2019年考研数学模拟试题(含标准答案)
2019考研数学模拟考试题目(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.证明：如果|()|lim 0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时 |()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d a g x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散. 如果0ρ=，则有|()|()f xg x ε<, 显然()d a g x x +∞⎰收敛, 则|()|d a f x x +∞⎰亦收敛. 如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d a g x x +∞⎰发散，则|()|d a f x x +∞⎰亦发散.习题五2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e tx =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-= 即 22d 0d y y t-= 特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t t y c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e t x =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d t y y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -=15A =, *31e 5t y = 故 223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++3．求下列函数的微分：⑴ e x y x =； ⑵ ln x y x=； ⑶y = ⑷ ln tan 5x y =；⑸ 286e x xy x =-； ⑹2(arctan )y x =.解：⑴ d (e )d e (1)d x x y x x x x '==+； ⑵ 221ln ln 1ln d ()d ()d d x x x x xy x x x x x x⋅--'===； ⑶d d (y x x x '==-=； ⑷ ln tan ln tan 21d (5)d (ln 55sec )d tan x x y x x x x '==⋅⋅⋅ ln tan 12ln 55d sin 2x x x=⋅⋅； ⑸ 22d (86e )d [8(1ln )12e ]d x x x x y x x x x x '=-=+-；⑹221d (arctan )]d 2arctan ]d .1y x x x x x '==+⋅+；4．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.。
2019年考研高等数学模拟考试考题(含答案解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x 轴，过该直径的中点且垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x 2+y 2=R 2．过区间[-R ，R ]上任意一点x ，且垂直于x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x 对应的圆周上的点为(x ，y )，则该等边三角形的边长为2y ，故其面积等于A ()x =34()2y 2=3y 2=3()R 2-x 2 ()-R ≤x ≤R 从而该立体的体积为 V =⎠⎛-R R A ()x d x =⎠⎛-R R 3()R 2-x 2d x=433R 3．2．求下列函数在所示点的导数：(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =； 解：()π4f ⎛⎫⎪'= ⎝ (2)()22,x y g x y x y +⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭，在点()(),1,2x y =；解：()111,224g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)sin cos u v u T u v v v ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，在点π1u v ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解：1010101T -⎛⎫⎛⎫ ⎪'=- ⎪ ⎪π⎝⎭ ⎪⎝⎭(4)2222232u x y v x x y w x y y ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩在点()3,2-.解：6266362-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭3．当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:1tan 2(1)()(2)();1(3)()sin sin ;(4)()(1).x x f x f x x f x x f x x x ====+解：03(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()limlim 2.x x x x x f x xx →→→=== ∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续. 01(3)limsin sin0x x x→= ∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续. 100(4)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+= ∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续.4．设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤。
2019新版考研高等数学模拟考试题目(含答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________考号：__________一、解答题1．求由参数式2020sin d cos d t t x u u y u u ⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x . 解：222d d cos d cot.d d sin d yy t t t x x tt===2．求面密度为0ρ的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量。
解：222::.xy z D x y a ∑=+≤d d d.sx y x y==22220022222π22000002220034222000()d d d d π()π()42π.()233xy z D a aa a I x y s a x y a r r a a r a d a r a a a r a ∑ρρρθρρπρρ=+===-=-⎡==--⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3．利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1n n n n x xx n x xn x ++=====+=+ 证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +<=.故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x +-=0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限.设lim n n x a →∞=,则a =于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=. (2) 因为110x =>,且111n n nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界 又 111111111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号，从而可推得1n n x x +-与21x x -同号，而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在.设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++， 解得1122a a +-==(不合题意，舍去). 所以1lim 2n n x →∞+=4．怎样选取a , b 的值，使f (x )在(－∞,+∞)上连续？π1,,e ,0,2(1)()(2)()π,0;sin ,.2xax x x f x f x a x x x b x ⎧+<⎪⎧<⎪==⎨⎨+≥⎩⎪+≥⎪⎩解：(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而00lim ()lim(),x x f x a x a ++→→=+= 00lim ()lim e 1,x x x f x --→→== 且(0)f a =, ∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上连续.。
2019新考研高等数学模拟训练试题(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1． 确定下列函数的单调区间：(1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少.(2) 82 (0)y x x x=+>； 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x '=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =；解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加. (4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加. (5) e (0,0)n x y x n x -=>≥；解: 函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6) sin 2y x x =+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z 1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+； πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++. 2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则 1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈-- 1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-. 综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈， 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+.解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+-- 函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加， 在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少， 在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加.故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞.2．求下列函数在所示点的导数：(1)()sin cos t f t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在点π4t =；。
2019年新考研高数模拟训练考题(含答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上.解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；(2)双纽线r 2 = a 2cos2θ；(3)圆x 2+y 2 = 2ax ．解：(1)()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得cos x a =sin y a =从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22L A x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰ (3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩ 故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰3． 设212s gt =，求2d d t s t =. 解：d d s gt t =，故2d 2d t s g t ==.4．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,。
