高中数学选修23试卷及复习资料一
无锡外国语学校高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．重阳节，农历九月初九，谐音是“久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A ．50B ．40C ．35D ．302．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（ ）A ．9-B ．5-C ．7D ．83．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（ ） A ．252B ．216C ．162D ．2284．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A ．40B ．36C ．32D ．205．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++，则9a =（ ）A ．9B ．10C ．-9D ．-106．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．264种B ．480种C ．240种D ．720种7．某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为( ) A ．36CB ．1225C CC ．12212424C C C C +D ．36A8．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．709．甲乙和其他2名同学合影留念，站成两排两列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这4名同学的站队方法有（ ） A ．8种B ．16种C ．32种D ．64种10．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80 B ．120 C ．150 D ．360 11．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ） A ．720B ．360C ．240D ．12012．式子22223459C C C C ++++=（ ）A ．83B ．84C ．119D ．120二、填空题13．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为________.14．已知()723801238()(21)x m x a a x a x a R x a x m +-=+++++∈，若127a =，则()81ii i a =⋅∑的值为_______.15．已知数列{}n a 共有21项，且11a =， 2115a =，11(1,2,3,,20)k k a a k +-==，则满足条件的不同数列{}n a 有______个. 16．已知集合{}123456,,,,,AB C a a a a a a =，且集合{}123,,A B C a a a =，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有__________种.17．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为________（结果用数值表示）. 18．计算2222223456C C C C C ++++=______.19．将5名上海世博会的志愿者分配到中国馆、美国馆、英国馆工作，要求每个国家馆至少分配一名志愿者且其中甲、乙两名志愿者不同时在同一个国家馆工作，则不同的分配方案有________种．20．某中学安排,,,A B C D 四支小队去3所不同的高校参观，上午每支小队各参观一所高校，下午A 小队有事返回学校，其余三支小队继续参观.要求每支小队上下午参观的高校不能相同，且每所高校上午和下午均有小队参观，则不同的安排有_____种.三、解答题21．从6名运动员中选出4人参加4100⨯接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒.22．袋中有相同的5个白球和4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率. （1）摸出的全是白球或全是黑球、 （2）摸出的白球个数多于黑球个数.23．我校学生会进行换届选举，共选举出7名学生会委员，其中甲、乙、丙是上一届的委员，现对7名成员进行如下分工.（1）若学生会正、副主席两职位只能由甲、乙、丙三人选两人担任，则有多少种不同的分工方法；（2）若甲不担任学生会主席，乙不能担任组织委员，则有多少种不同的分工方法？ 24．设(,)(1)n f x n x =+，*n N ∈. （1）设260126(,6)f x a a x a x a x =++++，求0246a a a a +++的值；（2）求12320192019201920192019232019C C C C +++⋯+的值； （3）*n N ∈，化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----++++.25．已知.（1）若，求及的值；（2）若，求最大的系数；（3）定义，若化简.26．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序.（结果．．用数字作答．．．．．） （1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ （3）如果3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先把6人分成两组，再安排到两所敬老院，由此可得． 【详解】先分组再安排：6人可按3,3分组或2,4分组，然后再安排到敬老院，方法为32266222()50C C A A +⨯=．故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查分组分配问题，涉及到平均分组和不平均分组，平均分组时要除以组数的阶乘．n 个不同元素按12,,,k m m m 分成k 组，若12,,,k m m m 两两不等，则分组数为312112kkmm m m n n m n m m m C C C C ---，若12,,,k m m m 中仅有i 个数相等，则分组数为312112kkm m m m n n m n m m mi iC C C C A---．2．A解析：A 【分析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)rr r r T C x -+=⋅-,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.3．D解析：D 【分析】根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案. 【详解】解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个； ②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个， 这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D. 【点睛】本题考查分类计数原理和排列组合知识，如何分类是关键，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空， 三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法， 又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种. 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】()()9011010019910999991...1[...]nn n x C C x C x a x a C C x C x +=++⇒+=++，()10101a x +=019910101010101010(...)a C C x C x C x ++++，根据已知条件得9x 的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010011a a C a C a a C =-⎧⋅+⋅=⎧⇒⇒⎨⎨=⋅=⎩⎩ 故选D. 6．C解析：C 【分析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解. 【详解】先从5个党员干部里选2个，有25C 种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有14C 种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有33A 种方法.所以共有213543240C C A =种方法.故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】分只有一名女生入选和有二名女生入选两种情况，结合分步乘法计数原理以及分类加法计数原理，即可得出答案. 【详解】当只有一名女生入选时，先选1名女生，有12C 种，再选2名男生，有24C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有1224C C 种当有二名女生入选时，选选2名女生，有22C 种，再选1名男生，有14C 种，则根据分步乘法计数原理可知，有2124C C 种所以从中选出三名同学参加比赛，其中至少有一名女生入选的不同选法种数为12212424C C C C +故选：C 【点睛】本题主要考查了组合的应用，涉及了分步乘法计数原理以及分类加法计数原理的应用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，可分为2种情况，①取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有124540C C =种不同的取法； ②取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有214530C C =种不同的取法， 由分类计数原理，可得不同的取法共有403070+=种. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9．A解析：A 【分析】根据题意，分3步进行讨论：先在4个位置中任选一个安排甲，再安排乙，最后将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分3步进行讨论：1、先安排甲，在4个位置中任选一个即可，有14C 4=种选法；2、在与甲所选位置不在同一排也不在同一列只有一个位置，安排乙，即1种选法；3、将剩余的2个人，安排在其余的2个位置，有222A =种安排方法； 则这4名同学的站队方法有4128⨯⨯=种； 故选：A . 【点睛】本题主要考查排列、组合的综合应用，注意要优先分析受到限制的元素，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.11．C解析：C 【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果. 【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列， 而甲和乙之间还有一个排列， 共有5252240A A =. 故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.12．C解析：C 【分析】根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，化简运算，即可求解.【详解】由题意，根据组合数的计算公式111rr r n n n C C C ++++=，可得22223459C C C C ++++=32222334591C C C C C +++++-322244591C C C C =++++-32235591011119C C C C =+++-==-=.故选：C. 【点睛】本题主要考查了组合数的化简与运算，其中解答中熟记组合数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.二、填空题13．240【分析】先求出二项式的展开式的通项公式令的指数等于求出的值即可求得展开式中的常数项【详解】展开式的通项公式令所以的展开式的常数项为故答案为【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数属于简单解析：240 【分析】先求出二项式6x⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x⎛- ⎝展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x --+⎛==⨯-⨯ ⎝令36342r r -=⇒=,所以6x ⎛ ⎝的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240. 【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn r rr n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14．43【分析】因为的展开通项为：根据求的将所给等式两边求导即可求得的值【详解】的展开通项为：又等式两边求导可得：令得：故答案为：【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识考查了分析能力和解析：43 【分析】因为7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2rrr rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅=，根据127a =，求的m ，将所给等式两边求导，即可求得()81i i i a =⋅∑的值.【详解】7(21)x -的展开通项为：777177(2)(1)(1)2r r r rr r r r T C x C x ---+=⋅⋅-⋅-⋅⋅= 又777()(21)(21)(21)x m x x x m x +--+-=∴7661777011(1)2(1)211427a C m C m =⨯-⋅+⨯--+==⋅∴2m =80187(2)(21)x x a a x a x +-=++⋯+等式两边求导可得：762712381(21)(2)7(21)2238x x x a a x a x a x ⋅-++⋅⋅-⋅=+++⋯+6(21)(211428)x x x =--++67128(1627)(21)28x x a a x a x =+-=++⋯+令1x =，得：1282843a a a ++⋯=+∴()8143i i i a =⋅=∑故答案为：43 【点睛】本题解题关键是掌握多项式系数的求法和导数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15．【分析】转化条件得或求出满足的个数再利用组合的知识即可得解【详解】或设满足的个数为解得结合组合的应用满足要求的数列有个故答案为：【点睛】本题考查了数列递推公式的应用考查了组合的应用与转化化归思想属于解析：1140【分析】转化条件得11k k a a +-=或11k k a a +-=-，求出满足11k k a a +-=的个数，再利用组合的知识即可得解. 【详解】11k k a a +-=， ∴11k k a a +-=或11k k a a +-=-，设满足11k k a a +-=的个数为x ，()()()211212*********a a a a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+-=， ∴()()20114x x +-⋅-=，解得17x =，结合组合的应用，满足要求的数列有20217301140C C ==个. 