考研数学模拟测试题及答案解析数三

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考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设f(x)是(一∞,+∞)内以T为周期的连续奇函数,则下列函数中不是周期函数的是( ).A.f(t)dtB.f(t)dtC.f(t)dtD.tf(t)dt正确答案:D解析:因f(x)是周期为T的连续周期奇函数,则其原函数也是周期函数.据此,可知(A)、(B)、(C)中的函数都是周期函数.但(D)中变项积分不是f(x)的原函数,因而不是周期函数.解一(D)中函数不是周期函数.事实上,令φ(x)=tf(t)dt,则故(D)中函数不是周期函数.解二下证(A)、(B)、(C)中函数均是周期函数.对于(A),令g(x)=f(t)dt,则对于(B),令h(x)=f(t)dt,则故h(x)=h(x+T).同法可证均是周期为T的周期函数,故其差也是周期为T的周期函数.仅(D)入选.2.若直线y=x与对数曲线y=logax相切,则a=( ).A.eB.1/eC.eeD.ee-1正确答案:D解析:两曲线相切即两曲线相交且相切,而两曲线相切就是在切点导数值相等,相交就是在交点(切点)其函数值相等.据此可建立两个方程求解未知参数.由y′=1=(logax)=该点也在曲线y=logax上,于是有故=lna,所以a=ee -1.仅(D)入选.3.设f(x)g(x)在点x=0的某邻域内连续,且f(x)具有一阶连续导数,满足=0,f′(x)=一2x2+g(x一t)dt,则( ).A.x=0为f(x)的极小值点B.x=0为f(x)的极大值点C.(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点D.x=0不是f(x)的极值点,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案:C解析:由f′(x)的表示式易知f′(0)=0,为判定选项的正确性,只需考察.f″(0)的符号的有关情况,为此计算,看其是否等于非零常数.由有f″(x)=-4x+g(x),则=-4+0=-4,可见在x=0的两侧因x变号,f″(x)也变号,因而(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点.仅(C)入选.4.计算二重积分I==( ).A.π2/32B.-π2/32C.π/16D.π/4正确答案:A解析:由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示.由于积分区域为圆域的一部分,且被积函数又为f(x2+y2),应使用极坐标求此二重积分.所给曲线为(y+1)2+x2=1的上半圆周,区域D如下图所示,其直角坐标方程为(y+1)2+x2≤1,即y2+x2≤一2y,将x=rcosθ,y=rsinθ代入得到极坐标系下的方程r2≤一2rsinθ,即r≤一2sinθ.于是D={(r,θ)|-π/4≤θ≤0,0≤r≤一2sinθ},则仅(A)入选.5.设四阶行列式D=,则第3列各元素的代数余子式之和A13+A23+A33+A34=( ).A.3B.一3C.2D.1正确答案:B解析:尽管直接求出每个代数余子式的值,再求其和也是可行的,但较繁,一般不用此法.因行列式D中元素aij的代数余子式Aij与aij的值无关,仅与其所在位置有关.常用此性质构成新行列式,利用行列式性质求出各元素的代数余子式的线性组合的值.将行列式D的第3列元素换为1,1,1,1,则6.设A是四阶方阵,A*是A的伴随矩阵,其特征值为1,一1,2,4,则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ).A.A—EB.2A—EC.A+2ED.A一4E正确答案:A解析:利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系:|A|=λ1λ2…λn判别之,其中λi为A的特征值.解一设A*的特征值为,则于是|A*|=1.(-1).2.4=-8,因而|A|4-1=|A*|,故|A|3=-8,即|A|=-2,所以A的特征值为因而A-E的特征值为μ1=-2-1=-3,μ2=2-1=1,μ3=-1-1=-2,μ4=-1/2-1=-3/2,故|A-E|=μ1.μ2.μ3.μ4=-9≠0,所以A-E可逆.解二由A的特征值易求得其他矩阵2A+E,A+2E,A-2E的特征值分别都含有零特征值,因而其行列式等于0,它们均不可逆.仅(A)入选.7.已知随机变量(X,Y) 的联合密度函数为则t的二次方程t2一2Xt+Y =0有实根的概率为( ).A.eB.e-1C.e-2D.e2正确答案:B解析:先找出有实根的X与Y所满足的条件,再在此条件范围内求出其概率.因二次方程t2一2Xt+Y=0有实根的充要条件为4X2一4Y≥0,即X2≥Y,如下图所示,故所求概率为8.设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列,Xn服从参数为n(n=1,2,…)的指数分布,则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( ).A.X1,X2,…,Xn,…B.X1,22X2,…,n2Xn,…C.X1,X2/2,…,Xn/n,…D.X1,2X2,…,nXn,…正确答案:B解析:根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别.切比雪夫大数定律要求三个条件:首先是要求X1,X2,…,Xn相互独立;其次是要求Xn(n=1,2,…)的期望和方差都存在;最后还要求方差一致有界,即对任何正整数n,D(Xn)<L,其中L是与n无关的一个常数.题中四个随机变量序列显然全满足前两个条件,由于对于(A),有对于(B),有E(n2Xn)=n2E(Xn)=n2.=n,D(n2Xn)=n4D(Xn)=n4.