二次型及其标准型
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是代数学中的一个重要概念，它在线性代数和矩阵理论中有着广泛应用。
二次型标准型和规范型是将一个任意的二次型通过线性变换化为一个简化的形式，使得我们可以更方便地研究和分析二次型的性质。
一个二次型可以表示为如下形式：$$Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是变量，$a_{ij}$ 是常数。
二次型的标准型是指将二次型中的二次项化为平方和的形式。
对于一个二次型 $Q(x)$，假设其矩阵为 $A$，则存在一个非奇异矩阵 $P$，使得：$$P^TAP = D$$其中 $D$ 是对角阵，对角线上的元素称为二次型的标准型系数。
标准型的特点是二次型的二次项仅包含平方和，没有交叉项和混合项。
这样的形式更简单，更容易研究和分析。
为了得到二次型的标准型，需要进行正交变换。
正交变换可以通过选取一组特殊的基进行，其中基向量之间两两正交且模长为1。
设有一组基向量 $p_1, p_2, \dots, p_n$，构成正交矩阵$P = [p_1, p_2, \dots, p_n]$，则有 $P^TP = I$。
通过变换 $y = Px$，可以得到新的变量 $y$ 对应的二次型 $Q(y)$。
从而有：$$Q(y) = Q(Px) = x^TP^TAPx = x^TDx$$其中 $D = P^TAP$，$D$ 是一个对角阵，对角线上的元素就是二次型的标准型系数。
在二次型的标准型基础上，可以进一步进行规范化处理。
规范化处理是将标准型系数中的非零元素变为1或-1，以及调整它们的顺序。
具体步骤如下：1. 如果标准型系数中存在非零元素 $d_{ii}$，则可以将其除以本身的绝对值，将其变为1或-1。
2. 如果标准型系数中存在连续的非零元素 $d_{ii}$ 和 $d_{i+1, i+1}$，且它们同号，则可以将 $d_{i+1, i+1}$ 变为与$d_{ii}$ 同号，并将它直接相加；如果符号相反，则将它们的绝对值取为1。
二次型及其标准形(精)
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是矩阵形式的二次函数，通常用向量和矩阵的乘积来表示。
在线性代数中，二次型是一种将一个多元变量的向量映射到实数的函数，常用于描述抽象空间中的二次曲面。
对于一个n维实向量空间V上的二次型，可以通过一个对称矩阵A来定义，即二次型的矩阵表达式为Q(x) = x^T Ax，其中x是一个列向量。
二次型的标准型是指将二次型通过合适的线性变换转化为一个特定的形式，这个形式更便于研究和计算。
在实数域上，任何一个n维非退化二次型都可以通过合适的正交变换（即特征变换）化为标准型，即形如Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... +λnyn^2，其中λi为非零实数，yi为变换后的新变量。
标准型中的每一项都是对应新变量的平方项，没有交叉项。
二次型的规范型是指将二次型通过一个线性变换转化为一个更简洁的形式，通常是对标准型进行变换。
规范型的形式为Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2，其中yi为变换后的新变量。
规范型相对于标准型来说，更加精简，变量之间没有相关性，也没有尺度差异。
这样的形式能够更好地研究和理解二次型的性质。
转化为二次型的标准型和规范型在研究和计算中起着重要的作用。
它们可以帮助我们更好地理解二次型的本质和性质，更清晰地描述和分析问题。
同时，标准型和规范型之间的转化可以通过线性变换来实现，这种变换能够保持二次型的性质不变，因此在问题求解中也可以通过变换将二次型转化为更容易处理的形式，简化计算过程。
总之，二次型的标准型和规范型是对其矩阵表达形式进行变换，将其转化为更方便研究和计算的形式。
标准型通过正交变换将二次型转化为形如λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2的形式，其中λi为非零实数，yi为变换后的新变量。
规范型是对标准型进行变换，将其转化为更简洁、更方便理解和分析的形式Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2，其中yi为变换后的新变量。
第五节 二次型及其标准型
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
线性代数二次形及其标准型
5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,
二次型的标准型和规范型
小结 : 设A为实对称矩阵 , (1)求一可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角矩阵 . (2)求一正交矩阵 Q, 使Q 1 AQ为对角矩阵 . (3)求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . (4)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ为对角矩阵 .
