[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc
考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1.1．求．正确答案：涉及知识点：高等数学2．设若存在秩大于1的3阶矩阵B，使得BA=0，求An．正确答案：由BA=0，有r(A)+r(B)≤3，又因r(B)>1，故r(A)≤3－r(B)≤1．显然r(A)≥1．所以r(A)=1．于是推知a=－2，b=－3，c=－2．涉及知识点：线性代数3．求曲线y＝3一｜x2一1｜与x轴围成的封闭区域绕直线y＝3旋转所得的旋转体的体积．正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕y＝3旋转所成的体积．涉及知识点：高等数学部分4．已知f(x)连续，正确答案：令x-t=u，两边对x求导，得涉及知识点：一元函数积分学5．设L为曲线求积分I=∫L(x2+3y+3z)ds.正确答案：在L上y+z=0I=∫L(x2+3y+3z)ds=∫Lx2ds+3∫L(y+z)ds=∫Lx2ds?易写出L的参数方程：=adt于是I=∫02πa2cos2t．adt=a3∫02πcos2tdt=πa3．涉及知识点：高等数学6．计算I=∮L(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．正确答案：记s为平面x+y+z=2上L所围部分．由L的定向，按右手法则知S取上侧，S的单位法向量其中D为S在xy平面上的投影区域｜x｜+｜y｜≤1(如图6—8所示)．由D关于x，y轴的对称性及被积函数的奇偶性得涉及知识点：多元函数积分学7．甲、乙两人从1，2，…，15中各取一个数，设甲取到的数是5的倍数。
求甲数大于乙数的概率．正确答案：设A1={甲数为5)，A2={甲数为10}，A3={甲数为15}，B={甲数大于乙数}，P(A1)=P(A2)=P(A3)=，P(B｜A3)=1，则P(B)=P(A1)P(B｜A1)+P(A2)P(B｜A2)+P(A3)P(B｜A3)=。
考研试题[线性代数部分]
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05年一、选择题（１１）设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充分必要条件是（ ）。
（A ）10λ≠（B ）20λ≠ （C ）10λ=（D ）20λ=（１２）设A 为ｎ(2)n ≥阶可逆矩阵，交换Ａ的第一行与第二行得到矩阵B ，**,A B 分别是矩阵A ，B 的伴随矩阵，则（ ）。
（A ）交换*A 的第一列与第二列得*B （B ）交换*A 的第一行与第二行得*B （C ）交换*A 的第一列与第二列得－*B （D ）交换*A 的第一行与第二行得－*B 二、填空题（５）设123,,ααα是三维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，则B = 。
三、解答题（２０）已知二次型22221231312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为２．①求a 的值；②求正交变换X QY =，把二次型123(,,)f x x x 化成标准形；③求方程123(,,)0f x x x =的解．（２１）已知３阶矩阵A 的第一行是(,,)a b c ，,,a b c 不全为零，矩阵12324636B k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为常数），且0AB =，求线性方程组0AX =的通解．06年一、选择题（11）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP = 【 】 二、填空题（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = ． （数一）（4）已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。
考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2004年] 微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )．A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)C．y*=ax2+bx+c+AsinxD．y*=ax2+bx+c+Acosx正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0，特征根为λ=±i．对y’’+y=x2+1=e0x(x2+1)而言，因0不是其特征根，从而其特解形式可设为y1*=ax2+bx+c．对y’’+y=sinx=e0x(0·cosx+1·sinx)(λ=0，w=1)，因λ+iw=0+i·1=i 为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，从而知，y’’+y=x2+1+sinx 的特解形式为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．仅A入选．知识模块：常微分方程2．[2008年] 在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x (C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．A．y’’’+y’’一4y’一4y=0B．y’’’+y’’+4y’+4y=0C．y’’’一y’’一4y’+4y=0D．y’’’-y’’+4y’-4y=0正确答案：D解析：由所给通解可知，其特征根为λ1=1，λ2，3=0+2i，故其特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=(λ一1)(λ2+4)=λ3一λ2+4λ一4=0，故所求的微分方程为y’’’一y’’+4y’-4y=0．仅D入选．知识模块：常微分方程3．[2015年] 设是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个特解，则( )．