[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷206.doc
[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷26.doc
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[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷26一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 设场A＝{x3＋2y，y3＋2z，z3＋2x}，曲面S：x2＋y2＋z2＝2z内侧，则场A穿过曲面指定侧的通量为( )．（A）32π（B）一32π（C）（D）2（A）｜r｜＜1（B）｜r｜＞1（C）｜r｜＝一1（D）r＝134 设幂级数在x＝6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为( )．（A）2（B）4（C）（D）无法确定5二、填空题67 ＝_________，其中L：(x2＋y2)2＝a2(x2一y2)(a＞0)．8 设向量场A＝2x3yzj—x2y2zj—x2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)沿方向l＝{2，2，一1}的方向导数＝__________．9 设L是从点(0，0)到点(2，0)的有向弧段y＝x(2一x)，则＝__________。
10 设f(u)连续可导，且，L为半圆周，起点为原点，终点为B(2，0)，则＝__________.11 ＝__________。
12 ＝__________。
1314 设级数条件收敛，则p的取值范围是_________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 设f(x，y，z)连续，∑为曲面2z＝x2＋y2位于z＝2与z＝8之间部分的上侧，计算[yf(x，y，z)＋x]dydz＋[xf(x，y，z)＋y]dzdx＋[2xyf(x，y，z)＋z]dzdy.16 设＋xcosydy＝t2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求f(x，y)．17 设L为曲线｜x｜＋｜y｜＝1的逆时针方向，计算18 位于点(0，1)的质点A对质点M的引力大小为(其中常数k＞0，且r＝｜AM｜)，质点M沿曲线L：自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．19 在变力F＝{yz，xz，xy)的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一卦限的点M(ξ，η，ζ)，问ξ，η，ζ取何值时，F所做的功最大?求最大的功．20 质点P沿以AB为直径的半圆从点A(1，2)到点B(3，4)运动，受力F的作用，力的大小等于｜OP｜，方向垂直于线段OP且与y轴的夹角为锐角，求力F所做的功．21 设f(x)二阶连续可导，且曲线积分与路径无关，求f(x)．22 计算，其中S为圆柱x2＋y2＝a2(a＞0)位于z＝一a与z＝a之间的部分。
考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．=A．0．B．－∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低价无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．知识模块：高等数学填空题3．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．正确答案：(I)B(Ⅱ)D解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷64(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷64(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)二阶连续可导，，则( )．A．f(2)是f(x)的极小值B．f(2)是f(x)的极大值C．(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D．f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：A解析：由＞0，即当x∈(2—δ，2)时，f’(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小点，选(A)．知识模块：高等数学2．设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt，则( )．A．x=0是f(x)的极大值点B．x=0是f(x)的极小值点C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’(x)=一2x2+∫0xg(x—t)dt=一2x2一∫0xg(x—t)d(x—t)=一2x2+∫0xg(u)du，f”(x)=一4x+g(x)，f”(0)=0，f”‘(x)=一4+g’(x)，f”‘(0)=一4＜0，因为f”‘(0)==一4＜0，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，从而当x∈(一δ，0)时，f”(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f”‘(x)＜0，选(C)．知识模块：高等数学3．设f(x)二阶连续可导，且=1，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D．x=0是f(x)的驻点但不是极值点正确答案：C解析：因为f(x)二阶连续可导，且＜0，即当x∈(一δ，0)时，f”(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f”(x)＜0，所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．知识模块：高等数学4．设函数f(x)满足关系f”(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则( )．A．f(0)是f(x)的极小值B．f(0)是f(x)的极大值C．(0，f(0))是y=f(x)的拐点D．(0，f(0))不是y=f(x)的拐点正确答案：C解析：由f’(0)=0得f”(0)=0，f”‘(x)=1—2f’(x)f”(x)，f”‘(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f”‘(x)＞0，再由f”(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．知识模块：高等数学5．下列说法正确的是( )．A．设f(x)在x二阶可导，则f”(x)在x=x0处连续B．