=n2;对于(C),有对于(D),有E(nXn)=nE(Xn)=n.=1,D(nXn)=n2D(Xn)=n2.=1.显然(B)序列的方差D(n2Xn)不能对所有n均小于一个共同常数,因此不满足切比雪夫大数定律.综上分析,仅(B)入选.填空题9.若函数y=[f(x2),其中f为可微的正值函数,则dy=_________.正确答案:解析:y为幂指函数,为求其导数,可先用取对数法或换底法处理,再用复合函数求导法则求之.因为y=,于是故dy=y′dx=[2f′(x2)(f(x2)lnf(x2))]dx.10.=_________.正确答案:arctane—π/4解析:分母提取因子n,再使用定积分定义求之.原式==arctanex=arctane—π/4.11.e-y2dy=___________.正确答案:解析:直接先求内层积分无法求出.可变更积分次序,再用Γ函数计算较简;也可用分部积分法求之.解—解二12.差分方程yx+1一的通解是___________.正确答案:解析:先求对应的齐次差分方程的通解,再求特解.齐次差分方程yx+1-yx=0的特征方程为λ-=0,解得特征根λ=,故齐次差分方程的通解为C()x 因a=(特征根不等于底数),故其特解为,代入原方程得A=.故所求通解为13.设随机变量X和Y的联合概率分布为则X和Y的协方差cov(X,Y)=_________.正确答案:0.056解析:由定义或同一表格法分别求出X,Y与XY的分布,再求其期望.解一由表易知因此E(X)=0×0.40+1×0.60=0.60,E(Y)=(一1)×0.18+0×0.50+1×0.32=0.14.E(XY)=(-1)×0.08+0×0.70+1×0.22=0.14.从而cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.056.解二用同一表格法求之.为此将所给的联合分布改写成下表,并在同一表格中求出X,Y及XY的分布.故下同解一.14.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(0,σ2)(σ>0)的简单随机样本,Xi(1≤k≤n),则cov()=___________.正确答案:解析:利用协方差的有关性质,特别是线性性质求之.由于Xi,Xj(i≠j)独立,cov(Xi,Xj)=0,又cov(Xi,Xj)=D(Xi)=σ2,则解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学三)模拟试卷440(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷440(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷440(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设f(χ)在χ=1的某邻域内连续,且则χ=1是f(χ)的( ).A.不可导点B.可导点但不是驻点C.驻点且是极大值点D.驻点且是极小值点正确答案:C解析:因为f(χ)在χ=1连续,所以f(χ+1)=f(1),由知ln[f(χ+1)+1+3sin2χ]=ln[f(1)+1]=0,即f(1)=0.则当χ→0,ln[f(χ+1)+1+3sin2χ]~f(χ+1)+3sin2χ,推得原式==4,即=2-3=-1,于是所以χ=是f(χ)的驻点.又由=-1,以及极限的保号性知当χ∈(1)时,<0,即f(χ)<0,也就是f(χ)<f(1).所以f(1)是极大值χ=1是极大值点.故应选C.2.设在区间[a,b]上,f(χ)>0,f′(χ)<0,f〞(χ)>0,令S1=∫abf(χ)d χ,S2=f(b)(b-a),S3=[f(a)+f(b)](b-a),则( ).A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S3<S1<S2D.S2<S3<S1正确答案:B解析:由f′(χ)<0,f〞(χ)>0知曲线y=f(χ)在[a,b]上单调减少且是凹的,于是有f(b)<f(χ)<f(a)+(χ-a),χ∈(a,b).∫ABf(b)dχ=f(b)(b -a)=S2,所以,S2<S1<S3 故应选B.3.设z=f(u),方程u=φ(u)+∫yχp(t)dt确定是χ,y的函数,其中f(u),φ(u)可微,p(t),φ′(u)连续且φ′(u)≠1,则=( ).A.p(χ)B.p(y)C.0D.z正确答案:C解析:方程u=φ(u)+∫yχp(t)dt两端分别关于χ,y求偏导数,得由z=f(u)可微,得故应选C.4.设D是由直线χ=-1,y=1与曲线y=χ3所围成的平面区域,D1是D在第一象限的部分,则I==( ).A.2χydσB.2sinydσC.D.0正确答案:B解析:积分区域D如图5—2所示:被分割成D1,D2,D3,D4四个小区域,其中D1,D2关于y轴对称,D3,D4关于χ轴对称,从而由于χy关于χ或y都是奇函数,则而siny关于χ是偶函数,关于y是奇函数,则故应选B.5.设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵,又知方程组Aχ=0的基础解系为(1,0,2,0)T,则方程组A*χ=0基础解系为( ).A.α1,α2,α3B.α1+α2,α2+α3,α3+α1C.α2,α3,α4或α1,α2,α4D.α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1正确答案:C解析:由Aχ=0的基础解系仅含有一个解向量知,R(A)=3,从而R(A*)=1,于是方程组A*χ=0的基础解系中含有3个解向量.又A*A=A*(α1,α2,α3,α4)=|A|E=O,所以向量α1,α2,α3,α4是方程组A*χ=0的解.因为(1,0,2,0)T是Aχ=0的解,故有α1+2α3=0,即α1,α3线性相关.从而,向量组α1,α2,α3与向量组α1,α2,α3,α4均线性相关,故排除A、B、D选项.