考研高数模拟试题

模拟测试题(七)考生注意:(1)本试卷共三大题,23小题,满分150分. (2)本试卷考试时间为180分钟.一、选择题(本题共8小题,每题4分,共32分) (1)函数sin y x x =+及其表示的曲线 ( ).(A ) 没有极值点,有无限个拐点 ; (B ) 有无限个极值点和无限个拐点 ; (C ) 有无限个极值点,没有拐点 ; (D ) 既无极值点,也无拐点 .(2)设22222()sin 0(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩则在(0,0)点处, (,)f x y ( ).(A ) 连续但二偏导数不都存在 ; (B ) 二阶偏导数存在但不连续;(C ) 连续且二偏导数存在但不可微 ; (D ) 可微 . (3)(一、三)设级数nn a∞=∑收敛,则下列三个级数①21,nn a ∞=∑②41,nn a ∞=∑③61nn a∞=∑中( )(A ) ①、②、③均收敛 ; (B ) 仅②、③收敛 ; (C ) 仅③收敛 ; (D ) ①、②、③均未必收敛 . (3)(二) 设21,0()||,(),,0x x f x x g x x x -≥⎧==⎨<⎩则21(())().f g x dx -=⎰ (A )2;3 (B ) 4;3(C ) 1;3 (D ) 5.3(4) (一、二) 在线性微分方程:()()0y''b x y'c x y ++=中, 若()()1,()[1()]tan ,b x c x b x c x x +=-=-则此方程的通解为().y =(A ) 12sin ;x c e c x -+ (B ) 12cos ;xc e c x -+ (C ) 12sin ;x c e c x + (D ) 12cos .x c e c x +(4) (三) 设2sin sin ,x t xI te dt +=⎰π则I ( ) .(A ) 是无界函数 ; (B ) 是x 的非常量函数 ; (C ) 是正常数 ; (D ) 是负常数 .(5)设向量组(Ⅰ):12,,,r ααα可由向量组(Ⅱ)12,,,s βββ 线性表示,则有( ) .(A ) 若,r s >则向量组(Ⅰ)必线性无关 ; (B ) ,r s ≤则向量组(Ⅰ)必线性相关 ; (C ) 若向量组(Ⅰ)线性相关,则必有r s ≥ ; (D ) 若向量组(Ⅰ)线性无关 则必有.r s ≤ (6) 设A 为m n ⨯矩阵, B 与C 均为n l ⨯矩阵,且,=AB AC 则 ( ) .(A ) m n =时必有=B C ; (B ) ()m =r A 时必有=B C ; (C ) ()n =r A 时必有=B C ; (D ) m n >时必有=B C .(7) (一) 设随机变量(,),X ~F n n 记{1},{1},P X P X =≥=≤αβ 则 ( ).(A ) =αβ ; (B ) <αβ ; (C ) >αβ; (D ) α、β的大小与n 的取值有关 .(7) (二) 设32|1|2,1()2,1x x x x x f x x ⎧--++≥=⎨<⎩则在x =1处 f (x ) ( ) .(A ) 不连续 ； (B ) 连续但不可导 ； (C ) 可导但导数不连续 ； (D ) 导数连续 .(7) (三) 对任意三个概率不为零的事件A 、B 、C ,已知(|)(),P A B P A >则下列不等式正确的是( ) .(A ) (|)()P A B P A > ; (B ) (|)()P B A P B > ;(C ) (|)()P A BC P A > ; (D ) (|)()P BC A P BC > . (8) (一、三) 以下命题不正确的是 ( ) .(A ) 若()0,P A =则事件A 与任意事件B 相互独立 ;(B ) 若X 是只取一个常数C 的随机变量,即,X C ≡ 则X 和任意随机变量相互独立 ； (C) 若()1,P A =则事件A 与任意事件B 相互独立 ； (D ) 若()()(),P A B P A P B ⋃=+则事件A 、B 互不相容 .(8) (二) 设平面曲线由极坐标方程(1cos )r a =-θ给出，则此曲线的周长为 ( ) . (A ) 6a ; (B ) 4a ; (C ) 8a ; (D ) 2a 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）(9)若2001lim1,sin x x x x →=-⎰则______.a = (10) (一) 与直线 1:1,1,2L x y t z t ==-=+及2121:121x y z L ++-==均平行且过原点的平面方程为_____. (10) (二) 212lim()_______.333n n n→∞+++= (10) (三) 差分方程1223tt t y y +-=⨯的通解是_________________.(11) 设20,0,A AC B >->则在条件221x y +=下,函数222z =Ax Bxy Cy ++的极大值与极小值之和 = ________________.(12) (一) 设L 是折线1|1|y x =--由(0,0)到(2,0)的一段,则__________.Lxdy =⎰(12) (二、三) 20arctan arcsin lim_________.sin x x xx x→-=(13) 设向量组(Ⅰ):123,,ααα和向量组(Ⅱ):122331,,,t t t αααααα+++若这两个向量组等价,则数t 应满足的条件是_____________.(14) (一、三) 设随随机变量X 与Y 不相关,且方差分别为4和9,则随机变量34XY -的方差为__________. (14) (二) 微分方程3dy y dx y x=+的通解为___________________. 三、解答题（本题共9小题，总分94分）(15) (一)（本题满分10分）求幂级数1)1n n n x n ∞=+∑的收敛域.(15) (二、三) 本题满分10分）计算二重积分(2),Dx y dxdy -⎰⎰其中22{(,)|1}.D x y x y x y =+≤++(16) （本题满分10分）设函数(,)f x y 二次可微,且0,fy∂≠∂试证明:对任意的常数C,方程(,)f x y C =表示一条直线的充要条件是2222222()2()0.f f f f f f fy x x y x y x y ∂∂∂∂∂∂∂-+=∂∂∂∂∂∂∂∂(17) (一、二)（本题满分10分）求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-一拱(02),t ≤≤π与x轴所围成图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.(17) (三)（本题满分10分）求抛物线11221x y +=的切线与二坐标轴所围成三角形面积的最大值.(18) （本题满分10分）设()f x 有二阶连续的导数,(sin )xz f e y =满足方程：22222,x z ze z x y∂∂+=∂∂ 求f (x ) .(19) （本题满分10分）计算广义积分2ln().1ex dx x+∞+⎰(20)（本题满分11分）设α、β均为3维实单位向量,且0,2,TTTαβαββα==++A E 其中E 为3阶单位矩阵. (1) 证明A 为实对称矩阵 ；(2) 写出经正交变换将二次型Tf =x Ax 化成的标准形. (3) 问A 是否为正定矩阵？说明理由.(21)（本题满分11分）设A 、B 是两个n 阶的非零矩阵,满足,*=≠00.AB A 若12,,,kααα是齐次线性方程组=0Bx 的一个基础解系,α是任意一个n 维列向量,证明αB 可由12,,,,k αααα线性表示,并问何时线性表示是唯一的.(22) (一、三)（本题满分11分）已知二维随机变量X 的概率密度为22,1(),130,x x Ae x f x =B x -+⎧<⎪≤<⎨⎪⎩其它, 其中A 、B 为大于零的常数,且已知351.224P X ⎧⎫<<=⎨⎬⎩⎭求：(1) A 、B 的值；(2)随机变量X 的分布函数()F x ；(结果用()x Φ表示, 22()).t xx dt -=⎰Φ(3) 数学期望().E X(22) (二)（本题满分11分）设曲线()y y x =在点1(1,)4处与直线4430x y --=相切, 且()y y x =满足方程y''=求该曲线在相应[1,1]x ∈-上点(x ,y )处的曲率.(23) (一、三) （本题满分11分）设随机变量X 、Y 相互独立且同分布:1{2}{2},2P X P X =-===且,Z XY =试证明X 、Y 、Z 两两独立,但不相互独立.(23) (二) （本题满分11分）设0(),ln(1),0n x x f x a x b x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩在点x = 0 处可导,求a 、b 及11()f x dx -⎰的值.。