f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C．f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D．若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点正确答案：D解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．知识模块：高等数学6．设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：B解析：因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x一a)+=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k ＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．知识模块：高等数学7．设k＞0，则函数f(x)=lnx一+k的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f’(x)==0得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又=一∞，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．知识模块：高等数学8．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如右图，则f(x)有( )．A．两个极大点，两个极小点，一个拐点B．两个极大点，两个极小点，两个拐点C．三个极大点，两个极小点，两个拐点D．两个极大点，三个极小点，两个拐点正确答案：C解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4．当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x ∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f”(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．知识模块：高等数学填空题9．设f(x)=在x=1处可微，则a=___________，b=___________．正确答案：a=2，b=一1解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1一0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=一1．知识模块：高等数学10．设F(x)= ∫0x (x2一t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)=___________．正确答案：解析：F(x)=x2∫0xf’(t)dt—∫0xt2f’(t)dt，F’(x)=2x∫0xf’(t)dt，知识模块：高等数学11．设f(x)在(一∞，+∞)上可导，[f(x)一f(x—1)]，则a=___________．正确答案：1解析：=e2a，由f(x)一f(x一1)=f’(ξ)，其中ξ介于x一1与x之间，令x →∞，由e2，即e2a=e2，所以a=1．知识模块：高等数学12．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=___________．正确答案：47解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[—1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)] =3+4×(3+8)=47．知识模块：高等数学13．曲线y=的斜渐近线为___________．正确答案：y=2x—4解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷206(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷206(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2，则( )．A．a=1，b=2B．a=一1，b=一2C．a=0，b=一3D．a=0，b=3正确答案：C解析：f’(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值一2，所以解得a=0，b=一3，选(C)．知识模块：高等数学2．设(x＋y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．A．一1B．0C．1D．2正确答案：D解析：P(x，y)=得a=2，选(D)．知识模块：高等数学3．若正项级数( )．A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不确定正确答案：C解析：因为收敛，于是绝对收敛，选(C)．知识模块：高等数学填空题4．=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学6．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学8．∫0＋∞x5e－x2dx=________．正确答案：1解析：∫0＋∞x5e－x2=∫0＋∞x4e－x2d(x2)=∫0＋∞x2e－xdx==1．知识模块：高等数学9．一平面经过点M1(2，1，3)及点M2(3，4，一1)，且与平面3x—y+6z 一6=0垂直，则该平面方程为________．正确答案：7x一9y一5z+10=0解析：={1，3，一4}，因为所求平面平行于向量且与平面3x—y+6z一6=0垂直，所求平面的法向量为n=｛1，3，一4｝×｛3，一1，6｝=｛14，一18，一10｝，所求的平面方程为14(x一2)一18(y一1)一10(z一3)=0，即7x一9y 一5z+10=0．知识模块：高等数学10．设y=y(x)满足(1+x2)y’=xy且y(0)=1，则y(x)=________．正确答案：解析：将原方程变量分离得dx，积分得lny=，再由y(0)=1得y=．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷54.doc
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三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7计算∫L(x2+y2)ds，其中L：x2+y2=a2．
8 ∫Le ds，其中L为由x轴，x2+y2=4及y=x所围成的第一封限内的区域的边界．
9计算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中(1)L从原点经过直线y=x到点(2，2)；(2)L从原点经过抛物线y= 到点(2，2)．
