线代课件§5二次型及其标准形
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第五节 二次型及其标准型
x T Ax
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
线性代数二次形及其标准型
5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,
《线性代数》课件-第5章二次型
1
得
:
1
11,
单位化得: P1
1 3
111.
101 ,
1 1 1
1 0 1
对
2 =
0,
由A
1 1
3 1
1 1
r
0 0
1 0
0 0
,
得
:
2
101,
单位化得:
P2
1 2
101.
对
3
=
4, 由A
4E
3 1 1
1 1 1
113
1
r
0 0
0 1 0
012 ,
得
:3
1 2 1
,
单位化得
3. 定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩.
说明: 二次型 f =xTAx 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由 A 变为 B = CTAC.
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
4 2 1
A的特征值为: 1 4, 2 3 5.
对 1= 4,
由A
4E
5 2 4
2 8 2
4 2 5
1 r 0
0
0 1 0
1 1
,
2 0
2
得
: 1
1 ,
2
单位化得:
P1
1
3
2 1
.
2
对 2 = 3= 5,
由A
5E
4 2
2 1
4 2
1
线性代数二次型及其标准形PPT课件
第19页/共50页
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
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例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
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取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
二次型的标准型与规范型.ppt
定理 4.4 任一二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) 都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
O
共有r个,r
为二次型的秩.
推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
范形是唯一的. 推论1 任一实对称矩阵A都与对角矩阵
Ep
合同,其中 1 和－1的个数
Er p
O
共有r个,r
为二次型的秩.
推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件
是它们具有相同的正惯指数和秩.
()
A．江南制造总局的汽车
B．洋人发明的火车
C．轮船招商局的轮船
D．福州船政局的军舰
[解析] 由材料信息“19世纪七十年代，由江苏沿江居民 到上海”可判断最有可能是轮船招商局的轮船。
[答案] C
[题组冲关]
1．中国近代史上首次打破列强垄断局面的交通行业是 ( )
A．公路运输
B．铁路运输
C．轮船运输
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
[典题例析] [例2] (2010·福建高考)上海是近代中国茶叶的一个外销
中心。1884年，福建茶叶市场出现了茶叶收购价格与上海
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
问题，等价于该二次型的矩阵 A 合同于一个对角矩阵的问
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
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1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
线代§5[1][1].5-7
![线代§5[1][1].5-7](https://img.taocdn.com/s3/m/df80f180a0116c175f0e4862.png)
从而得A的特征值: 1=–3, 2=3=4=1. 当1=–3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础解系:
1 1 1 1 1 1 1, 单位化即得 p1 1. 2 1 1 当2=3=4=1时, 解方程组(A–E)x=0, 可得正交的 基础解系: 1 0 1 1 0 1 2 0 , 3 1 , 2 1 , 0 1 1 单位化即得: 1 2 1 2 0 1 2 0 p2 1 2 , p3 1 2 , p4 1 2 . 0 1 2 1 2 0
将2=3=18代入(A–E)x=0得基础解系: 2=(–2, 1, 0)T, 3=(–2, 0, 1)T. 将特征向量正交化: [ 2 , 3 ] 2, 取 1 = 1, 2 = 2, 3 3 [ 2 , 2 ] 得正交向量组 1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(–2, 1, 0)T, 2 =(–2/5, –4/5, 1)T.
定理10: n元二次型 f(x) = xTAx 为正定的充分必要 条件是它的标准形的n个系数全为正, 亦即它的正惯性 指数为n. n 证明: 设可逆变换 x=Cy 使 f x f Cy k i yi2 .
必要性: 假设有ks 0, 则当 y=es (单位坐标向量)时, f Ces k s 0. 显然x=Ces 0, 这与 f 为正定的矛盾. 故ki > 0 ( i=1,· · · , n). 充分性: 设ki > 0 ( i = 1, 2, · · · , n), 对任意的 x 0, 则 y = C-1x 0, 故 f x k i y i2 0.
