二次型的标准型
二次型的标准型
§2 标准形一、二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型2222211nn x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式.易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，().000000,,,2121212222211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++n n n nn x x x d d d x x x x d x d x d反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使AC C '成对角矩阵.二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为),,,(21n x x x f 的标准形.例 化二次型32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+=为标准形.二、配方法1.,011≠a 这时的变量替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=∑=-.,,222111111n n nj j j y x y x y a a y x 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--10001011111121111n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换11AC C A '→为计算11AC C '，可令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α.于是A 和1C 可写成分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=--111111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样.11111111111111111111111111111111⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='--------αααααααααa A OOa E O a a A O a E Oa A a E a O AC C n n n矩阵αα'--1111a A 是一个)1()1(-⨯-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有)1()1(-⨯-n n 可逆矩阵G 使D G a A G ='-'-)(1111αα为对角形，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=G O O C 12,于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=''-D OO a G O O a A O Oa G O O C AC C C 11111111211211αα, 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是21C C C =.2. 011=a 但只有一个0≠ii a .这时，只要把A 的第一行与第i 行互换，再把第一列与第i 列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取列i i P C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100000010000000001000100000010001000),1(1 i 行显然),1(),1(i P i P ='.矩阵),1(),1(11i AP i P AC C ='就是把A 的第一行与第i 行互换，再把第一列与第i 列互换.因此，11AC C '左上角第一个元素就是ii a ，这样就归结到第一种情形.3. ,,,2,1,0n i a ii ==但有一.1,01≠≠j a j 与上一情形类似，作合同变换),2(),2(j AP j P '可以把j a 1搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000100001100111 C ,于是11AC C '的左上角就是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12122002a a , 也就归结到第一种情形.4. .,,2,1,01n j a j ==由对称性，.,,2,1,1n j a j =也全为零.于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10A OO A , 1A 是1-n 级对称矩阵.由归纳法假定，有)1()1(-⨯-n n 可逆矩阵G 使D G A G ='1成对角形.取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=G O O C 1，AC C '就成对角形.例 化二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=成标准形.。
§6.2 二次型化为标准型的三种方法
定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC 为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.
上述定理的证明实绩上给出了一种化二次 型为标准型的方法：配方法.
拉格朗日配方法的步骤
1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 xi 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形 .
2a23x2x3 ... 2a2nx2xn ...... 2an1,n xn1xn
令
x1 y1
x
2 x3
y1 y 2 y3
...
xn y n
它是非退化线性的替换,代入后
f (x1, x2,..., xn ) 2a12y1(y1 y2) 2a13y1y3 ... 2a1ny1yn
1 1 01 0 1
C
C1C2
1
1
0
0
1
2
0 0 1 0 0 1
1 1 3 1 1 1.
0 0 1
C 2 0.
正交变换法
由实对称矩阵的理论，对任意n阶实对称阵
A, 存在正交矩阵Q使得
step3．将特征向量正交化
取 1 1,2 2, 3
得正交向量组
3
( 3 ( 2
,2 ,2
) )
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T ,
3 (2 5,4 5,1)T .