故答案为：1140. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了组合的应用与转化化归思想，属于中档题.16．【分析】由可知集合均含有元素作出韦恩图可知元素可以放在除之外的个区域中每个元素有个选择利用分步乘法计数原理可得结果【详解】如下图所示集合被分为了个区域由可知集合均含有元素则元素可以放在除之外的个区域 解析：216【分析】 由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，作出韦恩图，可知元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如下图所示，集合A 、B 、C 被分为了7个区域，由{}123,,AB C a a a =，可知集合A 、B 、C 均含有元素1a 、2a 、3a ，则元素4a 、5a 、6a 可以放在除A B C ⋂⋂之外的6个区域中，每个元素有6个选择，由分步乘法计数原理可知，所有可能的情况种数为36216=. 故答案为：216. 【点睛】本题考查排列组合问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.17．【分析】根据题意先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任选一项的所有情况有种每个项目都有该校教师参加的情况有种即可求得相应的概率【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动每位教师任解析：49【分析】根据题意，先求出四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的所有情况有43种，每个项目都有该校教师参加的情况有2343C A ⋅种，即可求得相应的概率. 【详解】解：由于四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项的情况有：433333⨯⨯⨯=（种），而每个项目都有该校教师参加的情况有：234336C A ⋅=（种）， 则每个项目都有该校教师参加的概率为：436439=. 故答案为：49. 【点睛】本题考查概率的计算和分步乘法的计数原理，以及排列组合的应用，考查分析计算能力.18．35【分析】根据组合数的性质计算可得；【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查组合数的性质属于中档题解析：35 【分析】根据组合数的性质11mm mn n n C C C -++=计算可得；【详解】解：2222223456C C C C C ++++3222233456C C C C C =++++ 32224456C C C C =+++ 322556C C C =++3266C C =+ 3776535321C ⨯⨯===⨯⨯故答案为：35 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题.19．114【分析】本题是一个分类计数问题每个国家馆至少分配一名志愿者则有两种不同的情况当按照221安排时共有当按照113安排时有其中包括甲和乙在一个馆里的情况减去不合题意的结果即可【详解】由题意知本题是解析：114 【分析】本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况，当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =，其中包括甲和乙在一个馆里的情况，减去不合题意的结果即可． 【详解】由题意知本题是一个分类计数问题，每个国家馆至少分配一名志愿者，则有两种不同的情况， 每一个馆的人数分别是2，2，1；1，1，3 当按照2，2，1安排时，共有223533902C C A =，当按照1，1，3安排时，有335360C A =， 其中包括甲和乙在一个馆里的情况， 当甲和乙在同一个馆里时，共有234336C A =， ∴满足条件的排列法共有906036114+-=，故答案为：114. 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题的关键是先分组再做分配，考查加法原理和乘法原理的实际应用，属于中等题.20．【分析】本题属于分组分配问题可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论分上下午两步安排参观即可得出答案【详解】若与中的某一支小队分在一组上午有种参观方法下午参观时三支小队不去各自上午参观的高校有解析：【分析】本题属于分组分配问题，可按上午参观时A 是否与其他小队分在一组进行讨论，分上下午两步安排参观，即可得出答案. 【详解】若A 与B 、C 、D 中的某一支小队分在一组，上午有1333C A ⋅种参观方法， 下午参观时B 、C 、D 三支小队不去各自上午参观的高校，有2种方法， 故有1333236C A ⋅⋅=种；若B 、C 、D 中某两支队分在一组，上午有2333C A ⋅种参观方法， 下午再安排时，也有2种方法， 故有2333236C A ⋅⋅=种. 所以一共有363672+=种. 故答案为：72. 【点睛】本题考查考查分组分配问题，注意其中的分类分步，属于中档题.三、解答题21．（1）144（2）336 【分析】（1）第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，利用乘法原理可得结论． （2）利用间接法，任意排法，再去掉甲、乙跑中间的安排方法即可得解； 【详解】解：（1）先选跑中间的两人有24A 种，再从余下的4人中选跑1、4棒的有24A ，则共有2244144A A =种.（2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法46A ，再去掉甲、乙跑中间的安排方法2224A A 种，故满足条件的安排方法有246224336A A A =-种. 【点睛】本题考查计数原理的运用问题，解题的关键是正确分步．注意甲乙都不跑中间，包括了甲乙可能都不上场的情形．22．（1）16（2）2542【分析】（1）从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况，摸出的全是白球有35C 种不同情况，摸出的全是黑球有34C 种不同情况，计算概率得到答案.（2）摸出的3个球都是白球的事件，记为M ；摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .计算概率得到答案. 【详解】（1）设从袋中摸出的3个球全是白球或全是黑球的事件为A ， 从袋中任意摸出3个球有39C 种不同情况， 摸出的全是白球有35C 种不同情况， 摸出的全是黑球有34C 种不同情况，因为从袋中任意摸出3个球的所有情况都是等可能的，所以()3354391041846C C P A C ++===. （2）设从袋中摸出的白球个数多于黑球个数的事件为B . 事件B 包含两个基本事件：第一个，摸出的3个球都是白球的事件，记为M ； 第二个，摸出2个白球，1个黑球的事件，记为N .()3539542C P M C ==，()21543940108421C C P N C ===. 所以，()()()51025422142P B P M P N =+=+=. 【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 23．（1）720；（2）3720. 【分析】（1）由学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任，利用排列、组合计算即可；（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，可用间接法计算，即可求解． 【详解】（1）由题意，学生会正、副主席两职位只能由甲乙丙三人中选出两人担任， 则有225325720C A A =种不同的分工．（2）甲不担任学生会主席，乙不担任组织委员，则有76576523720A A A -+=种不同的分工． 【点睛】本题主要考查了排列、组合及其简单的计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列数、组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．24．(1)32.（2）201820192⨯.（3）54n.【分析】（1）利用赋值法求解，令1x =和1x =-，两式相加可得；（2）利用11k k n n kC nC --=可求；（3）结合式子特点构造(41)n +可求. 【详解】（1）令1x =，得60126264a a a a +++⋯+== ① 令1x =-，得01260a a a a -+-⋯+= ② ①+②得024632a a a a +++=；（2）因为11k k n n kC nC --=所以12320192019201920192019232019C C C C ++++=()12201820182018201820182019C C C C ++++201820192=⨯；（3）01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++⋯++011221144444n n n n nn n nnnC C C CC ---⎡⎤=+++++⎣⎦15(41)44nn=+=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合组合数的性质，侧重考查数学解题模型的构建能力. 25．（1）（2）（3）【解析】 【分析】(1)由赋值法得到相应的数值；（2）将参数值代入表达式得到其通项公式为，由不等式，可得到，进而得到；（3）按照组合数的展开公式，分组求和即可. 【详解】 （1）若，，令,则， 令，则所以.（2）若，其通项公式为，由不等式解得，且，∴.所以.（3）若,【点睛】本题考查二项式定理的应用,以及组合数公式的相关运算，考查推理能力与计算能力，属于中等题。
(北师大版)大连市高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50002．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法A ．5457A A 种 B ．1010A －7474A A 种 C ．6467A A 种D ．6466A A 种3．下列四个组合数公式:对,n k N ∈，约定0001C ==！,有（1）(0)!kk n nP C k n k =≤≤（2）(0)k n kn n C C k n -=≤≤ （3）11(1)k k n n k C C k n n--=≤≤ （4）111(1)kkk n n n C C C k n ---=+≤≤ 其中正确公式的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，则不同方法共有几种（ ）A ．12B ．16C ．24D ．365．若2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，则下列结果不正确的是（ ）A ．01220201a a a a +++⋯+=B ．20201352019132a a a a -++++⋯+=C ．20200242020132a a a a ++++⋯+=D ．202012220201222a a a ++⋯+=- 6．从20名同学中选派3人分别参加数学、物理学科竞赛，要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛．记不同的选派方式有n 种，则n 的计算式可以是（ ） A ．3203CB ．3206CC ．3202AD ．3203A ÷7．5250125(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则2a =（ ）A ．40B ．40-C ．80D ．80-8．有5位同学参加青少年科技创新大赛的3个不同项目，要求每位同学参加一个项目且每个项目至少有一位同学，则不同的参加方法种数为（ ） A ．80B ．120C ．150D ．3609．甲、乙、丙、丁4人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（ ） A ．840B ．2226C ．2100D ．235210．5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为（ ） A ．10B ．40-C ．200D ．24011．已知5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，则512025...222a a a a ++++的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．81D ．6412．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18B ．24C ．30D ．36二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学参加一项比赛，决出第一到第六的名次.A ，B ，C 三人去询问比赛结果，裁判对A 说：“你和B 都不是第一名”；对B 说：“你不是最差的”；对C 说：“你比A ，B 的成绩都好”，据此回答分析：六人的名次有_____________种不同情况.15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.16．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是_______________. 17．将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______.18．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）. 19．若212626xx C C -=，则x ＝__________.20．甲、乙、丙等7人排成一排，甲站最中间，乙丙相邻，且乙、丙与丁均不相邻，共有______种不同排法．（用数字作答）三、解答题21．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的数，问 （1）能够组成多少个五位奇数？ （2）能够组成多少个正整数？（3）能够组成多少个大于40000的正整数？22．若2nx⎛+ ⎝展开式的二项式系数之和是64．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项．23．一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单． （1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）2个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （4）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？ （要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示） 24．已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式.25．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数的和比()732a b +展开式的二项式系数的和大128.（1）求n 的值.（2）求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项26．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数.（要求每问要有适当的分析过程，列式并算出答案） （1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体站成一排，男、女各站在一起；（4）全体站成一排，男生不能站在一起； （5）全体站成一排，甲不站排头也不站排尾.