[考研类试卷]考研数学一（高等数学）模拟试卷54
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设 (x+y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．
（A）一1
（B）0
（C）1
（D）2
2设L为由y2=x+3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则 等于( )．
（A）一2π
（B）2π（CLeabharlann π（D）0二、填空题
3设I= dx+xdy，其中L是椭圆4x2+y2=1，L为逆时针方向，则I=___________．
4设曲线L：y= (一1≤x≤1)，则∫L(x2+2xy)ds=___________．
5 ∮(x2+2xy+y3)ds=___________，其中L：x2+y2=4．
6设L： =1，且L的长度为l，则∮L(9x2+72xy+4y2)dx=___________．
16设Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续的偏导数，且∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，且对任意的t有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．
考研数学一(高等数学)模拟试卷300(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷300(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设常数α＞2，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与α有关．正确答案：C解析：由于设常数p满足1＜p＜α一1，则有由正项级数比较判别法的极限形式知级数收敛，进而知当α＞2时绝对收敛，即(C)正确．知识模块：高等数学2．设a＞0为常数，则级数A．发散．B．条件收敛．C．绝对收敛．D．敛散性与口有关．正确答案：B解析：用分解法．分解级数的一般项知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)因发散，故原级数发散．(Ⅱ)因(Ⅲ)使用比值判别法．因，故原级数收敛．涉及知识点：高等数学4．判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：正确答案：(Ⅰ)由于收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛．(Ⅱ)由于当n充分大时，0＜＞0，所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数(n→∞)，所以，级数条件收敛．是条件收敛的，故原级数条件收敛．涉及知识点：高等数学5．求下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)注意=1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则当＞1，即x＜0时，原级数发散(x=一1除外)，因为一般项不是无穷小量；当x=0时，原级数为收敛的交错级数．因此，级数的收敛域为[0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判别法，则有这就说明：当｜x｜＞1时，级数收敛，而且绝对收敛；然而，当｜x｜≤1(x≠—1)时，比值判别法失效．但是，当｜x｜＜1时，=1；当x=1时，un(x)=(n=1，2，…)，都不满足级数收敛的必要条件．所以，级数的收敛域为｜x｜＞1．涉及知识点：高等数学6．求下列幂级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)=3，故收敛半径R=1／3．当x=1／3时，原幂级数为，是一个收敛的交错级数；当x=一1／3时，原幂级数为的收敛域为(一1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于，的收敛半径R=+∞，即收敛区间也是收敛域为(一∞，+∞)．涉及知识点：高等数学7．求幂级数的收敛域及其和函数．正确答案：容易求得其收敛域为[一1，1)．为求其和函数S(x)，在它的收敛区间(一1，1)内先进行逐项求导，即得S’(x)=，x∈(—1，1)．又因为S(0)=0，因此S(x)=∫0xS’(t)dt=∫0x=一ln(1—x)．注意原级数在x=一1处收敛，又ln(1一x)在x=一1处连续，所以S(x)=一ln(1一x)，x∈[一1，1)．涉及知识点：高等数学8．判定下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)本题可采用比值判别法．由于，所以，当p＜e时，级数收敛；当p＞e时，该级数发散；当p=e时，比值判别法失效．注意到数列{(1+)n}是单调递增趋于e的，所以当p=e时，＞1，即{un}单调递增不是无穷小量，所以该级数也是发散的．总之，级数当p＜e时收敛，p≥e时发散．(Ⅱ)本题适宜采用根值判别法．由于=0，所以原级数收敛．这里用到=0．涉及知识点：高等数学9．判别下列级数的敛散性：正确答案：(Ⅰ)利用比较判别法的极限形式．由于级数发散，而且当n→∞时所以原级数也发散．(Ⅱ)仍利用比较判别法的极限形式．先改写用泰勒公式确定的阶．由于(Ⅲ)注意到0≤收敛，所以原级数也收敛．(Ⅳ)因为函数f(x)=单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数收敛．再由上面导出的不等式0＜un≤，所以原级数也收敛．涉及知识点：高等数学10．判别级数的敛散性，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．正确答案：首先因为{xn}是单调递增的有界正数数列，所以0≤1—．现考察原级数的部分和数列{Sn}，由于Sn=(xn+1一x1)，又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0为常数)，故所以{Sn}也是有界的．由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛．涉及知识点：高等数学11．判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：正确答案：(Ⅰ)由于发散，所以原级数不是绝对收敛的．原级数是交错级数，易知的单调性，令f(x)=＞0(当x充分大时) →当x充分大时g(x)．这说明级数满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是条件收敛的．(Ⅱ)由于sin(nπ+，所以此级数是交错级数．又由于发散，这说明原级数不是绝对收敛的．由于sinx在第一象限是单调递增函数，而是单调减少的，所以，sin 随着n的增加而单调递减．又显然满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的．