事实上,由α1+2α3=0,得α1=0α2-2α3+0α4,即α1可由α2,α3,α4线性表示,又R(α1,α2,α3,α4)=3,所以α2,α3,α4线性无关,即α2,α3,α4为A*χ=0的一个基础解系.故应选C.6.设A,B为挖阶矩阵,下列命题成立的是( ).A.A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆B.R(A)<n与R(B)<n均成立的充要条件是R(AB)<nC.Aχ=0与Bχ=0同解的充要条件是A与B等价D.A与B相似的充要条件是E-A与E-B相似正确答案:D解析:A与B类似,故均错误,而C仅是必要而非充分条件,故应选D.事实上,若A~B,则由相似矩阵的性质知E-A~E-B;反之,若E-A~E-B,则E-(E-A)~E-(E-B),即A~B.对于选项A,若A与B均不可逆,则|A|=|B|=0,从而|AB|=|A||B|=0,即AB不可逆,但若AB不可逆,推出A与B均不可逆,如A=E,B=,则AB=B不可逆,但A可逆.对于选项B,与选项A 相近,由于R(AB)≤min{R(A),R(B)},故若R(A)<n与R(B)<n均成立,则R(AB)<n但反之,若R(AB)<n,推不出R(A)<n或R(B)<n,如A=E,B=,则R(AB)=R(B)=1<2,但R(A)=2.对于选项C,由同型矩阵A与B等价R(A)=R(B)可知,若Aχ=0与Bχ=0同解,则A与B等价;但反之不然,如A=,B=,则A,B等价,但Aχ=0与Bχ=0显然不同解.故应选D.7.设随机变量X~N(μ,42),Y=N(μ,52),记P1=P{X≤μ-4},P2=P{Y≥μ+5},则( ).A.对任意实数μ,有P1=p2B.对任意实数μ,有P1<p2C.对任意实数μ,有p1>p2D.对μ的个别值,有P1=p2正确答案:A解析:由于~N(0,1),~N(0,1),所以故p1:p2,而且与μ的取值无关.故应选A.8.设随机变量X的概率密度为f(χ)=表示对X的3次独立重复观测中事件{X≤}发生的次数,则P(Y≤2)=( ).A.B.C.D.正确答案:C解析:故P{Y≤2}=1-P{Y-3}=1-.故应选C.填空题9.∫arctan(1+)dχ=_______.正确答案:解析:令=t,则χ=t2,所以∫arctan(1+)dχ=∫arctan(1+t)dt2=t2arctan(1+t)-=t2arctan(1+t)-∫(1-)dt =t2arctan(1+t)-t+ln(2+t2+2t)+C =χarctan+C.故应填10.没函数y=y(χ)由方程χef(y)=eyln29确定,其中f具有二阶导数且f′≠1,则=_______.正确答案:解析:方程两边取自然对数,得lnχ+f(y)=y+ln(ln29),方程两边对χ求导,得+f′(y).y′=y′,解得y′=则y〞=11.设四次曲线y=aχ4+bχ3+cχ2+dχ+f经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点.该曲线上点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4),则该四次曲线的方程为y=_______.正确答案:解析:因曲线经过(0,0)点,则f=0;①又经过(3,2)点,所以y|χ=3=81a+27b+9c+3d+f=2;②又因为(3,2)是拐点,所y〞|χ=3=(12aχ+6bχ+2c)|χ=3=108a+18b+2c=0;③又因为经过(0,0)的切线斜率为=2,所以y′|χ=0=(4aχ3+3bχ2+2cχ+d)|χ=0=d=2;④经过点(3,2)的切线斜率为=-2,所以y′|χ=3=(4aχ+3bχ+2cχ+d)|χ=3=108a+27b+6c+d=-2.⑤联立解①~⑤得a=,b=-,c=,d=2,f=0.所以曲线方程为y=+2χ.故应填.12.差分方程yχ+1-的通解为_______.正确答案:yχ=,C∈R解析:齐次差分方程yχ+1-yχ=0的特征方程为λ-=0,解得λ=.故齐次差分方程的通解为C.设特解为yχ*=A,代入原方程得A=.故所求通解为yχ=,C∈R.故应填yχ=,C∈R.13.设A是3阶实对称矩阵,且满足A2+2A=O,若kA+E是正定矩阵,则k_______.正确答案:小于或<解析:由A2+2A=O知,A的特征值是0或-2,则kA+E的特征值是1-2k+1.又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于0,所以,k<.故应填小于.14.设E(X)=2,E(y)V1,D(X)=25,D(y)=36,ρXY=0.4,则E(2X -3Y+4)2=_______.正确答案:305解析:E(2X-3Y+4)2=D(2X-3Y+4)+[E(2X-3Y+4)]2 =4D(X)+9D(Y)+2Cov(2X,-3Y)+[2E(X)-3E(Y)+4]2=305.故应填305.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学三)模拟试卷280(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷280(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点,则k的取值范围为A.|k|>2.B.|k|>1.C.|k|<1.D.|k|<2正确答案:A解析:f(x)为三次多项式,至少有一个零点y=f(x)只有以下三种情形f(x)只有一个零点同号f(一1),f(1)>0k>2;f(一1),f(1)k|k|>2.故选A.2.设函数则f10(1)=A.101×210B.111×211.C.一101×210.D.一101×211正确答案:C解析:故选C.3.在反常积分①②③④中收敛的是A.①,②B.①,③C.②,④D.③,④正确答案:B解析:由题设选项可知,这4个反常积分中有两个收敛,两个发散.方法1。

