二次型及其标准型
合集下载
二次型及标准型
§5 二次型及其标准形在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax（4）的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧+=-=,cos 'sin ',sin 'cos 'θθθθy x y y x x把方程化成标准形.1''22=+ny mx（4）式的左边是一个二次奇次多项式，从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次奇次多项式，使它只含有平方项。
这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。
现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次奇次多项式的化简问题。
定义 8 含有n 个变量nx x x ,,,21的二次奇次函数nn nn nnnnxx a x x a x x a xa x a x a x x x f 1,13113211222222211121222),,,(--+++++++=称为二次型。
取ijjia a +，则ij ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，于是（5）式可写成.1,2221122222212211121122111jinj i ijnnnnn nn nnnnx x a xa x x a x x a xx a x a x x a xx a x x a x a f ∑==++++++++++++= （6）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nyc y c y c x y c y c y c x y c y c y c x nnn n nnnnn22112222112212121111,, 使二次型只含平方项，也就是用（7）式代入（5），能使.2222211nny k y k y k f +++=这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）.如果标准型的系数nkk k ,,,21只在1，-1,0三个数中取值，也就是用（7）代入（5）能使则称上式为二次型的规范形。
二次型及其标准形(精)
则得二次型的标准形
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
第五节 二次型及其标准型
x T Ax
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
《二次型及其标准型》课件
任意二次型都可以表示成矩阵的形式。
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向 量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零 点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零 点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某 点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某 点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变 换达到规范形式，其中自变量 部分是平方项相加的形式，而 系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范 化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重 要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到 一种快速求解带权重线性最小二乘问题的 方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类 和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您 能够收获满满。
一、二次型的概念
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向 量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零 点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零 点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某 点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某 点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变 换达到规范形式，其中自变量 部分是平方项相加的形式，而 系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范 化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重 要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到 一种快速求解带权重线性最小二乘问题的 方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类 和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您 能够收获满满。
一、二次型的概念
第五章二节二次型的标准形和规范形
T 得对应的特征向量 a3 = (1,1,1)
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
Ch5-5线性代数二次型及其标准型
2 01
0
0 0 1
可得
f
的规范形：f
=
－z
2 1
+
z
2 2
+
z
2 3
.
用正交阵将二次型化为标准形的步骤:
正交变换法
(i) 写出 f 的矩阵 A,并求出 A所有相异特征值 1, , m;
它们的重数依次为 r1, r2 , rm ( r1 r2 rm n )
(ii) 对每个重特征值i , 求出对应的 ri 个线性无关的特征向量
二次曲线
旋转变换
ax2 bxy cy2 1
令
x y
x cos x sin
y sin y cos
, ,
二次齐次多项式
m x2 n y2 1
不改变长度、夹角
可逆线性变换 正交变换
对于n 元的二次齐次多项式，能否存在一个可逆的线性变换 将其变为只含平方项的二次齐次多项式
求可逆矩阵 C 使得 C TAC B , 称为将 A 合同(变换)为 B .
简单性质:
10 矩阵的合同关系是等价关系;
20 合同矩阵CT必A等C 秩 B; , 而 C 可逆，
30 与对称矩阵合同的矩阵也是对称阵.
A AT , C TAC B BT CT ATC CT AC B
从合同的角度看二次型的变换问题:
二次型 f xTAx 经可逆变换 x C y化成二次型 f yTB y
存在可逆阵 C 将矩阵 A合同为B, 即 A, B 满足CTAC =B, 且 B仍为对称阵,二次型 f 的秩不变.