step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P
6.2 二次型的标准型
y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩， 其中， 的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形 化为标准形 问题二 如何化二次型为标准形 如何化二次型为标准形? 常见的方法 针对二次型 拉格朗日(Lagrange)配方法。 拉格朗日( )配方法。 针对二次型所对应的对称阵 针对二次型所对应的对称阵 二次型所对应的 行列对称初等变换法； 行列对称初等变换法； 正交变换法。 正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3， 即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换 列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
二次型的标准型
二次型的标准型在线性代数中，二次型是一个非常重要的概念。
它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
在本文中，我们将重点讨论二次型的标准型，以及如何将一个任意的二次型化为标准型。
首先，让我们回顾一下二次型的定义。
一个关于变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$的二次型可以写成如下形式：$$。
Q(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j。
$$。
其中$a_{ij}$为常数。
我们可以将二次型用矩阵的形式表示为：$$。
Q(x) = X^TAX。
$$。
其中$X$是一个$n$维列向量，$A$是一个$n \times n$的对称矩阵，其元素为$a_{ij}$。
接下来，我们将介绍如何将一个任意的二次型化为标准型。
首先，我们需要找到一个合适的线性变换，使得二次型的矩阵表示变为对角矩阵。
这个线性变换可以通过矩阵的对角化来实现。
具体来说，我们可以找到一个非奇异矩阵$P$，使得$P^TAP$为对角矩阵。
这样，原来的二次型可以通过变量替换$x=Py$化为标准型：$$。
Q(x) = y^T(P^TAP)y = (Py)^T(A)(Py) = y^T(D)y。
$$。
其中$D$为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。
这样，我们就将原来的二次型化为了标准型。
在实际应用中，我们经常会遇到需要将二次型化为标准型的情况。
通过将二次型对应的矩阵对角化，我们可以更好地理解二次型的性质，从而简化计算和分析过程。
此外，标准型也有利于我们对二次型进行分类和比较。
总结一下，二次型的标准型是通过合适的线性变换将二次型化为对角型的形式。
这个过程可以帮助我们更好地理解和分析二次型，简化计算过程，以及进行分类和比较。
在实际应用中，标准型有着重要的意义。
希望本文对二次型的标准型有所帮助，谢谢阅读！。
5.2 二次型的标准形
19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C； （2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解 （1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系 当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性 变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使
二次型正交变换 标准型
二次型正交变换标准型
二次型正交变换是指将二次型经过一个正交变换，使得变换后的二次型达到标准型的变换过程。
标准型是指一个二次型经过正交变换后，其系数只有对角线上有非零元素，而其他位置上的系数均为0的形式。
例如，一个n元二次型经过正交变换后的标准型可以表示为：
Q(x) = λ1x1^2 + λ2x2^2 + ... + λnxn^2
其中，λ1, λ2, ..., λn分别是二次型对应的正交变换后的系数。
二次型正交变换的步骤如下：
1. 求出二次型的矩阵表示。
2. 对矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
3. 将特征向量组成一个正交矩阵P。
4. 对二次型进行变换，得到新的二次型Q(x) = (Px)^T A (Px)，其中P为正交矩阵，x为n元列向量，A为原二次型的系数矩阵。
5. 新的二次型经过正交变换后的系数矩阵即为标准型，即Q(x) = λ1x1^2 + λ2x2^2 + ... + λnxn^2。
通过二次型正交变换，可以将复杂的二次型转化为简单的标准型，从而更好地研究和分析二次型的性质。
二次型标准化
二次型标准化在线性代数中，二次型是一种非常重要的数学概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在处理二次型的问题时，标准化是一个非常重要的步骤，它可以简化问题的求解过程，使得我们能够更加方便地分析和理解二次型的性质。
本文将介绍二次型标准化的相关知识，包括标准型的定义、标准化的方法和应用技巧等内容。
首先，我们来看一下什么是二次型的标准型。
对于一个n元二次型，其标准型是指通过合适的线性变换将其化为一种特殊的形式，使得二次型的系数矩阵中只有对角线上存在非零元素，而其它位置上均为零。
这种形式的二次型更容易进行分析和求解，因此标准化是非常有必要的。
接下来，我们将介绍二次型标准化的方法。
对于一个n元二次型f(x) = x^TAx，其中A是一个对称矩阵，我们可以通过以下步骤将其标准化。
首先，我们要找到A的n个特征值和对应的特征向量，然后构造正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵Λ，其中Λ的对角线上的元素就是A的特征值。
接着，我们进行线性变换y = Px，将原来的二次型化为g(y) = y^TΛy。
最后，我们再进行一次线性变换z = Cy，其中C是一个非奇异矩阵，将g(y)化为h(z) = z^TDz，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为1或-1。
这样，我们就得到了二次型的标准型。
在实际应用中，二次型标准化有着广泛的应用。
例如在矩阵的对角化问题中，我们可以通过对称矩阵的特征值分解来实现矩阵的对角化，从而简化矩阵的运算。