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --， 故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，另外六人，有66A 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁， 有47A 种结果，根据分步计数原理知共有66A •47A ， 故选C ． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．3．A解析：A 【分析】分别将组合数和排列数写成阶乘的形式，计算每个等式的两边并判断等式是否成立. 【详解】A ．()0!k kk n n nk k P P C k n P k ==≤≤，等式成立；B ．()()!0!!!k k n nP n C k n k n k k ==≤≤-⨯，()()()()()()!!0!!!!!n k n k n nP n n Ck n n k k n k n n k n k --===≤≤-⨯---⨯-， 所以(0)kn kn n C C k n -=≤≤成立；C ．()()()()1!!(1)!!!!1!k k n n n P k k k n C k n n n k n n k k n k k -=⋅=⋅=≤≤-⨯-⨯-， ()()()()1111(1!1!!1)!1k n k n n P k n k k Ck n -----==-≤-≤⨯-，所以11(1)k k n n k C C k n n --=≤≤成立； D ．()()()()()()1111111!1!!1!1!!!1!k k k k n n n n n n P P k k n k k Cn k k C--------=+=+=---⨯-⨯-+ ()()()()1!(1!!!)!!k n n n n k k C n k k n k k n k ⎡⎤-⎡⎤=-+==⎢⎥⎣⎦-⨯-⨯⎢≤⎥≤⎣⎦，所以111(1)k k k n n n C C C k n ---=+≤≤成立.故选A. 【点睛】本题考查排列数、组合数公式的运算化简，难度一般.注意排列组合中两个计算公式的使用：()()()!!,!!!!!n m mmn n nn P P n n P C n m n m m n m m ====---⨯. 4．D解析：D 【分析】直接利用乘法原理计算得到答案. 【详解】第一颗棋子有339⨯=种排法，第二颗棋子有224⨯=种排法，第三颗棋子有1种排法， 故共有94136⨯⨯=种排法. 故选：D. 【点睛】本题考查了乘法原理，意在考查学生的应用能力.5．B解析：B 【分析】令1x =，得到0120201a a a ++⋯+=，令1x =-，求得202001220203a a a a =-++⋯+，令0x =，求得01a =，进而逐项判定，即可求解.【详解】由题意，二项展开式2020220200122020(12)x a a x a x a x -=+++⋯+，令1x =，可得01220202020(12)1a a a a +++⋯+-==，①令1x =-，可得2020012202020203(123)a a a a a -=+-++⋯+=，②令0x =，可得20020(10)1a =-=，③由①-②，可得20201352019132a a a a -+++⋯+=， 由①+②，可得2020024*******a a a a ++++⋯+=， 令12x =，可得20202020120220201(12)12222a a a a +++⋯+=-⨯=， 所以202012220201222a a a ++⋯+=-. 综上可得，A 、C 、D 是正确的，B 是错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数问题的求解，其中解答中合理利用二项展开式的形式，合理赋值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.6．B解析：B 【分析】先从20名同学中选派3人，再分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从20名同学中选派3人，共有320C 种不同的选法， 又由要求每科竞赛都有人参加，而且每人只能参加一科竞赛， 可分为两类：第一类：2人参加数学，1人参加物理竞赛，共有233C =中不同的选法； 第二类：1人参加数学，2人参加物理竞赛，共有133C =中不同的选法， 综上可得，不同的选派方式共有332020(33)6C C +⋅=⋅. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中选出3人后，合理分类求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.7．A解析：A 【分析】易得[]55(21)2(1)1x x --=+，求出展开式通项后可得55152(1)rrr r T C x --+=⋅⋅-，令3r =可得出2a 的值. 【详解】由于[]55(21)2(1)1x x --=+，所以展开式的通项为：[]5551552(1)12(1)rrr r r r r T C x C x ---+=⋅-⋅=⋅⋅-，令3r =可得：322352(1)T C x =⋅⋅-，则3225240a C =⋅=. 故选：A . 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是得出[]55(21)2(1)1x x --=+进而进行计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分清楚有两种情况，利用公式求得结果. 【详解】根据题意，可知有两种情况，一种是有三位同学去参加同一个项目，一种是有两个项目是两位同学参加，所以不同的参加方法种数为22333535332210310661502C C C A A A ⋅⨯⋅+⋅=⨯+⨯=种， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分类计数加法计数原理，排列组合综合题，属于中档题目.9．B解析：B 【分析】分成三类：一类每个台阶站1人；二类一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人；三类一个台阶站2人，一个台阶站2人，分类用加法原理可得. 【详解】每个台阶站1人有47840A =,一个台阶站2人，一个台阶1人，一个台阶1人有23471260C A , 一个台阶站2人，一个台阶站2人有273126A 所以共有840+1260+126=2226故选：B. 【点睛】本题考查使用两个计数原理进行计数的基本思想:对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．10．B解析：B 【分析】首先将5(3)(2)x x -+拆开得到555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，得到5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数与5(2)x +展开式中2x 项和3x 项的系数有关，化简求得结果. 【详解】555((2)3(23))(2)x x x x x =+-+-+，5(2)x +展开式中2x 项的系数为335280C ⋅=， 5(2)x +展开式中3x 项的系数为225240C ⋅=， 所以5(3)(2)x x -+的展开式中3x 的系数为8034040-⨯=-， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求两个二项式乘积展开式的系数问题，在解题的过程中，注意分析与哪些项有关，属于简单题目.11．A解析：A 【分析】根据所求与已知的关系，令12x =，即可求得答案. 【详解】5250125(12)...x a a x a x a x +=++++，∴令12x =，即可得555120251...122322222a a a a ⎛⎫++++=+⨯== ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数，即可得到答案. 【详解】因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：2343C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有33A 种， 所以不同的分配方法种数有：23343336630C A A ⋅-=-= 故选：C 【点睛】本题考查了排列组合的应用，考查了间接法求排列组合应用问题，属于一般题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．【分析】根据裁判所说对的名次分两类：第一类是获最后一名再考虑且在前面最后排剩下3人；第二类是没有获得最后一名此时可同时考虑获得前5名根据加法原理即可得到答案【详解】根据裁判所说对的名次分两类：第一类 解析：180【分析】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C 且C 在B 前面，最后排剩下3人；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名，根据加法原理即可得到答案. 【详解】根据裁判所说，对A 的名次分两类：第一类是A 获最后一名，再考虑B ，C ，从前5名中选2两个名次给B ，C 且C 在B 前面有25C 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理，共有235360C A =种；第二类是A 没有获得最后一名，此时可同时考虑A ，B ，C 获得前5名中的3个名次 且C 名次在A ，B 之前有3252C A 种，最后排D ，E ，F 有33A 种，根据分步计数原理， 共有323523120C A A =种；根据分类计数原理，六人的名次共有60120180+=种不同情况. 故答案为：180 【点睛】本题主要考查分类计数原理和分步计数原理，注意对同学A 进行分类讨论，属于中档题．15．150【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分别计算可得分成113与分成221时的分组情况种数相加可得答案【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有113与221两种分成1解析：150 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案． 【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法，分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C C C A A A +=种分法， 故答案为：150． 【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16．60【分析】由题意可得二项展开式的通项要求展开式的常数项只要令可求代入可求【详解】解：由题意可得二项展开式的通项为：令可得：此时即的展开式中的常数项为60故答案为：60【点睛】本题考查了二项展开式项解析：60 【分析】由题意可得，二项展开式的通项26161(2)()(1)2r r r rr T C x x-+=-=-61236rr r C x --，要求展开式的常数项，只要令1230r -=可求r ，代入可求 【详解】解：由题意可得，二项展开式的通项为： 2661231661(2)()(1)2r r r r r r rr T C x C x x---+=-=-，令1230r -=，可得：4r =，此时2456260T C ==，即6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为60. 故答案为：60． 【点睛】本题考查了二项展开式项的通项公式的应用，考查解题运算能力．17．315【分析】根据题意有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同再由排列组台及计数原理即可求解【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同共种不同取法；第二步：再将剩下的个小球放入到解析：315 【分析】根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，再由排列组台及计数原理，即可求解. 【详解】第一步：先确定三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，共3735C =种不同取法； 第二步：再将剩下的4个小球放入到4个盒子中,且小球编号与放入的小球的编号不相同，共()113219C C +=种不同放法；因而有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同的不同放法种数为359315⨯=种. 故答案为：315 【点睛】本题考查了排列组合及计数原理，考查理解辨析能力与运算求解能力，属中档题.18．135【分析】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置计算得到答案【详解】根据题意先确定2个人位置不变共有种选择再确定4个人坐4个位置但是不能坐原来的位置共有解析：135 【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案. 【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有2615C =种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有33119⨯⨯⨯=种选择， 故不同的坐法有159135⨯=. 故答案为：135. 【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．20．【分析】根据乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙丙与丁均不相邻且甲站最中间则剩余3人全排列从产生的4个空中选2个将乙丙与丁排列再用分类乘法计数原理求解【详解】因为乙丙相邻所以捆在一起有种排法又因为乙 解析：144【分析】根据乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，且甲站最中间，则剩余3人全排列，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，再用分类乘法计数原理求解. 【详解】因为乙丙相邻，所以捆在一起有22A 种排法，又因为乙、丙与丁均不相邻，因为甲站最中间，则剩余3人全排列有33A 种排法，，从产生的4个空中选2个，将乙、丙与丁排列，有24A 种排法，所以共有232234144A A A ⨯⨯=种排法故答案为：144本题主要考查分类乘法计数原理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）72；（2）325；（3）48； 【分析】（1）首先排个位，从3个奇数中选1个排在个位，再将其余4个数全排列即可； （2）根据题意，按数字的位数分5种情况讨论，求出每种情况下数字的数目，由加法原理计算可得答案；（3）大于40000的正整数，即最高位为4或5，其余数字全排列即可； 【详解】解：（1）首先排最个位数字，从1、3、5中选1个数排在个位有133A =种，其余4个数全排列有4424A =种，按照分步乘法计数原理可得有143472A A =个五位奇数； （2）根据题意，若组成一位数，有5种情况，即可以有5个一位数； 若组成两位数，有2520A =种情况，即可以有20个两位数； 若组成三位数，有3560A =种情况，即可以有60个三位数； 若组成四位数，有45120A =种情况，即可以有120个四位数； 若组成五位数，有55120A =种情况，即可以有120个五位数； 则可以有52060120120325++++=个正整数；（3）根据题意，若组成的数字比40000大的正整数，其首位数字为5或4，有2种情况； 在剩下的4个数，安排在后面四位，共有142448C A =种情况， 则有48个比40000大的正整数； 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 22．