[考研类试卷]考研数学(数学一)模拟试卷330.doc
考研数学一(线性代数)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．一24C．48D．一48正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，且｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值一1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选(B)．知识模块：线性代数部分3．设n维行向量，A=E—αTα，B=E+2αTα，则AB为( )．A．0B．一EC．ED．E+αTα正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分4．设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．若A，B可逆，则A+B可逆B．若A，B可逆，则AB可逆C．若A+B可逆，则A—B可逆D．若A+B可逆，则A，B都可逆正确答案：B解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜=｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选(B)．知识模块：线性代数部分5．设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．AB为对称矩阵B．设A，B可逆，则A-1+B-1为对称矩阵C．A+B为对称矩阵D．kA为对称矩阵正确答案：A解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B为对称矩阵；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1为对称矩阵；由(ka)T=kAT=kA，得kA为对称矩阵，选(A)．知识模块：线性代数部分6．设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．A．AB=0的充分必要条件是A=0或B=0B．AB≠0的充分必要条件是A≠0且B≠0C．AB=0且r(A)=n，则B=0D．若AB≠0，则｜A｜≠0或｜B｜≠0正确答案：C解析：知识模块：线性代数部分7．n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则( )．A．｜A｜=｜B｜B．｜A｜≠｜B｜C．若｜A｜=0则｜B｜=0D．若｜A｜＞0则｜B｜＞0正确答案：C解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Q都是可逆矩阵，所以r(A)=r(B)，若｜A｜=0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜=0，选(C)．知识模块：线性代数部分8．设A为m×n阶矩阵，C为n阶矩阵，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，则( )．A．r＞r1B．r＜r1C．r≥r1D．r与r1的关系依矩阵C的情况而定正确答案：C解析：因为r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)=r，则( )．A．r＞mB．r=mC．r＜mD．r≥m正确答案：C解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以选(C)．知识模块：线性代数部分10．设A为四阶非零矩阵，且r(A*)=1，则( )．A．r(A)=1B．r(A)=2C．r(A)=3D．r(A)=4正确答案：C解析：因为r(A*)=1，所以r(A)=4—1=3，选(C)．知识模块：线性代数部分11．设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB=0，则( )．A．r(B)=nB．r(B)＜nC．A2一B2=(A+B)(A—B)D．｜A｜=0正确答案：C解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜=0，选(D)．知识模块：线性代数部分12．设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分13．A．B=P1P2AB．B=P2P1AC．B=P2AP1D．B=AP2P1正确答案：D解析：P1=E12，P2=E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B=AE23(2)E12=AP2P1，选(D)．知识模块：线性代数部分14．A．B=P1AP2B．B=P2AP1C．B=P2-1AP1D．B=P1-1AP2-1正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分填空题15．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：线性代数部分16．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a一2，a一1，则a=_________．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．知识模块：线性代数部分17．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且=_________.正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则知识模块：线性代数部分18．设A=(α1，α2，α3)为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=________．正确答案：-33解析：｜α1+2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2—3α3，α3+2α1｜+｜2α2，α2—3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2-3α3，α3｜+2｜α2，-3α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，α3+2α1｜=｜α1，α2，α3｜一6｜α2，α3，2α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α2，α3，α1｜=｜α1，α2，α3｜一12｜α1，α2，α3｜=一33 知识模块：线性代数部分19．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A一2B｜=________．正确答案：63解析：由5A一2B=(5α，5γ1，5γ2)一(2β，2γ1，2γ2)=(5α一2β，3γ1，3γ2)，得｜5A一2B｜=｜5α一2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α一2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜一2｜β，γ1，γ2｜)=63 知识模块：线性代数部分20．设α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=_________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：0解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An一2An-1=0．知识模块：线性代数部分22．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分23．A2一B2=(A+B)(A—B)的充分必要条件是_________．正确答案：AB=BA解析：A2一B2=(A+B)(A一B)=A2+BA—AB一B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：线性代数部分24．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=__________正确答案：2解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分26．正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故知识模块：线性代数部分27．设A为三阶矩阵，且｜A｜=3，则｜(一2A)*｜=_________．正确答案：576解析：因为(一2A)*=(一2)2A*=4A*，所以｜(一2A)*｜=｜4A*｜=43｜A｜2=64×9=576．知识模块：线性代数部分28．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分29．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分30．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分31．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分32．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=_________(用A*表示)．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分33．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分34．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分35．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且，则B=__________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，知识模块：线性代数部分36．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=__________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：线性代数部分37．正确答案：2解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．知识模块：线性代数部分38．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷33(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷33(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若a·b=a·c，则A．b=c．B．a⊥b且a⊥c．C．a=0或b一c=0．D．a⊥(b一c)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学2．设c=(b×a)-b，则A．a垂直于b+c．B．a平行于b+c．C．b垂直于c．D．b平行于c．正确答案：A 涉及知识点：高等数学3．若直线相交，则必有A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：高等数学4．通过直线x=2t一1，y=3t+2，z=2t一3和直线x=2t+3，y=3t一1，z=2t+1的平面方程为A．x—z—2=0．B．x+z=0．C．x一2y+z=0．D．x+y+z=1．正确答案：A 涉及知识点：高等数学5．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+121=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)．C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学6．设，则f(0，0)点处A．不连续．B．偏导数不存在．C．偏导数存在但不可微．D．偏导数存在且可微．正确答案：C 涉及知识点：高等数学7．若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是A．连续．B．偏导数存在．C．偏导数连续．D．切平面存在．正确答案：C 涉及知识点：高等数学8．函数在(0，0)点处A．不连续．B．偏导数存在．C．任一方向的方向导数存在．D．可微．正确答案：C 涉及知识点：高等数学9．设fx’(0，0)=1，fy’(0，0)=2，则A．f(x，y)在(0，0)点连续．B．C．=cosα+2cosβ，其中cosα，cosβ为l的方向余弦．D．f(x，y)在(0，0)点沿x轴负方向的方向导数为一1．正确答案：D 涉及知识点：高等数学10．函数f(x，y)=x2y3在点(2，1)沿方向l=i+j的方向导数为A．16．B．C．28．D．正确答案：B 涉及知识点：高等数学填空题11．已知a，b，c是单位向量，且满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=____________．正确答案：涉及知识点：高等数学12．已知｜a｜=2，｜b｜=，且a·b=2，则｜a×b｜=______________．正确答案：2 涉及知识点：高等数学13．过点(一1，2，3)，垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是_____________正确答案：涉及知识点：高等数学14．若向量x与向量a=2i—j+2k共线，且满足方程a·x=一8，则向量x=___________．正确答案：一4i+2j-4k 涉及知识点：高等数学15．平行于平面5x一14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为____________．正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学16．设，f(u)可导，则=__________正确答案：z涉及知识点：高等数学17．设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由z+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=__________正确答案：1涉及知识点：高等数学18．设f(x，y)=xy，则=___________正确答案：xy-1+yxy-1lnx涉及知识点：高等数学19．设=___________正确答案：dx-dy涉及知识点：高等数学20．设z=z(x，y)由方程x—mz=φ(y—nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则=__________正确答案：1涉及知识点：高等数学21．函数u=xy+yz+xz在点P(1，2，3)处沿P点向径方向的方向导数为__________．正确答案：涉及知识点：高等数学22．函数z=2x2+y2在点(1，1)处的梯度为___________．正确答案：4i+2j 涉及知识点：高等数学23．曲面3x2+y2一z2=27在点(3，1，1)处的切平面方程为__________．正确答案：9x+y-z-27=0 涉及知识点：高等数学24．曲线的平行于平面x+3y+2z=0的切线方程为__________．正确答案：涉及知识点：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一模真题及答案