A．a=一3，b=2，c=一1B．a=3，b=2，c=一1C．a=一3，b=2，c=1D．a=3，b=2，c=1正确答案：A解析：因为方程y’’+ay’+by=cex的特解，故为原方程对应的齐次方程的解，因而2，1为特征方程λ2+aλ+b=0的特征根，故a=一(2+1)=一3，b=1×2=2．再由所给原方程的特解易看出xex也为原方程的一个特解，将其代入原方程得c=一1．知识模块：常微分方程4．[2016年] 若y=(1+x2)2一，y=(1+x2)2+再是微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )．A．3x(1+x2)B．一3x(1+x2)C．D．正确答案：A解析：利用解的结构和性质，令y1*=(1+x2)2一，y2*=(1+x2)2+，为微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解．可得到y1*—y2*为y’+p(x)y=0的解(因a=1，b=一1，a+b=0)，而将其代入(y1*-y2*)’+p(x)(y1*-y2*)=0，得到又为y’+p(x)y=q(x)的解(因，a+b=1)．易求得将其代入方程y’+p(x)y=q(x)得到即4x(1+x2)+(1+x2)2=q(x)故q(x)=4x(1+x2)一(1+x2)2=4x(1+x2)-x(1+x2)=3x(1+x2)．仅A入选．知识模块：常微分方程填空题5．[2006年] 微分方程y’=y(1一x)／x的通解是______．正确答案：y=Cxe-x (C为任意常数)解析：直接利用分离变量法求解．由原方程易得到即两边积分，得到ln｜y｜=ln｜x｜—x+C1，即=C1一x．故=eC1-x=e-xeC1，所以｜y｜=eC1｜x｜e-x，去掉绝对值符号，改写eC1为C，并认为C可取正值或负值，得到y=Cxe-x．由于y=0也是原方程的解．上式中的C也可为0，于是得通解为y=Cxe-x (C为任意常数)．知识模块：常微分方程6．[2008年] 微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解为______．正确答案：y=1／x解析：由初始条件y(1)=1知，只需考虑xy’+y=0在(0，+∞)内的非负解即可．由dy／(-y)=dx／x得到ln｜y｜=ln｜x｜+C1，即｜x｜｜y｜=eC1，即y=C／x(C=eC1)．又因y(1)=1，故C=1，所以y=1／x．知识模块：常微分方程7．[2014年] 微分方程xy’+y(lnx—lny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=______.正确答案：y=xe2x+1(x＞0)解析：在所给微分方程的两边除以x可得①令，则y=xu，y’=xu’+u，代入式①得到xu’+u=ulnu，即分离变量得即两边积分得到ln｜lnu一1｜=lnx+lnc，即lnu-1=cx，故则其通解为y=xecx+1．将y(1)=e3代入上式可得c=2，即得其特解为y=xe2x+1(x＞0)．知识模块：常微分方程8．[2011年] 微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的解为y=______．正确答案：y=e-xsinx解析：注意到y’+y=y’+(x)’y=e-xcosx，在其两边乘上ex得到y’ex+exx’y=exe-xcosx=cosx，即(yex)’=cosx．两边积分得到yex=∫cosxdx+C=sinx+C，即y=e-xsinx+Ce-x．由y(0)=0，得到C=0，故所求特解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程9．[2005年] 微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=一1／9的特解为______．正确答案：y=(x／3)(lnx一1／3)解析：用凑导数法求之．为此在原方程两边乘以x得到x2y’+2xy=x2lnx，即(x2y)’=x2lnx．两边积分得到x2y=∫x2lnxdx=代入初始条件y(1)=一1／9，可得C=0，于是所求的特解为y=(xlnx)／3一x／9=(x／3)(lnx一1／3)．知识模块：常微分方程10．[2013年] 已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=______．正确答案：y= c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数解析：先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．事实上，利用线性微分方程解的性质知，y1一y3=e3x，y2一y3=ex是对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解．因而该齐次微分方程的通解为Y=c1e3x+c2ex．又y3*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解，则由常系数微分方程解的结构知，所求的通解为y=Y+y*=c1e3x+c2ex-xe2x，其中c1，c2均为任意常数．知识模块：常微分方程11．[2002年] 微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=0=1／2的特解是______．正确答案：解析：将y’=p，代入原方程，得到．因而p=0(因不满足初始条件，舍去)，．积分后得到，将初始条件代入得到C1=.再对即2ydy=dx积分，得到y2=x+C2，代入初始条件得C2=1，从而y2=x+1，再由y｜x=0=1＞0，得微分方程的特解. 知识模块：常微分方程12．[2007年] 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的通解为______．正确答案：y= C1ex+C2e2x-2e2x解析：其特征方程为λ2一4λ+3=0，其特征根为λ1=1，λ2=3．对应齐次微分方程y’’一4y’+3y=0的通解为y=C1e*+C2e3x.又设非齐次微分方程y’’-4y’+3y=2e2x的特解为y*=Ae2x，将其代入该非齐次方程得到A=一2，故所求通解为y=Y+y*=C1ex+C2e2x-2e2x．