通常称基本作图.
其中,直尺是没有刻度的; 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图. 下面介绍几种基本作图:
2、试把一个钝角四等分。 3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
角平分线的三种做法
一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？“用尺规作图的方法，做出一个角的平分线”是一个课标要求达到的目标。
1、什么是尺规作图？尺规作图，即用没有刻度的直尺和圆规作图，它可以完成做一条线段与已知线段相等，可以做一个角与已知角相等，可以做一个圆与已知圆全等，可以做一个三角形与已知三角形全等，可以做一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？一个直角，可以做出一条线段的中点，可以做一条线段的垂直平分线，可以做一个角的平分线，不能三等分一条线段，不能三等分一个角，2、请将下面工具的作用填在空上（填写序号，可以重复填写）一个不带刻度的直尺可以干哪些事情？___________________________量角器呢？_______________________________________圆规呢？__________________________________一个带有刻度的直尺呢？_________________________一个带有刻度的三角板呢？_______________________________答案在这里面选（①测量角度，②连接两个点做一条线段或者直线或者射线，③测量一条线段的长度，④做一条线段与已知线段相等，⑤画一个圆或者圆弧，⑥做一个直角，⑦做一条确定长度的线段,⑧做一个确定角度的角）3、如何做一个角的平分线？●如果只给你一个不带刻度的直尺，怎么画出角平分线？●如果只给一个量角器，怎么画出角的平分线？●如果只给带刻度的三角板一个，如何画出角的平分线？●如果给你一个圆规和一个不带刻度的直尺，如何画处角的平分线？（提示：利用SSS的原理，折叠法，测量法，利用HL原理）在上面的角平分线的四种做法，请思考哪种用的是尺规作图？“用尺规作图的方法，做出一个角的平分线”是一个课标要求达到的目标。
《角平分线》PPT课件2
∠PDO= ∠PEO3)验证猜想:
OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等
活动 5
角平分线上 的点到角两 边的距离相
等。
A E
4.实践与应用
P
O
FB
判断正误，并说明理由：
图1
A
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，
A
E
F
B
D
C
十.小结与评价
这节课我们学到了什么？ 共同归纳本节课所学主要知识：
(1)用尺规作角的平分线. (2)角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. (3)角平分线的判定定理：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
生活中有很多数学问题：小明家 居住在一栋居民楼的一楼，刚好位 于一条自来水管和天然气管道所成 角的平分线上的P点，要从P点建两 条管道，分别与自来水管道和天然 气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？ 问题2：新修的两条管道长度有什么 关系，画来看看.
五.角平分线的判定定理
判定定理 ：在角的内部，到角的两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.
用符号语言表示为： A
∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB， PD=PE， D
∴ 点P在∠AOB的平分线上 . O
C
1
P
2
EB
六.试一试
已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是
∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
活 探动究角5平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，
PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
A 求证: PD=PE
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
作角平分线的方法
作角平分线的方法
作角平分线是一个基本的几何作图问题，有许多不同的方法可以完成。
以下是其中两种常见的方法：
方法一：使用量角器和直尺
1. 在角的两边上分别取一点 A 和 B，使得 A 和 B 到角的顶点 O 的距离相等。
2. 将量角器的中心对准顶点 O，并将 0 刻度线与 OA 或 OB 重合。
3. 找到量角器上与角的度数相等的刻度线，标记为点 C。
4. 连接 OC，即为角的平分线。
方法二：使用直尺和圆规
1. 在角的两边上分别取一点 A 和 B，使得 A 和 B 到角的顶点 O 的距离相等。
2. 以顶点 O 为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交 OA 和 OB 于点 D 和 E。
3. 分别以 D 和 E 为圆心，以大于 DE/2 的长度为半径画弧，两弧交于点 F。
4. 连接 OF，即为角的平分线。
这两种方法都是基于角的平分性质，即角的平分线将角分成两个相等的角。
无论使用哪种方法，关键是要准确地测量和绘制，以确保得到正确的角平分线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Ｎ
Ｏ O
自学检测：
•
如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂 线。怎么画呢？
L
C
自学检测：
•
若点Ｃ在Ｌ外呢？互相交流一下，看这 个问题能不转化为“画线段垂直平分线” 的问题呢？
C
L
基础练习：
•
画出图中三角形三个内角的角平分线。 （不写画法，保留作图痕迹）
•
基础练习：
•
如图：已知∠Ａ，试画∠Ｂ＝0.5∠Ａ （不写画法，保留作图痕迹）
角的平分线（1）
本节课学习目标
• 1.掌握尺规作图法作出角的平分线. • 2.利用上述方法完成：经过一点作已知直 线的垂线。
自学内容： 课本125页~126页
自学检测：
尺规作角的平分线
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于点 Ｍ，交ＯＢ于点N． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
A
基础练习：
• 如图：过点Ｐ画∠Ｏ两边的垂线。
P O
基础练习：
•
如图：画△ＡＢＣ边ＢＣ上的高。
A
B C
本节课学习了什么内容？
A
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
自学检测：
为什么角平分线呢？ 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 A Ｍ Ｃ
证明：连接CM,CN
在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB