考研数学二模拟题(新)
考研数学(数学二)模拟试卷420(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷420(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(χ)二阶连续可导，g(χ)连续，且f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(χ－t)dt，＝－2，则( )．A．f(0)为f(χ)的极大值B．f(0)为f(χ)的极小值C．(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点D．f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))也不是y＝f(χ)的拐点正确答案：C解析：显然f′(0)＝0，＝－2得g(0)＝0，g′(0)＝－2．由∫0χg(χ－t)dt∫0χg(u)du得f′(χ)＝lncosχ＋∫0χg(u)du．故(0，f(0))为y＝f(χ)的拐点，选C．2．当χ＞0时，f(lnχ)＝，则∫-22χf′(χ)dχ为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：由f(lnχ)＝得f(χ)＝，故选C．3．设z＝z(χ，y)由F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0确定，其中函数F 连续可偏导且af′1－cf′2≠0，则＝( )．A．aB．bC．cD．a＋b＋c正确答案：B解析：F(az－by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对χ求偏导得＝0，解得；F(az －by，bχ－cz，cy－aχ)＝0两边对y求偏导得，故，因此选B．4．设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，其导函数的图形如图所示，则f(χ)有( )．A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点正确答案：C解析：设导函数的图形与χ轴的交点从左至右依次为A，B，C，在点A左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0．所以点A为f(χ)的极大值点，同理可知点B 与C都是f(χ)的极小值点．关键是点0处，在它左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0，而f(χ)在点O连续，所以点O也是f(χ)的极大值点(不论在χ＝0处f(χ)是否可导，见极值第一充分条件)，选C．5．设D为y＝χ，χ＝0，y＝1所围成区域，则arctanydχdy＝( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因此选B．6．设函数u＝f(χz，yz，χ)的所有二阶偏导数都连续，则＝( )．A．0B．χzf〞11＋yzf〞22＋z2f〞12C．z2f〞12＋zf〞32D．χzf〞11＋yzf〞22正确答案：C解析：因此选C．7．设矩阵B的列向量线性无关，且BA＝C，则( )．A．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性相关B．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关C．若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性相关D．若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关正确答案：D解析：设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)＝n．因为BA＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)＝s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s，A的列向量组线性无关，A项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，所以A的行向量组的秩为s，故n≥s．若n＞s，则A的行向量组线性相关，若n＝s，则A的行向量组线性无关，B项不对；若r(A)＝s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关，C项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，故选D．8．设n阶方阵A的n个特征值全为0，则( )．A．A＝OB．A只有一个线性无关的特征向量C．A不能与对角阵相似D．当A与对角阵相似时，A＝O正确答案：D解析：若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝，于是A＝O，选D．填空题9．＝_______．正确答案：解析：10．设y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同，其中f(χ)可导，则＝_______．正确答案：解析：由y＝f(χ)与y＝sin2χ在(0，0)处切线相同得f(0)＝0，f′(0)＝2．由∫0χf(χ－t)dt∫0χf(u)du11．＝_______．正确答案：10π解析：12．由方程χ＋2y＋z－2＝0所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，1，2)处的全微分dz＝_______．正确答案：dχ－2dy解析：χ＋2y+z－2＝0两边对χ求偏导得1＋＝0，则，z＋2y＋z －2＝0两边对y求偏导得2＋＝0，则＝－2，于是dz＝dχ－2dy．13．设函数y＝y(χ)在(0，＋∞)上满足△y＝(＋χsinχ)△χ＋o(△χ)，且，则y(χ)＝_______．