找出其中两个收敛的.①由知①收敛③知③收敛.因此选B.方法2。

找出其中两个发散的.对于②:由而发散,知发散,即②发散.④由可知发散,即④发散.故选B.4.下列级数中属于条件收敛的是A.B.C.D.正确答案:D解析:【分析一】A,B,C不是条件收敛.由其中收敛,发散→A发散.由其中均收敛→B绝对收敛.由→C绝对收敛.因此应选D.【分析二】直接证明D条件收敛单调下降趋于零(n→∞)→交错级数收敛.又而发散→发散→D条件收敛.故应选D.5.设A是m×n矩阵,且方程组Ax=b有解,则A.当Ax=b有唯一解时,必有m=n.B.当Ax=b有唯一解时,必有r(A)=nC.当Ax=b有无穷多解时,必有m<n.D.当Ax=b有无穷多解时,必有r(A)<m.正确答案:B解析:方程组Ax=b有唯一解的列数,所以B正确.注意方程组有唯一解不要求方程的个数,n和未知数的个数n必须相等,可以有m>n.例如方程组Ax=b 有无穷多解的列数.当方程组有无穷多解时,不要求方程的个数必须少于未知数的个数,也不要求秩r(A)必小于方程的个数,例如6.下列矩阵中不能相似对角化的是A.B.C.D.正确答案:C解析:A~AA有n个线性无关的特征向量.记C项的矩阵为C,由可知矩阵C的特征值为λ=1(三重根),而那么n—r(E—C)=3—2=1.说明齐次线性方程组(E—C)x=0只有一个线性无关的解,亦即λ=1只有一个线性无关的特征向量,所以C不能对角化.故选C.7.设随机变量X的密度函数为且已知,则θ=A.3B.ln3C.D.正确答案:C解析:本题有两个参数,先由密度函数的性质确定k的值,再由已知概率确定θ的值.故即又所以故选C.8.设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A.B.C.D.正确答案:D解析:由于可知X~(一3,2),而A,B,C三个选项都不符合,只有D符合,可以验证即填空题9.=__________.正确答案:解析:【分析一】于是【分析二】其中用到了从(*)式也可以再用罗毕达法则.10.x轴上方的星形线:与x轴所围区域的面积S=________.正确答案:解析:x轴上方的星形线表达式为11.若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x,且f(0)=8,则f(x)=________.正确答案:解析:令t=cosx+2→cosx=t-2,cos2x=(t-2)2由因此12.一阶常系数差分方程yt+1一4t=16(t+1)4t满足初值y0=3的特解是yt=___________.正确答案:(2t2+2t+3)4t.解析:应设特解为yt=(At2+Bt+c)B,C其中A,B,C为待定常数.令t=0可得y0=C,利用初值y0=3即可确定常数C=3.于是待求特解为yt=(At2+Bt+3)4t.把yt+1=[A(t+1)2+B(t+1)+3]4t+1=4[At2+(2A+B)t+4+B+3]4t与yt代入方程可得yt+1—4yt=4(2At+A+B)4t,由此可见待定常数A与B应满足恒等式4(2At+A+B)≡16(t+1)A=B=2.故特解为yt=(2t2+2t+3)4t.13.已知.A*是A的伴随矩阵,则=________.正确答案:解析:因为AA*=A*A=|A|E,又所以于是14.设X1,X2,…,Xn+1是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,则服从____________分布.正确答案:解析:由于Xi(i=1,2,…,n+1)均来自同一总体,且相互独立.故EXi=p,DXi=σ2,Y是X的线性组合,故仍服从正态分布.所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学三)模拟试卷485(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷485(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷485(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设当x→0时,esin x-ex与xn是同阶无穷小,则n的值为( )A.1。

B.2。

C.3。

D.4。

正确答案:C解析:本题考查同阶无穷小的概念。

利用sin x的泰勒展开式计算极限,从而确定n的值。

根据同阶无穷小的定义,因此n=3,此时。

故本题选C。

2.设(k=1,2,3),则有( )A.M1>M2>M3。

B.M3>M2>M1。

C.M2>M3>M1。

D.M2>M1>M3。

正确答案:D解析:本题考查定积分的比较。

根据定积分的线性性质可以将M2和M3分别化为,对于M3,可以利用公式cos(x+π)=-cosx化简定积分。

通过比较被积函数在积分区间的正负比较Mk(k=1,2,3)的大小。

根据积分区间的可加性,因此M2>M1>M3,故本题选D。

3.已知dx(x,y)=[ax2y2+sin(2x+3y)]dx+[2x3y+bsin(2x+3y)]dy,则( )A.B.C.D.正确答案:A解析:本题考查多元函数偏导数。

分别求出,观察这两个混合偏导数是否连续,如果连续,则两者相等,利用对应项系数相等的性质得出a和b的值。

由dx(x,y)=[ax2y2+sin(2x+3y)]dx+[2x3y+bsin(2x+3y)]dy可知上面第一个式子对y求偏导,第二个式子对x求偏导,得2ax2y+3cos(2x+3y)=6x2y+2bcos(2x+3y) 观察对应项系数,可得a=3,。