（1）6；（2）60 【分析】由二项式系数和求出指数n ，再写出展开式通项后可得常数项. 【详解】（1）由题意得，二项式系数之和为012264n n n n n n C C C C ++++==，6n ∴=；（2）通项公式为366622166(2)2r r rrrr r T C x xC x----+==，令3602r-=，得4r = ∴展开式中的常数项为4464256(2)60T C x x --==．该题主要考查二项式定理，在()na b +展开式中二项式系数为2n ，只与指数n 有关，求特定项时要注意通项的正确应用.23．（1）48；（2）72；（3）36；（4）108. 【分析】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，利用捆绑法可求得排法种数；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的空中，利用插空法可求得排法种数； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则3个节目排在中间，利用分步乘法计数原理可求得排法种数；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数，由此可求得结果. 【详解】（1）将2个相声节目进行捆绑，与其它3个节目形成4个元素，然后进行全排， 所以，排法种数为242448A A =种；（2）将2个相声节目插入其它3个节目所形成的4个空中，则排法种数为323472A A =种； （3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，则其它3个节目排在中间，进行全排， 由分步乘法计数原理可知，排法种数为233336A A =种；（4）在5个节目进行全排的排法种数中减去前3个节目中没有相声节目的排法种数， 可得出前3个节目中要有相声节目的排法种数为53253212012108A A A -=-=. 【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法、插空法、分步乘法计数原理以及间接法的应用，考查计算能力，属于中等题. 24．（1）1（2）证明见解析； 【分析】（1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n n nn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C xx ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ，因为()()()()111!!!!1!!kk nn n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．（1）8；（2）系数最大项，4570T x =，系数最小项656T x =-和7456T x =-【分析】（1）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为2n ，()732a b +展开式的二项式系数和为72，根据条件可得到关于n 的等式求解出n 的值；（2）根据二项式系数的性质求得当r 为何值时，展开式的系数最大或最小，从而求解出对应的系数最大和最小的项. 【详解】（1）由条件可知：722128n -=，所以822n =，所以8n =；（2）因为21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为：()163181r r rr T C x -+=⋅-⋅，由二项式系数的性质可知：当4r =时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最大，所以系数最大的项为4445870T C x x =⋅=， 当3r =或5时，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的系数最小，所以系数最小的项为3774856T C x x =-⋅=-和56856T C x x =-⋅=-. 【点睛】本题考查二项式定理的综合运用，难度一般.对于二项式系数kn C ，若n 为偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项1122,n n nnC C-+同时取得最大值.26．（1）2520；（2）5040；（3）288；（4）1440；（5）3600.【分析】相邻问题一般看作一个整体处理，利用捆绑法，不相邻问题一般用插空法，特殊位置优先考虑，即可求解． 【详解】解：（1）从7人中选其中5人排成一排，共有55752520C A =种排法； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人，共有775040A =种排法； （3）全体站成一排，男、女各站在一起，属于相邻问题， 男生必须站在一起，则男生全排列，有33A 种排法， 女生必须站在一起，则女生全排列，有44A 种排法， 男生女生各看作一个元素，有22A 种排法；由分布乘法的计数原理可知，共有234234288A A A =种方法；（4）全体站成一排，男生不能站在一起，属于不相邻问题，先安排女生，有44A 种排法，把3个男生插在女生隔成的5个空位中，有35A 种排法， 由分布乘法的计数原理可知，共有43451440A A =种方法； （5）全体站成一排，男不站排头也不站排尾，则优先安排甲， 从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有15A 种排法， 再对剩余的6人进行全排列，有66A 种排法， 所以共有16563600A A =种方法． 【点睛】本题考查排列和组合的实际应用，涉及相邻和不相邻问题，利用了捆绑法、插空法和特殊位置优先考虑的方法，考查分析和计算能力．。
高中数学选修23第二章概率单元总结复习测试试卷试题.docx
选修 2-3 第二章概率质量检测 (二)时间： 120分钟总分： 150分第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分)题号123456789101112答案一、选择题 ( 每小题 5 分，共 60 分)1．某射手射击所得环数ξ 的分布列如下：ξ78910P x y已知A．ξ 的数学期望B．E(ξ)＝，则C．Dy 的值为(．)2．若X的分布列为X01P a则D( X)等于()A．B．C．D．3．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为35，则他在 3 天乘车中，此班次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为()4．设随机变量X～N( μ，σ2) ，且P( X<c) ＝P( X>c) ，则c的值为()A．0B．1C．μ5．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个 6 点”，则条件概率P( A| B)，P( B| A)分别是() 160601，2，91，91，26.箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码后放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖．现有 4 人参与摸奖，恰好有 3 人获奖的概率是()7．已知X的分布列为X123P121636 7且 Y＝aX＋3，E( Y)＝3，则 a 为()111A．－ 1 B ．－2C．－3 D ．－48．已知变量x服从正态分布N(4 ，σ2) ，且P( x>2) ＝，则P( x>6)＝()A．B．C．D．9．设由“ 0”，“1”组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘ 0’的事件”，用B表示“第一位数字为‘ 0’的事件”，则P( A| B)等于()10．把 10 个骰子全部投出，设出现 6点的骰子的个数为X，则P( X≤2)＝()1012581059510211A．C ×6×6B．C×6×6 ＋65 92125811C．C10×6×6＋C10×6× 6D．以上都不对11．已知随机变量X～B(6, ，则当η＝－2X＋1 时，D( η) ＝()A．－B．－C．D．12．节日期间，某种鲜花的进价是每束元，售价是每束 5 元，节后对没售出的鲜花以每束元处理．据前 5 年节日期间这种鲜花销售情况得需求量ξ(单位：束)的统计如下表，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()ξ200300400500P元 B ．690 元 C ．754 元 D ．720 元第Ⅱ卷 ( 非选择题，共 90 分)二、填空题 ( 每小题 5 分，共 20 分)13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次111品率分别为70，69，68，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 ________．14.已知正态总体的数据落在区间 ( －3，－1) 内的概率和落在区间(3,5) 内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．115．如果一个随机变量ξ～B15，2，则使得P(ξ＝k)取得最大值的 k 的值为________．16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命 ( 单位：小时 ) 均服从正态分布N(1 000,50 2) ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 ________．三、解答题 ( 写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10 分) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)记ξ 表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ 的分布列及期望．18．(12 分) 某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课程4取得优秀成绩的概率为5，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q( p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0123P6a b24 125125(1)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率；(2)求 p，q 的值；(3)求数学期望 E(ξ)．19.(12分) 一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是 3. 从盒中任取3 张卡片．(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望．( 注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数． )20.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于50 个的概率；(2)用 X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E( X)及方差 D( X)．21.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功2 3的概率分别为3和5. 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100 万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．22.(12 分) 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 ,,, ，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；(2) X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望．答案1．B ∵E ( ξ) ＝7x ＋8×＋ 9×＋ 10y ＝7－y ) ＋10y ＋＝＋ 3y ，∴＋3y ＝，∴ y ＝ .2．B 由题意知＋ a ＝ 1，E ( X ) ＝0×＋ a ＝a ＝，所以 D ( X ) ＝. 3．C 设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X ，则此班2 3 次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为 P( X ＝2) ＋P( X ＝3) ＝C53223 3 3 81×5＋C5＝125.34．C 因为 P ( X <c ) ＝P ( X >c ) ，由正态曲线的对称性知 μ＝c .5．A 由题意得事件 A 包含的基本事件个数为 6×5×4＝ 120，事件 B 包含的基本事件个数为63－53＝91，在 B 发生的条件下 A 发生包1 2含的基本事件个数为 CA ＝60，在 A 发生的条件下 B 发生包含的基本35事件个数为1 26060 1CA ＝60，所以 P ( A | B ) ＝91，P ( B | A ) ＝120＝2. 故正确答案3 5为 A.6．B若摸出的两球中含有 4，必获奖，有 5 种情形；若摸出的两球是 2,6 ，也能获奖．故获奖的情形共 6 种，获奖的概率为622＝ .C5632 33 96现有 4 人参与摸奖，恰有3 人获奖的概率是 4×5＝625.C 51 2 17．C E ( X ) ＝1×6＋2×3＋3×6＝2，由 Y ＝aX ＋3，得 E ( Y ) ＝aE ( X ) ＋3.71 所以 ＝2 ＋3，解得＝－ .3 a a38．A 因为 P ( x >2) ＝，所以 P ( x <2) ＝1－＝ . 因为 N (4 ，σ2) ，所 以此正态曲线关于 x ＝4 对称，所以 P ( x >6) ＝P ( x <2) ＝. 故选 A.9．C 因为 P ( B ) ＝ 1×2×2 1，P ( A ∩B ) ＝1×1×2 1 ＝ ＝ ，所以 P ( A | B )2×2×2 2 2×2×2 4P A ∩B 1＝P B＝2.1 0 5 1010．D P ( X ≤2) ＝ P ( X ＝0) ＋P ( X ＝1) ＋P ( X ＝2) ＝C 10 × 6 × 61 1 5 92 × 1 2 5 8＋C×6× 6＋C 6× 6 .101011．C 由已知 D ( X ) ＝6××＝，则 D ( η) ＝4D ( X ) ＝4×＝ .12．A 节日期间这种鲜花需求量的均值E ( ξ) ＝200×＋ 300×＋400×＋ 500×＝ 340( 束) ．设利润为 η，则 η＝5ξ＋(500 －ξ) －500×＝ ξ－450，则 E ( η)＝ E ξ－450)＝ ( ξ) －450＝× 340－ 450＝706( 元) ．解析：加工出来的零件的合格品率为11 1671－70 × 1－69 × 1－68 ＝70，67 3所以次品率为 1－70＝70.14．1解析：区间 ( －3，－1) 和区间 (3,5) 关于 x ＝1 对称 ( － 1 的对称点是 3，－ 3 的对称点是 5) ，所以正态分布的数学期望就是 1.15．7,8k 1 15k最大即可，此时k＝7,8.解析： P( ξ＝k) ＝C2，则只需 C1515解析：设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为1A，B，C，显然 P( A)＝P( B)＝P( C)＝2，所以该部件的使用寿命超过1 000的事件为 ( AB＋AB＋AB) C.