正确答案：χ(1－cosχ)解析：由可微的定义，函数y＝y(χ)在(0，＋∞)内可微，且y′＝＋χsin χ或y′－＝χsinχ，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得y＝＝(－cos χ＋C)χ由得C＝1，所以y＝χ(1－cosχ)．14．设矩阵A＝不可对角化，则a＝_______．正确答案：0或4解析：由｜λE－A｜＝＝λ(λ－a)(λ－4)＝0，得λ1＝0，λ2＝，λ3＝4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a＝0或a＝4．当a＝0时，由r(OE－A)＝r(A)＝2得λ1＝λ2＝0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a＝0合题意；当a＝4时，4E－A＝，由r(4E－A)＝2得λ2＝λ3＝4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a ＝4合题意．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价无穷小正确答案：D解析：先改写其中，则。
故选D。
知识模块：函数、极限、连续2．设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( ) A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。
在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。
故选C。
知识模块：一元函数微分学3．设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )A．C=P—1APB．C=PAP—1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。
这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。
考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。
知识模块：矩阵4．设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A．2．B．一1．C．．D．一2正确答案：D解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选D．知识模块：一元函数微分学5．对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( ) A．0。
B．1。
C．2。
D．以上都不正确。
正确答案：C解析：由f’(0)=1可知f(x)在x=0处连续。
考研数学二模拟392
考研数学二模拟392一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设g(x)可微，f(x)=ln2(1+g(x))+2ln(1+g(x))，f'(1)=1，则g(1)=A．1.B．0.C．2.D．正确答案：B[解析] 按题设令即．选B．方程x=ln(1+x)有唯一解x=0.2. 设[0，4]区间上y=f(x)的导函数的图形如图，则f(x)A.在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的．B.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，在(2，4)是凸的．C.在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，在(2，4)是凹的．D.在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的．正确答案：B[解析] 当x∈(0，1)或x∈(3，4)时，在(0，1)，(3，4)单调下降；当x∈(1，3)时，在(1，3)单调上升．又f'(x)在(0，2)单调上升在(0，2)是凹的；f'(x)在(2，4)单调下降在(2，4)是凸的．因此，应选B．3.A．π．B．C．D．正确答案：B[解析一] 令[解析二][解析三] 令4. 下列命题中正确的是A.设(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，则x=x0不是f(x)的极值点．B.设x=x0是f(x)的极小值点，f(x)在x=x0二阶可导，则f'(x0)=0，f"(x0)＞0.C.f(x)在(a，b)只有一个驻点x0，且x0是f(x)的极小值点，则f(x0)是f(x)在(a，b)的最小值．D.若f'-(b)＜0，则f(b)不是f(x)在[a，b]的最大值．正确答案：D[解析一] 由举例易知A、B、C不正确．如图1所示，(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点且x=x0是f(x)的极小值点．A 是错的．极小值点x0处可以有f"(x0)=0.如f(x)=(x-x0)4，x=x0是f(x)的极小值点，f"(x0)=0.B是错误的．若f(x)不连续，命题C不正确，如图2.f(x)在(a，b)有唯一驻点x0，是f(x)的极小值点，但f(x0)不是f(x)在(a，b)的最小值．因此，选D．图1图1[解析二] 由最值点处导数性质可知D正确．因为，若f(b)是f(x)在[a，b]的最大值且f'-(b)存在，则于是当f'-(b)＜0时，f(b)不可能是f(x)在[a，b]的最大值．选D．①设f(x)在(a，b)可导，若(x0，f(x0))是f(x)的拐点，则x=x0一定不是f(x)的极值点．因为此时若x=x0是f(x)的极值点，则f'(x0)=0，由于f'(x)在x=x0两侧升降性相反，那么f'(x)在x=x0两侧不变号，这与x=x0是f(x)的极值点矛盾了，因此x=x0不可能是f(x)的极值点．