考研数学一模真题及答案考研数学一模真题及答案随着考研的日益火热，数学一科目的备考也成为了考生们的重点。
数学一模真题及答案的准备对于考生们来说是至关重要的。
本文将为大家介绍一些常见的数学一模真题及答案，并提供一些备考建议。
一、线性代数线性代数是数学一科目中的重要部分，也是考生们备考的难点之一。
以下是一道常见的线性代数题目：已知矩阵A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]，C=[1 0; 0 1]，求矩阵D=2A-B+C的行列式的值。
解答：首先计算2A=[2 4; 6 8]，然后计算2A-B=[0 3; 2 5]，最后加上矩阵C=[1 0; 0 1]，得到矩阵D=[1 3; 3 6]。
计算矩阵D的行列式，使用行列式的性质可以得到det(D)=1*6-3*3=-2。
备考建议：线性代数的备考重点是矩阵运算和行列式的计算。
考生们可以通过大量的练习题来熟悉各种矩阵运算的方法和行列式的计算规则。
同时，理解矩阵的性质和运算规律也是备考的关键。
二、高等数学高等数学是数学一科目中的另一个重要部分，也是考生们备考的难点之一。
以下是一道常见的高等数学题目：已知函数f(x)=x^3+3x^2-4x-12，求f(x)的极值点和拐点。
解答：首先求f(x)的一阶导数f'(x)=3x^2+6x-4，然后令f'(x)=0，解得x=-2/3和x=2/3。
将这两个解代入f(x)的二阶导数f''(x)=6x+6，可以得出f''(-2/3)=f''(2/3)=6。
因此，x=-2/3和x=2/3是f(x)的拐点。
将这两个解代入f(x)，可以得出f(-2/3)=-20/27和f(2/3)=-20/27。
因此，x=-2/3和x=2/3是f(x)的极值点。
备考建议：高等数学的备考重点是函数的极值和拐点的求解。
考生们可以通过大量的练习题来熟悉各种求导和求解方程的方法。
同时，理解函数的性质和图像也是备考的关键。
考研数学一(线性代数)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学一（线性代数）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是( )．A．若方程组AX=0只有零解，则方程组AX=b有唯一解B．若方程组AX=0有非零解，则方程组AX=b有无穷多个解C．若方程组AX=b无解，则方程组AX=0一定有非零解D．若方程组AX=b有无穷多个解，则方程组AX=0一定有非零解正确答案：D解析：知识模块：线性代数部分2．设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．A．若m＜n，则方程组AX=b一定有无穷多个解B．若m＞n，则方程组AX=b一定有唯一解C．若r(A)=n，则方程组AX=b一定有唯一解D．若r(A)=m，则方程组AX=b一定有解正确答案：D解析：因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵)，则，即方程组AX=b一定有解，选(D)．知识模块：线性代数部分3．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3B．α2，α3，α4C．α1，α2，α4D．α3，α4正确答案：C解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1．因为A*A=｜A｜E=0，所以α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数部分4．设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是( )．A．α1+α2，α2+α3，α3一α1B．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D．α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2—5α3正确答案：C解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)．知识模块：线性代数部分5．设α1，α2为齐次线性方程组AX=0的基础解系，β1，β2为非齐次线性方程组AX=b的两个不同解，则方程组AX=b的通解为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：选(D)，因为α1，α1+α2为方程组AX=0的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组AX=b的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)．知识模块：线性代数部分6．设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )．A．A，B都不可逆的充分必要条件是AB不可逆B．r(A)＜n，r(B)＜n的充分必要条件是r(AB)＜nC．AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r(A)=r(B)D．A～B的充分必要条件是λE一A～λE一B正确答案：D解析：若A～B，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，于是P-1(λE一A)P=λE一P-1AP一λE一B，即λE一A～λE～B；反之，若λE一A～λE一B，即存在可逆矩阵P，使得P-1(λE一A)P=λE一B，整理得λE一P-1AP=λE 一B，即P-1AP=B，即A～B，应选(D)．知识模块：线性代数部分7．设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为( )．正确答案：B解析：因为A可逆，所以λ≠0，令AX=λX，则A*AX=λA*X，从而有选(B)．知识模块：线性代数部分8．设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．A．矩阵A不可逆B．矩阵A的迹为零C．特征值一1，1对应的特征向量正交D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量正确答案：C解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数部分9．设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=一2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是( )．A．α1+α3B．3α3一α1C．α1+2α2+3α3D．2α1-3α2正确答案：D解析：因为AX=0有非零解，所以，r(A)＜n，故0为矩阵A的特征值，α1，α2为特征值0所对应的线性无关的特征向量，显然特征值0为二重特征值，若α1+α3为属于特征值λ0的特征向量，则有A(α1+α3)=λ0(α1+α3)，注意到A(α1+α3)=Oα1一2α3=一2α3，故一2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0，因为α1，α3线性无关，所以有λ0=0，λ0+2=0，矛盾，故α1+α3不是特征向量，同理可证3α3一α1及α1+2α2+3α3也不是特征向量，显然2α1一3α2为特征值0对应的特征向量，选(D)．知识模块：线性代数部分10．设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )．A．矩阵A与单位矩阵E合同B．矩阵A的特征值都是实数C．存在可逆矩阵P，使PAP-1为对角阵D．存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵正确答案：A解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)．