2019新版考研数学模拟训练题目(含答案解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________一、解答题1．证明：（1） 10lim 0;n n x →∞=⎰ 证明：当102x ≤≤时，0,n n x ≤≤ 于是111200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim ()0,12n n n +→∞⋅=+ 由夹逼准则知：10lim 0.n n x →∞=⎰ (2) π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰证明：由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤ 故π40πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰2．计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z y z z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续，且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥,若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根.若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.4．(1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠ 解：00021()().x x f x f x x =''==- (2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f ' 解：00()(0)(0)lim lim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-5．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b += 又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax a f a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.6．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩。
2019考研高数模拟考试考题(含答案解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．试决定22(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.解：224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点. 18x k y =±'=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ，法线方程为18y x k=. 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此 148k k =±, 得22321, 321k k ==-(舍去) 故 8k==± 2．若π1()1,(arccos )3f y f x'==，求2d d x y x =.解： 22d 11(arccos )(()d d π11(d 344x y f x xx yf x='=⋅-'=== 3．求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点. 解：()()()()54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42-------4．一点沿对数螺线ea r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=5．一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩ d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=6．一动点沿抛物线y =x 2运动，它沿x 轴方向的分速度为3 cm ·s -1，求动点在点(2，4)时，沿y 轴的分速度.解： d d d 236.d d d y y x x x t x t=⋅=⋅= 当x =2时，d 6212d y t =⨯= (cm ·s －1).7．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？ 解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.习题三8．函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于(2,1),(1,0),(0,1),(1,2)---内.9．如果()f x '在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导且()0,()0,f a f x '''≥>证明：()()f b f a >. 证明：因为()f x '在[a , b ]上连续，在（a ，b ）内可导，故在[a ，x ]上应用拉格朗日定理，则(,),()a x a x b ξ∃∈<<，使得()()()0f x f a f x aξ''-''=>-, 于是()()0f x f a ''>≥,故有()()f b f a >。
2019考研数学模拟测试题目(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·d x(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为d w =x ·60g d x =60gx d x ．于是将水全部抽出所作功为w =⎠⎛0560gx d x=60g 2x 2⎪⎪5=750g (KJ) ．2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).证明：略3．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=4．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ，故 23/2 1.(1)y k y ''=='+5．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？ 解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.习题三6．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（ ）.⑴ 201sinlim sin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x →+∞+； ⑶ sin lim sin x x x x x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x x x x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数） 又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在, 而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.7．证明下列不等式:(1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +>。
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解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
23．求下列欧拉方程的通解：
解：作变换 ，即t=lnx,
原方程变为
即
特征方程为
故 .
.
解：设 ，则原方程化为
①
特征方程为
故①所对应齐次方程的通解为
又设 为①的特解，代入①化简得
,
故
24．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：
;
解：原式=
解：
令 ，得t=1或t=－1
则x=1，y=4或x=1，y=－4
当t>1或t<－1时， ，曲线是凹的，
当0<t<1或－1<t<0时， ，曲线是凸的，
故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).
(2)x=2acotθ，y=2asin2θ.
解：
令 ，得 或 ，
不妨设a>0，不失一般性，当 时，即 时， ，
当 或 时，即 或 时， ,
(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；
(4)曲线x= 2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．
解：(1)L： ，y：1→2，故
(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：1→2
故
(3)设从点(1,1)到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2．且
解：因为Σ：z=0，在xOy面上的投影区域就是Σ
故
当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号．
22．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
;
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
解：特征方程为
解得
通解为
由初始条件得
故方程所求特解为 .
16．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：
(1) ；(2) ；
解：(1)由 知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时， 的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．
记 易知 的收敛域为(-1,1)，记
则
于是 ，所以
(2)由 知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记 ，易知级数 收敛域为(-1,1)，记 ，则 ，
(其中k为比例系数)
20．证明： 在整个xOy平面内除y轴的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数．
证： ， ，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且．
，(x,y)∈G
因此 在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分．
由
知 ．
21．当Σ为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分 与二重积分有什么关系？
验证：
所以，结论成立.
;
解：原式=
验证：
L1： ，y：1→2；L2： ，x：1→4；
故
从而
(4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故
19．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功．
解：依题意知F=kxi+kyj，且L： ，t：0→
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为
故当参数 或 时，都是y的拐点，且拐点为 及 .
9．求由参数式 所确定的函数y对x的导数 .
解：
10．（略）.
11．根据下面所给的值，求函数 的 及 ：
⑴当 时；
解：
.
⑵当 时.
解：
12．利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a为正常数）
(1)
解：因 为[－a,a]上的奇函数，
故
;
解：因为 即被积函数为奇函数，所以原式=0.
故 即 ， ，所以
17．将函数f(x) =x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.
解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有bn=0 (n=1,2,3,…)
故 (0≤x≤2)
18．计算 ，其中L是
(1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；
解：设每年以均匀流方式存入x万元，则
5=
即5=20x(e0.51)
≈0.385386万元=3853.86元．
习题六
15．（1）解： 相当于 级数中
当 时 收敛， 时， 发散.
从而当 时， 收敛， 时， 发散.
从而 的收敛域为
从而 的收敛域为 .
（2）解：当 时， 收敛，则 收敛.
当 时， 发散，
当 时， 收敛.（莱布尼兹型级数）
即3.9q－0.003q2－300=0
q2－1300q+100000=0
解得q=1218(舍去)，q=82.
7．已知函数 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且 ，试证：在（a，b）内至少有一点 ，使得
.
证明：令 在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且 ，由罗尔定理知， ，使得 ，即 ,即
8．求下列曲线的拐点：
．
压力元素为
所求压力为
=1467(吨) =14388(KN)
2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).
证明：略
3．一点沿对数螺线 运动，它的极径以角速度 旋转，试求极径变化率.
解：
4．一点沿曲线 运动，它的极径以角速度 旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.
解：
5．椭圆 上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？
解：方程 两边同时对t求导，得
由 .得
代入椭圆方程得： ，
即所求点为 .
6．设总收入和总成本分别由以下两式给出：
其中q为产量，0≤q≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？
解：(1)边际成本为：
(2)利润函数为
令 ,得
即为获得最大利润时的产量.
(3)盈亏平衡时：R(q)=C(q)
;
解：因为 为奇函数，故
原式=
.
解：因为 是奇函数，故
原式=
13．设 是由方程组
所确定的隐函数，求 .
解：分别对已知方程组的两边关于 求导，得：
再对 求一次导，得
将 代入上述各式，得
14．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？