二次型及其标准形资料
二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
二次型及标准型
§5 二次型及其标准形在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax（4）的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧+=-=,cos 'sin ',sin 'cos 'θθθθy x y y x x把方程化成标准形.1''22=+ny mx（4）式的左边是一个二次奇次多项式，从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次奇次多项式，使它只含有平方项。
这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。
现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次奇次多项式的化简问题。
定义 8 含有n 个变量nx x x ,,,21的二次奇次函数nn nn nnnnxx a x x a x x a xa x a x a x x x f 1,13113211222222211121222),,,(--+++++++=称为二次型。
取ijjia a +，则ij ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，于是（5）式可写成.1,2221122222212211121122111jinj i ijnnnnn nn nnnnx x a xa x x a x x a xx a x a x x a xx a x x a x a f ∑==++++++++++++= （6）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nyc y c y c x y c y c y c x y c y c y c x nnn n nnnnn22112222112212121111,, 使二次型只含平方项，也就是用（7）式代入（5），能使.2222211nny k y k y k f +++=这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）.如果标准型的系数nkk k ,,,21只在1，-1,0三个数中取值，也就是用（7）代入（5）能使则称上式为二次型的规范形。
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
二次型的标准型和规范型
小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
2. 正交变换法 正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.
Th5.3(1)实对称矩阵A, 正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵. (2)任一二次型都可经正交变换化为标准形,即 二次型f (x) xT Ax, 正交变换x Qy(Q为正交矩阵),
将其化为标准形g( y1, y2 ,, yn ) 1 y12 2 y22 n yn2 , 其中 1, 2 ,, n为A的n个特征值.
例1 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 化为标准形.
问题 : 设A为实对称矩阵,求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. 方法 : (1)求一正交矩阵Q, 使QT AQ Q1AQ为对角矩阵. 令P Q即可. (2)求一正交变换x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形. 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换x Py(P为可逆矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
矩阵 A 的正、负惯性指数
《二次型及其标准型》课件
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向 量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零 点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零 点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某 点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某 点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变 换达到规范形式，其中自变量 部分是平方项相加的形式，而 系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范 化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重 要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到 一种快速求解带权重线性最小二乘问题的 方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类 和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您 能够收获满满。
一、二次型的概念
线性代数二次形及其标准型
4
2 2 ( 1)2 ( 10) 2
I A
5
2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
把1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为
线性代数 第五章
12 12
1 1 1 1 , 2 0 0 2
把含有x2各项集中在一起，再配平方
8 2 ( x1 2 x2 2 x3 ) 6( x x2 x3 ) 2 x3 3 4 26 2 2 2 ( x1 2 x 2 2 x3 ) 6( x2 x 3 ) x3 3 3
2 2 2
线性代数
第五章
16 16
令
2 3 2 3 1 3
1 T 1 则 Q AQ 10
令正交变换X=QY，则
2 2 f y12 y 2 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 线性代数 第五章
14 14
x1 a1n a2n x x2 x n a nn
a11 a 21 f ( x1 ,, x n ) a n1
a12 a 22 an 2
a1n x1 a 2 n x 2 x a nn n
a11 a12 a 21 a 22 ( x1 , , x n ) a n1 a n 2
第五章
a1 n x 1 a 2n x 2 x a nn n
2
令
a11 a12 a21 a 22 A a a n1 n 2
线代课件§5二次型及其标准形
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
二次型及其标准形
xn
a21
a22
an1
an 2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,x
x2
an1
an 2
ann
xn
得二次型的矩阵形式 其中，A 为对称阵。
f xT Ax
只含平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
线性代数
二次型及其标准形
1
二次型及其矩阵 的表示形式
本节内容
2
用正交变换化二 次型为标准形
在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax2 bxy cy2 1
的几何性质，可选择直角坐标系的一个适当的旋转变换
x xcos ysin
y
x
sin
y
cos
把二次曲线方程化为标准形
mx2 ny2 1
(3)在正交变换 x Py 下，化二次型为标准形。
f xT Ax yT P T AP y yT Λy 1 y12 2 y22 n yn2
标准形平方项的系数ii 1, 2, , n 即对称阵A 的特征值。
例2 设二次型 f x1, x2, x3 x12 2x1x3 2x22 x32 ，求一个正交交
解
二次型矩阵为
2 A 3 5
3 5
1 0 0 1
于是得
f x1, x2,
2
, xn 3
5
3 1 0
5
0 1
x1 x2 x3
1.2 用正交变换化二次型为标准形
化二次型(1.1)为标准形(1.3)，用矩阵表示就是以 x 代Cy入，得
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x~
x2 y2 1
4 20 见图所示.
定义1：含有n个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
a22 x22 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2n x2 xn
二. 化二次型为标准形 目标： 二次型 f X T AX
1. 正交变换法（重点） 2. 配方法
可逆线性变换X CY
标准形 f Y T (C T AC )Y
k1
y2 1
k2
y2 2
kn
y2 n
Y TY
问题转化为： 求可逆矩阵C，使得 CT AC 为对角矩阵
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。(注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
i, j1
找可逆的线性变换(坐标变换)：
a2n xn ) ann xn )
( x1, x2 ,
a11 x1 a12 x2
,
xn
)
a21 x1
a22
x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
(1) B CT AC 仍是对称矩阵 (2) r(B) r( A)
(1) BT (CT AC)T CT AT (CT )T CT AC B (2) B CT AC 因为C可逆
所以 r(B) r(A)
注：合同仍然是一种等价关系
矩阵合同的性质：(1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
的图形为双曲线。
对于一般二次曲线 ax2 bxy cy2 d 的图形是什么？
引言 判别下面方程的几何图形是什么？
2x2 3xy y2 10 n( ) y
y
sin(
)x
cos(
)
y
6
代入(1)左边，化为：
y
~y
x
5 x2 1 y2 10 22
3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji. 可保证 aij a ji.
例如：二次型 f ( x1, x2 , x3 ) x12 3x32 4x1x2 x2 x3
1 -2 0 x1
(
x1
,
x2
,
x3
)
-2 0
0 1/2
1/2 -3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵； 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
x2c21 y1 c22y2c2n yn ( 其中C (cij ) 可逆 )
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
代入(1)式，使之成为标准形
f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称上面过程为化二次型为标准形。
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
a x2 n1,n1 n1
2an1,n xn1 xn
ann xn2
称为二次型。（1）
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
二次型用和号表示
n
aij xi x j i , j1
x2 (a21 x1 a22 x2
xn (an1 x1 an2 x2
[ x1, x2 , x3 ]3
5
7
x2
xT
Ax
5 7 9 x3
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f xT Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型 f k1 x12 k2 x22 kn xn2
k1
x1
[ x1,, xn ]
kn xn
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型 §6.3 正定二次型与正定矩阵
§6.1 二次型及其矩阵表示
在平面解析几何中，我们知道标准方程
Ax2 B y2 1 中
x2 y2 R2 的图形为圆。
x2 a2
y2 b2
1
的图形为椭圆。
x2 y2 a2 b2 1
a2n
x2
ann
xn
a11 a12
令
A
a21
a22
an1
an2
a1n
a2n
ann
x1
X
x2
xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示（重点）
其中A为对称矩阵。
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。
2、其对角线上的元素
aii
恰好是
x
2 i
i
1,2,, n
的系数。
§6.2 化二次型为标准型
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记
当C 是可逆矩阵时, 称 当C是正交矩阵时，称
为可逆线性变换。 为正交变换。
矩阵的合同：两个 n 阶方阵A、B,若存在可逆矩阵 C, 使得 B CT AC,则称 A 合同于 B.
记作 A B
定理 证明
设A为对称矩阵，且A与B合同，则