结合前面的讨论，知其为条件收敛．涉及知识点：高等数学12．判别级数(p＞0)的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛)．正确答案：为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当p＞1时，级数绝对收敛；而当p≤1时，该级数不绝对收敛．下面介绍几种方法讨论0＜p≤1时，是否条件收敛．考察部分和Sn=(n≥2)的极限是否存在．先考虑部分和数列的奇数项，即注意到等式右端的每一项都是正的，所以S2n+1＜0，而且单调递减．又由于亦即S2n+1＞，这就说明{S2n+1}是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n+1=S．又由于(S2n+1—u2n+1)=S，即Sn=S，亦即级数的部分和数列收敛，所以该级数收敛．特别，这说明0＜p≤1时，该级数条件收敛．解析：对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛．这里un≥un+1不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足．这样，当其不是绝对收敛时，莱布尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质．知识模块：高等数学13．判断如下命题是否正确：设无穷小un～vn(n→∞)，若级数vn也收敛．证明你的判断．正确答案：对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：vn同时收敛或同时发散．本题未限定vn一定收敛．比如，取即un～vn(n→∞)．级数un是收敛的，然而级数vn是不收敛的．涉及知识点：高等数学14．确定下列函数项级数的收敛域：正确答案：(Ⅰ)使用比较判别法．当x≤1时，由于也发散．当x＞1时，取p∈(1，x)，由于=0，所以的收敛域为(1，+∞)．(Ⅱ)当x＞0时，由于满足莱布尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的．而当x≤0时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的．故级数的收敛域为(0，+∞)．涉及知识点：高等数学15．求下列幂级数的收敛域或收敛区间：(Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)(Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．正确答案：(Ⅰ)有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算所以R=1．再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛．这样，即得结论：xn—1的收敛域为[一1，1)．(Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法：它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于(Ⅲ)nan(x一1)n+1=(x一1)2[an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，nan(x一1)n+1与an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)．(Ⅳ)令t=x一3，考察antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．涉及知识点：高等数学16．求下列幂级数的和函数并指出收敛域：(Ⅰ)n(n+1)xn．正确答案：(Ⅰ)为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和．设=一4ln(1一x)，(一1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展开式)所以S(x)=S1(x)—S2(x)+S3(x)=ln(1—x) =ln(1—x)，x∈(—1，1)，x≠0．当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数看S(0)=a0=1，同时，也容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．涉及知识点：高等数学17．将函数arctan展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间．正确答案：由于，利用公式，并以x2代替其中的x，就有(一1)nx2n，一1＜x2＜1即一1＜x＜1．上式两端再进行积分，注意到arctan，所以由f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt即得注意函数arctan在端点x=一1处连续，幂级数在点x=一1处也收敛，从而上式在端点x=一1处也成立，即涉及知识点：高等数学18．将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：(Ⅰ)，在x=1处；(Ⅱ)ln(2x2+x 一3)，在x=3处．正确答案：在上述展式中就是以(—1)nxn=1—x+x2—x3+…+(—1)nxn+…，(一1＜x＜1) (11．16)式中的x．类似地，有(Ⅱ)由于ln(2x+x一3)=ln(2x+3)(x 一1)=ln(2x+3)+ln(x一1)，对于右端两项应用公式得解析：使用间接法在指定点x0处作泰勒展开，就要用x—x0或者x一x0的倍数与方幂等代替原来的x．知识模块：高等数学19．将下列函数f(x)展开成戈的幂级数并求f(n)(0)：正确答案：(Ⅱ)应用公式(11．12)，有(一∞＜x＜+∞)．逐项积分得(一∞＜x ＜+∞)．由此又得f(2n)(0)=0 (n=1，2，3，…)，f(2n+1)(0)= (n=0，1，2，…)．解析：在这两个小题中除了作幂级数展开之外还涉及分析运算：一个含有求导，一个含有积分．像这样的题目，到底是应该先展开后做分析运算，还是应该先做分析运算后展开呢?一般来说应该先展开，因为对展开式的分析运算就是逐项求导、逐项积分，比较简便．而且某些题目也必须先展开，第(Ⅱ)小题就是如此．知识模块：高等数学20．求下列级数的和：正确答案：(Ⅰ)S==S1+S2．S2为几何级数，其和为2／3．S1可看作幂级数(一1)(n)n(n一1)x(n)在x=1／2处的值．记直接利用ln(1+x)的展开式得涉及知识点：高等数学21．(Ⅰ)设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________；(Ⅱ)设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，则S(一)=____________．正确答案：(Ⅰ) 3／2；(Ⅱ)—1／4解析：(Ⅰ)根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于[f(1—0)+f(一1+0)]=3／2．(Ⅱ)由S(x)的形式可知：S(x)是奇函数．又f(x)在x=连续，所以知识模块：高等数学22．设周期为2π的函数f(x)=的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，(Ⅰ)求系数a0，并证明an=0，(n≥1)；(Ⅱ)求傅里叶级数的和函数g(x)(一π≤x≤π)，及g(2π)的值．正确答案：(Ⅰ)根据定义注意：奇函数xcosnx在对称区间上的积为零．从另一个角度看，f(x)一(ancosnx+bnsinnx)实际上就是f(x)一a0／2的傅里叶级数，所以an=0．(Ⅱ)根据收敛定理，和函数g(x)=另外，g(2π)=g(0)=π．涉及知识点：高等数学23．设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。