所以该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为1 1 1 1 1 1 1 32×2＋2×2＋2×2×2＝8.17．解：(1) 由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p＝1－(1－(1－＝.(2)ξ 可能的取值有0,1,2,3，p(ξ＝0)＝(1－3＝，1p(ξ＝1)＝C3(1－＝，2p(ξ＝2)＝C3(1－＝，p(ξ＝3)＝＝.故ξ 的分布列为ξ0123pξ的数学期望 E(ξ)＝3×＝.18．解：记事件A i表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3.4由题意知 P( A1)＝5，P( A2)＝p，P( A3)＝q.(1)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是1－6119P(ξ＝0)＝1－125＝125.(2)由题意知16P(ξ＝0)＝P( A 1 A 2A 3)＝5(1－p)(1－q)＝125，424123＝5pq＝125.P(ξ＝3)＝P( A A A )6整理得 pq＝25，p＋q＝1.3 2由p>q，可得 p＝5，q＝5.(3)由题意知 a＝P(ξ＝1)＝P( A1 A 2 A 3)＋ P( A 1A2 A 3)＋P( A 1 A411375(1－p)(1－q)＋5p(1－q)＋5(1－p)q＝125，2A3)＝58 b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝125.所以 E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1× P(ξ＝1)＋2× P(ξ＝2)＋93×P( ξ＝3) ＝5.19.解： (1) 由古典概型中的概率计算公式知所求概率为33C4＋C3 5P＝3＝ .C849(2) X的所有可能值为1,2,3 ，且21317CC＋C454，P( X＝1)＝3＝C42911121343CCC＋CC＋C342363，P( X＝2)＝3＝C984211C2C7P( X＝3)＝3＝，故 X 的分布列为C129X123P 17431 4284121743147从而 E( X)＝1×42＋2×84＋3×12＝28.20．解：(1) 设A表示事件“日销售量不低于100 个”，A表示事12件“日销售量低于50 个”，B表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2天日销售量不低于100 个且另一天销售量低于50 个”．因此 P( A1)＝＋＋×50＝，P( A2)＝×50＝，P( B)＝×××2＝.(2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为03P( X＝0)＝C·(1－＝，312P( X＝1)＝C·(1－＝，32－＝，P( X＝2)＝C3·(13P( X＝3)＝C3·＝.分布列为X0123P因为 X～B(3,，所以期望 E( X)＝3×＝，方差 D( X)＝3××(1－＝.21. 解：记E＝{ 甲组研发新产品成功} ，F＝{ 乙组研发新产品成21 3 2功 } ．由题设知 P ( E ) ＝3，P ( E ) ＝3，P ( F ) ＝5，P ( F ) ＝5，且事件 E 与 F ，E 与 F ， E 与 F ， E 与 F 都相互独立．(1) 记 H ＝{ 至少有一种新产品研发成功} ，则 H ＝ E F ，于是1 22P ( H ) ＝P ( E ) P ( F ) ＝3×5＝15，2 13故所求的概率为 P ( H ) ＝1－P ( H ) ＝1－15＝15.(2) 设 企 业 可 获 利 润 为 X ( 万 元 ) ， 则 X 的 可 能 取 值 为0,100,120,220.1 2 2因 P ( X ＝0) ＝P ( E F ) ＝3×5＝15，1 33 P ( X ＝100) ＝P ( E F ) ＝3×5＝15，2 24 P ( X ＝120) ＝P ( EF ) ＝3×5＝15，2 36P ( X ＝220) ＝P ( EF ) ＝3×5＝15，故所求的分布列为X 0 100 120 220P2 3 4 6 151515152346数学期望为 E ( X ) ＝ 0× 15 ＋ 100× 15＋ 120× 15 ＋ 220× 15＝ 300＋480＋1 320 2 100 ＝140.15 ＝1522．解： 记 A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备， i ＝0,1,2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少 3 人需使用设备．(1)D＝A1·B·C＋A2· B＋A2· B ·C.iP( B)＝， P( C)＝， P( A i)＝C2×， i ＝0,1,2，所以 P( D)＝P( A1·B· C＋A2·B＋A2· B ·C)＝P( A1·B·C)＋P( A2·B)＋P( A2· B ·C)＝P( A1) P( B) P( C)＋P( A2) P( B)＋P( A2) P( B ) P( C)＝.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为P( X＝0)＝P( B ·A0· C)＝P( B ) P( A0) P( C)＝(1 －×× (1 －＝，P( X＝1)＝P( B·A0· C＋ B ·A0· C＋ B ·A1· C)＝P( B) P( A0) P( C)＋P( B ) P( A0) P( C)＋ P( B ) P( A1) P( C)＝×× (1 －＋ (1 －××＋ (1 －× 2×× (1 －＝，P( X＝4)＝P( A2·B·C)＝P( A2) P( B) P( C)＝××＝， P( X＝3)＝P( D)－P( X＝4)＝，P( X＝2)＝1－P( X＝0)－P( X＝1)－P( X＝3)－P( X＝4)＝1－－－－＝，数学期望 E( X)＝0×P( X＝0)＋1×P( X＝1)＋2×P( X＝2)＋3×P( X＝3) ＋4×P( X＝4)＝＋ 2×＋ 3×＋ 4×＝ 2.。
高中数学选修23知识点考点附典型例题
111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点第一章 计数原理 知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。
),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ5、公式：，11--=m n m n nA A6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm n mn-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r+-==101() 考点：1、排列组合的运用2、二项式定理的应用★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。
人教A版高中数学选修23：2.4+正态分布(配套课件+同步检测试题,2份)2.4
课时训练13正态分布一、选择题1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平均数与标准差分别是().A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10答案:B解析:由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.2.设两个正态分布N(μ1,)(σ1>0)和N(μ2,)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有().A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2答案:A解析:根据正态分布密度曲线的性质:正态分布密度曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”,结合图象可知μ1<μ2,σ1<σ2.故选A.3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)=().A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585答案:B解析:P(X>4)=[1-P(2≤X≤4)]=×(1-0.6826)=0.1587.4.已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)的值分别为().A.13,4B.13,8C.7,8D.7,16答案:D解析:由已知E(ξ)=3,D(ξ)=4,得E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.5.(2014河北高阳中学高三月考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于().A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案:C解析:P(ξ≥4)=1-0.8=0.2,P(ξ≤0)=0.2,P(0<ξ<2)==0.3.6.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>C+1)=P(X<C-1),则C=().A.1B.3C.2D.5答案:C解析:∵X~N(2,9),∴P(X>C+1)=P(X<3-C).又P(X>C+1)=P(X<C-1),∴3-C=C-1.∴C=2.7.某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:min)服从X~N(50,102),则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为().A.0.6826B.0.9974C.0.3174D.0.9544答案:D解析:∵X~N(50,102),μ=50,σ=10,∴P(30<X≤70)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.二、填空题8.(2014山东桓台一中月考)已知正态分布总体落在区间(-∞,0.3)的概率为0.5,那么相应的正态曲线Φμ,σ(x)在x=时达到最高点.答案:0.3解析:∵P(X<0.3)=0.5,∴P(X≥0.3)=0.5,即x=0.3是正态曲线的对称轴,∴当x=0.3时Φμ,σ(x)达到最高点.9.设在一次数学考试中,某班学生的分数服从ξ~N(110,202),且知满分150分,这个班的学生共54人.则这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数的和约为. 答案:54解析:因为ξ~N(110,202),所以μ=110,σ=20,P(110-20<ξ≤110+20)=0.6826.所以ξ>130的概率为(1-0.6826)=0.1587.所以ξ≥90的概率为0.6826+0.1587=0.8413.所以及格的人数为54×0.8413≈45,130分以上的人数为54×0.1587≈9.故所求的和约为45+9=54人.10.某班有50名学生,一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为.答案:10解析:考试的成绩ξ服从正态分布N(100,102),∴考试的成绩ξ关于ξ=100对称.∵P(90≤ξ≤100)=0.3,∴P(100≤ξ≤110)=0.3.∴P(ξ>110)=0.2.∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50=10.三、解答题11.设X~N(1,22),试求:(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5);(3)P(X≥5).解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2,如图.(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826.(2)因为P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1),所以P(3<X≤5)=[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)]=[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)]=[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<x≤μ+σ)]=(0.9544-0.6826)=0.1359.(3)因为P(X≥5)=P(X≤-3),所以P(X≥5)=[1-P(-3<X≤5)]=[1-P(1-4<X≤1+4)]=[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)]=(1-0.9544)=0.0228.12.已知某种零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且f(80)= .(1)求正态分布密度函数的解析式:(2)估计尺寸在72mm~88 mm之间的零件大约占总数的百分之几.解:(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值.因此得μ=80,,所以σ=8.故正态分布密度函数的解析式是f(x)=.(2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88,所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.6826.因此尺寸在72mm~88 mm间的零件大约占总数的68.26%.13.正态总体当μ=0,σ=1时的概率密度函数是φμ,σ(x)=,x∈R.(1)证明φμ,σ(x)是偶函数;(2)求φμ,σ(x)的最大值;(3)利用指数函数的性质说明φμ,σ(x)的增减性.(1)证明:对于任意的x∈R,φμ,σ(-x)==φμ,σ(x),所以φμ,σ(x)是偶函数.(2)解:令z=,当x=0时,z=0,e-z=1;当x≠0时,>0,e z>1,由于y=e z是关于z的增函数,所以当x=0(即z=0)时,=e0取得最大值.这时φμ,σ(x)的最大值为e0= .(3)任取x1<0,x2<0且x1<x2有,所以,所以,即φμ,σ(x1)<φμ,σ(x2).它表明当x<0时,φμ,σ(x)是递增的.又因为φμ,σ(x)是偶函数,所以φμ,σ(x)在(0,+∞)上是减函数.故φμ,σ(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数.。
高中数学选修23第一二章综合练习题
高二数学（理科）周末检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于 （ ）A ．80100n A -B ．nn A --20100C ．81100n A - D ．8120n A -2、 某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种 不同的工作，共有90种不同的选法，则男女生人数为（ ）A ： 2，6B ：3，5C ：5，3D ：6，2 3、设n xx )15(-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M -N=56，则展开式中常数项为（ ）．A ．-15B ．1 5C ．10D ．-104、一个袋中有5个白球，3个红球，现在从袋子中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到取出红球出现10次停止，设停止时共取了X 次球，则P （X=12）=( )A. 2101012)85()83(C B.83)85()83(29912C C.22911)85()83(C D.210911)85()83(C 5、若()......x a a x a x a x -=++++929012915，那么......a a a a ++++0129的值是 ( )A.1B.94C. 95D. 966、随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）A.32 B. 31C. 1D. 0 7、有一台Ｘ型号的自动机床在一个小时内不需要工人照看的概率为０.８，有四台这种型号的机床独立的工作，则在一小时内至多两台机床需要工人照看的概率为（ ）A ：0.1536B ：0.1806C ：0.5632D ：0.97288、如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE=41AB ，CF=41CD,则直线DE 和BF 所成角的余弦值为 （ ）A.134 B. 133 C.134- D. 133- /9、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10、如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为n S ，则21S 的值为（ ） A ．66 B ．153 C ．295 D ．36111、某厂生产的零件外直径ξ~N （10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9cm 和9.3cm ，则可认为（ ） A ．上午生产情况正常，下午生产情况异常 B ．上午生产情况异常,下午生产情况正常 C ．上、下午生产情况均正常 D ．上、下午生产情况均异常12、甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是32，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（ ） Ａ．2027Ｂ．49Ｃ．827Ｄ．1627二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为14、已知随机变量X 服从正态分布N ()2,0σ且(20)P X -≤≤0.4=则(2)P X >= 。
上海上南中学东校高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题(含答案解析)
一、选择题1．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A 班，丁不能分配到B 班，则共有分配方案的种数为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．242．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用i j a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=（ ）A ．5050B ．4851C ．4950D ．50003．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140B ．160C ．80D ．1004．新冠疫情期间，为支援社区抗疫工作，现将6名医护人员安排到4个社区，每个社区至少安排1名医护人员，则不同的安排方案共有（ ） A ．2640种B ．4800种C ．1560种D ．7200种5．22nx x ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A ．180B ．90C ．180-D ．90-6．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（ ） A ．40B ．36C ．32D ．207．为深入贯彻实施党中央布置的“精准扶贫”计划，某地方党委政府决定安排5名党员干部到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．264种B ．480种C ．240种D ．720种8．451)(1)x x -的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．－40B ．10C ．40D ．459．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ）A ．18个B ．15个C ．10个D ．9个 10．现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ）A ．720B ．360C ．240D ．12011．2101()x x+的展开式中含5x 项的系数为（ ） A ．160 B ．210 C ．120 D ．25212．将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为( )A ．192181020C C CB ．1921810202C C C C ．1921910202C C C D ．192191020C C C二、填空题13．函数()y f x =的定义域D 和值域A 都是集合{12,3}，的非空真子集，如果对于D 内任意的x ，总有()()x f x xf x ++的值是奇数，则满足条件的函数()y f x =的个数是_____；14．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)15．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为__________.16．在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________．17．集合{}1,2,3,,14S =的4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为2，这样的4元子集T 的个数有___个18．已知()()()()52012213211x x a a x a x --=+-+-()()565611a x a x +⋅⋅⋅+-+-，则5a =______.19．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 20．若212626x x C C -=，则x ＝__________.三、解答题21．在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？22．现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法？求： （1）甲、乙不能相邻；（2）甲、乙相邻且都不站在两端； （3）甲、乙之间仅相隔1人；（4）按高个子站中间，两侧依次变矮（五人个子各不相同）的顺序排列.23．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ （2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？24．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序.（结果．．用数字作答．．．．．） （1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？ （3）如果3位女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？25．在()*3,nn n N ≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列.（1）求n 的值；（2）求展开式中含2x 的项.26．将4个编号为1、2、3、4的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中． （1）恰好有一个空盒，有多少种放法？（2）每个盒子放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分为甲分配到B 班和甲不分配到B 班两种情况来讨论分配方案种数，利用分类加法计数原理计算可得结果. 【详解】将分配方案分为甲分配到B 班和甲不分配到B 班两种情况：①甲分配到B 班：有336A =种分配方案；②甲不分配到B 班：有1122228A A A =种分配方案； 由分类加法计数原理可得：共有6814+=种分配方案. 故选：C . 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列数的应用.常见求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.2．B解析：B 【分析】依据二项展开式系数可知，得到第i 行第j 个数应为11j i C --，即可求得1003a -的值.【详解】依据二项展开式系数可知，第i 行第j 个数应为11j i C --，故第100行第3个数为299999848512C ⨯== 故选：B . 【点睛】本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第i 行第j 个数应为11j i C --是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3．A解析：A 【分析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种， 甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A. 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.4．C解析：C 【分析】本题首先可以将6名医护人员分为4组，共有65种分组方法，然后将分好的四组全排列，有24种情况，最后两者相乘，即可得出结果. 【详解】先将6名医护人员分为4组，有两种分组方法：若分为3、1、1、1的四组，则有3620C =种分组方法；若分为2、2、1、1的四组，则有2226422245C C C A 种分组方法，则一共有204565种分组方法，再将分好的四组全排列，对应四个社区，有4424A =种情况，则有65241560种不同的安排方式， 故选：C. 【点睛】本题考查通过排列组合求出所有的安排方案的数目，可分两步进行，先求出有多少种分组，再求出有多少种排列，考查计算能力，是中档题.5．A解析：A 【分析】利用二项式系数的对称性求得10n =，然后写出二项展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n ∴=，故22nx ⎫⎪⎭展开式的通项公式为()5105211010222rrr rrr T C C x x --+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎭⋅⋅⎝， 令5502r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为22102180C ⨯=.故选：A. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式系数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中6个空位符合条件，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，然后再排乙，丙，最后用分步计数原理求解. 【详解】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空， 三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法， 又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有36C 2240A ⋅=种.故选：A . 【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，还考查了分析问题的能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】先从5个党员干部里选2个，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，剩下的3名党员分配给3个贫困村，即得解. 【详解】先从5个党员干部里选2个，有25C 种方法，再从4个贫困村里选1个接受选出的2个党员，有14C 种方法，剩下的3名党员分配给3个贫困村，有33A 种方法.所以共有213543240C C A =种方法.故选：C. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．D解析：D 【分析】求出41)中的有理项，再求出5(1)x -中的相应项后，按多项式乘法法则计算． 【详解】441)(1=+展开式通项公式为2144rr rr r TC C x +==，所以0,2,4r =时，该项为有理项，x 的指数分别为0，1，2，55(1)(1)x x -=-展开式通项公式为515(1)k k k k T C x -+=-，所以所求4x 的系数为04232423454545(1)(1)(1)45C C C C C C ⨯-+⨯-+⨯-=，故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键，对两个二项相乘，注意多项式乘法法则的应用．9．C解析：C 【分析】首位数字是3，则后三位数字之和为3，按一个为3，两个和为3及三个和为3进行分类排列可得. 【详解】由题知后三位数字之和为3，当一个位置为3时有003，030，300三个；当两个位置和为3时有336A =个，；当三个位置和为3时只有111一个，一共有10个.故选：C 【点睛】本题考查求解排列问题.其主要方法： 直接法:把符合条件的排列数直接列式计算.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列. 插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中.10．C解析：C 【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果. 【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列， 而甲和乙之间还有一个排列，共有5252240A A =.故选：C. 【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.11．D解析：D 【分析】由二项式定理及其二项展开式通项得：210203110101()()rrr r r r T C x C x x--+==，令2035r -=，解得r 的值，进而求得其系数. 【详解】()102203110101rrr r rr T Cx C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当=5r 时，555610252T C x x ==. 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项，属于基础题.12．A解析：A 【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有1020C 种结果， 而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有19218C C 中结果，根据古典概型的概率公式得192181020=C C P C . 故选：A. 【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.二、填空题13．【分析】化简得因此中至少一个为奇数再分两种情况讨论得解【详解】因为所以中至少一个为奇数定义域为的都可以有种；定义域为的函数所以有种；所以共种故答案为：29【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是 解析：29【分析】化简得()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++-因此(),f x x 中至少一个为奇数，再分两种情况讨论得解. 【详解】因为()()(1)(()1)1,x f x xf x x f x ++=++- 所以(),f x x 中至少一个为奇数，定义域为{1},{3},{1,3}的都可以，有3333=15++⨯种； 定义域为{}{}{}2,1,2,2,3的函数(2){1,3}f ∈， 所以有23223=14+⨯+⨯种； 所以共29种. 故答案为：29 【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键：其一是分析出(),f x x 中至少一个为奇数，其二是合理分类讨论.14．14【分析】分析体育课在不在最后一节采用分类加法计数原理以及排列思想计算出对应的排法数【详解】当体育课在最后一节时此时另外节课可在其余位置任意排列故有种排法；当体育课不在最后一节时此时体育课只能在第解析：14 【分析】分析体育课在不在最后一节，采用分类加法计数原理以及排列思想计算出对应的排法数. 【详解】当体育课在最后一节时，此时另外3节课可在其余位置任意排列，故有33A 种排法； 当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第2节或第3节，故有112222A A A 种排法，所以一共有：31123222+=14A A A A 种排法， 故答案为：14. 【点睛】方法点睛：本题考查分类加法计数原理与排列的综合应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.15．【分析】将一班位同学捆绑在一起形成一个大元素与其它班位同学形成个元素然后再将二班位同学插空利用排列组合思想以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率【详解】将一班位同学捆绑在一起形成一个大元素与其它 解析：120【分析】将一班3位同学捆绑在一起，形成一个大元素，与其它班5位同学形成6个元素，然后再将二班2位同学插空，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】将一班3位同学捆绑在一起，形成一个大元素，与其它班5位同学形成6个元素，然后再将二班2位同学插空，由分步乘法计数原理以及古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为3623671010120A A A A =. 故答案为：120. 【点睛】本题考查捆绑法与插空法的应用，同时也考查了利用古典概型的概率公式求事件的概率，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】先求出展开式通项得出系数要使展开式中系数最大只需该项系数不小于前一项系数也不小于后一项系数建立关于项数的不等式求解即可【详解】二项式的展开式通项为若第系数最大需满足即整理得解得所以该二项展开 解析：20126720x【分析】先求出展开式通项，得出系数，要使展开式中系数最大，只需该项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，建立关于项数r 的不等式，求解即可. 【详解】二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为31212364112121(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==，0,1,2,12r =，若第1r +系数最大，需满足1213112121211112122222r r r r r r r r C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，即12!212!!(12)!(1)!(13)!212!12!!(12)!(1)!(11)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪---⎪⎨⨯⎪≥⎪-+-⎩， 整理得121321121r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得1013,,433r r N r ≤≤∈∴=， 8420205122126720T C x x ==,所以该二项展开式中系数最大的项为20126720x . 故答案为：20126720x . 【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记通项是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.17．367【分析】将集合中的元素分为奇数偶数然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；奇偶；奇偶；偶奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解【详解】由集合其中个奇数：；个偶数：；4元子集中任意两个解析：367 【分析】将集合S 中的元素分为奇数、偶数，然后分类讨论4元子集中的元素：4个全是奇数；3奇1偶；2奇2偶；3偶1奇；4个全是偶数；再利用组合数的运算即可求解. 【详解】 由集合{}1,2,3,,14S =，其中7个奇数：1,3,5,7,9,11,13； 7个偶数：2,4,6,8,10,12,14；4元子集{}1234,,,T a a a a =中，任意两个元素差的绝对值都不为2， 4个元素全是奇数：{}1,5,9,13，共1种.3个奇数1个偶数：3个奇数的取法有{}1,5,9，{}1,5,11，{}1,5,13，{}1,7,11，{}1,7,13，{}1,9,13，{}3,7,11，{}3,7,13， {}3,9,13，{}5,9,13，共10种，此时共有171070C ⨯=.2个奇数2个偶数：即奇数任意抽取2个需去除相邻项、偶数任意抽取2个需去除相邻项，即()()2277661515225C C --=⨯=.3个偶数1个奇数的情况与3个奇数1个偶数情况一样：171070C ⨯=.4个全是偶数：{}2,6,10,14，共1种.所以满足题意的共有：170225701367++++=. 故答案为：367 【点睛】本题考查了组合数的应用，此题属于复杂的组合问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题18．【分析】将已知等式等价变形为结合二项展开式的通项即可求得【详解】展开后含有的项为：故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用注意根据题意分析所给代数式的特点考查理解辨析能力与运算求解能力 解析：272【分析】将已知等式等价变形为5[2(1)1][3(1)1]x x -+-+，结合二项展开式的通项即可求得5a . 【详解】55(21)(32)[2(1)1][3(1)1]x x x x --=-+-+，展开后含有5(1)x -的项为：0551445552(1)2(1)3(1)272(1)C x C x x x ⋅⋅-+⋅⋅-⋅-=-，5272a ∴=.故答案为：272 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，考查理解辨析能力与运算求解能力.19．200【分析】根据题意由二项式定理可得的通项公式为令求出对应的值即可求解【详解】根据题意由二项式定理可得的通项公式为当时可得当时可得所以多项式的展开式中含的项为故多项式的展开式中含项的系数为故答案为解析：200 【分析】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=，令2,3r r ==，求出对应1r T +的值即可求解. 【详解】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=，当2r时，可得232235280T C x x ==，当3r =时，可得323345240T C x x ==，所以多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项为232128040200x x x x⨯+⋅=， 故多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数为200.故答案为：200 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20．1或9【分析】由再根据组合的互补性质可得即可解得的值【详解】解：由可得：解得：又根据组合的互补性质可得可得：解得：故答案为：1或9【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用掌握组合数的性质和组合数公式解析：1或9 【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，即可解得x 的值．【详解】解：由212626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =， 又根据组合的互补性质可得26(21)2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =． 故答案为：1或9． 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键．三、解答题21．（1）3人；（2）228. 【分析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有x 人，再列出关于x 的方程，即可得答案；（2）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，以仅会唱歌为分类标准，利用计算原理计算即可得答案； 【详解】（1）设既能唱歌又会跳舞的有x 人，∴(7)(6)103x x x x -++-=⇒=， ∴设既能唱歌又会跳舞的有3人。
中学人教版高中数学选修23同步练习：模块终结测评(一)(附答案)
模块终结测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷60分,第Ⅱ卷90分,共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()A.2.4B.3C.2.2D.2.32.抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为()A.B.C.D.3.若随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0<X<2)=()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.24.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.统计得到成绩与专业的列联表如下所示:则下列说法正确的是()A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关5.某班有的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名学生,那么其中数学成绩优秀的学生数X~B,则E(-X)的值为()A .B .-C .D .-6.若从1,2,3,…,9这九个数中同时取四个不同的数,使其和为偶数,则不同的取法共有()A.60种B.63种C.65种D.66种7.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是()A.1B.-1C.0D.28.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是()A.A1B.A2C.A3D.A49.6人站成一排,甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为 ()A.720B.144C.576D.68410.如图M1-1所示,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有()图M1-1A.288种B.264种C.240种D.168种11.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中,一次项的系数为()A.B.C.D.12.一袋中有5个白球、3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.××B.×××C.××D.××请将选择题答案填入下表:第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(X<1)=,P(X>2)=0.4,则P(0<X<1)= .14.已知随机变量X的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)= .15.观察下列各式:=40;+=41;++=42;+++=43;…照此规律,当n∈N*时,+++…+= .16.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p,q,他们各投2次,若p=,且甲比乙投中次数多的概率为,则q的值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知(x≠0)的展开式中的第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3.(1)求n的值;(2)求展开式中常数项的值.18.(12分)8人围圆桌开会,其中正、副组长各1人,记录员1人.(1)若正、副组长相邻而坐,有多少种坐法?(2)若记录员坐于正、副组长之间,有多少种坐法?19.(12分)为了解甲、乙两厂的产品质量,分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克),其测量数据的茎叶图如图M1-2所示.规定:当产品中此种元素的含量大于18毫克时,认定该产品为优等品.(1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小;(2)从乙厂抽出的上述10件产品中随机抽取3件,求抽到的3件产品中优等品数X的分布列及数学期望.图M1-220.(12分)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间(单位:h)的样本数据.(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图M1-3所示),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率.(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4 h,请完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”?附:K2=图M1-321.(12分)PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:从甲城市2016年9月份的30天中随机抽取15天,这15天的PM2.5的日均浓度指数数据如茎叶图M1-4所示.(1)试估计甲城市在2016年9月份的30天中,空气质量类别为优或良的天数;(2)从甲城市的这15个监测数据中任取2个,设X是空气质量类别为优或良的天数,求X的分布列和数学期望.图M1-422.(12分)为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一个阶段的学习提出指导性建议,某老师现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析.下面是该学生7次考试的成绩.(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明.