知识模块：线性代数部分11．设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则( )．A．A的n个特征值都是单值B．A是可逆矩阵C．A存在n个线性无关的特征向量D．A一定为n阶实对称矩阵正确答案：C解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)．知识模块：线性代数部分12．设α，β为四维非零列向量，且α⊥β，令A=αβT，则A的线性无关特征向量个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因为α，β为非零向量，所以A=αβT≠0，则r(A)≥1，又因为r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，所以r(A)=1，令AX=λX，由A2X=αβT×αβTX=0=λ2X得λ=0，因为r(0E—A)=r(A)=1，所以A的线性无关的特征向量个数为3，应选(C)．知识模块：线性代数部分13．设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．A．CTACB．A-1+B-1C．A*+B*D．A—B正确答案：D解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A-1，B-1及A*，B*都是正定的，对任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)＞0(因为C 可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是CTAC为正定矩阵，同样用定义法可证A-1+B-1与A*+B*都是正定矩阵，选(D)．知识模块：线性代数部分填空题14．设，且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分15．设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)=n一1，则方程组Ax=0的通解为__________.正确答案：解析：知识模块：线性代数部分16．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，Aki≠0，则AX=0的通解为__________．正确答案：C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，又因为Aki≠0，所以r(A*)≥1，从而r(A)=n一1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA*=｜A｜E=0，所以A*的列向量为方程组AX=0的解向量，故AX=0的通解为C(Ak1，Ak2，…，Aki，…，Akn)T(C为任意常数)．知识模块：线性代数部分17．设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX=b的一组解，则k1η1+…+ks ηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是__________．正确答案：k1+k2+…+ks=1．解析：k1+k2+…+ks=1．显然k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=b，因为Aη1=Aη2=…=Aηs=b，所以(k1+k2+…+ks)b=b，注意到b≠0，所以k1+k2+…+ks=1，即k1η1+k2η2+…+ksηs为方程组AX=b的解的充分必要条件是k1+k2+…+ks=1．知识模块：线性代数部分18．设B≠0为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k=_________，｜B｜=__________．正确答案：k=1，｜B｜=0．解析：令，因为B的列向量为方程组的解且B≠0，所以AB=0且方程组有非零解，故｜A｜=0，解得k=1．因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故｜B｜=0．知识模块：线性代数部分19．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分20．正确答案：-1解析：知识模块：线性代数部分21．正确答案：a1+a2+a3+a4=0解析：知识模块：线性代数部分22．设A是三阶矩阵，其三个特征值为，则｜4A*+3E｜=__________．正确答案：10解析：知识模块：线性代数部分23．正确答案：a=2，b=3解析：解得λ=5，a=2，b=3．知识模块：线性代数部分24．设A为三阶矩阵，A的各行元素之和为4，则A有特征值_________，对应的特征向量为________.正确答案：4；解析：知识模块：线性代数部分25．正确答案：3解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+3—6a=0，a=3．知识模块：线性代数部分26．正确答案：x=3，y=1解析：知识模块：线性代数部分27．设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1=3，λ2=λ3=5，且λ1=3对应的线性无关的特征向量为，则λ2=λ3=5对应的线性无关的特征向量为__________．正确答案：解析：知识模块：线性代数部分28．设α，β为三维非零列向量，(α，β)=3，A=αβT，则A的特征值为__________．正确答案：0或者3解析：因为A2=3A，令AX=λX，因为A2X=λ2X，所以有(λ2一3λ)X=0，而X≠0，故A的特征值为0或者3，因为λ1+λ2+λ3=tr(A)=(α，β)，所以λ1=3，λ2=λ3=0．知识模块：线性代数部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学一)模拟试卷480(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知当χ→0时，f(χ)＝arcsinχ－arctanaχ与g(χ)＝bχ[χ－ln(1＋χ)]是等价无穷小，则( )A．a＝b＝1。
B．a＝1，b＝2。
C．a＝2，b＝1。
D．a＝b≠1。
正确答案：A解析：根据等价无穷小的定义，那么1－a＝0，，则有a＝1，b＝1。
故选A。
2．设函数f(χ)在[0，1]上连续，且＝1。
f(χ)＝bnsinπχ，χ∈R，其中bn＝2∫01f(χ)sinnπχdχ，n＝1，2，3…，测＝( )A．0B．1C．－1D．正确答案：C解析：因为＝1，所以可得f(χ)＝1，又因为函数连续，则题目中把f(χ)展开为正弦级数，可知f(χ)为奇函数，可将函数f(χ)奇延拓，得到T＝2，3．设f(χ)是连续且单调递增的奇函数，设F(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则F(χ)是( )A．单调递增的奇函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递减的偶函数正确答案：B解析：令χ－u＝t，则F(χ)＝∫0χ(χ－2t)f(t)dt，F(－χ)＝∫0－χ(－χ－2t)f(t)dt，令t＝－u，F(－χ)＝∫0χ(－χ＋2u)f(－u)du＝∫0χ(χ－2u)f(－u)du。
因为f(χ)是奇函数，f(χ)＝－f(－χ)，F(－χ)＝∫0χ(χ－2u)f(u)du，则有F(χ)＝－F(－χ)为奇函数。
F′(χ)＝∫0χf(t)dt －χf(χ)，由积分中值定理可得∫0χf(t)dt＝f(ξ)χ，ξ介于0到χ之间，F′(χ)＝f(ξ)χ－χf(χ)＝[f(ξ)－f(χ)]χ，因为f(χ)单调递增，当χ＞0时，ξ∈[0，χ]，f(ξ)－f(χ)＜0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减；当χ＜0时，ξ∈[χ，0]，f(ξ)－f(χ)＞0，所以F′(χ)＜0，F(χ)单调递减。