考研数学一(高等数学)模拟试卷269(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷269(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是( )A．设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B．设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C．设在x→x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D．设在x→x0的某邻域g(z)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大正确答案：D解析：设当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除A．当x→0时，令f(x)=x2，可排除B，C．对于D，由于当x→x0时，f(x)不是无穷大，故必存在以x0为极限的数列{xn}使得f(xn)为有界量，又有g(x)在x=x0的某邻域内有界，设该邻域为U，{xki)={xn}∩U，故{xki}同样以x0为极限，此时f(xki)g(xki)为有界量．故当z→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大．知识模块：函数、极限、连续2．若在(－∞，+∞)上连续，且则( )A．λ＜0，k＜0B．λ＜0，k＞0C．a≥0，k＜0D．λ≤0，k＞0正确答案：D解析：若λ＞0，则必存在一个x使得λ－e－kx=0，即分母为0，与f(x)在(－∞，+∞)上连续矛盾，故λ≤0；又若k≤0，当x→－∞时，一kx→－－∞或－kx=0，均有f(x)→∞，与题意矛盾，故k＞0．知识模块：函数、极限、连续3．设f(x)在x=0的某邻域内连续且在x=0处存在二阶导数f’’(0)．又设( ) A．x=0不是f(x)的驻点B．x=0是f(x)的驻点，但不是f(x)的极值点C．x=0是f(x)的极小值点D．x=0是f(x)的极大值点正确答案：C解析：先将∫0xtf(x－t)dt变形，记F(x)=∫0xtf(x－t)dt∫0x(x－u)f(u)(－du)=x ∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du．由洛必达法则，得若再用洛必达法则，于是有所以f’’(0)=24a＞0．选C．知识模块：一元函数微分学4．设f(x)是以l为周期的周期函数，则∫a+kla+(k+1)lf(x)dx之值( ) A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学5．设则在区间(一1，1)上( )A．f(x)与g(x)都存在原函数B．f(x)与g(x)都不存在原函数C．f(x)存在原函数，g(x)不存在原函数D．f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数正确答案：D解析：g(x)在区间(－1，1)上连续，所以在(－1，1)上存在原函数．不选B 与@(C)@．将f(x)在区间(－1，0)与(0，1)上分别积分得要使得在x=0处连续，取C2=1+C1，如此取定之后，记为容易验算知，F’－(0)=0，F’+(0)=1．无论C1取何值，F(x)在x=0处不可导，故f(x)在包含x=0在内的区间上不存在原函数，不选A．故选D．知识模块：一元函数积分学6．设C为从A(0，0)到B(4，3)的直线段，则∫C(x－y)ds等于( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：只有选项B正确．知识模块：多元函数积分学7．球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ax所围成的立体体积等于( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：因为所围成的立体关于xoy面和zOx面对称，故所围立体体积V=4V1，其中V1为所围成立体在第一卦限部分的体积．V1在xOy面上的投影域为Dxy={(x，y)｜x2+y2≤2ax，y≥0}．这里V1可看作以Dxy为底，以球面x2+y2+z2=4a2为曲顶的曲顶柱体体积，由二重积分的几何背景可知知识模块：多元函数积分学填空题8．设函数且1+bx＞0，则当f(x)在x=0处可导时，f’(0)=______．正确答案：解析：利用洛必达法则，由于f(x)在x=0处可导，则在该点连续，就有b=f(0)=－1，再由导数的定义及洛必达法则，有知识模块：一元函数微分学9．设则∫01f(x)dx=_____．正确答案：解析：令3x+1=t，所以知识模块：一元函数积分学10．设函数f(x)在(0，+∞)上连续，且对任意正值a与b，积分∫aabf(c)dx 的值与a无关，且f(1)=1，则f(x)=______．正确答案：解析：由于∫aabf(x)dx与a无关，所以(∫aabf(x)dx)’a≡0，即f(ab)b－f(a)≡0．上式对任意a均成立，所以令a=1，有f(b)b－f(1)=0，可以验算，=lnab－lna=ln b与a无关．知识模块：一元函数积分学11．三平面x+3y+z=1，2x－y－z=0，－x+2y+2z=3的交点是______．正确答案：(1，－1，3)解析：只需求解三元一次方程组解得x=1，y=－1，z=3．知识模块：向量代数与空间解析几何12．过直线且和点(2，2，2)的距离为的平面方程是______．正确答案：5x－y－z－3=0或x+y－z－1=0解析：已知直线的一般式方程为显然平面3x－z－2=0不符合题意，可设过该直线的平面束方程为πλ：(2+3λ)x－y－λz－(1+2λ)=0，由点(2，2，2)到πλ的距离为得化简得λ2=1，λ=±1．当λ=1时，对应一个平面π1：5x －y－z－3=0；当λ=－1时，对应另一个平面π2：x+y－z－1=0．知识模块：向量代数与空间解析几何13．函数f(x，y)=ln(x2+y2－1)的连续区域是______．正确答案：{(x，y)｜x2+y2＞1)解析：所有多元初等函数在其有定义的区域内都是连续的．