故本题选A。

4.级数( )A.绝对收敛。

B.条件收敛。

C.发散。

D.无法判断。

正确答案:B解析:本题考查数项级数的敛散性。

首先判断是否收敛,如果收敛,则原级数绝对收敛;如果发散,再判断是否收敛,如果收敛,则原级数条件收敛;否则原级数发散。

设先判断的敛散性,因为,且调和级数发散,则由比较审敛法可知发散。

考研数学三试题讲解及答案

考研数学三试题讲解及答案

考研数学三试题讲解及答案模拟试题:考研数学三一、选择题(每题3分,共30分)1. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f'(x) > 0,则f(x)在该区间内是:A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,那么P(X=k)等于:A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. e^(-λ) * λ^k / k!D. e^(-λ) * k * λ^k3. 对于连续型随机变量X,其概率密度函数f(x)的下列性质中,错误的是:A. f(x) ≥ 0B. ∫[-∞, +∞] f(x) dx = 1C. P(a < X ≤ b) = ∫[a, b] f(x) dxD. E(X) = ∫[-∞, +∞] x * f(x) dx4. 设矩阵A为n阶可逆矩阵,且B=2A,则矩阵B的行列式|B|等于:A. |A|B. 2 * |A|C. 4 * |A|D. 2^n * |A|5. 设曲线C1: y = x^2 和曲线C2: y = 1/x 在它们交点处的切线方程分别为l1和l2,若l1与l2关于y轴对称,则交点的横坐标为:A. 1B. -1C. 2D. -26. 已知函数F(x) = ∫[a, x] f(t) dt,其中f(x)为连续函数,则F(x)是:A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 常数函数D. 既不是单调递增也不是单调递减函数7. 设数列{an}满足an+1 = 1/3an + 2/3,证明数列{an}是单调递增数列,需要使用:A. 作差法B. 作商法C. 定义法D. 放缩法8. 对于函数y = ln(cos x),在区间(0, π/2)内:A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增9. 设f(x)在区间[a, b]上连续,如果对于任意的x∈[a, b],都有f(x) ≥ 1/x,则:A. f(x)在[a, b]上一定存在零点B. f(x)在[a, b]上一定存在最大值C. f(x)在[a, b]上一定存在最小值D. f(x)在[a, b]上不一定存在最小值10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x,当x > 1时,f(x)的最小值是:A. -2B. 0C. 2D. 3答案:1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. A8. B9. C10. A二、填空题(每题4分,共20分)11. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 6,当x ∈ [1, +∞)时,f(x)的最大值是________。

考研数学(数学三)模拟试卷360(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷360(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷360(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.=A.1.B..C..D.一1.正确答案:B解析:2.函数f(x)=cosx+xsinx在(一2π,2π)内的零点个数为A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.正确答案:D解析:3.设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)+f(1一x)≠0,则=A.0.B..C..D.1.正确答案:B解析:该积分不可能直接计算,需作变量替换得出一个类似的积分,二者合并后消去f(x).令1一x=t,x=1一t则4.设函数f(r)当r>0时具有二阶连续导数,令,则当x,y,z与t不全为零时=A.B.C.D.正确答案:C解析:5.已知,则代数余子式A21+A22=A.3.B.6.C.9.D.12.正确答案:B解析:6.已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是A.如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关.B.如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,那么α1,α2,α4也线性相关.C.如果α3不能由α1,α2线性表出,α4不能由α2,α3线性表出,则α1可以由α2,α3,α4线性表出.D.如果秩r(α1,α1+α2,α2+α3)=r(α4,α1+α4,α2+α4,α3+α4),则α4可以由α1,α2,α3线性表出.正确答案:B解析:例如α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,2,0)T,α4=(0,0,1)T,可知(B)不正确.应选(B).关于(A):如果α1,α2,α3线性无关,又因α1,α2,α3,α4是4个3维向量,它们必线性相关,而知α4必可由α1,α2,α3线性表出.关于(C):由已知条件,有(I)r(α1,α2)≠r(α1,α2,α3),(Ⅱ)r(α2,α3)≠r(α2,α3,α4).若r(α2,α3)=1,则必有r(α1,α2)=r(α1,α2,α3),与条件(I)矛盾.故必有r(α2,α3)=2.那么由(Ⅱ)知r(α2,α3,α4)=3,从而r(α1,α2,α3,α4)=3.因此α1可以由α2,α3,α4线性表出.关于(D):经初等变换有(α1,α1+α2,α2+α3)→(α1,α2,α2+α3)→(α1,α2,α3),(α4,α1+α4,α2+α4,α3+α4)→(α4,α1,α2,α3)→(α1,α2,α3,α4),从而r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,α4).因而α4可以由α1,α2,α3线性表出.7.在区间(一1,1)上任意投一质点,以X表示该质点的坐标.设该质点落在(一1,1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,则A.X与|X|相关,且相关系数|ρ|=1.B.X与|X|相关,但|ρ|<1.C.X与|X|不相关,且也不独立.D.X与|X|相互独立.正确答案:C解析:8.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,,则当n→∞时Yn以正态分布为极限分布,只要X1,…,Xn,…A.服从同一离散型分布.B.服从同一连续型分布.C.服从同参数的超几何分布.D.满足切比雪夫大数定律.正确答案:C解析:根据林德伯格一列维中心极限定理,如果X1,X2,…Xn,…相互独立同分布且期望、方差都存在,只有(C)满足该定理条件,因此应选(C).填空题9.与曲线(y一2)2=x相切,且与曲线在点(1,3)处的切线垂直,则此直线方程为__________.正确答案:解析:10.设,g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0).又F(x)=f[g(x)],则F’(0)=____________.正确答案:4e解析:11.累次积分=____________.正确答案:解析:12.设,其中f(u,v)是连续函数,则dz=___________·正确答案:解析:13.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量,那么矩阵A的特征向量是__________.正确答案:k(一1,1,1)T,k≠0为任意常数解析:“特征值不同特征向量线性无关”,已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量,故特征值λ0必是3重根,且秩r(λ0E—A)=2.由∑λi=∑aii 知3λ0=4+(一2)+1,得特征值λ=1(3重).又因为秩r(E一A)=2,因此有a=-2.此时(E一A)x=0的基础解系是(一1,1,1)T.故A的特征向量为k(一1,1,1)T,k≠0为任意常数.14.一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件,且第i个零件是不合格品的概率Pi=(i=1,2,3).则三个零件中合格品零件的期望值为__________·正确答案:解析:解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学(数学三)模拟试卷400(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷400(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷400(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设f(x)满足f”(x)+x[f’(x)]2—sin x,且f’(0)=0,则( )A.f(0)是f(x)的极小值.B.x(0)是f(x)的极大值.C.在点(0,f(0))左侧邻域内,曲线y=f(x)是凹的,右侧邻域内,曲线y=f(x)是凸的.D.在点(0,f(0))左侧邻域内,曲线y=f(x)是凸的,右侧邻域内,曲线y=f(x)是凹的.正确答案:D解析:由f”(x)+x[f’(x)]2=sin x,有f”(0)=0.再由f”‘(x)+[f’(x)]2+2xf’(x)f”(x)=cos x,得f”‘(0)=1,所以=1。

