考研数学：随机变量相关性与独立性例题(二)
2022年新高考数学总复习：变量间的相关关系、统计案例
2022年新高考数学总复习：变量间的相关关系、统计案例知识点一 回归分析(1)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．与函数关系不同，相关关系是一种__非确定性关系__．(2)散点图：表示具有__相关__关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示．若这些散点有y 随x 增大而增大的趋势，则称两个变量__正相关__；若这些散点有y 随x 增大而减小的趋势，则称两个变量__负相关__．(3)回归方程：y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i －n x 2，a ^＝__y －－b ^x ，它主要用来估计和预测取值，从而获得对这两个变量之间整体关系的了解．(4)相关系数：r ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －(∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)它主要用于相关量的显著性检验，以衡量它们之间的线性相关程度．当r ＞0时表示两个变量正相关，当r ＜0时表示两个变量负相关．|r |越接近1，表明两个变量的线性相关性__越强__；当|r |接近0时，表明两个变量间几乎不存在相关关系，相关性__越弱__．知识点二 独立性检验 (1)2×2列联表设X ，Y 为两个分类变量，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：(2)独立性检验利用随机变量K 2(也可表示为X 2)＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．(3)独立性检验的一般步骤①根据样本数据列出2×2列联表；②计算随机变量K 2的观测值k ，查表确定临界值k 0：③如果k ≥k 0，就推断“X 与Y 有关系\”，这种推断犯错误的概率不超过P (K 2≥k 0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P (K 2≥k 0)的前提下不能推断“X 与Y 有关\”．归纳拓展1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性分布时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．2．独立性检验是对两个变量的关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．根据K 2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，并用来指导科研和实际生活．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √ ) (2)两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0．( × ) (3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √ )(4)某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x (℃)之间的关系，得回归方程y ^＝－2.352x ＋147.767，则气温为2 ℃时，一定可卖出143杯热饮．( × )(5)事件x ，y 关系越密切，则由观测数据计算得到的K 2的观测值越大．( √ ) (6)由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀．( × )题组二 走进教材2．(P 97T2)为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( C )A ．回归分析B ．均值与方差C ．独立性检验D ．概率[解析] “近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断． 3．(P 81例1)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝0.67x ＋54.9．现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__68__．[解析] 由x －＝30，得y －＝0.67×30＋54.9＝75． 设表中的“模糊数字”为a ，则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68． 题组三 走向高考4．(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，已知∑10i ＝1x i ＝225，∑10i ＝1y i ＝1 600，b ^＝4．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( C )A ．160B ．163C ．166D ．170[解析] 由题意知y ^＝4x ＋a ^又x ＝22.5，y ＝160，因此160＝22.5×4＋a ^，∴a ^＝70，因此y ^＝4x ＋70，当x ＝24时，y ^＝4×24＋70＝166，故选C ．5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )．[解析] (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． (2)由题可得K 2＝100×(40×20－30×10)250×50×70×30≈4.762．由于4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．