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f ( x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵 . (2)任一方阵均可利用对等 的初等行、列变换化为 对角矩阵. 这里, " 对等" 指的是作一次初等行变 换后, 立即再作一次同种的初 等列变换.
例5 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形 .
命题1 二次型的标准形不唯一.
命题2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：
2 2 g ( y1 , y2 , , yn ) d1 y12 d p y 2 p d p 1 y p 1 d r y r ,
1 , 2 , , n为A的n个特征值.
2 2 例1 将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 8 x2 x3 5 x3
化为标准形 .
问题 : 设A为实对称矩阵 , 求一可逆矩阵 P, 使PT AP为对角矩阵 . 方法 : (1)求一正交矩阵 Q, 使QT AQ Q 1 AQ为对角矩阵 . 令P Q即可. (2)求一正交变换 x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为标准形 . 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换 x Py( P为可逆矩阵), 将二次型f ( x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
二次型及其标准形
例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.
《二次型及其标准型》课件
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向 量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零 点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零 点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某 点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某 点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变 换达到规范形式，其中自变量 部分是平方项相加的形式，而 系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范 化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重 要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到 一种快速求解带权重线性最小二乘问题的 方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类 和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您 能够收获满满。
一、二次型的概念
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
含有n个变量x1, x2 , , xn的二次齐次多项式
f (x1, x2, , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 2a1n x1xn
a22 x22 2a23x2x3 2a2n x2xn
a33x32 2a3n x3xn
阵B CT AC且r(A) r(B).
正交变换化二次型为标准形：
d1
问题1：标准形的矩阵 = ？
dn
问题2：将二次型化为标准形实际上是什么问题？
找可逆阵 C, 使CT AC 为对角阵.
问题3：二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
x y
x,
y
2 0
0 8
x y
2x2 8y2
启示
1. 二次齐次多项式可以写成矩阵形式，其矩阵的主对角元恰是 平方项系数，关于主对角线的对称元恰是交叉项的系数的一半 ；
2. 通过一正交变换就将二次齐次多项式化简成只含有平方项的标 准形.
二次型（quadratic form ）的定义
例 求一个正交变换x =Qy，， 化二次型为标准形
f x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
解 二次型的矩阵
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
特征多项式
1 2
2
A E 2 2 4 ( 7)( 2)2
2 4 5
单位化
2
2 2
1 5
2 1 0
3
1 35
2
4 5
正交变换
1
2
2
y
3 2
5 1
3
5 4
x
3
5
3 5
2 3
0
5 3
标准形 例
f 7x12 2x22 2x32 .
已知二次型 f x12 ax22 ，x32 2bx1x2 2x1x3 2x2 x经3 过正交变
换化成了标准形 f y22 4y32 求 a，b 的值和正交矩阵Q．
f 的矩阵A及标准形的矩阵 分别为
1 A b
b a
11，
0
1
1 1 1
二次型的概念
实例：二次方程
5x2 5y2 6xy 1
（1）
的图像表示怎样的曲线? 正交变换法化上面方程为熟知形式 若将坐标系逆时针旋转450，得新坐标系 ox y
平面上任一点A的新旧坐标关系为
x
x
cos
45
y
sin
45
2 x 2
2y 2
y
x
sin
45
5
.