在最优化问题中，标准化后的二次型可以帮助我们更好地理解问题的性质，从而更加高效地求解最优化的目标函数。
此外，在统计学中，二次型标准化也可以帮助我们进行数据的降维和特征的提取，从而更好地进行数据分析和模式识别。
总之，二次型标准化是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们简化问题、提高求解的效率，并且有着广泛的应用前景。
通过本文的介绍，相信读者对于二次型标准化有了更加深入的理解，希望能够在实际问题中灵活运用这一知识，为自己的研究和工作带来更多的便利和收获。
二次型化标准型
二次型化标准型二次型是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常需要将一个二次型化为标准型，这样可以方便我们进行进一步的计算和分析。
本文将介绍二次型化标准型的方法和步骤，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
对于n元变量$x_1,x_2,\dots,x_n$，二次型可以表示为：$$。
f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j。
$$。
其中$a_{ij}$为常数，称为二次型的系数。
如果$a_{ij}=a_{ji}$，则称该二次型为对称二次型。
接下来，我们将介绍如何将对称二次型化为标准型。
首先，我们需要将二次型表示为矩阵的形式。
设$\boldsymbol{X}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$为列向量，$\boldsymbol{A}=(a_{ij})$为对称矩阵，则二次型可以表示为：$$。
f(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{AX}。
$$。
其中$\boldsymbol{X}^T$表示$\boldsymbol{X}$的转置。
接下来，我们需要对矩阵$\boldsymbol{A}$进行对角化，将其化为对角矩阵。
设$\boldsymbol{P}$为可逆矩阵，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，则有：$$。
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}^T\boldsymbol{DP}。
$$。
将$\boldsymbol{A}$代入二次型中，得到：$$。
f(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{DPX} = (\boldsymbol{PX})^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{PX})。
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二次型的标准型
二次型的标准型
本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二 次型可以用矩阵的乘积形式表示，令
则二次型就可以写成下面的形式：
f(x1,x2,…,xn)=xTAx
（7-10）
其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.
二次型的标准型
根据式（7-10），n个变量的实二次型 f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称 矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩 r(A)定义为二次型 f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来， 对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以 得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其 中x=(x1,x2,…,xn)T.
【例7-2】
二次型的标准型
在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式
（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换
x=Py
（7-11
将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型 f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy （7-12）
其中D=diag(d1,d2,…,dn) 把式（7-11）代入式（7-10），得
f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)
=yT(PTAP)y
二次型的标准型
故若能找到可逆矩阵P，使 PTAP=D （7-13）
其中,D为对角阵，则得到二次型的 标准型.这就是说，化实二次型为标准型 的问题可归结成上述由式（7-13）表出 的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩 阵相合于实对角阵的问题.
二次型的标准型
定义7-4
对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使
B=PTAP
（7-14
则称A与B合同或A与B是合同矩阵或相合矩阵.
若Q为正交矩阵，则有
Q－1AQ==B
所以对实对称矩阵，若正交矩阵P使得A与B相似，则自
然有A与B合同；又因实对称矩阵A一定能对角化，故必有
A=QΛQ－1
成立.
二次型的标准型
Q-1AQ=Λ 这可改写成
QTAQ=Λ 故可得到化二次型为标准型的现成方法——正交变换 法（这个方法将在第二节中着重介绍）. 需要指出，式（7-13）中的可逆矩阵P不仅一定可以 找到（如可取一正交矩阵），而且满足条件的可逆矩阵P还 不止一个.这样，就导致一个二次型会有不同形式的标准形. 但从式（7-13）可见，标准形的非零系数的个数一定等于 矩阵A的秩R(A).
谢谢聆听
二次型的标准型
【例7-1】
试写出二次型 f(x1,x2,x3)=x21+4x1x2+7x22+6x1x3+2x2x3－x23 的矩阵. 解 因为二次型写成了合并同类项的形式，故其矩阵的对角线元 aii为x2i的系数，而非对角线元，即i≠j时aij=aji是乘积项xixj的系数 的一半，故有
二次型的标准型