考点突破·互动探究考点一相关关系的判断——自主练透例1 (1)(2021·四川资阳模拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是(B)A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%(2)对四组数据进行统计，获得以下关于其相关系数的比较，正确的是(A)A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3[解析](1)观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%，故选B．(2)由相关系数的定义及散点图所表达的含义，可知r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选A．名师点拨判断两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r ＞0时，正相关；r ＜0时，负相关．(3)线性回归直线方程中：b ^＞0时，正相关；b ^＜0时负相关． 考点二 线性回归分析——师生共研例2 (1)(2021·湖湘名校教育联合体联考)2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x (元)和销售量y (件)之间的一组数据如表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11 按公式计算，y 与x 的回归直线方程是：y ＝－3.2x ＋a ，相关系数|r |＝0.986，则下列说法不正确．．．的是( D ) A ．变量x ，y 线性负相关且相关性较强 B ．a ^＝40C ．当x ＝8.5时，y 的估计值为12.8D ．相应于点(10.5,6)的残差约为0.4[解析] (1)对A ，由表可知y 随x 增大而减少，可认为变量x ，y 线性负相关，且相关性强，故A 正确．对B ，价格平均x －＝15(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，销售量y －＝15(11＋10＋8＋6＋5)＝8．故回归直线恒过定点(10,8)，故8＝－3.2×10＋a ^⇒a ^＝40，故B 正确．对C ，当x ＝8.5时，y ^＝－3.2×8.5＋40＝12.8，故C 正确．对D ，相应于点(10,8)的残差约为e ^＝6－(－3.2×10.5＋40)＝－0.4，故D 不正确．故选D ．名师点拨线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程：①利用公式，求出回归系数b ^，a ^．②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数． (2)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数b ^． 〔变式训练1〕(2021·安徽六校教育研究会素质测试)某商场近5个月的销售额和利润额如表所示：(1)画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； (2)求出利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；(3)当销售额为4千万元时，利用(2)的结论估计该商场的利润额(百万元)．b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y －∑i ＝1nx 2i －n (x －)2＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2，a ^＝y －－b x －．[解析] (1)散点图如图所示：两个变量正相关，且具有线性相关关系． (2)易求x －＝6，y －＝3.2， 由公式有 b ^＝3×2.2＋1×0.2＋0＋1×0.8＋3×1.832＋12＋12＋32＝1320＝0.65， 且a ^＝3.2－0.65×6＝－0.7， 则线性回归方程为y ^＝0.65x －0.7，(3)当x ＝4时，由(1)可求得y ^＝1.9，即利润额约为1.9百万元． 考点三,独立性检验——师生共研例3 (1)(2020·新高考Ⅰ，19)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 2浓度(单位：μg/m 3)，得下表：SO①估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；②根据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2浓度有关．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，(2)某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3∶2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意，其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．①估计100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)②结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．[解析] (1)①根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64．②根据抽查数据，可得2×2列联表：K 2＝100×(64×10－16×10)280×20×74×26≈7.484．由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关． (2)①由已知得(0.015＋b ＋0.03)×10＝0.85， 解得b ＝0.04，又(0.005＋a )×10＝1－0.85，解得a ＝0.01， 评分的平均值为55×0.05＋65×0.1＋75×0.3＋85×0.4＋95×0.15＝80． ②完成2×2列联表如下表：K 2＝100×(10×25－35×30)55×45×60×40≈10.774＞6.635，∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．