考研数学(数学一)模拟试卷293(题后含答案及解析)
考研数学（数学一）模拟试卷293(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则f(x)在点x=0处A．不连续．B．连续，但不可导．C．可导，但f’(x)在x=0不连续．D．可导且f’(x)在x=0处连续．正确答案：B解析：显然，函数在点x=0处可导，又→g±’(0)均但不相等，即g’(0)不，但g(x)在点x=0处连续→f’(0)不(f(x)=φ(x)+g(x))，但f(x)存点x=0处连续．因此，选B．2．设y=f(x)的导函数f’(x)在区间[0，4]上的图形如右图，则f(x)A．在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的．B．在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，而在(2，4)是凸的．C．在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的．D．在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，而在(2，4)是凹的．正确答案：B解析：如右图，当x∈(0，1)或x∈(3，4)f时，f’(x)0→f(x)在．(1，3)单调上升．又f’(x)在(0，2)单调上升→f(x)在(0，2)是凹的；f’(x)在(2，4)单调下降→f(x)在(2，4)是凸的．因此，应选B．3．下列等式或不等式①②③设则④中正确的共有A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：B解析：要逐一分析．对于①：由可知①正确．对于②：因为在点x=0处无定义，不能在[一1，1]上用牛顿一莱布尼兹公式，因此②不正确．事实上或由于．因此对于③：易知，故f(x)在[一1，1]上连续，且是奇函数→故③正确．对于④：这里在(-∞，+∞)连续，虽是奇函数，但发散，因为故④不正确．综上分析，应选B．4．设S为球面：x2+y2+z2=R2，则下列同一组的两个积分均为零的是A．B．C．D．正确答案：C解析：注意第一类曲面积分有与三重积分类似的对称性质．因S关于yz平面对称，被积函数x与xy关于x为奇函数被积函数x2关X为偶函数→特别要注意，第二类曲面积分有与三重积分不同的对称性质：因S关于yz平面对称，被积函数x2对x为偶函数被积函数x对x为奇函数→类似可得由上分析可知，因此应选C．5．下列矩阵中属于正定矩阵的是A．B．C．D．正确答案：B解析：正定的充分必要条件是顺序主子式全大于0，正定的必要条件是aij>0．C中a33=一1必不正定；D中三阶顺序主子式｜A｜=一1n，则αs必可由α1，α2，…，αs-1线性表示．D．如果r=n，则任何n维向量必可由α1，α2，…，αs线性表示．正确答案：D解析：r(α1，α2……αs)=rα1，α2……αs中一定存在r个向量线性尢关，而任意r+1个向量必线性相关．当向量组的秩为，时，向量组中既可以有r一1个向量线性相关，也可以有。
考研数学一(高等数学)模拟试卷300(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：高等数学2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与口有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．涉及知识点：高等数学4．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：高等数学5．求下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：高等数学6．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．涉及知识点：高等数学7．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．涉及知识点：高等数学8．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：高等数学9．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：高等数学10．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：高等数学11．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时) →当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin 随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：高等数学12．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：高等数学13．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．涉及知识点：高等数学14．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：高等数学15．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算所以R=1．再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛．这样，即得结论：xn—1的收敛域为[一1，1)．(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法：它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于(Ⅲ)nan(x一1)n+1=(x一1)2[an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，nan(x一1)n+1与an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)．(Ⅳ)令t=x一3，考察antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：高等数学16．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设=一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=ln(1—x) =ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．涉及知识点：高等数学17．将函数arctan展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间．正确答案：由于，利用公式，并以x2代替其中的x，就有(一1)nx2n，一1＜x2＜1即一1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan，所以由f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt即得注意函数arctan在端点x=一1处连续，幂级数在点x=一1处也收敛，从而上式在端点x=一1处也成立，即涉及知识点：高等数学18．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x 一3)，在x=3处．正确答案：在上述展式中就是以(—1)nxn=1—x+x2—x3+…+(—1)nxn+…，(一1＜x＜1) (11．16)式中的x．