②若f(x)在(a，b)连续，x=x0是f(x)在(a，b)的唯一极值点，则x=x0一定是f(x)在(a，b)的相应的最值点．5.A.可导的奇函数．B.连续，但在x=0不可导的奇函数．C.可导的偶函数．D.连续，但在x=0不可导的偶函数．正确答案：A[解析] 因为改变有限个点的函数值，则不改变函数的可积性与积分值，所以e x2+x2是偶函数且处处连续，由变限积分函数的性质知是奇函数且处处可导．因此选A．不是f(x)在含x=0区间上的原函数．事实上，x=0是f(x)的第一类间断点(可去间断点)，它在含x=0的区间上不存在原函数．6. 设常数0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a以及x+y=1围成．记则I，J，K的大小关系是A.J＜K＜I．B.J＜I＜K．C.I＜J＜K．D.I＜K＜J．正确答案：B[解析] 在区域D上有0＜x+y≤1，于是ln3(x+y)≤0≤sin2(x+y)≤(x+y)2≤(x+y)，且它们互不恒等，连续，因此，它们在D上的积分值满足应选B．7. 已知A是3阶矩阵且则A.16.B.-16.C.256.D.-256.正确答案：D[解析] 由(kA)*=k n-1A*知(2A)*=22A*=4A*，又有以及A*=|A|A-1得8. 已知α=(1，-3，2)T，β=(0，1，-1)T，矩阵A=2βαT+7E，则矩阵A的最小特征值的特征向量是A.α．B.β．C.α+β．D.α-β．正确答案：B[解析] B=βαT，则秩r(B)=1.由αTβ=-5，知矩阵B的特征值是-5，0，0.那么矩阵A=2B+7E的特征值是-3，7，7.矩阵B关于λ=-5的特征向量就是矩阵A关于λ=-3的特征向量．而Bβ=(βαT)β=β(αTβ)=-5β，所以应选B．二、填空题1. 设a n＞0(n=1，2，3，…)且则正确答案：1[解析] 记其中2. 已知则f(x)的连续性区间是______．正确答案：(0，+∞)[解析] 当0＜x≤e时当x＞e时显然，x∈(0，+∞)，x≠e时f(x)连续，又f(x)在x=e左连续且右连续，f(x)也在x=e连续．因此f(x)的连续区间是(0，+∞)．3. 已知f(x)(x∈[0，+∞))为非负连续函数，且满足则f(x)=______．正确答案：[解析] 注意于是原方程改写成先求由及Φ(0)=0，积分得最后得4. 设u=u(x，y)满足且u(0，y)=y2+1，则u(x，y)=______．正确答案：[解析] 将y看作常量，这是以x为自变量，函数u=u(x，y)的一阶线性微分方程改写成两边乘e-xy得对x积分得由因此5. 设φ(z)有连续导数，1-yφ'(z)≠0，z=z(x，y)由方程x=x+yφ(z)确定，则dz=______．正确答案：[解析一] 将方程z=x+yφ(z)两边求全微分dz=dx+d(yφ(z))dz=dx+φ(z)dy+yφ'(z)dz移项并解出[解析二] 先求出方程两边分别对x求偏导数并注意x，y为自变量，z=z(x，y)，于是由复合函数求导法得解出同理，方程两边对y求偏导数得因此6. 已知A是3阶非零矩阵，且矩阵A中各行元素之和均为0，又知AB=O，其中B=，则齐次方程组Ax=0的通解是______．正确答案：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数[解析] 矩阵A各行元素之和均为0，即故(1，1，1)T是齐次方程组Ax=0的一个解．由AB=O，知，故(1，-1，1)T也是Ax=0的一个解．从而Ax=0至少有2个线性无关的解，即n-r(A)≥2，亦即r(A)≤1，又因A是非零矩阵，又有r(A)≥1.故必有r(A)=1，那么齐次方程组Ax=0的基础解系由n-r(A)=2个线性无关的解向量构成，所以其通解为：k1(1，1，1)T+k2(1，-1，1)T，k1，k2为任意常数．三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 已知曲线在直角坐标系中的参数方程给出：(Ⅰ)证明x=tlnt(t∈[1，+∞))存在连续的反函数t=t(x)(x∈[0，+∞))且该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[0，+∞)；(Ⅱ)求y(x)的单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．正确答案：[证明] 先证x=tlnt单调，必存在反函数，于是确定y=y(x)．再用参数求导法求出然后求出单调性区间，极值点，凹凸性区间及拐点．(Ⅰ)因为在[1，+∞)单调上升，值域是[0，+∞)x=tlnt反函数，记为t=t(x)，它在[0，+∞)连续，t(x)≥1(单调连续函数的反函数连续)．再由连续函数的复合函数的连续性在[0，+∞)上连续．(Ⅱ)现知y(x)在[0，+∞)连续，再由参数式求导法有因此y(x)的单调增区间为x∈[0，e]，单调减区间为[e，+∞)，x=e为极大值点因此为y(x)的凸区间，为凹区间，拐点的横坐标是[解析] 于是因此y=y(x)有渐近线y=0.抛物线y=x2上任意点(a，a2)(a＞0)处引切线L1，在另一点处引一切线L2，L2与L1垂直．2. 求L1与L2的交点横坐标x1；正确答案：[解] 抛物线y=x2在点(a，a2)处的切线方程为L1：y=a2+2a(x-a)即y=2ax-a2．另一点(b，b2)处的切线方程为L2：y=b2+2b(x-b)即y=2bx-b2．由L1与L2垂直即L1与L2的交点(x1，y1)满足代入得3. 证明：L1，L2与抛物线y=x2所围图形的面积正确答案：[解] L1，L2与y=x2所围图形的面积由x1的表达式知4. 问a＞0取何值时S(a)取最小值．正确答案：[解] 求导解最值问题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．5. 试将x=x(y)满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：[解] 这实质上是求反函数x=x(y)的一、二阶导数问题，由反函数求导公式知，再由复合函数求导法知，代入原方程得即6. 求满足y(0)=0，y'(0)=1的y=y(x)．正确答案：[解] 求y=y(x)就是求解满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的可降阶微分方程(1)．看作不显含因变量y的类型，令得这是可分离变量的方程，分离变量解得p=1(p=0不合题意)或由p=1得，再由初值得y=x．由(2)式积分得即由初值得C=0，仍然只求得y=x．因此求得y(x)=x．[解析] ①这也是不显含x的一类可降阶的二阶微分方程令并以y为自变量，由方程(3)化为一阶微分方程对于原方程(1)，我们得(P=0不合题意)，于是分离变量得积分得ln|P-1|=y+C1，P-1=Ce y由y=0时，P=1得C=0，因此再由y(0)=1得y=x．②这也是伯努利方程(大纲中不要求，若熟悉)，P=0不合题意，P≠0时改写成两边乘e-x得积分并注意到P(0)=1得由及y(0)=0得y=x．7. 求不定积分正确答案：[解] 方法一而因此方法二8. 求极坐标系中曲线的弧长l．正确答案：[解] 先求按弧长计算公式得9. 设f(u，v)有二阶连续偏导数，且满足又求正确答案：[解] 由复合函数求导法得现将①，②式相加得其中由条件知f"11+f"22=1.10. 求二重积分其中D由直线x=a，x=0，y=a，y=-a及曲线x2+y2=ax，(a＞0)所围成．正确答案：[解法一] 将D1看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换．于是于是如果积分区域关于x轴(或y轴)对称，考察被积函数关于y(或x)的奇偶性，往往会简化计算．[解法二] 在直角坐标系下计算而或因此于是[解法三] 被积函数x对x是奇函数，但积分区域D1关于y轴不对称，但关于对称．作平移变换：则D1变为关于v轴对称，于是[解析] J的积分区域如图阴影部分，设D1为由x=a，x=0，y=a，所围．由于D关于x轴对称，故11. 设P(x)=x3+ax2+bx+c，a，b，c，为常数，方程P(x)=0有三个相异实根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，又求证：(Ⅰ)F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点；(Ⅱ)F(x)在(x3，+∞)恰有一个零点．正确答案：[证明] 对常数a，b，c均有进一步按题设应有P(x)＜0(x＜x1)，P(x)＞0(x∈(x1，x2))P(x)＜0(x∈(x2，x3))，P(x)＞0(x＞x3)P(x)在(-∞，+∞)连续．(Ⅰ)当x＜x1时时在(-∞，x1)无零点．F(x1)=0.当x∈(x1，x2)时时在(x1，x2]无零点．因F(x)在[x2，x3]连续，又即F(x)在(x2，x3)有零点．又因F'(x)=P(x)＜0(x∈(x2，x3))在在(x2，x3)有唯一零点．因此F(x)在(-∞，x3)恰有两个零点(x1与ξ)．(Ⅱ)由当x＞x*时又因F'(x)=P(x)＞0 (x＞x3)在在(x3，+∞)恰有一个零点．已知矩阵与矩阵等价．12. 求a的值；正确答案：[解] 矩阵A和B等价和B均为m×n矩阵且秩r(A)=r(B)．对矩阵A作初等变换，有由秩r(B)=2，知r(A)=2，故a=6.13. 求可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．正确答案：对矩阵A作初等变换化为矩阵B，有把所用初等矩阵写出，得[解析] 本题考查矩阵等价，初等矩阵左乘、右乘问题．把矩阵A化为矩阵B的方法不唯一，因此可逆矩阵P，Q不唯一．设A是各行元素之和均为0的三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，并满足Aα=3β，Aβ=3α．14. 证明矩阵A和对角矩阵相似；正确答案：[解] 矩阵A各行元素之和均为0，即知0是矩阵A的特征值，α1=(1，1，1)T是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量．又A(α+β)=3(α+β)，A(α-β)=-3(α-β)且由α，β线性无关，知α+β，α-β均不是零向量．从而，3和-3都是矩阵A的特征值．α+β，α-β分别是λ=3和λ=-3的特征向量，那么矩阵A有3个不同的特征值，所以A～A．15. 如α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T，求矩阵A；正确答案：[解] 当α=(0，-1，1)T，β=(1，0，-1)T时，按已知有A(α1，α，β)=(0，3β，3α)即所以16. 用配方法化二次型x T Ax为标准形，并写出所用坐标变换．正确答案：[解]令即有。
考研数学二(选择题)模拟试卷100(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1.1．下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( )①若α1，α2，…，αn线性相关，则存在全不为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。
②如果α1，α2，…，αn线性无关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0。
③如果α1，α2，…，αn线性无关，则由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…kn=0。
④如果α1，α2，…，αn线性相关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。
A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：B解析：对于①，线性相关的定义是：存在不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。
不全为零与全不为零不等价，故①错。
②和③都是向量组线性无关的等价描述，正确。
对于④，线性相关性只是强调不全为零的常数k1，k2，…，kn的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k2，…，kn都满足k1α1+k2α2+…+knαn=0，故④错误。
事实上，当且仅当α1，α2，…，αn全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。
综上所述，正确的只有两个，故选B。
知识模块：向量2．已知四维向量组α1，α2，α3，α4线性无关，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2一α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3。
则r(β1，β2，β3，β4，β5)=( )A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：C解析：将表示关系合并成矩阵形式有(β1，β2，β3，β4，β5)=(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C。
因四个四维向量α1，α2，α3，α4线性无关，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0，即A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩阵。
考研数学(数学二)模拟试卷446
考研数学（数学二）模拟试卷446(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设－1x f(t)dt，则F(x)在x=0处 ( )（分数：2.00）A.极限不存在．B.极限存在但不连续．C.连续但不可导．√D.可导．解析：解析：有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外连续．而点x=c是f(x)的跳跃间断点．又设F(x)=∫ x0x f(t)dt，x 0∈(a，b) ．则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]但x≠c时，Fˊ(x)=f(x)；③Fˊ(c)必不存在，并且F －ˊ(c)，F +ˊ(c)=f(c － )．在做选择题时可套用此结论．由此定理可知应选C．3.当x→0时，下列3 ( )（分数：2.00）A.α，β，γ．B.γ，β，α．C.γ，α，β．D.α，γ，β．√解析：解析：对于γ低到高排列应是α，β，γ，选D．4.x=0处间断的是 ( )（分数：2.00）A.max{f(x)，g(x)}．B.min{f(x)，g(x))．C.f(x)－g(x)．√D.f(x)+g(x)．解析：解析：令故x=0是F(x)的一个间断点．选C．下面证明A，B，D中的函数在x=0处均连续，由于A中的F(x)=max{f(x)，g(x)}=1．显然此F(x)连续． B中的此F(x)在x=0处连续． D此F(x)在x=0处连续．5.设f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的 ( )（分数：2.00）A.必要条件而非充分条件．B.充分条件而非必要条件．C.充分必要条件．√D.既非充分又非必要条件．解析：解析：先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以由于按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·△x+0·△y，即f xˊ(0，0)=0，f yˊ(0，0)=0．再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f xˊ(0，0)与f yˊ(0，0)必都存在．其中当x→0 +时，取“+”，当x→0 －时，取“－”．由于f(0，0)存在，所以φ(0，0)=－φ(0，0)，从而φ(0，0) =0．证毕．6.设n=0，1，2，…．则下列关于a n的关系式成立的是 ( )（分数：2.00）A.a n+2 =a n+1 + a n．B.a n+3 =a n．C.a n+4 =a n+2 + a n．D.a n+6 =a n．√解析：解析：由得f(0)=1，再由 f(x)(x 2－x+1)=x+1， (*) 两边对x求一阶导数，得fˊ(x)(x 2－x+1)+ f(x)(2x－1)=1．将x=0代入，得fˊ(0) －f (0)=1，fˊ(0)=f (0)+1=2．将(*)两边对x求n阶导数，n≥2，有 f (n) (x)(x 2－x+1)+C n1 f (n－1) (x)(2x－1)+C n2 f (n－2)(x)·2=0，将x=0代入，得 f (n) (0)－C n1 f (n－1) (0)+2 C n2 f (n－2) (0) =0，又因为所以有或写成 a n+2 =a n+1－a n，n=0，1，2，…． (**) 现在验算A～D中哪一个正确．显然，由递推公式(**)知， A的左边以a n+2 =a n+1－a n，仅当a n =0时才有A的左边等于A的右边，故A不正确．再验算B．B的左边 a n+3 =a n+2－a n+1 = a n+1－a n－a n+1 =－a n，所以仅当a n =0时， B的左边等于B的右边，故B不正确．再验算C． C的左边 a n－4 =a n+3－a n+2 = a n+2－a n+1－a n+2 =－a n+1， C的右边 a n+2 + a n = a n+1－a n －a n =a n+1． C的左边等于C的右边，得a n－1 =0．n=0，1，2…．但这不正确．所以C也不对．余下只有D．以下可直接验算D正确．已证(**)式，所以对一切n，有 a n+6 =a n+5－a n+1 = a n+4－a n+3－a n+4 =－a n+3，从而 a n+6 =－a n+3 =－(－a n )= a n，n=0，1，2，…．所以D正确．7.