1 1 1 1 1 1 1, 单位化即得 p1 1. 2 1 1 当2=3=4=1时, 解方程组(A–E)x=0, 可得正交的 基础解系: 1 0 1 1 0 1 2 0 , 3 1 , 2 1 , 0 1 1 单位化即得: 1 2 1 2 0 1 2 0 p2 1 2 , p3 1 2 , p4 1 2 . 0 1 2 1 2 0
将2=3=18代入(A–E)x=0得基础解系: 2=(–2, 1, 0)T, 3=(–2, 0, 1)T. 将特征向量正交化: [ 2 , 3 ] 2, 取 1 = 1, 2 = 2, 3 3 [ 2 , 2 ] 得正交向量组 1 =(1/2, 1, 1)T, 2 =(–2, 1, 0)T, 2 =(–2/5, –4/5, 1)T.
定理10: n元二次型 f(x) = xTAx 为正定的充分必要 条件是它的标准形的n个系数全为正, 亦即它的正惯性 指数为n. n 证明: 设可逆变换 x=Cy 使 f x f Cy k i yi2 .
必要性: 假设有ks 0, 则当 y=es (单位坐标向量)时, f Ces k s 0. 显然x=Ces 0, 这与 f 为正定的矛盾. 故ki > 0 ( i=1,· · · , n). 充分性: 设ki > 0 ( i = 1, 2, · · · , n), 对任意的 x 0, 则 y = C-1x 0, 故 f x k i y i2 0.
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f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
称为二次型的标准形（或法式）．
例如 f x1, x2, x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
f
y12
y
2 p
y
2 p1
yr2 称为二次型的规范
形．
例如 f x1, x2 , x3 , x4 x12 x22 x42
为二次型的规范形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
5 x3
三、合同矩阵
定义 设 A 和 B 是 n 阶矩阵 , 若有可逆矩阵C , 使 B C T AC , 则称矩阵 A 与 B 合同 .
定理 任给可逆矩阵C ,令B CT AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
0 3 3 x3
1 2 0 1 2 0
r
A 2 2 3 ~ 0 1 3
0 3 3 0 0 6
R( A) 3, 即二次型 f 的秩为 3 .
例2
1 4 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 3 0 1 若是，写出 f 的矩阵.
2 9
x1 x2
是否为二次型？
于是A的特征值为 1 0, 2 4, 3 9,
对应特征向量为
1 1 1
p1 1 , p2 1, p3 1.
2
0
1
将其单位化得
1 6
q1
p1 p1
1 2
6 ,
6
1 2
q2
p2 p2
1 2,
0
q3
p3 p3
1
1
1
3
3 .
3
故正交变换为
解 step1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 2
A E 2
14
4
182
9
2 4 14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
step2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
a11 a12 a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2 ,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
i , j1
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 1,2 , ,n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
曲面.
思考题解答
解
二次型的矩阵为A
5 1
1 5
3 3,
3 3 3
可求得 det( A E) ( 4)( 9),
例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 f x, y, z x2 y2 z2 2xy 2 yz
都为二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
§5 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、合同矩阵 四、化二次型为标准形
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
令 x Cy
f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC ) y B C T AC yT By
由 于对 任意 的实 对称 矩阵A, 总 有正 交矩 阵P ,
使 P 1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型 ,有
n
定理8 任给二次型 f aij xi x j aij a ji , 总有
step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
得
1 3
2 5
2 45
1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
k2
y1
y2 ,
kn yn
也就是要使CT AC 成为对角矩阵.
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常 遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一 对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题， 请同学们注意这种研究问题的思想方法．
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵， 根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快 的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法— 拉格朗日配方法．
f y12 4 y32 , 求 a , b 及正交矩阵P .
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变,但 f
的矩阵由A变为B C T AC;
2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
( y1, y2 , , yn)
1
x x x
1 2 3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1
3 1
y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f 4 y22 9 y32 .
可知f ( x1 , x2 , x3) 1表示椭圆柱面.
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
step3．将特征向量正交化
取 1 1,2
得正交向量组
2,
3
3
2 2
,, 32
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T ,
3 (2 5,4 5,1)T .
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ; f 叫做对称矩阵 A的二次型;
对称矩阵 A的秩叫做二次型 f 的秩 .
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
1 2 0 x1
f ( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 ) 2 2 3 x2 .
2 5 15
0
2 45 y1 4 45 y2 , 5 45 y3
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例4
二次型 f x12 ax22 x32 2bx1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
经过正交变换
x1 x2
P
y1 y2
化成了标准形
x3 y3
4. 将特征向量1, 2 , ,n正交化,单位化,得
P1 , P2 , , Pn ,记C P1 , P2 , , