合作博弈 shapley值共27页文档
shapley value 案例
标题：揭秘Shapley Value：深度解析和案例分析一、引言Shapley Value（沙普利值）作为一种合作博弈理论中的解决方案分配方法，在许多领域已经得到了广泛的应用。
它的核心思想是根据参与者的贡献和合作性来分配价值。
本文将深度解析Shapley Value的原理和计算方法，并结合实际案例进行分析，以帮助读者更好地理解和应用这一理论。
二、Shapley Value的原理和计算方法1. Shapley Value的基本原理Shapley Value最早由Lloyd Shapley提出，用于解决合作博弈中参与者之间如何公平地分配收益的问题。
它基于合作博弈的概念，考虑了每个参与者对于合作的贡献，并且符合对称性、线性性和非偏性等性质，因此具有较好的公平性和合理性。
2. Shapley Value的计算方法在计算Shapley Value时，需要考虑所有可能的参与者联盟（coalition），并对每个参与者在各个联盟中的边际贡献进行加权平均。
这一计算方法涉及到排列组合和边际贡献的计算，需要较为复杂的数学推导和计算过程。
三、实际案例分析：企业合作中的Shapley Value应用以企业联盟合作为例，假设有A、B、C三家公司合作开发某一项目，现需要按照各自的贡献来分配项目收益。
根据Shapley Value的原理和计算方法，我们可以得到以下案例分析结果：1. 各家公司的边际贡献- 公司A：在与B、C合作时，边际贡献为100；与B合作时，边际贡献为80；与C合作时，边际贡献为70。
- 公司B：在与A、C合作时，边际贡献为120；与A合作时，边际贡献为90；与C合作时，边际贡献为60。
- 公司C：在与A、B合作时，边际贡献为110；与A合作时，边际贡献为50；与B合作时，边际贡献为40。
2. Shapley Value的计算通过对各种可能联盟的边际贡献进行加权平均，我们可以得出每家公司的Shapley Value，从而实现项目收益的公平分配。
shapley合作博弈模型例题
shapley合作博弈模型例题在博弈论中，Shapley值是一种用来分配合作博弈中产生的收益的方法。
它基于对每个参与者对于合作的重要性进行评估，然后确定每个参与者应该得到多少收益。
Shapley值可以帮助我们理解在合作博弈中各个参与者对于整个合作过程的贡献程度，从而公平地分配收益。
为了更深入地理解Shapley合作博弈模型，让我们通过一个例题来进行探讨。
假设有A、B、C三个人合作完成了一项工作，他们分别用时5小时、3小时、2小时，而整个工作需要花费10小时。
现在我们希望通过Shapley值来确定每个人应该得到多少报酬。
我们定义合作博弈的特征函数。
在这个例题中，特征函数可以表示为每个参与者的工作时间。
我们列举出所有可能的合作组合，这里包括了A、B、C单独完成工作和各种组合完成工作的情况。
我们计算每种合作组合所需的时间和对应的边际贡献。
对于A来说，他单独完成工作的边际贡献为5小时，与B合作完成工作的边际贡献为5小时，与C合作完成工作的边际贡献为3小时。
对于B来说，他单独完成工作的边际贡献为3小时，与A合作完成工作的边际贡献为2小时，与C合作完成工作的边际贡献为2小时。
对于C来说，他单独完成工作的边际贡献为2小时，与A合作完成工作的边际贡献为5小时，与B合作完成工作的边际贡献为3小时。
接下来，我们计算Shapley值。
Shapley值的计算公式为：\[ \phi_i = \frac{1}{N!} \sum_{S \subseteq N \backslash \{i\}} |S|! (n-|S|-1)! (v(S \cup \{i\}) - v(S)) \]其中，N代表参与者的集合，i代表某个参与者，S代表N中除i之外的任意子集，v(S)代表S的边际贡献，即完成S集合所需的时间。
经过计算，我们得到A的Shapley值为1小时，B的Shapley值为3小时，C的Shapley值为2小时。
根据Shapley值原则，A应得到1小时的报酬，B应得到3小时的报酬，C应得到2小时的报酬。
合作博弈论
（nucleolus），最后再举出静态合作在现实的经济方面的
各种解法的应用例子。
导论
先回忆一下囚徒困境的例子：
坦白
抵抗
坦白 抵抗
-8，-8 -10，0
0，-10 -1，-1
在囚徒困境中，还有另外一个策略组合<抵抗，抵抗>， 该组合为参与人带来的支付是<-1,-1>。由<-8,-8>到 <-1,-1>，每个参与人的支付都增加了，即得到一个帕 累托改进。