设A，B，C为常数，则微分方程y″+2yˊ+5y=e －x cos 2 x有特解形式 ( )（分数：2.00）A.e －x (A+Bcos2x+Csin2x)．B.e －x (A+Bxcos2x+Cxsin2x)．√C.e －x (Ax+Bcos2x+Csin2x)．D.e －x (Ax+Bxcos2x+Cxsin2x)．解析：解析：原方程可写成y″+2yˊ+5y= e －x + e －x cos 2x．特征方程是r 2 +2r+5=0．特征根r 1，2 =－1±2i．对位于自由项 e －x的一个特解形式为y 1* =Ae －x．对应于自由项 e－x cos 2x的一个特解形式为y2* =xe －x (Bcos 2x+Csin 2x)．所以原方程的一个特解形式为 y1* + y2* = e －x (A+Bcos 2x+Cxsin 2x)．故应选B．8.已知n维向量组α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax=0的基础解系，则向量组aα1 +bα4，aα2 +bα3，aα3 +bα2，aα4 +bα1也是Ax=0的基础解系的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.a=b．B.a≠－b．C.a≠b．D.a≠±b．√解析：解析：向量组aα1 +bα4，aα2 +bα3，aα3 +bα2，aα4 +bα1，均是Ax=0的解．且共4个．故该向量组是Ax=0的基础解系〈=〉该向量组线性无关．因且α1，α2，α3，α4线性无关．则故应选D． B，C是充分条件，并非必要，A既非充分又非必要，均应排除．9.设，则A合同于（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：写出A对应的二次型，并用配方法化成标准形． F(x 1，x 2，x 3 )=x 12 +2x 1 x 2 +x 22－2x 32，知f的秩为2．正惯性指数为1(负惯性指数也为1)．这可排除选项A， B．选项C的二次型为x 12－x 22－x 32 +2x 2 x 2 = x 12－(x 2－x 3 ) 2．正负惯性指数和题干中矩阵对应的二次型一致．而选项D中二次型为 x 12 +x 22 +2 x 1 x 2 +2x 32 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 32，正惯性指数为2．故应选C．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设y=y(x)由方程所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－2π）解析：解析：由，将x=0代入，有y=1．再将所给方程两边对x求导，得x=0，y=1代入，得yˊ| x=0 =3，y″| x=0 =－2π．(－∞，+∞)内连续的充要条件是a= 1，b= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解析：应写出f(x)的分段表达式．在x=1处，所以在x=1处连续的充要条件是1=a+b=(1+a+b)．在x=－1处，所以在x=－1处连续的充要条件是－1=a－b=(－1+a+－b)．所解得a=0，b=1．12.设y=y(x)由y 3 +(x+1)y+x 2 =0及y(0)=0所确定，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：此未定式为“ ”型．求导中要用到yˊ(0)，y″(0)，先求出备用．由y 3+(x+1)y+x 2 =0，两边对x求导 3y 2yˊ+(x+1)yˊ+y+2x=0．以y(0)=0代入，得0+ yˊ(0)=0，有yˊ(0)=0．再求导，6y(yˊ) 2+3y 2y″+ yˊ+(x+1)y″+ yˊ+2x=0．以y(0)=0，yˊ(0)=0代入，有0+0+0+ y″+0+2=0，y″(0)=－2．则13.设y″的系数为1的某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解为y 1* =(1－x+x 2 )e x与y 1* = x 2 e x则该微分方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y″－2yˊ+y=2e x）解析：解析：y 1*－y 2* =(1－x) e x为对应的二阶常系数齐次线性方程的一个解，故知r=1是该齐次方程对应的特征方程的二重特征根，故特征方程为 r 2－2r+1=0，所以该二阶常系数齐次微分方程为y″－2yˊ+y=0，设该非齐次方程为y″－2yˊ+y=f(x)．将y 2* =x 2 e x代入上述方程的左边，得 f(x)=2e x所以该微分方程为y″－2yˊ+y==2e x．14.设fˊ(lnx)=xlnx，则f (n) (x)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e x (x+n－1)）解析：解析：由fˊ(lnx)=xlnx，则fˊ(x)=xe x．由莱布尼茨高阶导数乘法公式．有 f (n) (x)=(xe x ) ( n －1) =e x x+Cn－11 e x·(x)ˊ+0=e x (x+n－1)．15.A，B等价，则参数t应满足条件 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：t=4）解析：解析：A≌B〈=〉r(A)=r(B)．现由知r(B)=2r(A)=r(B)=2，故t=4．三、解答题(总题数：10，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学模拟试题数学二
1
1 y2
（ B ） 2 dy 0
1 y2 f ( x, y )dx
1
1 y2
（ D） 2 dy
f ( x, y)dx
0
0
f ( x, y)dxdy
x2 y2 1
2
f ( x, y)dxdy
x2 y 2 1, y 0
1
2 dy 0
1 y2
1 y2 f (x, y)dx .