知识模块：常微分方程13．[2012年] 若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)-2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=______．正确答案：f(x)=ex解析：方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的特征方程为r2+r=2一(r+2)(r一1)=0，其特征根为r1=一2，r2=1．于是齐次方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x，则f’(x)=C1ex-2C2e-2x，f’’(x)=C1ex+4C2e-2x．代入非齐次方程f’’(x)+f(x)=2ex，得到C1ex+4C2e-2x+C1ex+C2e-2x=2C1ex+5C2e-2x=2ex，故C1=1，C2=0，于是所求f(x)=ex．知识模块：常微分方程14．[2017年] 微分方程y’’+2y’+3y=0的通解为y=______．正确答案：y=e-x解析：特征方程为r2+2r+3=0，特征值为λ1，2=，其通解为y=e-x 知识模块：常微分方程15．微分方程xy’’+3y’=0的通解为______．正确答案：y=C1+C2／x2解析：y=C1+C2／x2在所给方程两边乘以x得欧拉方程x2y’’+3xy’=0(a=1，b=3，c=0)．可知，令x=et，可化为常系数线性微分方程，其特征方程为r2+2r=r(r+2)=0，其通解为y=C1e0t+C2e-2t=C1+C2e-2t=C1+C2／x2．知识模块：常微分方程16．[2004年] 欧拉方程(x＞0)的通解是______．正确答案：y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数解析：作变量代换x=et，其中a=1，b=4，c=2，则此为二阶常系数的线性齐次微分方程．其特征方程为r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0，其特征根为r1=一1，r2=一2，故其通解为y=C1e-t+C2e-2t．代入原变量x，得到原方程的通解为y=C1／x+C2／x2，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程17．[2009年] 若二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解为______．正确答案：y=一xex+x+2解析：由所给通解知，二阶常系数线性齐次微分方程y’’+ay’+by=0的特征根是r1=r2=1．因而特征方程为(r一1)2=r2一2r+1=0．故二阶常系数线性齐次微分方程为y’’一2y’+y=0，故a=一2，b=1．因而非齐次方程为y’’-2y’+y=x．下面求非齐次方程y’’-2y’+y=x ①的特解．由题设条件知，其特解形式为y*=Ax+ B．代入方程①，得到(y*)’’=0，(y*)’=A，于是有一2A+Ax+B=x，即(A 一1)x一2A+B=0，所以A一1=0，B一2A=0，从而A=1，B=2，故一特解为y*=x+2．非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2．②将y(0)=2，y’(0)=2，代入方程②得C1=0，C2=一1，满足初始条件的解为y=一xex+x+2．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2024考研数学一线性代数历年考题详解
2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容，对于考生来说，掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。
本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解，帮助考生更好地备考。
一、第一节：向量与矩阵1. 2010年考题考题描述：已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关，向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示，且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +3{\alpha}_2\]，\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\]，\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\]，则向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少？解题思路：根据题意，我们可以建立如下矩阵：\[A =\begin{bmatrix}2 &3 & 0 \\4 &5 & 1 \\7 & 10 & 2 \\\end{bmatrix}\]然后通过对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。
最后，行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。
在本题中，通过计算可知行最简形为：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]因此，向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为3。
2. 2014年考题考题描述：设矩阵\[A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]，若矩阵\[B = (A - 2I)^2 - I\]，其中\[I\)为单位矩阵，求矩阵\[B\)的秩。
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷116.doc