能将二次型 f = xTA x 经过可逆线性变换化成标准形
二次型及其标准型
其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 二次型
6.3 化二次型为 规范形
本节只讨论实数域 R 上的二次型化为规范形的情况
一、二次型的标准形不是唯一的
如：下述二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3
⑴经正交替换 X = QY，其中
1 2 2 1 Q = 2 − 1 − 2 3 1 − 2 2
2、用可逆线性替换（配方法）化二次型为标准形 、用可逆线性替换（配方法） 的步骤 的平方项， ⑴若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积 项集中，然后配方，再对其余变量同样进行， 项集中，然后配方，再对其余变量同样进行，直 到都配成平方项为止，经过可逆线性替换， 到都配成平方项为止，经过可逆线性替换，就可 得到标准形. 得到标准形 ⑵若二次型中不含平方项，但是 aij ≠ 0 (i ≠ j) ，则先 若二次型中不含平方项， 作可逆线性替换： 作可逆线性替换： x i = u i − u j x j = ui + u j x =u k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按⑴ 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按⑴中 方法配方. 方法配方
化为标准形： 可使 f 化为标准形：
2 2 f ( y1 , y2 , y3 ) = − y12 + 2 y2 + 5 y3
⑵经可逆线性替换
x1 = u1 + 2u 2 x2 = u 2 2 x3 = 3 u2 + u3
10 2 2 u2 + 3u3 3
可使 f 化为标准形：f (u1 , u2 , u3 ) = u12 − 化为标准形：
定理6.7： 定理 ：任意实对称矩阵 A 与对角矩阵
1 O 1 Λ= −1 O1 −
0O
0
合同. 其中： 和 的个数共有 合同 其中：+1和-1的个数共有 r ( A) 个； 1的个数由 A 唯一确定，称为 A 的正惯性 的个数由 唯一确定， 指数. 指数 推论2.7： 推论 ：两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件 是它们的秩和正惯性指数分别相等. 是它们的秩和正惯性指数分别相等
观察可得： 观察可得：两种标准形中系数不为零的项数是 相等的. 相等的 定理6.5： 定理 ：二次型的标准形中系数不为零的平方项的 个数是唯一确定的. 个数是唯一确定的
二、实二次型的规范形
1、惯性定理 、 定理6.6： 定理 ：任一实二次型 f 都可经过可逆线性替换 化为规范形，即： 化为规范形，
例1：用可逆线性替换化下列二次型为标准形 ：
2 2 ⑴ f ( x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x2 + 5x3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 6x2 x3
⑵ f ( x1, x2 , x3 ) = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3
二、用正交替换化二次型为标准形
1、准备 、 定理6.4：实数域 R 上的任意一个二次型都可经过可 定理 ： 正交替换化为标准形. 正交替换化为标准形
作业
习题六 P244
5： （1）（ ） ： ）（2） ）（ 实二次型 例如：
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3 2 2 化为规范形是： 化为规范形是：f ( x1 , x2 , x3 ) = z12 + z 2 − z3
于是： 于是：二次型 f 的秩 r = 3 正惯性指数 p = 2 负惯性指数 r − p = 1 符号差 p − (r − p) = 2 p − r = 1
第六章 二次型
6.2 化二次型为 标准形
本节只讨论实数域 R 上的二次型化为标准形的情况 实数域 R 上的二次型称为实二次型 上的二次型称为实二次型 实二次型.
一、用可逆线性替换（也称拉格朗日配方） 用可逆线性替换（也称拉格朗日配方） 方法化二次型为标准形
1、准备 、 定理6.2： 定理 ：数域 F 上的任意一个二次型都可经过可 逆线性替换化为标准形. 逆线性替换化为标准形 注：显然实数域 R 上的任意一个二次型都可经过 可逆线性替换化为标准形. 可逆线性替换化为标准形 定理6.3： 定理 ：数域 F 上任意对称矩阵都与一个对角矩 阵合同. 阵合同 注：显然实数域 R 上任意对称矩阵都与一个对角 矩阵合同. 矩阵合同
2、用正交替换化二次型为标准形的步骤 、 ⑴写出二次型 f (x1, x2 ,L, xn ) 所对应的对称矩阵 A ，求 出 A 的全部特征值 λ1 , λ2 , L , λn ； ⑵由于 A 是 n 阶的实对称矩阵，求出正交矩阵 Q ， 阶的实对称矩阵， 使得： 使得： −1 AQ = Λ 为对角矩阵 Q ⑶作正交替换 x = Qy ，可得 f ( x1, x2 ,L, xn ) 的标准形
2 2 f ( y1, y2 ,L, yn ) = λ1 y12 + λ2 y2 +L+ λn yn = YT ΛY
例2：用正交替换将下列二次型化为标准 ： 形
2 2 ⑴ f ( x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x2 + 3x3 − 4x1x2 − 4x2 x3 2 2 ⑵ f ( x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x2 − 2x3 − 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3
2 f = z12 + z 2 + L + z 2 − z 2 +1 − L − zr2 p p
的秩， 其中 r 为二次型 f 的秩，且规范形是唯 一的. 一的 是唯一确定的. 注：由于规范形唯一，从而 r 是唯一确定的 由于规范形唯一，
正惯性指数： 的规范形中， 正惯性指数：将实二次型 f 的规范形中，系数为正 称为正惯性指数. 的平方项个数 p 称为正惯性指数 负惯性指数：将实二次型 f 的规范形中，系数为负 负惯性指数： 的规范形中， 称为负惯性指数. 的平方项个数 r − p称为负惯性指数 符号差：实二次型 f 的规范形中，正惯性指数与负 的规范形中， 符号差： 惯性指数的差（ 惯性指数的差（即为 p − (r − p) = 2 p − r ） 的符号差. 称为 f 的符号差 推论：实二次形的任一标准形中， 推论：实二次形的任一标准形中，系数为正的平方 项个数唯一确定， 的正惯性指数， 项个数唯一确定，等于 f 的正惯性指数，系 数为负的平方项个数也唯一确定， 数为负的平方项个数也唯一确定，等于 f 的 负惯性指数. 负惯性指数