考研数学典型题集(一)

考研数学典型题集（一）

注：为数学1,2,3,数学分析考研而作，内部资料，请勿外传！后附答案及提示

第一章 极限（5题）

1.计算极限∏=∞→n k k n x 12cos lim ，并计算 2

1212121212121211++⋅+⋅.

2.设{}{}n n b a ,均为正整数数列，且21111)3(3,1--+=+==n n n n b a b a b a ，证明：数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 收敛，并求其极限.

3.设)(x f 是R 上的实函数，x x y f y x F 2)(),(-=，且52

1),1(2+-=y x y F ，取,00>x 定义 ，)2,(,),2,(),2,(1112001n n n x x F x x x F x x x F x ===+，求证：n n x ∞→lim 存在，并求其值.

4.求2223)ln(cos tan lim 0x x x x x -→-.

5.设.,3,2,1,sin ,20,10 ==<<=-n x x a a x n n π

（1）求n n x ∞→lim （2）求证：.13

lim =∞→n n x n

第二章 一元函数微分学

1.设函数)(x f 在点a x =处可导，则函数)(x f 在点a x =处不可导的充要条件是)(a f 和)('a f 分别满足条件？

2.设)(x f 在),0[+∞上二阶连续可微，0)(,0)0()0('''>==x f f f .又)(x u 表示)(x f y =在点))(,(x f x 的切线在x 轴上的截距，求极限)

()())((lim 0x f x u x u xf x +→.

3.求x x x x f 233)(+=在点0=x 处所存在的最高阶导数.

4.设)(x f 在),0(+∞上三次可导，且)(lim ),(lim '''x f x f x x +∞→+∞→存在，求)(lim ),(lim '''x f x f x x +∞→+∞→.

5.设∑==n k k n x x f 1sin

)(，求证：

（1）对+

∈∀Z n ，方程1)(=x f n 在]2

,6(ππ内有且仅有一个解； （2）设]2,6(ππ∈n x 是方程1)(=x f n 的解，证明.6lim π=∞→n n x

参考答案及提示：

第一章 极限 1.x x x n k k n sin 2cos lim 1=∏=∞→，提示：利用x x x cos sin 22sin =公式从后递乘

2

21212121212121211π

=++⋅+⋅ ，提示：利用2121218cos ,214cos +==ππ，

......再利用第一小题求解.

2.提示：收敛利用单调有界原理，极限值为

3.

3.提示：利用单调有界原理，极限值为3.

4.提示：利用等价无穷小，答案为6

ln 21-

. 5.（1）0 （2）略

第二章 一元函数微分学

1..0)(,0)('≠=a f a f

2.提示：想到牛顿迭代公式把)(x u 表示出来，)()()('x f x f x x u -

=.答案为.21 3.提示：把函数分段表示，答案为0.

4.提示：利用Taylor 展开，答案分别为0),(lim 61'''x f x +∞→-

. 5.略.