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[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷116一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设A为3阶非零矩阵，且A2＝0，则A的线性无关的特征向量的个数为（A）0个．（B）1个．（C）2个．（D）3个．2 已知A是3阶矩阵，α1，α2是A的两个线性无关的特征向量，特征值都是2，α3也是A的特征向量，特征值是6．记①P＝(α2，－α1，α3)．②P＝(3α3，α2，α1)．③P＝(α1，α1－α2，α3)．④P＝(α1，α2＋α3，α3)．则满足P-1AP＝的是（A）①，④．（B）①，③．（C）②，③．（D）②，④．二、填空题3 已知A＝有三个线性无关的特征向量，则a＝_______．4 设n阶矩阵A的各行元素之和均等于2，且满足A2＋kA＋6E＝0，其中E为n阶单位矩阵，则参数k＝_______．5 设A是3阶矩阵，向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，0，1)T，β＝(－1，2，－2)T．已知λ＝2是矩阵A的一个特征值，α1，α2是A的属于λ＝2的特征向量，则Aβ＝_______．6 已知矩阵A第一行3个元素分别是3，－1，－2，又α1＝(1，1，1)T，α2＝(1，2，0)T，α3＝(1，0，1)T是矩阵A的三个特征向量，则矩阵A＝_______．7 设二次型4χ22－3χ32＋2aχ1χ2－4χ1χ3＋8χ2χ3经正交变换化为标准形y12＋6y22＋by32，则a＝_______．8 若f(χ1，χ2，χ3)＝(aχ1＋2χ2－3χ3)2＋(χ2－2χ3)2＋(χ1＋aχ2－χ3)2是正定二次型，则a 的取值范围是_______．9 已知α1＝(1，1，1)T，α2＝(1，2，4)T，α3＝(1，－1，1)T是3维空间的一组基，则β＝(1，3，9)T在基α1，α2，α3下的坐标是_______．10 已知α1＝(1，1，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(0，0，1)T与β1＝(1，0，－1)T，β2＝(1，1，0)T，β3＝(0，－1，1)T是3维空间的两组基，那么坐标变换公式为_______．11 已知α1＝(1，1，1)T，α2＝(1，0，－1)T，α3＝(1，0，1)T与β1＝(1，2，1)T，β2＝(3，3，3)T，β3＝(2，4，3)T是R3的两组基，那么在这两组基下有相同坐标的向量是_______．12 已知A＝，则A的解空间的规范正交基是_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一高等数学-试卷4_真题-无答案
考研数学一（高等数学）-试卷4(总分56,考试时间90分钟)2. 填空题1. 设y=y(x)满足△y=+o(△x)，且有y(1)=1，则∫0xy(x)dx=___________．2. 微分方程y"一xe-y+=0的通解为___________．3. 微分方程yy"一2(y")2=0的通解为___________．4. 微分方程xy"=+y(x＞0)的通解为___________．5. 以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为___________．6. 设y(x)为微分方程y"一4y"+4y=0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=2的特解，则∫01y(x)dx=___________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f"(x)｜≤q＜1，令un=f(un—1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un+1一un)绝对收敛．2. 设f(x)在(一∞，+∞)内一阶连续可导，且发散．3. 设f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且绝对收敛．4. 设y=y(x)满足y"=x+y，且满足y(0)=1，讨论级数的敛散性．5. 求幂级数的收敛域．6. 求函数f(x)=ln(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．7. 求幂级数的和函数．8. 求幂级数的和函数．9. 求幂级数的和函数．10. 求的和．11. 设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy"+y=ex且=1的解．(1)求F(x)关于x 的幂级数；(2)求的和．12. 将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数．13. 设f(x)=，且a0=1，an+1=an+n(n=0，1，2，…)．(1)求f(x)满足的微分方程；(2)求．14. 证明S(x)=满足微分方程y(4)一y=0并求和函数S(x)．15. 将函数f(x)=2+｜x｜(一1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数的和．16. 将函数f(x)=x一1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数．17. 设un＞0，且发散．18. 设级数绝对收敛．19. 设an=的敛散性，并证明你的结论．20. 设函数f0(x)在(一∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn—1(t)dt(n=1，2，…)．21. 设a0=1，a1=一2，a2=(n≥2)．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．。
考研《数学决胜冲刺》数学(一)模拟卷4
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．(1)(2)(3)(4)(5)(A)a1，a2，a3线性相关．(B)a3，a4线性无关．(C)a4可由a1，a3线性表示．(D)a2可由a3，a4线性表示．(6)(A)1，2，4．(B)2，2，－2．(C)－1，2，－4．(D)2，－2，－2．(7)(A)p1＜p2．(B)p1＞p2．(C)p1＝p2．(D)p1＋p2＝1．(8)(A)a＝0，b＝0．(B)a＝0，b＞0．(C)a＝0，b＜0．(D)min(a，b)＝0．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．(9)已知曲线Y＝f(x)与y=sinx在原点处相切，则(10)(11)函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)…(x－2013)|的驻点个数为__________．(12)(13)(14)三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分9分)(16)(本题满分11分)(17)(本题满分10分)(18)(本题满分10分)(19)(本题满分10分)(20)(本题满分10分)(21)(本题满分12分)(22)(本题满分11分)(23)(本题满分11分)模拟篇(第四套)参考答案一、选择题(1)【答案】C(2)【答案】A(3)【答案】C(4)【答案】B(5)【答案】C(6)【答案】B(7)【答案】B(8)【答案】D二、填空题(9)1答案】(10)【答案】8π(11)【答案】2012(12)【答案】(13)【答案】(14)【答案】三、解答题(15)【分析】这是一个n项和的数列极限，常用的方法有两种，一种是夹逼原理，另一种是定积分的定义．(16)【分析】(17)【分析】由题设知z是x和y的函数，而x和y都是u和v的函数．(18)【解】(19)【分析】(20)【解】(21)【解】(22)【解】(23)【解】。
考研数学一(线性代数)模拟试卷135(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷135(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．A．若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B．若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解C．若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D．若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解正确答案：D解析：因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则=m，于是r(A)=，即方程组AX=b一定有解，选(D)．知识模块：线性代数2．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X= k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1．因为A*A=|A|E=O，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数3．设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是( )．A．α1+α2，α2+α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D．α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2一5α3正确答案：C解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)。
知识模块：线性代数4．设α1，α2为齐次线性方程组AX=0的基础解系，β1，β2为非齐次线性方程组AX=b的两个不同解，则方程组AX=b的通解为( )．A．k1α1+k2(α1-α2)+B．k1α1+k2(β1一β2)+C．k1α1+k2(β1+β2)+D．k1α1+k2(α1+α2)+正确答案：D解析：选(D)，因为α1，α1+α2为方程组AX=0的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组AX=b的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)．知识模块：线性代数5．设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆B．r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜nC．AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)D．A～B的充分必要条件是λE—A～λE—B正确答案：D解析：若A～B，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，于是P-1(λE—A)P=λE—P-1AP=λE一B，即λE一A～E一B；反之，若λE—A～λE—B，即存在可逆矩阵P，使得P-1(λE—A)P=λE一B，整理得λE—P-1AP=λE—B，即P-1AP=B，即A～B，应选(D)．知识模块：线性代数6．设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为( )．A．B．C．λ|A|D．λ|A|n-1正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有A*X=选(B)．知识模块：线性代数填空题7．设A是三阶矩阵，其三个特征值为．则|4A*+3E|=______．正确答案：10解析：，A*的特征值为4A*+3E的特征值为5，1，2，于是|4A*+3E|=10．知识模块：线性代数8．设是矩阵的特征向量，则a=_______，b=_______．正确答案：a=2,b=3解析：由Aα=λα得解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数9．已知有三个线性无关的特征向量，则a=______．正确答案：a=-10解析：由|λE—A|==(λ一1)(λ一2)2=0得λ1=1，λ2=λ3=2，因为A可对角化，所以r(2E—A)=1，由2E—A=得a=一10．知识模块：线性代数10．设A为三阶实对称矩阵，且为A的不同特征值对应的特征向量，则a=______．