由极限的保号性知,存在x=0的去心邻域且x>0时,f”(x)>0.故应选(D).2.设f(x)在区间(—∞,+∞)上连续,且满足f(x)=∫0xf(x—t)sin tdt+x,则在(一∞,+∞)上,当x≠0时,f(x) ( )A.恒为正.B.恒为负.C.与x同号.D.与x异号.正确答案:C解析:作积分变量代换,令x—t=u,得f(x)=∫x0f(u)sin(x—u)d(一u)+x=∫0xf(u)sin(x一u)du+x =sin x.∫0xf(u)cos udu一cos x.∫0xf(u)sin udu+x,f’(x)=cos x.∫0xf(u)cos udu+sin x.cos x.f(x)+sin x.∫0xf(u)sin udu一cos x.sin x.f(x)+1 =cos x.∫0xf(u)cos udu+sin x.∫0xf(u)sin udu+1,f”(x)=—sin x.∫0xf(u)cos udu+cosx.f(x)+cos2x.∫0xf(u)sin udu+sin2x.f(x) =f(x)一f(x)+x=x.3.设f(x)=一sinπx+(3x—1)2,则在区间(一∞,+∞)上,f(x)的零点个数( )A.正好1个.B.正好2个.C.正好3个.D.多于3个.正确答案:B解析:f(0)=1>0,<0,f(1)=4>0,所以至少有2个零点.又f’(x)=一πcos πx+6(3x一1),f”(x)=π2sin πx+18>0,所以至多有2个零点,故正好有2个零点.4.设f(x)=x4sin+xcosx(x≠0),且当x=0时,f(x)连续,则( )A.f”(0)=0,f”(x)在x=0处不连续.B.f”(0)=0,f”(x)在x=0处连续.C.f”(0)=1,f”(x)在x=0处不连续.D.f”(0)=1,f”(x)在x=0处连续.正确答案:A解析:5.设A是n阶矩阵(n>1),满足Ak=2E,k>2,E是单位矩阵,A*是A 的伴随矩阵,则(A*)k ( )A.E.B.2E.C.2k—1E.D.2n—1E.正确答案:D解析:Ak=2E,|Ak|=|2E|=2n,|A|=,得A*=|A|A—1,则(A*)k=(|A|A—1)k=|A|k(Ak)—1=|A|k(2E)—1=|A|kE=2n—1E,故应选(D).6.设A是3阶矩阵,|A|=1,a11=一1,aij=Aij,其中Aij是A中元素aij的代数余子式,则线性非齐次方程组AX=的唯一解是( ) A.(1,0,0)T.B.(0,0,一1)T.C.(1,1,1)T.D.(一1,1,1)T.正确答案:A解析:将|A|按第1行展开,|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132,因|A|=1,a11=一1,故得a12=a13=A12=A13=0.故应选(A).7.设(X,Y)为二维连续型随机变量,则下列公式各项都有意义的条件下(Df(x,y)=fX(x)Y(x);②fX(x)=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x|y)dx;③fX|Y(x|y)=;④P{X<Y)=∫—∞+∞fX(y)fY(y)dy,其中FX(y)=∫—∞yfX(x)dx.必定成立的个数为( )A.1.B.2.C.3.D.4.正确答案:A解析:①需要独立条件才成立;②应该为fX(x)=∫—∞+∞f(x,y)dy=∫—∞+∞fY(y)fX|Y(x|y)dy;③fX|Y(x|y)成立;④需要独立条件.8.设随机变量X服从参数为1的指数分布,令Y=max{X,1},则EY= ( ) A.1.B.1+.C.1一.D..正确答案:B解析:填空题9.设f(x)=,则f[f(x)]=_________.正确答案:解析:由f(x)的表达式,有最后,分别写出自变量的取值范围,易见第4式中>1与x>1的交集为空集,故化简为如答案所示。

