考研数学模拟试题数学二

1
1 y2
（ B ） 2 dy 0
1 y2 f ( x, y )dx
1
1 y2
（ D） 2 dy
f ( x, y)dx
0
0
f ( x, y)dxdy
x2 y2 1
2
f ( x, y)dxdy
x2 y 2 1, y 0
1
2 dy 0
1 y2
1 y2 f (x, y)dx .
4.微分方程 y 2 y x e2x 的特解 y* 形式为（） .
mg kv2， dv dt
kv 2
g
，
m
记 a2
g,b2
k dv
，
m
积分得
1
bv arctan
t
ab
a
a2
b2 v2 ，
dv a 2 b2 v2
C ， t 0 时， v v0 ，故 C
dt ，
1 arctan bv0 ，
ab
a
1
bv
arctan
ab
a
t 1 arctan bv0 ，
ab
a
令 v 0 ，得上升到最高点的时间为 t1 1 arctan bv0
.
zy
解 答案为 xf3 x 2 yf32 x 2 yzf33 . u xyf 3 z 2u z y xf3 xy( f 32 x f33 xz) xf3
x2 yf32
x 2 yzf33
yx
x
11.设微分方程 y
( ) 的通解为 y
，则 ( x)
.
x
y
ln Cx
解 答案为
1
x
x2 . 将 y
代入微分方程，得
则 Ax b 的通解为
.
解 答案为 1 k1 ( 2 1 ) k2 ( 3 1 ) ， k1 ,k2 为任意常数 .
1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax b 的三个线性无关的解，则
2 1 , 3 1 是 Ax 0
的两个解，且它们线性无关，又 n r ( A) 2 ，故 2 1, 3 1 是 Ax 0 的基础解系，
1 ax 1 ， p
p
1 ，即 y ax 1
1， ax 1
故y
1 dx
1 ln( ax
1)
C2，
ax 1
a
由 x 0, y 0 得 C2 0 ，所以 y
1 ln( ax 1) . a
19. （本题满分 11 分）
设 f (x) 和 g( x) 在区间 (a, b) 可导， 并设在 (a,b)内 f (x) g ( x) f ( x) 0 ，证明在 (a, b) 内
所以 Ax b 的通解为 1 k1 ( 2 1 ) k2 ( 3 1) .
三、 解答题（本题共 9 小题，满分 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
[(1 x) x e]sin ln(1 x)
15. （本题满分 9 分） 求极限 lim
.
x0
1 x sin x 1
解
1
1
1
ln(1 x)
2 2) d
20 2
2
30
9
3
18. （本题满分 11 分）
求微分方程 y a( y )2
0 (a
0) 满足初始条件
y x0
0， y x 0
解 令y
p, y
dp
，代入原方程，得
dx
dp dx
ap 2
0，
dp p2
adx ，
dp p2
adx ， 1 ax C1 ， p
1 的特解 .
由 x 0, y 0, y p 1 ，得 C1 1 ，
ln Cx
(ln Cx)
1 ln 2 Cx ，故 (x)
1 x2 .
n
12.数列 n 中最大的项为
.
3
解 答案为 3 .
【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】
1
1
1
设 f (x)
x
x
xx
ln x
ex ， f ( x)
e x ln x 1
ln x x2
0
x e，
n
x e 时， f (x) 0 ， f ( x) 单调增加，故 n e时， f ( n) n 递增， 2 最大，
[(1 x) x e]sin ln(1 x)
(1 x) x e
ex
e
lim
2lim
2lim
x0
1 xsin x 1
x0
x
x0
x
1
1
ln(1 x) 1
elim x
x0
x
ln(1 x) x
2elim x0
x2
1 2elim 1 x
x 0 2x
e
1 ln(1 x) 1
ex
1
2elim
x0
x
16. （ 本 题 满 分 9 分 ） 设 f ( x) 单 调 且 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， z f (x ( y)) 满 足
⑵ 与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积最大 .
解 设切点为 ( x0 , y0 ) ， y 2bx ，
切线斜率 k 2bx0 1 x0
1
1
, y0 a
，
2b
4b
1 代入切线方程，得 a
4b
1
1
1
4(1 a) .⑴
2b
b
又旋转体体积 V
a
x2 dy
0
aa y
dy
0
b
a
a
y dy
2 (a2
0
b
V
2 (2 a 3a2)
0 ，解得 a
0或者 a
2 ，V
3
2 (2 6a) ，
V (0) 4
2 0,V ( )
4
0 ，故 a
2
时，体积
V
最大，
3
3
将a
2 代入⑴得 b
3 ，所以 a
2 ，b
3
.
3
4
3
4
a3) ，
21.（本题满分 11 分）
一质量为 m 的物体以速度 v0 从原点沿 y 轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平
（A ） x f (t 2) dt 0
（ B） x f 2 (t )dt 0
x
（C） t[ f (t ) f ( t )] dt 0
x
（ D） t[ f (t ) f ( t)] dt 0
x
解 选择 C. 由于 t[ f (t ) f ( t)] 为奇函数，故 t[ f (t) f ( t)] dt 为偶函数 . 0
n
3
x e时， f (x) 0 ， f ( x) 单调减少，故 n e时， f ( n) n 递减， 3 最大，
3
6
6
又3 9 8
n
3
2 ，数列 n 的最大项为 3 .
13.方程 5x 2
x dt 0 1 t8
0 在区间 (0,1) 内的实根个数为
.
解 答案为 1. 令 f (x) 5x 2
x dt 0 1 t8
(A) y* (ax b)e2x
(B) y* ax e2x
(C) y* ax2 e2 x
(D) y* (ax2 bx)e 2x
解 选择 D. 特征方程 r 2 2r 0，特征根 r 0, r 2 ，
2 是特征根，特解 y* 形式为
y* x(ax b)e 2x . 5. 设函数 f ( x) 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（） .
x
（D ） x1 x 2 ， y1 y 2 .
f ( x, y) 关于 x 单调减少，
f ( x, y) 0
y
f (x, y) 关于 y 单调增加，
当 x1 x2 ， y1 y2 时， f ( x1, y1) f ( x2 , y1) f ( x2 , y2) .
7.设 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是（） . (A) A E 与 B E 相似 (B) A 与 B 合同
z (y)
z
0，求可导函数
( y) .
xy
解 z f ， z f ( y) ，代入方程 ( y) z z 0 ，得 ( y) f f ( y) 0 ，
x
y
xy
即 ( y) ( y) ，解得 ( y) C ex ，其中 C 为任意常数 .
17. （本题满分 9 分）
1
2 y2
计算积分
dy
1
1
( 1 y2
(C) A E B E
(D) A E B E
解 选择 D. A 与 B 相似可以推出它们的多项式相似， 它们的特征多项式相等， 故 A ，C 正 确，又 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，可以推出 A 与 B 合同，故 B 正确 . 8. A Am n ， R( A) r ， b 为 m 维列向量，则有（） .
，
f
(0)
2 0, f (1) 3
1 dt 0 1 t8
0，
由零点定理知，此方程在区间 (0,1) 内至少有一个实根，又 f (x) 5
1
8
0 ， f (x) 单
1x
调增加，故此方程在区间 (0,1) 内有且仅有一个实根 .
14.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 2 ， 1, 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax b 的三个线性无关的解，
，所以 f ( x) 在点 x a 不可导 .