正确答案：a=3解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+3—6a=0，a=3．知识模块：线性代数11．设A～B，其中则x=_____，y=_____正确答案：x=3,y=1解析：因为A～B，所以解得x=3，y=1．知识模块：线性代数12．设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为，则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为_____．正确答案：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2=λ3=5对应的特征向量为得λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为知识模块：线性代数13．设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为_______．正确答案：0或者3解析：因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵（C）正定矩阵Fra bibliotek（D）正交矩阵
6设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．
（A）A，B合同
（B）A，B相似
（C）方程组AX=0与BX=0同解
（D）r(A)=r(B)
7设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
（A）r(A)=r(B)
17设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．
18
19设向量α=(a1，a2，…，an)T，其中a1≠0，A=ααT．(1)求方程组AX=0的通解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．
20
21
22设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．
35
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37
38用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3
39用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．
40设二次型f(x1，x2，x3)=xTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=0，其中 (1)求正交变换X=QY将二次型化为标准形；(2)求矩阵A．
（B）｜A｜=｜B｜
（C）A～B
（D）A，B与同一个实对称矩阵合同
8
（A）相似且合同
（B）相似不合同
（C）合同不相似
（D）不合同也不相似
9设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：
(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)｜A｜=｜B｜中正确的命题个数为( )．
（A）1个
27
28设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．
29设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可以相似对角化．
30
31设 有三个线性无关的特征向量，求x，y满足的条件．
32设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．
33
34设 的逆矩阵A-1的特征向量．求x，y，并求A-1对应的特征值μ．
41二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32-4x1x2—8x1x3—4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+by22一4y32，求：(1)常数a，b；(2)正交变换的矩阵Q．
42设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a＞0)的秩为2．(1)求a；(2)用正交变换法化二次型为标准形．
（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
4设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
（A）规范形与标准形都不一定相同
（B）规范形相同但标准形不一定相同
（C）标准形相同但规范形不一定相同
（D）规范形和标准形都相同
5设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
13设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是_________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14
15设ATA=E，证明：A的实特征值的绝对值为1．
16设λ0为A的特征值．(1)证明：AT与A特征值相等；(2)求A2，AT+2A+3E的特征值；(3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E—A-1的特征值．
45
46设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3为正定二次型，求t的范围．
47设A是n阶正定矩阵，证明：｜E+A｜＞1．
（B）2个
（C）3个
（D）4个
二、填空题
10二次型f(x1，x2，x3)=(x1—2x2)2+4x2x3的矩阵为_________．
11设 ，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_________
12设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=_________．