4.微分方程 y 2 y x e2x 的特解 y* 形式为（） .
mg kv2， dv dt
kv 2
g
，
m
记 a2
g,b2
k dv
，
m
积分得
1
bv arctan
t
ab
a
a2
b2 v2 ，
dv a 2 b2 v2
C ， t 0 时， v v0 ，故 C
dt ，
1 arctan bv0 ，
ab
a
1
bv
arctan
ab
a
t 1 arctan bv0 ，
ab
a
令 v 0 ，得上升到最高点的时间为 t1 1 arctan bv0
.
zy
解 答案为 xf3 x 2 yf32 x 2 yzf33 . u xyf 3 z 2u z y xf3 xy( f 32 x f33 xz) xf3
x2 yf32
x 2 yzf33
yx
x
11.设微分方程 y
( ) 的通解为 y
，则 ( x)
.
x
y
ln Cx
解 答案为
1
x
x2 . 将 y
代入微分方程，得
2022考研数学二模拟试卷二答案解析
4
解 由题意知 r( A) 1，A 对称, 从而 A* 也对称.又因为 A (1,1,,1)T 3(1,1,,1)T ，所以 A*
的特征值为 3, 0, 0,, 0 , 对称阵不同的特征值对应的特征向量正交， Ax 0 的解与特征值 3 对应
的特征向量 (1,1, ,1)T 正交， Ax 0 与 x1 x2 x3 xn 0 同解. Ax 0 的通解为 x k1(1,1, 0,, 0)T k2 (1, 0,1,, 0)T kn1(-1,0,0,,1)T，ki 为任意实数．
(9) 答案：选（A）.
解 记 A (1,2,3,4 ) ，由已知的向量表示可知
0 1 2 1
(1,2 ,3,4 )
(1,2 ,3,4 )
1 2
0 2
1 0
4 1
，
1
5
4
0
记作 A AB ，从而 A(B E) O ，故 r(A) r(B E) 4 ，又 r(B E) 3 ，故 r(A) 1.再因为
解
z x
f1
f2
，
z y
cf1
cf
2
；
2z x2
f11 2 f12
f
22
，
2z y 2
c2
f11
c2
f12
c2
f
21
c2
f
22
c2 f11
2c2
f12
c2
f
22
，
2z x2
1 c2
2z y 2
4
f12.
（14）答案：填 .
解 F(t)
f (x 2 y 2)dxdy 2 d t f (r 2)rdr 2 t f (r 2)rdr ，所以
考研数学模拟试卷(数学二)(附答案,详解)
考研数学模拟试卷（数学二）（附答案，详解）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设()f x 在(,)-∞+∞内是可导的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（ ）. （A ）sin ()f x '（B ）sin ()x t f t dt ⋅⎰（C ）(sin )x f t dt ⎰（D ）[sin ()]x t f t dt +⎰2.设111e ,0,()1e 1,0,x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩ 则0x =是()f x 的（ ）.（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）连续点 3.若函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内可导，且()()f x g x <，则必有（ ）. （A ）()()f x g x ->- （B ）()()f x g x ''< （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）()()x xf t dtg t dt <⎰⎰4.设()f x 是奇函数，除0=x 外处处连续，0=x 是其第一类间断点，则⎰xdt t f 0)(是（ ）.（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在0=x 间断的奇函数 （D ）在0=x 间断的偶函数. 5.函数x x x x x f ---=32)2()(不可导点有（ ）. （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个.6.若)(),()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)('>x f ，0)(''<x f ，则()f x 在),0(+∞内 有（ ）.（A ）0)('>x f ，0)(''<x f （B ）0)('>x f ，0)(''>x f（C ）0)('<x f ，0)(''<x f （D ）0)('<x f ，0)(''>x f7. 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=.若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.(A) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C) 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 8.设3阶方阵A 的特征值是1,2,3，它们所对应的特征向量依次为123,,ααα，令312(3,,2)P ααα=，则1P AP -=（ ）.（A ）900010004⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）300010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100040009⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 设()f x 二阶可导，2)0(",1)0(',0)0(===f f f ，则2()limx f x xx→-= . 10.微分方程(e 1)1xy y -'+-=的通解为 . 11.曲线xx xx y cos 25sin 4-+=的水平渐近线为 .12. 设()f x 是连续函数，且1()2()f x x f t dt =+⎰，则()f x = .13.若0sin lim(cos )5x x xx b e a→-=-，则=a ，=b .14.设A 为n 阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组0Ax =的通解为 . 三、解答题（本题共9小题，满分94分。
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(A) (B)
(C) (D)
(3)若 是奇函数， 是偶函数，则 （）
（A）必是奇函数（B）必是偶函数
（C）是非奇非偶函数（D）可能是奇函数也可能是偶函数