名师点拨解独立性检验的应用问题的关注点(1)两个明确：①明确两类主体．②明确研究的两个问题．(2)两个关键：①准确列出2×2列联表：②准确理解K2．注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．〔变式训练2〕(2021·广西钦州、崇左质检)某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来的报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如下：(1)填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？(2)司机师傅小李准备在一辆开了3年的A型车和一辆开了3年的B型车中选择，为了尽最大可能实现3年内(含3年)不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参加公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．参考数据：[解析](1)根据题目所给数据得到如下2×2的列联考：K 2＝200×(30×50－70×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关；(2)记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内(含3年)换车， 由表知P (A 1)＝10＋20＋45100＝0.75，P (A 2)＝15＋35＋40100＝0.9，因为P (A 1)＜P (A 2)，所以小李应选择A 型出租车．。
考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若随机变量X与Y满足且D(X)=2，则cob(X，Y)=( )A．1．B．2．C．－1．D．-2．正确答案：C解析：由于注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X和Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，则E(UV)=( )A．EU·EVB．EX·EYC．EU·EY．D．EX·EV正确答案：B解析：【解法1】应选(B)．如果X>Y，则U=X，V=Y；如果X≤Y，则U=Y，V=X，从而E(UV)=E(XY)．由于X和Y相互独立，所以E(UV)=E(XY)=XE·EY 【解法2】所以知识模块：随机变量的数字特征3．设(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是( )A．E(X)=E(Y)．B．E(X2)－[E(X)]2=E(Y2)－[E(Y)]2．C．E(X2)=E(Y2)．D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2．正确答案：B解析：ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是cov(ξ，η)=0，即cov(X+Y，X—Y)=cov(X，X)－cov(X、Y)+cov(Y，X)－cov(Y，Y)=DX—DY=0，从而DX=DY，又DX=E(X2)－(EX)2，DY=E(Y2)－(EY)2，从而应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征填空题4．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X—Y|≥6}≤____________．正确答案：解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而由切比雪夫不等式，知识模块：随机变量的数字特征5．在每次试验中，事件A发生的可能性是0．5，则1 000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率≥__________．正确答案：0．975．解析：设X表示事件A发生的次数，则X服从B(1 000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250．P{400＜X＜600}=P{－100<X－500＜100} =P{|X－500|＜100}．由切比雪夫不等式，有[*] 知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率统计)模拟试卷23(题后含答案及解析)
考研数学三（概率统计）模拟试卷23(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X和y独立同分布，记U=X—Y，V=X+Y，则随机变量U 与V必然A．不独立B．独立C．相关系数不为零D．相关系数为零正确答案：D解析：∵X与Y同分布，∴DX=DY得cov(U，V)=cov(X—Y，X+Y)=cov(X，X)+cov(X，Y)一cov(Y，X)一cov(Y，Y)=DX—DY=0∴相关系数ρ=0 知识模块：概率与数理统计2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1B．0C．D．1正确答案：A解析：知识模块：概率与数理统计3．设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度，fX|Y(x|y)为A．fX(x)B．fY(y)C．fX(x)fY(y)D．正确答案：A解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与y独立，∴(X，y)的概率密度f(x，y)=故选(A)。
知识模块：概率与数理统计4．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A．P{Y=一2X一1)=1B．P{Y=2X一1)=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X5-1}=1正确答案：D解析：如果(A)或(C)成立，则应ρXY=1，矛盾；如果(B)成立，那么EY=2EX 一1=一1，与本题中EY=1矛盾。
只有(D)成立时，ρXY=1，EY=2EX+1=1，DY=4DX=4，符合题意，故选(D)。
知识模块：概率与数理统计填空题5．设随机变量Xij(i，j=1，2，…，n；n≥2)独立同分布，EXij=2，则行列式的数学期望EY=________。
正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知，p1，…，pn为(1，…，n)的排列，r(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数。
数学建模相关性分析模型例题
数学建模相关性分析模型例题相关性分析是指分析两个随机变量之间是否存在一定的关系.相关分析可以发现变量间的共变关系（包括正向的和负向的共变关系），一旦发现了共变关系就意味着变量间可能存在两种关系中的一种：(1)因果关系（两个变量中一个为因、另一个为果）：(2)存在公共因子（两变量均为果，有潜在的共因)，很多时候，我们需要寻找这些因果关系，或者是寻找公共因子.相关性研究是非常有用的，它是许多深入研究必备的初始阶段工作衡量随机变量相关性的度量主要有三种：pearson相关系数、spearman相关系数、kendall相关系数.7.1 Pearson(皮尔逊)相关系数一线形相关分析对于二维随机变量(X,Y),根据数学期望性质，若X和Y相互独立，且EX和EY存在，则有E[(X-EX(Y-EY]=E(XY-EX.EY =0所以当E[(X-EX)(Y-EY】≠0时，必有X和Y不相互独立.定义7-1设(X,Y)为二维随机变量，称E[(X-EX(Y-EY)]为随机变量X,Y 的协方差(Covariance),记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]特别地Cov(X,X)=E[(X-EX(X-EX)]=DXCov(Y,Y)=E[(Y-EY)(Y-EY)]=DY故方差DX,DY是协方差的特例从定义中看到，协方差和变量的量纲有关.我们将随机变量标准化，得水=X Ex,yapos;_Y-EYDXDY(X,Y)的协方差为Cov(X,Y)D(X)D(Y)定义7-2设(X,Y)为二维随机变量，称Cov(X,Y)为随机变量X,Y的Pearson相关系D(X)D(Y)数(Pearson correlation coefficient)或标准协方差(Standard covariance),记为pxy,即Cov(X,Y)P=D(X)D(Y)定理7-1设D(X)amp;gt;0,D(Y)amp;gt;0,P为(X,Y)的相关系数，则(1)如果X,Y相互独立，则pxw=0;(2)p≤1：(3)Pw=1的充要条件是存在常数a,b使P(Y=aX+b=1(a≠0).相关系数pxy描述了随机变量X,Y的线性相关程度，Pw愈接近1，则X与Y之间愈接近线性关系.Pwamp;gt;0为正相关，Pw&amp;lt;0为负相关一般用下列标准对相互关系进行判定：(1)Pwamp;gt;0.95,X与Y存在显著性相关：(2)Pxw≥0.8，X与Y高度相关：(3)0.5≤Pxwamp;lt;0.8,X与Y中度相关：(4)0.3≤pxwamp;lt;0.5,X与Y低度相关；(5)Px≤0.3，X与Y关系极弱，认为不相关：(6)Pxw=0,X与Y无显性相关.可以证明：(1)当两个随机变量不线性相关时，它们并不一定相互独立，它们之间还可能存在其他的函数关系(2)若(X,Y)服从二维正态分布，X与Y不相关和X与Y相互独立是等价的，且概率密度中的参数p就是X和Y的相关系数.即，X和Y相互独立的充要条件是p=0.。
历年考研概率论试题
94年（1）已知A 、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （A B ），且P （A ）=p ，则P （B ）=。
（3分）（2）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量{}max ,z X Y =的分布律为 。
（3分）（3）已知随机变量,X Y 分别服从正态分布22(1,3),(0,4)N N ，且,X Y 的相关系数12xy ρ=-，设32X Yz =+,（1）求Z 的数学期望EZ 和方差DZ ；（2）求X 与Z 的相关系数xz ρ；（3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？（满分6分）95年（1）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2()E X = 。
（2）设,X Y 为两个随机变量，且{}{}{}340,0,0077P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则{}max(,)0P X Y ≥= 。
（3） 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00)(x x e x f xX求随机变量Xe Y =的概率密度)(yf Y 。
（6分）96年1． 设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 厂和B 厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A 厂生产的概率是 。
(3分)2． 设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
(3分)3．设,ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为1(),1,2,3,max(,),min(,).3P i i X Y ξξηξη=====又设（1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律；（2） 求EX 。