0
0
0
单位化即得
1
1 3
1
2 2
当 2 3 2 时，解方程组 ( A 2E)x 0 ，由
1 2 2 1 2 2 A 2E 2 4 4 0 0 0
2 4 4 0 0 0
称为n元二次型，简称为二次型。
ann xn2
当 ai j 中有复数时，为复二次型．当 ai j全为实数时，为实二次型．
定义2：
y1 c11x1 c12 x2 c1n xn
若线性变换
y2
c21x1 c22 x2
c2n xn
yn cn1x1 cn2 x2 cnn xn
二次型经可逆变换后的矩阵：
f (x1, x2 , , xn ) X T AX
作可逆变
(CY )T
A(CY ) Y T (CT AC )Y
换X CY
B CT AC BT B,Y T BY为二次型且 A与B合同,
r( A) r(B). 由上讨论可得：
定理1
二次型f (x1, x2,L , xn ) X T AX 经可逆线性变换 X CY 变成新变元的二次型 f Y T BY ,它的矩
(i) 写出二次型的矩阵 A；
(ii) 求出A的所有相异的特征值 1, 2 , , m;
(iii) 对每一个重特征值i，求出对应的ri个线性无关的特
m
征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m),由性质知 ri n. i 1 .
(iv) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i所对应的 ri个线性无关的特征向量i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m) 先正交化再单位化为i1,i2 , ,iri；(i 1,2, , m)， 它们仍为属于i的特征向量。
例 已知下面二次型的秩为2，求参数c．
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3
二次型 f 的矩阵为
5 1 3 A 1 5 3
3 3 c
r(A)=2<0 A 24c 72 0 c=3.
a21 an1
a22
an2
a1n
a2n
ann
二次型的矩阵 （显然这是实 对称阵）
x1
X
x2
xn
任给一个二次型，就惟一地确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．
这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
4
由题设条件，有 Q1AQ QT AQ
由于A相似于对角矩阵 ，故A的特征值为 1 0，2 1，3 4
trA 1 2 3. 1 a 1 0 1 4 a 3
将 1 0 代入特征方程 det(A E) 0 ,得
坐标原点重合，则一般方程是
ax2 2bxy cy 2 d
上式的左端就是x，y的一个二次齐次多项式． 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换， 把方程化为只含平方项没有乘积项的标准方程， 在空间解析几何中二次曲面的研究也有类似的问题． 把二次齐次多项式化为只含平方项的标准方程不仅在几何问题 中出现，而且在数学的其他分支以及物理、力学、工程技术、 经济管理、网络计算中有着广泛的应用．
ann xn
a11 a12
( x1,
x2 ,
,
xn )
a21
a22
a1n a2n
x1 x2
an1
an2
ann
xn
X T AX
二次型的矩阵表示式
a11 a12
A
an1xn x1 an2 xn x2 an3xn x3 ann xn2
( x1,
x2 ,
,
xn
)
a11x1 a21x1
a12 x2 a22 x2
a1n xn a2n xn
an1x1
an2 x2
Ch 5 二次型
掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型 秩的概念，了解二次型的标准形、规范 形的概念及惯性定理 熟练掌握用正交变换化二次型为标准形 的方法，并会用配方法化二次型为标准 形 了解二次型的分类，熟练掌握二次型及 其对应矩阵的正定性与判别法
问题的提出：在平面解析几何中讨论的有心二次曲线，若中心与
得基础解系
2
2
， 正交化
2
1 0
，3
0 1
(2，3 )不正交
2
2 2 1
0
3
3
T 2
3
T 2
2
2
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
称为二次型的标准形（或法式）。
二次型的矩阵表示法：
设aij a ji，则
n
f aij xi x j i, j1
f (x1, x2, , xn ) a11x12 a12 x1x2 a13x1x3 a1n x1xn
a21x2 x1 a22 x22 a23x2 x3 a2n x2 xn
x y
或
2 2
其中 2
x, y (x y) 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 是一正交矩阵. 因此(3)为正交变换.
2
2
（3）
将(3)代入（2）也有
5x2
6xy
5y2
(x,
y)
5 3
53
(v) 将上面求得的正交单位 向量作为列向量，排成 一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。 此时 Q 1AQ QT AQ 为对角阵。
(vi) 作正交变换 X QY , 即可将二次型化为标准形
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y
定理2 对实二次型 f X T AX,总有正交变换X QY,使
f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y 1 y12 2 y22 n yn2