(4)设 ，则（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
(5)下列说法中正确的是（）
（A）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大；
（B）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小；
解： 有非零解，充要条件是 ，由此即可找到答案。
（8）D
解： = =
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
（9）应填 。
解：由 ， 得
(10)应填
解：令 ，原方程变为
方程两边对 求导得
再两边对 求导得 ，即
由 得 ，故
(11)应填
(12)应填
解：由
其中
利用分部积分法，有
（C）无解；（D）可能有唯一解，也可能有无穷多解
(8)设 均是 阶可逆矩阵，则行列式 的值为
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
(9)已知 ， ，则 。
(10)方程 满足 的特解为。
(11) 。其中 为 。
(12)设 有一个原函数为 ，则 。
(16)（本题满分10分）
解：本题积分区域利用极坐标表示
原式
(17)（本题满分10分）证明：作函数 ，有
。
所以由积分中值定理，存在 ，
使 即 。
又 ，所以，由极限的保号性，存在 ，
使 ，即 。
因此，由介值定理，至少存在一个 ，使 ，即 。
(18)（本题满分10分）
解：设 ， ，则
解得：
解得：
所以 =0
（C）有界函数与无穷大之和必为无穷大；
（D）无界函数与无界函数的乘积必无解；
(6)设线性无关的函数 都是二阶线性非齐次方程 的解， 为任意常数，则该方程的通解是（）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D） ；
(7)设 是 阶矩阵，齐次线性方程组（I） 有非零解，则非齐次线性方程组（II） ，对任何
（A）不可能有唯一解；（B）必有无穷多解；
（II）若要 在 处可导，则必须 在 处连续（ ），且
所以
所以 ， 时， 在 处可导
(21)（本题满分10分）解：设 为所给椭圆上任一点，则可求得在 处的切线方程为
它与两坐标轴的交点为 和 。
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为
则只须求 在条件 下的极值即可。
设
由
解得 或 。
由此分别求的 或
所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为
（II） 、 为何值时 在 处可导？
(21)（本题满分11分）过椭圆 上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(22)（本题满分11分）设 是实矩阵。证明：（I） 与 是同解方程组；（II）秩 =秩
(23)（本题满分11分）设 为三阶方阵， 为三维线性无关列向量组，且有 ， ， 。求
(13)若 ，则 =。
(14)设 是三阶矩阵，已知 ， 与 相似，则 的相似对角形为。
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）求 。
(16)（本题满分10分）计算 。
(17)（本题满分10分）设 在 连续，且 ， 。证明：至少 ，使得 。
(18)（本题满分10分）设函数 由方程 所确定，其中 有一阶连续偏导数，求 。
故
故原式
(13)应填
解：由于
所以
(14)应填 【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】
解：由 ，知 的特征值为 ，相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值也为 ，故 相似的标准形为
三、解答题15~23小题，共94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)（本题满分10分）解：
由
所以
又由 线性无关，得 ， ， 也线性无关，所以 是矩阵 的二重特征值，即 得全部特征值为 ,2
(22)（本题满分11分）证明：若 是 的解，显然 是 的解；反之，设 是 的解，则 。即 ，从而
，于是 ，即 是 的解。 与 是同解方程组
（II）既然 与 是同解方程组，两者的解空间维数相同，从而推知秩 =秩
(23)（本题满分11分）
解：（I）由已知得， ， ， ，
又因为 线性无关，所以 ， ，
所以 ,2是 的特征值， ， ， 是相对应的特征向量。
（I）求 的全部特征值。（II） 是否可以对角化？
考研数学二模拟题参考答案
二、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）C
解：由
所以
由
。故C成立。
（2）B
解：由于函数可导（除 ）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 轴有且仅有两个交点，故A，C不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故D不正确。
（3）B
解：设 ，则
（4）A
解： ，因 ，则
，故 。而
，故 ，所以
【也可以用泰勒公式计算】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（5）C
设 在 内有界，即 ； ， ，即 ， ，使当 时， 。则 ，即对 ，当 时， ，故
（6）D
由 都是已知方程的线性无关的解知 是二阶线性齐次方程 的通解；根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为
（7）A
(19)（本题满分10分）一个瓷质容器，内壁和外壁的形状分别为抛物线 和 绕 轴的旋转面，容器的外高为10，比重为 。把它铅直地浮在水中，再注入比重为3的溶液。问欲保持容器不沉没，注入液体的最大深度是多少？（长度单位为厘米）
(20)（本题满分11分）设 ，其中 在 处二阶可导，且 。
（I） 、 为何值时 在 处连续？
(19)（本题满分10分）解：设容器体积为 ，容器的容积即由抛物线 在 上绕 轴旋转所得立体的体积 ，则
，
所以，容器重量为
设注入液体的最大深度为 ，则注入液体的重量为
若液体和容器形成一体的比重为1，则可保持其在水中不沉没
所以，由 ，可得 ，
(20)解：（I）
若要 在 处连续，必须 ，即
故 ， 为任意实数时， 在 处连续。
考研数学二模拟题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
（1）当 时，设 ， ， ，把三个无穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ；
（2）设函数 在 内连续，在 内可导，函数 的图像为