（共6分）97年1. 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是 。
（3分）2.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X -2Y 的方差是（ ） （A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）44 [3分]3. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一-293_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一-293(总分100, 做题时间90分钟)填空题1.已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布则E(XY)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 31 [解析] 由题设得(X，Y)概率密度故2.设随机变量X和Y均服从，且D(X+Y)=1，则X与Y的相关系数ρ=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 31 [解析]解得3.设随机变量X服从分布E(1)，记Y=min{|X|，1}，则Y的数学期望E(Y)= SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 31-e -1 [解析] 如果把Y看成X的函数，先求出Y的概率密度，然后求E(Y)会较麻烦．可以直接用公式：E(g(x))=∫ +∞-∞g(x)f(x)dx，其中f(x)为X的密度函数．现E(Y)=E(min{|X|，1})=∫ +∞-∞min(|x|，1)f(x)dx=∫ +∞-∞ min(|x|，1)e -x dx=∫ 1xe -x dx+∫ +∞11·e -x dx=1-2e -1 +e -1 =1-e -1．4.设连续型随机变量X的分布函数已知E(X)=1，则D(X)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 31 [解析] 则对比指数分布的密度得λ=1=b．5.相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布，则D(|X1-X2|)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析] X1与X2独立均服从，记Z=X1-X2，则Z～N(0，1)，有概率密度D(|X1 -X2|)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )-(E|Z|) 2 =E(Z 2 )-(E|Z|) 2显然，D(Z)=1，E(Z)=0，因此，6.设(X，Y)～N(μ1，μ2，σ12，σ 22；ρ)(σ1＞0，σ2＞0)，则SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3N(0，μ2；1，；ρ) [解析] 显然也服从二维正态．由于故(0，μ2，1，σ22；ρ1)，其中ρ1是与Y的相关系数．7.设随机变量X和Y的联合分布为，则X和Y的协方差cov(X，Y)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3-0.1 [解析] 显然，EX=0.5，EY=(-1)·(0.3)+1·(0.3)=0．E(XY)=-P{XY=-1)+P{XY=1)=-0.2+0.1=-0.1．cov(X，Y)=E(XY)-EXEY=-0.1-0=-0.18.设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差为σ 2＞0，记和，则Y1和Yn的协方差cov(Y1，Yn)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3(n-2)σ 2 [解析]9.设随机变量X在[-1，b]上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有P{|X-1|＜ε)≥ ，则b=______；ε=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 33；2 [解析] 由题设知依题意所以因此10.将一个骰子重复掷n次，各次掷出的点数依次为X1，…，Xn．则当n→∞时，依概率收敛于______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析] 题目要求我们计算为此我们需要应用大数定律或依概率收敛的定义与性质来计算．由题设知X1，…，Xn独立同分布：且根据辛钦大数定律：(n→∞)．11.设随机变量列X1，X2，…，Xn，…相互独立且同分布，则X1，X2，…，Xn，…服从辛钦大数定律，只要随机变量X1______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3期望存在 [解析] 辛钦大数定律的条件是Xi独立同分布，且期望存在．而切比雪夫大数定律的条件是Xi不相关且方差有界．12.假设随机变量X1，X2，…，X2n独立同分布，且EXi=DXi=1(1≤i≤2n)，如果，则当常数c=______时，根据独立同分布中心极限定理，当n充分大时Yn近似服从标准正态分布．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析] 记Zi =X2i-X2i-1，则Zi(1≤i≤n)独立同分布且EZi=0，DZi=2．由独立同分布中心极限定理知，当n充分大，近似服从标准正态分布，所以13.已知随机变量X1，…，Xn相互独立且都服从标准正态分布，Y1=X1，，则Y1 -Y2服从______分布，参数为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3正态；[解析] 为相互独立正态变量和，故Y1 -Y2服从正态分布，又，所以14.已知X1，X2，…，Xn为取自分布为F(x)的总体X的简单随机样本．记X=min(X1，…，Xn-1)和Y=Xn，则X的分布函数FX(x)=______，Y的分布函数FY(y)=和(X，Y)的联合分布G(x，y)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 31-[1-F(x)] n-1；F(y)；{1-[1-F(x)] n-1 }F(y) [解析] 根据简单随机样本各分量Xi相互独立且与X同分布，有Fx(x)=P{min(X1，X2，…，Xn-1)≤x}=1-P{min(X1，X2，…，Xn-1)＞x}=1-P{X1＞x，X2＞x，…，Xn-1＞x)=1-P{X1＞x}P{X2＞x)…P{Xn-1＞x}=1-[1-P{X1≤x}][1-P{X2≤x}]…[1-P{Xn-1≤x}]=1-[1-F(x)] n-1．FY(y)=P{Xn≤y}=F(y)G(x，y)=P{min(X1，…，Xn-1)≤x，Xn≤y}=P{min(X1，…，Xn-1)≤x}P{Xn≤y}={1-[1-F(x)] n-1 }F(y)．15.已知总体X与Y都服从正态分布N(0，σ 2 )，X1，…，Xn与Y1，…，Yn为分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，样本均值与方差分别为，S 2X ；，S 2Y}，则统计量服从______分布，参数为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3F；(1，2n-2) [解析] 由于两个总体都服从正态分布N(0，σ 2 )，且样本又相互独立，因此容易求得与的分布，再应用典型模式确定F的分布．由于X～N(0，σ 2 )，Y～N(0，σ 2 )，所以，与相互独立，故又，与相互独立，根据χ 2分布可加性，得又，相互独立，从而推出与相互独立，由F分布的典型模式，得16.已知(X，Y)的概率密度为，则服从参数为______的______分布．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3(1，1)；F [解析] 由题设知(X，Y)服从二维正态分布，且故X～N(0，2 2 )，Y～N(1，3 2 )，且ρ=0，所以X与Y独立，根据F分布典型模式知17.设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，而．记，则(0≤k≤n)SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析] ，Xi 为一次伯努利试验的结果，Xi相互独立．所以X1 +X2+…+Xn可以看成n次独立重复试验．即18.设总体X的概率密度为(-∞＜x＜+∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S 2，则E(S 2 )=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.52 [解析] 显然E(S 2 )=D(X)，而DX=E(X-EX) 2．现求19.设随机变量X～t(n)，Y～F(1，n)，常数C满足P{X＞C}=0.6，则P{Y＞C 2 }=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.58 [解析] X～t(n)．所以根据t(n)分布随机变量的典型模式．可以表示其中①X1～N(0，1)；②Y1～χ 2 (n)；③X1，Y1相互独立．现来考虑，其中；②Y1～χ 2 (n)；③ ，Y1相互独立．由于t(n)的概率密度是偶函数，故P{X＞C)=0.6，可知C＜0．P(Y＞C 2 )=P{X 2＞C 2 )=P{X＞-C}+P{X＜C}=2P{X＜C}=2[-1-P{X≥C}]=2[1-P{X＞C)]=2[1-0.6]=0.8．20.设X 1 ，X 2 ，…，X n 来自总体X ～N(μ，σ 2 )的简单随机样本，记样本方差S 2 ，则D(S 2 )=______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 3.5[解析] 由性质：和D(χ 2 (n-1))=2(n-1)，可知 所以 21.设X 1 ，X 2 ，…，X 6 是来自正态分布N(0，σ 2 )的简单随机样本． 统计量 服从F(n 1 ，n 2 )分布，其中a 为常数，则参数n 1 和n 2 分别为______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 3.52和4[解析] 且它们是相互独立的．故 22.设X 1 ，X 2 ，…，X 6 是来自正态总体N(0，σ 2 )的简单随机样本，已知统计量服从t 分布，则常数=______．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 3.51 [解析] (X 1 +X2 +X3 )～N(0，3σ 2 )，所以，且与相互独立，因此 ，所以a=1． 23.假设总体X 服从正态分布N(μ，σ 2 )，X 1 ，X 2 ，…，X 2n 是来自总体X 容量为2n 的一组简单随机样本，统计量 ，则当σ 2 已知，c=______时，Y 服从χ 2 分布，其自由度为______；当σ 2 未知，c=______时，Y 为σ 2 的无偏估计．SSS_FILL该题您未回答:х 该问题分值: 3.5[解析] 记Yi =X2i-X2i-1(i=1，2，…，n)，则Yi～N(0,2σ 2 )且相互独立，故，因此当σ 2已知，时Y～χ 2分布，其自由度为n．令，解得，所以，当时，Y为σ 2的无偏估计．24.设总体X的概率分布为，其中为未知参数，对总体抽取容量为10的一组样本，其中5个取1，3个取2，2个取0．则θ的矩估计值为______，最大似然估计值为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 应用矩估计，最(极)大似然估计及经验分布函数定义，即可求得结果，事实上，令，其中即令，解得θ矩估计量由样本值算得，故θ矩估计值为又样本似然函数lnL=5ln2+9lnθ+11ln(1-θ)，令解得θ最大似然估计值为25.