类似地，有(Ⅱ)由于ln(2x+x一3)=ln(2x+3)(x 一1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，对于右端两项应用公式得解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x—x0或者x一x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：高等数学19．将下列函数f(x)展开成戈的幂级数并求f(n)(0)：正确答案：(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(一∞＜x＜+∞)．逐项积分得(一∞＜x ＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0 (n=1，2，3，…)，f(2n+1)(0)= (n=0，1，2，…)．解析：在这两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅱ)小题就是如此．知识模块：高等数学20．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(一1)(n)n(n一1)x(n)在x=1／2处的值．记直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：高等数学21．(Ⅰ)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________；(Ⅱ)设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S(一)=____________．正确答案：(Ⅰ) 3／2；(Ⅱ)—1／4解析：(Ⅰ)根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1—0)+f(一1+0)]=3／2．(Ⅱ)由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：高等数学22．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(一π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)一(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)一a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及知识点：高等数学23．设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。
考研数学一(高等数学)模拟试卷330(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷330(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=则在x=1处f(x)( )．A．不连续B．连续但不可导C．可导但不是连续可导D．连续可导正确答案：D解析：因为=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为=3，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f′(x)=2x+1，因为=3=f′(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选D．知识模块：高等数学2．当x∈[0，1]时，f″(x)＞0，则f′(0)，f′(1)，f(1)－f(0)的大小次序为( )．A．f′(0)＞f(1)－f(0)＞f′(1)B．f′(0)＜f′(1)＜f(1)－f(0)C．f′(0)＞f′(1)＞f(1)－f(0)D．f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)正确答案：D解析：由拉格朗日中值定理得f(1)－f(0)=f′(c)(0＜c＜1)，因为f″(x)＞0，所以f′(x)单调增加，故f′(0)＜f′(c)＜f′(1)，即f′(0)＜f(1)－f(0)＜f′(1)，应选D．知识模块：高等数学3．设f(x)二阶连续可导，且=－1，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且=0，即f″(0)=0．又=－1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(－δ，0)时，f″(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f″(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选C．知识模块：高等数学填空题4．=_______。
正确答案：解析：知识模块：高等数学5．=_______。
正确答案：解析：由ln(1+x)=x－+ο(x2)得，x→0时，x2－xln(1+x)=，知识模块：高等数学6．设f(x)连续，且=_______。
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[考研类试卷]考研数学（数学一）模拟试卷330
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 函数f(x)=[丨x丨sin(x-2)]/[x(x-1)(x-2)2]存下列哪个区间内有界．
（A）(-1，0)
（B）(1，0)
（C）(1，2)
（D）（2,3）
2 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则
（A）当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．
（B）当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．
（C）当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．
（D）当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．
3 设四阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3线性无关，而α4=2α1一α2+α3，则r(A*)为( )．
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
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6
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二、填空题
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10 设=__________．
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三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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16 已知三阶矩阵B为非零向量，且B的每一个列向量都是方程组
(Ⅰ)求λ的值； (Ⅱ)证明｜B｜=0．
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19 计算曲面积分I=2x3dydz+2y3dzdx+3(x2一1)dxdy，其中∑为曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧．
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23 用凑微分法求下列不定积分：。