合作博弈的结果必须是一个帕累托改进，博 弈双方的利益都有所增加，或者至少是一方的利 益增加，而另一方的利益不受损害。合作博弈研 究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即 收益分配问题。合作博弈采取的是一种合作的方 式，合作之所以能够增进双方的利益，就是因为 合作博弈能够产生一种合作剩余。至于合作剩余 在博弈各方之间如何分配，取决于博弈各方的力 量对比和制度设计。因此，合作剩余的分配既是 合作的结果，又是达成合作的条件。
合作博弈是指参与者能够联合达成一个具有约束力且可强 制执行的协议的博弈类型。合作博弈强调的是集体理性,强调效 率、公正、公平。
合作博弈最重要的两个概念是联盟和分配。每个参与者从 联盟中分配的收益正好是各种联盟形式的最大总收益。每个参 与者从联盟中分配到的收益不小于单独经营所得收益。
合作博弈的基本形式是联盟博弈,它隐含的假设是存在一个 在参与者之间可以自由流动的交换媒介(如货币),每个参与者的 效用与它是线性相关的。这些博弈被称为“单边支付”博弈,或 可转移效用(Transferable Utility ,TU)博弈。
• 合作博弈的运用研究主要涉及企业、城市、区域经济 以及国家之间的合作等多个方面问题。
• 参考教材:
农业生产经营组织的合作博弈模型及Shapley值
N＝{A，B，C，D}。
规定 2：S 是 N 的子集， 表 示 参 与 人
之间的联盟（即参与人之间不同的组合与
链接），即 S哿N。 具体的联盟形式可以体
现 为 S1 ={A，B，C，D}、S2 ={A，B，C}、S3 = {A，B，D}、S4 ={A，C，D}、S5 ={B，C，D}、
S6 ={A，B}、S7 ={A，C}、S8 ={A，D}、S9 ={B， C}、S10 ={B，D}、S11 ={C，D}、S12 ={A}、S13 =
第五，满足集体理性，即 x（N）＝Σi∈Nxi＝ Σni=1xi=v（N）。
由于人们对联盟收益分配中的 “公 平”问题理解不一致，所以合作博弈没有 一个统一的解的概念。 但是 Shapley 值有 一个特点，就是必定存在，并且唯一。
Shapley 值及其特性：
Σ φi （v）= （ S S哿N
-1）！ （n- S n!
关键词：农业生产经营组织；合作博 弈；收益分配；shapley 值
中 共 中 央 、国务院连 续 七 年 的 一 号 文 件都是关注“三农”问题，这充分表明了党 和政府对“三农”问 题 的 高 度 重 视 和 解 决 “三农”问题的坚定决心。 要彻底解决“三 农”问题，实现传统农业向现代农业的转 变，实现农户与市场的有效对接，降低农 业生产成本和农产品交易成本， 增加农 民收入，实现农业资源优化配置，仅仅依 靠小规模分散化的家庭经营是不可能实 现的， 迫切需要提高农业生产经营的组 织化程度。
SHAPLEY值方法介绍
纳什均衡
……
SHAPLEY值
……
3
一、SHAPLEY值介绍
3.SHAPLEY值的思想
• 目的 在一个大联盟N中，根据给定不同合作方式 S对应的贡献函数v,得出最优利益分配（成 本分摊）方案。
• 思想 参与者所应获得的效益x(i)等于该参与者对 每一个它所参与的联盟的边际贡献的期望 值。
4
目录
最后，求得考虑投入因素时，应分利益
x’i(v)=xi(v)+ △xi(v)
13
THANK YOU.
14
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
1001/3 400
1200
2
w(S)
1/2
1/2
w(S)
1/2
1/2
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
300
w(S)[v(S)- v(S\{1})] 50
200
解当得N=：{1x,21(}v时)=，40A0、. 同B各理分可得得3，50x2元(v；)=当35N0=, {x13(,3v)}=时2，50A. 、C各 分得250元。
权重可采用ANP、AHP、模
k，∑k=1.
糊数学等方法确定。
显然，各成员的各种投入为Cik,各成员i的投入Di= ∑Cik. k 可求得，各成员i实际承担的投入因子D’i=Di/∑Di, ∑D’i=1. 实际投入因子与理论均摊因子1/n的差值：△Di=D’i-1/n
SHAPLEY值方法介绍(推荐文档)
1
目录
SHAPLEY值介绍 SHAPLEY值算法一般形式
1道例题 拓展
2
一、SHAPLEY值介绍
21.SHAPLEY值的应背用景范围
博弈论
非合作博弈
分析单位：个人； 研究侧重：参与人在博弈中如 何决策。
成本分摊 利益分配
分析单位：联盟； 研究侧重：参与人如何组建 不同的联盟以实现协议目标。
博弈(N,v)的SHAPLEY值将大联盟的利益v(N)按照下述公式进行分摊：
w(S)表示概率，总和为1.
xi(v)
w(s)[v(S)- v(S- i)]; w(s) (s -1)!(n - s)!