假设X1，X2，…，X16是来自正态总体N(μ，σ 2 )的简单随机样本，为样本均值，S 2为样本方差，如果，则a=______．(t0.05(15)=1.7531)．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.54383 [解析] 要由求a，必须知道的分布．由于X～N(μ，σ 2 )，故，与S 2独立，所以因此，由知，4a是t(15)分布上α=0.95的分位点t0.95(15)，即4a=t 0.95(15)，由于t分布密度函数是关于x=0对称的，所以有-tα =t1-α，4a=t0.95(15)=-t0.05(15)=-1.7531，a=-0.4383．26.设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ 2 )，其中μ，σ 2均未知，现从中随机抽取9个零件．测得样本均值和方差分别为和S 2 =1(mm)，设在0.90的置信度卜的μ的置信区间为(40-αt0.05(β)，40+αt0.05(β))，则α和β应为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5和8 [解析] 由σ 2未知条件下，对μ区间估计公式：知，β=n-1=8．27.设X1，X2，…，Xn是来自区间[-a，a]上均匀分布的总体X的简单随机样本，则参数a的矩估计量为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5 [解析] 由于EX=0，不能用一阶矩来估计．，样本二阶矩为即28.设X1，X2，…，Xn是来自总体为区间[θ，θ+2]上均匀分布的X的简单随机样本，是样本均值，则未知参数θ的矩估计量SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 矩估计有故29.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度为，-∞＜x＜+∞，λ＞0，则λ的最大似然估计量SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 似然函数两端取对数解得，所以30.设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ 2 )的简单随机样本，其中参数σ 2未知．记，，对假设H0：σ 2=σ 2，在μ已知时使用χ 2检验统计量为______；在μ未知时使用χ 2检验统计量为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 这是一个关于正态总体方差σ 2的假设检验问题．在μ已知时选用χ 2检验统计量为在μ未知时选用χ 2检验统计量为31.假设X1，X2，…，X36是取自正态总体N(μ，0.04)的简单随机样本，其中μ为未知参数．记，如果对检验问题H0：μ=0.5，H1：μ=μ1＞0.5，取检验否定域D= ，检验的显著性水平α=0.05，则c=______；在α=0.05，μ1=0.65时，犯第二类错误的概率β=______．(Φ(1.645)=0.95，Φ(2.86)=0.9979)．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.50021 [解析] 假设H成立，则总体X～N(0.5，0.04)，，依题意Φ(30c-15)=0.95，即30c-15=1.645．得如果H1:μ=μ1=0.65成立，则总体X～N(0.65，0.04)，由题意1。
考研概率例题
第一讲 随机事件和概率例1 设A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义： （1）ABC=A ； （2）A ∪B ∪C=A ；（3）AB ⊂C（4）A ⊂BC例2 设袋中有大小相同的10个球，其中3个红球，2个黑球，5个白球。
从中无放回地任取2次，每次取1个，如以k k k C B A ,,分别表示第k 次取到红球、黑球、白球（k=1,2），试用k k k C B A ,,表示下列事件： （1） 所取的两个球中有黑球； （2） 仅取到一个黑球； （3） 第二次取到黑球； （4） 没取到黑球；（5） 最多取到一个黑球；（6） 取到的球中有黑球而没有红球； （7） 取到的两个球颜色相同。
例3 设A ，B 为两事件，且满足条件B A AB =，则=+)(B A P 例4 A ，B 为任意两事件，则事件)()(C B B A -- 等于事件（A ）C A -（B ）)(C B A - （C ）C B A --)(（D ）BC B A -)(例5 随机事件A ，B ，满足21)()(==B P A P 和1)(=+B A P 则有 （A ）S B A =（B ）φ=AB（C ）1)(=B A P（D ）0)(=-B A P例6 设1)(),(0<<B P A P 且1)|()|(=+A B P A B P 则必有 （A ）)|()|(B A P B A P = （B ）)|()|(B A P B A P ≠（C ）)()()(B P A P AB P =（D ）)()()(B P A P AB P ≠例7 （06）设A ，B 为随机事件，且1)|(,0)(=>B A P B P ，则必有 （A ）)()(A P B A P > （B ）)()(B P B A P >（C ）)()(A P B A P =（D ）)()(B P B A P =例8试证对任意两个事件A 与B ，如果0)(>A P ，则有)()(1)|(A P B P A B P -≥ 例9 有两个盒子，第一个盒中装有2个红球，1个白球；第二个盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问： （1）这个球是红球的概率；（2）若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。