二次型及其标准形
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二次型及其标准型
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
它的特征多项式为
1 1 1
1 1 1
A E
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明 A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵.
B CT AC , RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1 , RA R BC 1 RB.
RA RB.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
第五节 二次型及其标准型5-2
解 1）二次型的矩阵为 ）
0 1 A= 1 −1
1 −1 −1 1 ， −1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 −1 1 −λ −1 1 1 −λ −1 1 A− λE = = (1−λ) 1 −1 −λ 1 1 −1 −λ 1 −1 1 1 −λ 1 1 1 −λ
5、用x=Py，把f 化成标准型 用 ，
其 λ , λ2, L λn使 的 阵 的 个 征 . 中1 , f 矩 A n 特 值
例1.2 求一个正交变换x=Py，把二次型 求一个正交变换x=Py，
f = 2x1x2 +2x1x3 −2x1x4 −2x2x3 +2x2x4 +2x3x4 化 标 形 为 准 .
例１ 写出二次型
f = x + 2 x − 3 x + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
1 2 0 x 1 2 3 0 x . f (x , x2, x3) = ( x , x2, x3 ) 1 1 2 0 0 0 x3
(2)
2 二次型的标准形
定义1.2 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ y +L+ λ y
2 1 1 2 2 2
2
3 1 1 3 A+3E = 1 −1 −1 1 1 1 0 2 ~ 0 −2 0 2
0 1 A= 1 −1
1 −1 −1 1 ， −1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 −1 1 −λ −1 1 1 −λ −1 1 A− λE = = (1−λ) 1 −1 −λ 1 1 −1 −λ 1 −1 1 1 −λ 1 1 1 −λ
5、用x=Py，把f 化成标准型 用 ，
其 λ , λ2, L λn使 的 阵 的 个 征 . 中1 , f 矩 A n 特 值
例1.2 求一个正交变换x=Py，把二次型 求一个正交变换x=Py，
f = 2x1x2 +2x1x3 −2x1x4 −2x2x3 +2x2x4 +2x3x4 化 标 形 为 准 .
例１ 写出二次型
f = x + 2 x − 3 x + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
1 2 0 x 1 2 3 0 x . f (x , x2, x3) = ( x , x2, x3 ) 1 1 2 0 0 0 x3
(2)
2 二次型的标准形
定义1.2 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ y +L+ λ y
2 1 1 2 2 2
2
3 1 1 3 A+3E = 1 −1 −1 1 1 1 0 2 ~ 0 −2 0 2
二次型及其标准形(精)
则得二次型的标准形
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
第五节 二次型及其标准型
x T Ax
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
二次型的标准型和规范型
小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
2. 正交变换法 正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.
Th5.3(1)实对称矩阵A, 正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵. (2)任一二次型都可经正交变换化为标准形,即 二次型f (x) xT Ax, 正交变换x Qy(Q为正交矩阵),
将其化为标准形g( y1, y2 ,, yn ) 1 y12 2 y22 n yn2 , 其中 1, 2 ,, n为A的n个特征值.
例1 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 化为标准形.
问题 : 设A为实对称矩阵,求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. 方法 : (1)求一正交矩阵Q, 使QT AQ Q1AQ为对角矩阵. 令P Q即可. (2)求一正交变换x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形. 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换x Py(P为可逆矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
矩阵 A 的正、负惯性指数
二次型及其标准型
其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
线性代数二次形及其标准型
f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换 化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半， 的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则 ， 令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 ）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 ， 。 线性代数 的特点 使其易于识别 第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 用满秩线性变换化二次型为标准形 配方法 例2 化二次型
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5)写出正交变换 X=QY，则可得标准型
2 f 5 y12 5 y2 4 y32
2 3 1 3 , 则Q是正交矩阵。 2 3
注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。
例2
求一个正交变换 x Py , 把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x3 x4
注：二次型 对称矩阵
定义2： 二次型
f X T AX 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵；
也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
例1
写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1 f ( x1 , x 2 , x 3 ) [ x1 , x 2 , x 3 ]4 5 6 x 2 x T Bx 7 8 9 x3
例如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 3 x3 4 x1 x2 x2 x3
2 2
0 x1 1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1/2 x2 0 1/2 -3 x 3
c1 ci
0 1 2 2 按r4 展开 ( 1) ( 1) 2 0 1 2 0 2 1 2 i 2,3,4 0 2 1 0 0 0 1
ri r1
1
1
1
1
1
1
1
( 1)
2
1 2
2
1
( 1) 3 ( 3)
a1n xn ) a2 n xn ) ann xn )
( x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 , xn ) an1 x1 an 2 x2
a11 a 21 , xn ) a n1 a12 a22 an 2
1 2 4 A 2 4 2 4 2 1
1
1 2 4 5 0 5 2 E A 2 4 2 2 4 2 5 4 4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1 2对1 2 5, 解5E AX 0, 得基础解系为: 1 1 , 2 0 0 1
对3 4, 解 4E AX 0, 得基础解系为: 3 1,1 2 ,1
此结论用于二次型
1. 正交变换法(重点) 主轴定理 (P191 定理6.2.1)
任给二次型 f
i , j 1
aij xi x j aij a ji , 总有
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
2 2
2
Y T Y
问题转化为： 求可逆矩阵 C，使得 C T AC 为对角矩阵
回忆： 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T 1 AT 又T为正交矩阵，即 T T T E，
所以 T 1 T T
所以， 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T T AT
a1n a2 n ann
x1 x X 2 xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示（重点）
其中A为对称矩阵。
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。 2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i i 1,2, , n 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .
a1n xn a2 n xn ann xn
a1n x1 a2 n x2 ann xn
( x1 , x2 ,
a11 a 令 A 21 a n1
a12 a22 an 2
找可逆的线性变换(坐标变换)：
i , j 1
aij xi x j
n
(1)
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n ( 其中 C (c ij ) 可逆 ) x n cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
解
2 2 3 f x1 5 x2 9 x3 6 x1 x2 10 x1 x3 14 x2 x3
1 3 5 x1 [ x1 , x 2 , x 3 ] 3 5 7 x 2 x T Ax 5 7 9 x3
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f x T Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f k1 x1 k2 x2 kn xn
k1 x1 [ x1 ,, x n ] kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
2 2 2 f x1 x2 x x p p 1 r
称为二次型的规范形。 (注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
f x1 , x2 ,, xn
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示
§6.2 化二次型为标准型
§6.3 正定二次型与正定矩阵
§6.1 二次型及其矩阵表示
在平面解析几何中，我们知道标准方程
A x2 B y 2 1
x2 y 2 R2
中
的图形为圆。
x2 y2 2 1 的图形为椭圆。 2 a b x2 y2 2 1 的图形为双曲线。 2 a b 对于一般二次曲线 ax 2 bxy cy 2 d 的图形是什么？
当 2 3 4 1 时, 解方程 ( E A) x 0
得正交的基础解系
1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 4 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 p2 , p3 , p4 2 0 2 1 2 1 0 1 1
T
3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：
1 4 2 1 1 1 1 2 , 2 2 , 3 1 , 3 5 45 0 5 2
1 5 4 45 4令Q 1 , 2 , 3 2 5 2 45 0 5 45 并且QT AQ Q 1 AQ diag 5,5,4
引言
判别下面方程的几何图形是什么？
2 x 2 3 xy y 2 10 (1)
作旋转变换
x cos( ) x sin( ) y y sin( ) x cos( ) y
y
~ y
6
代入(1)左边，化为：
5 2 1 2 x y 10 2 2
2 an1,n1 xn 1 2an 1, n xn 1 x n
ann x
2 n
称为二次型。（1）
例如： f ( x, y ) x 2 4 xy 5 y 2
都是二次型。 f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 xz yz f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A (a ij ) 的特征值.
例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
f x1 , x2 , x3 x 4 x x 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
解
二次型的矩阵为
使得 B C T AC , 则称 A 合同于 B .
记作 A 定理
B
设A为对称矩阵，且A与B合同，则
(1)
证明
B C T AC 仍是对称矩阵
( 2 ) r ( B ) r ( A)
(1) BT (CT AC)T C T AT (C T )T C T AC B
(2) B CT AC 因为C可逆
所以r ( B) r ( A)
注：合同仍然是一种等价关系 矩阵合同的性质：(1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性
二. 化二次型为标准形
目标：
1. 正交变换法（重点） 2. 配方法
二次型 f X T AX
可逆线性变换X CY
标准形 f Y T (C T AC )Y
k1 y1 k2 y2 kn yn
2 a21 x2 x1 a22 x2
a1n x1 xn a2 n x2 xn
二次型用和号表示
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2
i , j 1
a
n
ij
xi x j
x1 (a11 x1 a12 x2 x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
代入(1)式，使之成为标准形
f
2 k1 y1 2 k 2 y2 2 k n yn
称上面过程为化二次型为标准形。
§6.2 化二次型为标准型
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
2 f 5 y12 5 y2 4 y32
2 3 1 3 , 则Q是正交矩阵。 2 3
注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。
例2
求一个正交变换 x Py , 把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x3 x4
注：二次型 对称矩阵
定义2： 二次型
f X T AX 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵；
也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
例1
写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1 f ( x1 , x 2 , x 3 ) [ x1 , x 2 , x 3 ]4 5 6 x 2 x T Bx 7 8 9 x3
例如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 3 x3 4 x1 x2 x2 x3
2 2
0 x1 1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1/2 x2 0 1/2 -3 x 3
c1 ci
0 1 2 2 按r4 展开 ( 1) ( 1) 2 0 1 2 0 2 1 2 i 2,3,4 0 2 1 0 0 0 1
ri r1
1
1
1
1
1
1
1
( 1)
2
1 2
2
1
( 1) 3 ( 3)
a1n xn ) a2 n xn ) ann xn )
( x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 , xn ) an1 x1 an 2 x2
a11 a 21 , xn ) a n1 a12 a22 an 2
1 2 4 A 2 4 2 4 2 1
1
1 2 4 5 0 5 2 E A 2 4 2 2 4 2 5 4 4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1 2对1 2 5, 解5E AX 0, 得基础解系为: 1 1 , 2 0 0 1
对3 4, 解 4E AX 0, 得基础解系为: 3 1,1 2 ,1
此结论用于二次型
1. 正交变换法(重点) 主轴定理 (P191 定理6.2.1)
任给二次型 f
i , j 1
aij xi x j aij a ji , 总有
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
2 2
2
Y T Y
问题转化为： 求可逆矩阵 C，使得 C T AC 为对角矩阵
回忆： 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T 1 AT 又T为正交矩阵，即 T T T E，
所以 T 1 T T
所以， 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T T AT
a1n a2 n ann
x1 x X 2 xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示（重点）
其中A为对称矩阵。
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。 2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i i 1,2, , n 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .
a1n xn a2 n xn ann xn
a1n x1 a2 n x2 ann xn
( x1 , x2 ,
a11 a 令 A 21 a n1
a12 a22 an 2
找可逆的线性变换(坐标变换)：
i , j 1
aij xi x j
n
(1)
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n ( 其中 C (c ij ) 可逆 ) x n cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
解
2 2 3 f x1 5 x2 9 x3 6 x1 x2 10 x1 x3 14 x2 x3
1 3 5 x1 [ x1 , x 2 , x 3 ] 3 5 7 x 2 x T Ax 5 7 9 x3
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f x T Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f k1 x1 k2 x2 kn xn
k1 x1 [ x1 ,, x n ] kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
2 2 2 f x1 x2 x x p p 1 r
称为二次型的规范形。 (注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
f x1 , x2 ,, xn
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示
§6.2 化二次型为标准型
§6.3 正定二次型与正定矩阵
§6.1 二次型及其矩阵表示
在平面解析几何中，我们知道标准方程
A x2 B y 2 1
x2 y 2 R2
中
的图形为圆。
x2 y2 2 1 的图形为椭圆。 2 a b x2 y2 2 1 的图形为双曲线。 2 a b 对于一般二次曲线 ax 2 bxy cy 2 d 的图形是什么？
当 2 3 4 1 时, 解方程 ( E A) x 0
得正交的基础解系
1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 4 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 p2 , p3 , p4 2 0 2 1 2 1 0 1 1
T
3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：
1 4 2 1 1 1 1 2 , 2 2 , 3 1 , 3 5 45 0 5 2
1 5 4 45 4令Q 1 , 2 , 3 2 5 2 45 0 5 45 并且QT AQ Q 1 AQ diag 5,5,4
引言
判别下面方程的几何图形是什么？
2 x 2 3 xy y 2 10 (1)
作旋转变换
x cos( ) x sin( ) y y sin( ) x cos( ) y
y
~ y
6
代入(1)左边，化为：
5 2 1 2 x y 10 2 2
2 an1,n1 xn 1 2an 1, n xn 1 x n
ann x
2 n
称为二次型。（1）
例如： f ( x, y ) x 2 4 xy 5 y 2
都是二次型。 f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 xz yz f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A (a ij ) 的特征值.
例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
f x1 , x2 , x3 x 4 x x 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
解
二次型的矩阵为
使得 B C T AC , 则称 A 合同于 B .
记作 A 定理
B
设A为对称矩阵，且A与B合同，则
(1)
证明
B C T AC 仍是对称矩阵
( 2 ) r ( B ) r ( A)
(1) BT (CT AC)T C T AT (C T )T C T AC B
(2) B CT AC 因为C可逆
所以r ( B) r ( A)
注：合同仍然是一种等价关系 矩阵合同的性质：(1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性
二. 化二次型为标准形
目标：
1. 正交变换法（重点） 2. 配方法
二次型 f X T AX
可逆线性变换X CY
标准形 f Y T (C T AC )Y
k1 y1 k2 y2 kn yn
2 a21 x2 x1 a22 x2
a1n x1 xn a2 n x2 xn
二次型用和号表示
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2
i , j 1
a
n
ij
xi x j
x1 (a11 x1 a12 x2 x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
代入(1)式，使之成为标准形
f
2 k1 y1 2 k 2 y2 2 k n yn
称上面过程为化二次型为标准形。
§6.2 化二次型为标准型
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设