S N
n!
对于联盟中的参与者i 的利益分配函数。
对于不同的S的边际收益。 即参与者加入系统而带来的收益。
• 个体理性与集体理性
x (i )≥ v(i); ∑ i∈Nxi=v(N).
• SHAPLEY值公理 SHAPLEY值是满足匿名性、有效性、可加性和 虚拟性四个性质的唯一解。
• 假设前提
系统各成员的投入是均等的；
6
二、SHAPLEY值算法一般形式
2.算法的一般形式--以利益分配为例
N代表大联盟，v代表收益函数。 注：参与者可以组成任意的小联盟S。
v({2,3})=40△01; v({1,2,3})=1{10}00. {1,2}
{1,3}
{1,2,3}
求
△1
v(S)
x1(v),xv2(S(v\{)1,x}{)31(}v).
100 {1,20}
700
500
100 △1 100
1000 {1}400 {1,3}
v(S) v(S)- v(S1\{010})
合作博弈
一、合作博弈的概念及其表示
定义6.1.1 在 n 人博弈中，参与人集用N {1, 2 , , n}
N 的任意子集 S 称为一个联盟（coalition）。
表示，
S 是一个联盟， v ( S )是指 S 和 定义6.1.2 给定一个 n人博弈， v(S) 称为联盟 N S {i | i N,i S} 的两组博弈中S 的最大效用， S 的特征函数（characteristic function）。
n
二、分配
所谓分配就是博弈的一个n 维向量集合，之所以是 n 维向 量，是由于每个参与人都要得到相应的分配。 n 维的分配 向量称为博弈的“解”，各种方法即各种解概念代表着分 配的不同观点。 定义6.2.1 对于合作博弈( N , v), N 1, 2,, n ，对每个参与 人 i N ，给予一个实值参数 xi ，形成 n 维向量 x ( x1 , , xn ) n 且其满足：
u v ( N )
存在无限个正向量 u (u1 , u2 , , un ) ，满足 u u1 u2 ,, un 。 用 E(v) 表示一个博弈 ( N , v ) 的所有分配方案组成的集合。
v (i) 0
n i 1
显然如下的 x ( x1 , , xn ) 都是分配，其中 xi v i ui ,1 i n 。
例6.1 设有一个3人合作对策，每个参与人各有两个纯策略A 和B。当三人不合作时，其支付见下表。假设采用最稳妥 策略，即最坏情况下选择最好，求合作博弈的支付函数
超可加性表示两个不相交的联盟分别行动，其分别单干的结 果不如组成一个联盟的联合而共同行动，这是大联盟形成的 动因。特征函数只有满足超加性，才有形成新联盟的必要性 。否则，如果一个合作博弈的特征函数不满足超可加性，那 么，其成员没有动机形成联盟，已经形成的联盟将面临解散 的威胁。
合作博弈_精品文档
哥本哈根气候峰会博弈
1 发达国家 欧、美、日为代表
2 发展中国家 中、印、巴西、印尼
3 气候敏感国家和贫穷国家 图瓦卢、马尔 代夫、斐济等太平洋小岛国 ；非洲
各国的立场
中国，到2020年单位国内生产总值二氧 化碳排放比2005年下降40％－45％
美国将在哥本哈根气候变化大会上承诺 2020年温室气体排放量在2005年基础上 减少17％。
Shapley 值是其中重要的解概念之一
Shapley 值
Shapley公理 Shapley 提出了看上去比较 合理的几个公理假设
在这些假设下，Shapley 证明了任何合 作博弈 (N, v)存在唯一的Shapley值。可 作为合作分配的一个解概念。
Shapley 值
参与人集合N的一个置换 (permutation)，是 任一函数π：N N，使得对于N中的每个j, N 中恰好存在一个i, 使得π(i) =j（ π是单射，又 是满射）
英国：承诺到2020年和2050年分别减排 2005年的34%和80%，
各国立场
欧盟：通过包括气候与能源一揽子计划和各 种能效措施，无条件承诺到2020年较1990年 减排20%以上。同时承诺抬高减排幅度至30%， 前提是各工业化国家同意相当水平的减排力 度，同时发展中国家做出重大贡献，共同促 成国际条约的签署 。
给定上述置换π和任一联盟博弈v, 令πv为满足 π v （{π (i) | i∈S}）=v (S), S为N的任一子集
的联盟博弈。
Shapley 值
Shapley 公理1（对称性）对于合作博弈 (N, v), 在任一参与人的置换映射π(i) 下， 分配结果应保持不变，即有
φπ(i) (πv) = φi(v) 公理1表明：一个参与人在博弈中的角