(2)已知该学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的,若该学生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该学生在学习数学、物理上的合理建议.模块终结测评(一)1.A[解析] 由表格可求得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4.故选A.2.C[解析] 记事件A表示“第一次正面向上”,事件B表示“第二次反面向上”,则P(AB)=,P(A)=,∴P(B|A)==.3.C[解析] 根据正态曲线的性质,由P(X<4)=0.8,得P(X≥4)=0.2,由题意知正态曲线的对称轴为直线x=2,P(X≤0)=P(X≥4)=0.2,∴P(0<X<4)=1-P(X≤0)-P(X≥4)=0.6,∴P(0<X<2)=P(0<X<4)=0.3.4.C[解析] 由表中数据及公式得K2的观测值k=≈4.912 3,根据临界值表可知有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关.5.D[解析] ∵E(X)=5×=,∴E(-X)=-E(X)=-,故选D.6.D[解析] 满足题设的取法可分为三类:一是取四个奇数,在五个奇数1,3,5,7,9中任意取四个,有=5(种);二是两个奇数和两个偶数,在五个奇数中任取两个,再在四个偶数2,4,6,8中任取两个,有·=60(种);三是取四个偶数,取法有1种.根据分类加法计数原理,满足条件的取法共有5+60+1=66(种).7.A[解析] 令x=1,得a0+a1+…+a4=(2+)4,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4.所以,(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(2+)4×(-2+)4=1.8.C[解析] A1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7.A2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5.A3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7.A4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6.∵A3的均值最大,∴选方案A3.9.C[解析] 甲、乙、丙3个人在一起的排法种数为×,不考虑任何限制,6人的全排列的种数为.∴符合题意的排法种数为-×=576.10.B[解析] 分两类:第一类,涂三种颜色,先涂点A,D,E有种方法,再涂点B,C,F有2种方法,故有×2=48(种)方法;第二类,涂四种颜色,先涂点A,D,E有种方法,再涂点B,C,F有3种方法,故共有·3=216(种)方法.由分类加法计数原理,共有48+216=264(种)不同的涂法.11.C[解析] 一次项的系数为1+2+3+…+n==.12.D[解析] “X=12”表示第12次取到的球为红球,前11次中有9次取到红球,2次取到白球,∴P(X=12)=×××=××,故选D.13.0.1[解析] 由P(X<1)=知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),∴正态曲线关于直线x=1对称,∵P(X<2)=1-P(X>2)=0.6,∴P(0<X<1)=P(X<2)-P(X<1)=0.6-0.5=0.1.14.1[解析] 根据题意,得解得∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1.15.4n-1[解析] 第n个等式左边是n项组合数的和,组合数的构成规律是下标为m=2n-1,上标k的取值依次从0到n-1,即++…+,等式右边为4n-1.故由归纳推理的思想得+++…+=4n-1,所以答案应填4n-1.16.[解析] 甲比乙投中次数多的可能情形有:甲投中1次,乙投中0次;甲投中2次,乙投中1次或0次.由题意得p(1-p)·(1-q)2+p2[(1-q)2+q(1-q)]=,解得q=或q=(舍).17.解:(1)由题意及二项展开式的通项得=,解得n=10或n=-5(舍).故n=10.(2)因为二项展开式的通项T r+1=(3x2)-r=3-r,由=0,得r=2,所以展开式中常数项的值为3-2=5.18.解:(1)正、副组长相邻而坐,可将此2人当作1人看,即7人围一圆桌,有(7-1)!=6!(种)坐法,又因为正、副组长2人可换位,有2!种坐法.故所求坐法有6!×2!=1440(种).(2)记录员坐在正、副组长中间,可将此3人视作1人,即6人围一圆桌,有(6-1)!=5!(种)坐法,又因为正、副组长2人可以换位,有2!种坐法,故所求坐法有5!×2!=240(种).19.解:(1)由题可知甲厂产品中该种元素含量的平均值为×(9+18+15+16+19+13+23+20+25+21)=17.9,乙厂产品中该种元素含量的平均值为×(18+14+15+16+19+10+13+21+20+23)=16.9,所以甲厂产品中该种元素含量的平均值大于乙厂的平均值.(2)由题知从乙厂抽出的10件产品中有4件优等品.X的可能取值为0,1,2,3,对应的概率分别为P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X的分布列为故X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1.2.20.解:(1)由分层抽样可得300×=90,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动时间超过4 h的频率为1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225(人)的每周平均体育运动时间超过4 h,75人的每周平均体育运动时间不超过4 h.样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,可得如下列联表:结合列联表可得K2的观测值k=≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.21.解:(1)由茎叶图可知,甲城市在2016年9月份随机抽取的15天中,空气质量类别为优或良的天数为5,所以可估计甲城市在2016年9月份的30天中,空气质量类别为优或良的天数为10.(2)X的可能取值为0,1,2.因为P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为故E(X)=0×+1×+2×=.22.解:(1)由表中数据得=100+=100;=100+=100.∴==142,=.∵>,∴物理成绩更稳定.(2)由于x与y之间具有线性相关关系,设线性回归方程为=x+,根据回归系数公式得到∴线性回归方程为=0.5x+50.当=115时,x=130,即该学生的物理成绩达到115分时,他的数学成绩大约为130分.建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高.。
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高二数学选修2-3考试试卷(一)
一、选择题（每小题５分，共５0分）
１.掷一枚硬币,记事件A=＂出现正面＂，Ｂ＝＂出现反面＂，则有（） Ａ．Ａ与Ｂ相互独立 Ｂ．Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） Ｃ．Ａ与Ｂ不相互独立王国 Ｄ．Ｐ（ＡＢ）＝
14
２．二项式30
的展开式的常数项为第（ ）项 A ． 17 B 。
18 C 。
19 D 。
20
３. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件
产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）
A.2524C C ⋅
B.4
43424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅
４．从6名学生中，选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，若其中，甲、乙两人不能从事工作A ，则不同的选派方案共有（ ）
A ．96种
B ．180种
C ．240种
D ．280种
５．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为（ ）
A . 1－k p B. ()k n k
p p --1 C. 1－()k p -1 D. ()k n k
k
n p p C --1
６．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（ ）
A ．
9
5 B ．
9
4 C ．
21
11 D ．
21
10 ７．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）
A.
3
2
B. 31
C. 1
D. 0
8．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查, y 与x
具有相关关系,回归方程562.166.0ˆ+=x y
(单位:千元),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（ ）
A. 66%
B. 72.3%
C. 67.3%
D. 83%
9.设随机变量X
～N （2，4），则D （2
1
X ）的值等于 ( )
A.1
B.2
C.
2
1
D.4
10．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（C ）
A ．若K 2
的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为“吸烟与患肺病有关系”，那么在100个吸烟的人中必有99人有肺病
B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为“吸烟与患肺病有关系”时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C ．若从统计量中求出有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关系”，是指有5%的可能性使得推判出现错误
D ．以上三种说法都不正确
（第二卷）
二、 填空题（每小题5分，共２０分）
11 ．一直10件产品，其中3件次品，不放回抽取3次，已知第一次抽到是次品，则第三次抽次品的概率 _________。
12．如图，它满足①第n 行首尾两数均为n ，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行)2(≥n 第2个数是_________. 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6
13. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，若A ，B 必须相邻，且B 在A 的左边， 那么不同的排法共有 种 1４．已知二项分布满足X ～B （6，
3
2
），则P(X=2)=_________， EX= _________．
三，解答题（6题，共80分）
1５．（１２）在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就称为“通过”，若投
中3次就称为“优秀”并停止投篮．已知甲每次投篮投中的概率是2／3．设甲投篮投中的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
1６.（１２）下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表:
利用列联表的独立性检验,判断能否以99.9%的把握认为“该地区的传染病与饮用不干净的水有关” 参考数据：
1７．（１４）已知22)n
x
的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项。
1８．（1４分）两个人射击，甲射击一次中靶概率是
21，乙射击一次中靶概率是3
1
， （Ⅰ）两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标概率是多少？ （Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ （Ⅲ）两人各射击5次，是否有99％的把握断定他们至少中靶一次？
１９．（１４）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球， （1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有
多少种？
２０．（１４）已知：*
,1,,N n n R b a ∈>∈+
求证：
n
n n b a b a )2
(2+≥+
高二数学选修2-3考试试卷答案
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题答案（每小题5分，共50分）
（每小题5
分，共20分）11．92 12．222+-n n 13．24 14．20243
，４
三，解答题（6题，共80分）
1５．（12分） 解：分布列
E ξ＝2.47
１６．（12分）解：由已知计算
()2002
2
()199.9%0.001:10.828
830522189446654.21518312146684
54.2110.828,
99.9%"".
P K k k K ≥=-=∴=⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯>查表得由于所以我们有的把握认为该地区的传染病与饮用不干净的水是有关的
1７．（15分）解：()4422256
10或5舍去23
n n C n C =⇒=-
由通项公式552
110
10
21022r r
r r
r r
r T C
C X X -+-⎛⎫== ⎪⎝⎭
，
当r=2时，取到常数项
即3180T =
１８．（15分）
解：（Ⅰ）共三种情况：乙中靶甲不中
3
1
3221=⋅； 甲中靶乙不中
6
1
3121=⋅； 甲乙全
613121=⋅。
∴概率是3
2316161=++。
（Ⅱ）两类情况:
共击中3次6
1)31()31
()2
1()21()32()31()21()21(0222111211120222=
⨯+⨯C C C C ；
共击中4次361)32()31()21()21(0
2220222=
⨯C C ， 36
7
36161=
+∴概率为． （III ）0
50
5
551212421()()10.992
3
243243
C C -=-=>，能断定. １９．（15分）
解：（1）将取出4个球分成三类情况1）取4个红球，没有白球，有4
4C 种 2）取3个红球1
个白球，有1
634C C 种；3）取2个红球2个白球，有,2624C C
种
符合题意的取法种数有或或则个白球个红球设取种
1861
42332)
60(72)40(5,,)2(1151
644263436242624163444=++∴⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨
⎧≤≤≥+≤≤=+=++∴C C C C C C y x y x y x y y x x y x y x C C C C C
２０．（15分） 证明：
n n n n n
n n n n n n n n n
n n n n
b a b a b a b a C b a b a C b a b a C b a C b a b a b a b a b a b a b a b a N n n R b a )
2
(2)
2
(2])2()2()2()2(,)2()2([2)
2
2()22(0
)2
(,02,0,1,,4442220+≥+∴+≥-++-⋅++-+++=--++-++=+≥-≥->≥∈>∈--*
+ 故则不妨设。