考研数学(数学三)模拟试卷480(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷480(题后含答案及解析)

考研数学(数学三)模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.设f(x)是(-∞,+∞)上连续的偶函数,且︱f(x)︱≤M当xε(-∞,+∞)时成立,则F(x)=是(-∞,+∞)上的( )。

A.无界偶函数B.有界偶函数C.无界奇函数D.有界奇函数正确答案:B解析:首先讨论F(x)的奇偶性,注意有可见F(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,这样就可以排除答案C和答案D。

其次讨论F(x)的有界性,因F(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,所以可限于讨论x≥0时F(x)的有界性,由于,由此可知,F(x)也是(-∞,+∞)上的有界函数,故应选B。

2.设f(x)=xex+1+,则f(x)在(-∞,+∞)内( )。

A.没有零点B.只有一个零点C.恰有两个零点D.恰有三个零点正确答案:C解析:求f’(x),分析其单调性区间,由于f’(x)=ex+1(x+1)①<0,x<-1,②=0,x=-1,③>0,x>-1,因此x=-1是f(x)的最小值点,且f(-1)=,又,由连续函数的介值定理知,在(-∞,-1)与(-1,+∞)内必存在f(x)的零点,又因f(x)在(-∞,-1)与(-1,+∞)均单调,所以在每个区间上也只能有一个零点,因此,f(x)在(-∞,+∞)恰有两个零点,故应选C。

3.设f(x)是区间上的正值连续函数,且I=,K=,若把I,J,K按其积从小到大的次序排列起来,则正确的次序是( )。

A.I,J,KB.J,K,IC.K,I,JD.J,I,K正确答案:D解析:用换元法化为同一区间上的定积分比较大小,为此在中令arcsinx=t,由于,且dx=d(sint)=costdt,代入可得。

与此类似,在K=中令arctanx=t,由于,且dx=d(tant)=,代入可得。

由f(x)>0且当时0<cosx<1,故在区间上f(x)cosx<f(x)<,从而积J<I<K,故应选D。

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2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)一、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。

(1)()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()baM xf x dx =⎰,01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰,则必有( )(A )M N ≥;(B )M N ≤;(C )M N =;(D )2M N =;(2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导,函数()y y x =的图像为则其导数的图像为( )(A) (B)(C) (D)(3)设有下列命题:①若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞=∑收敛; ②若1n n u ∞=∑收敛,则10001n n u ∞+=∑收敛;③若1lim1n n nu u +→∞>,则1n n u ∞=∑发散; ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛,则1n n u ∞=∑,1n n v ∞=∑收敛 正确的是( )(A )①②(B )②③(C )③④(D )①④(4)设220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=,则( ) (A )51,2a b ==-;(B )0,2a b ==-;(C )50,2a b ==-;(D )1,2a b ==-(5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0Ax =有非零解,则非齐次线性方程组(II )T A x b =,对任何12(,,)T n b b b b =L(A )不可能有唯一解; (B )必有无穷多解;(C )无解; (D )可能有唯一解,也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,则行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 (A )1(2)n A B --; (B )2T A B -; (C )12A B --; (D )12(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X L 为来自X 的样本,X 为样本均值,则( )(A )2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑; (B )2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑; (C )2212()~()2ni i X n χ=-∑; (D )221()~()2n i i X X n χ=-∑; (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ,若概率1()2P aX bY μ-<=则( )(A )11,22a b ==;(B )11,22a b ==-;(C )11,22a b =-=;(D )11,22a b =-=-;二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。

把答案填在题中的横线上。

(9)已知3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,2()arcsin f x x '=,则0x dy dx == 。

(10) 方程301()()3xx f x t dt x f t dt -=+⎰⎰满足(0)0f =的特解为 。

(11) 2222()Dx y d a b σ+=⎰⎰ 。

其中D 为221x y +≤。

(12)24610(1)1!2!3!x x x x dx -+-+=⎰L 。

(13)设A 是三阶矩阵,已知0,20,30A E A E A E +=+=+=,B 与A 相似,则B 的相似对角形为 。

(14) 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为 。

三、解答题15~23小题,共94分。

解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。

(15)(本题满分10分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式22222430u u u x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。

确定,a b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂。

(16) (本题满分10分)求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数;(17) (本题满分10分)设()f x 在[0,)+∞连续,且101()2f x dx <-⎰,()lim 0x f x x→+∞=。

证明:至少0,ξ∃∈(+∞),使得()f ξξ+=0。

(18) (本题满分10分)过椭圆223231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线,试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。

(19) (本题满分10分)设()0()0x f x e xx g x xax b x ⎧--<⎪=⎨⎪+≥⎩,其中()f x 在0x =处二阶可导,且(0)(0)1f f '==。