知识模块：多元函数微分学14．已知曲线积分∫L[excosy+yf(x)]dx+(x3－exsiny)dy与路径无关且f(x)有连续的导数，则f(x)=______．正确答案：3x2解析：设P=excosy+yf(x)，Q=x3－exsiny．由∫LPdx+Ody与路径无关，有即－exsiny+f(x)=3x2－exsiny，于是f(x)=3x2．知识模块：多元函数积分学15．设a为常数，若级数=______．正确答案：a解析：因级数知识模块：无穷级数16．常数项级数的敛散性为______．正确答案：发散解析：将已给级数每相邻两项加括号得新级数因发散，由于加括号后级数发散，故原级数必发散．知识模块：无穷级数17．微分方程y’tanx=ylny的通解是______．正确答案：y=eCsinx，其中C为任意常数解析：原方程分离变量得积分得ln｜ln y｜=ln｜sin x｜+ln C1，通解为ln y=Csin x或y=eCsinx，其中C为任意常数．知识模块：常微分方程18．微分方程的通解为______．正确答案：．其中C1，C2为任意常数解析：由y’’=再积分得其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(填空题)模拟试卷99(题后含答案及解析)
考研数学一（填空题）模拟试卷99(题后含答案及解析) 题型有：1.1．极限正确答案：2解析：知识模块：函数、极限、连续2．若f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：2解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2．知识模块：高等数学3．若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______．正确答案：9f’(1)解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)．知识模块：高等数学4．设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______．正确答案：0解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0．知识模块：高等数学5．由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=__________．正确答案：3πa2解析：当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．25．于是图形的面积知识模块：一元函数积分概念、计算及应用6．函数y=x+2cosx在区间上的最大值为__________。
正确答案：解析：令y’=1－2sinx=0，解得把x=0，分别代入函数解析式中得，因此函数在区间上的最大值为知识模块：一元函数微分学7．设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，1／2)的随机变量，则E(|ξ-η|)=_______。
正确答案：解析：若记X=ξ-η，则EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)．知识模块：概率论与数理统计8．方程组有非零解，则k＝_______．正确答案：－1解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1．知识模块：线性方程组9．设∫a2ln2=π／6，则a=_______．正确答案：ln2解析：则arcsine－a／2=π／4，故a=ln2．知识模块：高等数学10．设两两相互独立的事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P （C）＜1/2，且已知p(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=__________.正确答案：1/4解析：由于A、B、C两两独立，且P(A)=P(B)=P(C)，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)]2 ，P(AC)=[P(A)]2 ，P(BC)=[P(A)]2 ，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =3P(A)-3[P(A)]2 ．依题意，有3P(A)-3[P(A)]2 =9/16，[P(A)]2 -P(A)+3/16=0．解方程，得P(A)=1/4或/3/4. 知识模块：综合11．=___________。
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一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值一2，则( )．
（A）a=1，b=2
（B）a=一1，b=一2
（C）a=0，b=一3
（D）a=0，b=3
2设 (x＋y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．
19设z= ．
20设μ=xyz，求dμ．
21求 max｛xy，1｝dxdy，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2｝．
22求 dxdy，其中D：x2+y2≤π2．
23计算 xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上侧．
24判断级数 的敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛．
25求微分方程xy'+(1一x)y=e2x(x＞0)的满足 =1的特解．
26一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的 ，求全部融化需要的时间．
（A）一1
（B）0
（C）1
（D）2
3若正项级数 ( )．
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛
（D）敛散性不确定
二、填空题
4 =________．
5 =_________．
6 =_________．
7 =_________．
8 ∫0＋∞x5e－x2dx=________．
9一平面经过点M1(2，1，3)及点M2(3，4，一1)，且与平面3x—y+6z一6=0垂直，则该平面方程为________．
10设y=y(x)满足(1+x2)y'=xy且y(0)=1，则y(x)=________．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
11求 ．
12求 ．
13讨论f(x)= 在x=0处的可导性．
14证明：当x＞0时， ．
15求下列不定积分：
16求 ．
17求 cos2xdx．
18设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b－a) f''(ξ)．