(I )a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续?(II )a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导? (20) (本题满分11分)(21)(本题满分11分)设A 为三阶方阵,123,,ααα为三维线性无关列向量组,且有123A ααα=+,213A ααα=+,312A ααα=+。

求(I )求A 的全部特征值。

(II )A 是否可以对角化?(22)(本题满分11分)设,A B 为相互独立的随机事件,已知()(01)P A p p =<<,且A 发生B 不发生与B 发生A 不发生的概率相等,记随机变量 (I )求(,)X Y 的联合分布律;(II )在0Y =的条件下,求X 的条件分布律; (Ⅲ)计算XY ρ.(23)(本题满分11分)设两随机变量(,)X Y 在区域D 上均匀分布,其中{(,):1}D x y x y =+≤,又设U X Y =+,V X Y =-,试求: (I )U 与V 的概率密度()U f u 与()V f v ; (II )U 与V 的协方差cov(,)U V 和相关系数UV ρ数三参考答案二、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。

(1) A解:设0()(),0xF x x f t dt x =>⎰,则所以,001()[()()]2b b a a M xf x dx b f x dx a f x dx N =≥+=⎰⎰⎰(2)B解:由于函数可导(除0x =)且取得两个极值,故函数有两个驻点,即导函数图像与x 轴有且仅有两个交点,故A ,C 不正确。

又由函数图像,极大值应小于极小值点,故D 不正确。

(3)B解:因级数10001n n u ∞+=∑是1n n u ∞=∑删除前1000项而得,故当1n n u ∞=∑收敛时,去掉有限项依然收敛,因此10001n n u ∞+=∑收敛,若1lim1n n nu u +→∞>,则存在正整数N ,使得n N ≥是,n u 不变号。

若0n u >,有正项级数的比值判别法知n n Nu ∞=∑发散。

同理可知,如果0n u <,则正项级数()n n Nu ∞=-∑发散,因此nn Nu ∞=∑发散。

故②③正确,选B (4)A解:2200ln(1)()1/(1)(2)lim lim 22x x x ax bx x a bx x x→→+-++-+==,因0lim 0x x →=,则 0lim1/(1)(2)0x x a bx →+-+=,故1a =。

而22200ln(1)()ln(1)lim lim 2x x x x bx x x b x x →→+-++-=+=,故122b +=-,所以52b =- 【也可以用泰勒公式计算】 (5)A解:0Ax =有非零解,充要条件是()r A n <,由此即可找到答案。

(6)D解:1020T A B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=11202202TT A A B B --⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦=12(2)nA B -- (7)C解:由于2~(2,2)i X N ,所以2~(0,1)2i X N - 故222~(1)2i X χ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,2212~()2ni i X n χ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑(8)B因为aX bY -服从正态分布,股根据题设1()2P aX bY μ-<=知, ()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=,从而有1a b -=,显然只有(B )满足要求。

二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。

把答案填在题中的横线上。

(9)应填32π。

解:由3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,2()arcsin f x x '=得 (10)应填()2(1)2x f x x e =+-解:令x t u -=,原方程变为30001()()()3x x x x f u du uf u du x f t dt -=+⎰⎰⎰方程两边对x 求导得20()()xf u du x f x =+⎰再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+,即2dyy x dx-=- 由(0)0y =得2C =-,故()2(1)2x y f x x e ==+- (11)应填2211()4a b π+(12)应填11(1)2e --解:因224622223()()(1)[1]1!2!3!1!2!3!x x x x x x x x x xe -----+-+=++++=L L 故 原式22211121000111(1)222xx x xe dx e dx e e ----===-=-⎰⎰(13)应填123-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】 解:由0,20,30A E A E A E +=+=+=,知A 的特征值为11231,2,3λλλ=-=-=-,相似矩阵具有相同的特征值,所以B 的特征值也为11231,2,3λλλ=-=-=-,故B 相似的标准形为123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (14)应填解:设A :“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”,B :“所取的两件都是不合格品”因为226102()1()1(/)3P A P A C C =-=-=,224102()/)15P B C C ==所以()()1()()()5P AB P B P B A P A P A ===三、解答题15~23小题,共94分。

解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。

(15) (本题满分10分)解:2222222,2u u u u u u u x x ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂, 222222222,2u u u u u u u a b a ab b y y ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂, 将以上各式代入原等式,得2222222(341)[64()2](341)0u u u a a ab a b b b ξξηη∂∂∂+++++++++=∂∂∂∂,由题意,令223410,3410,a ab b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩且64()20ab a b +++≠ 故1,1,31,1,3a a b b =-⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=-⎩⎩或 (16) (本题满分10分)解:(I )由于lim11n nn →∞=+,所以11x -<,即02x <<, 当0x =和2x =时幂级数变为1(1)nn n ∞=-∑及1n n ∞=∑,均发散,故原级数的收敛域为(0,2)设1111()(1)(1)(1)(1)()nn n n s x n x x n x x s x ∞∞-===-=--=-∑∑则11111()(1)1(1)2xn n x x s x dx x x x∞=--=-==---∑⎰,所以1211()2(2)x s x x x '-⎛⎫== ⎪--⎝⎭,则21()(2)x s x x -=- (17) (本题满分10分)证明:作函数()()F x f x x =+,有1111()[()]()02F x dx f x x dx f x dx =+=+<⎰⎰⎰。

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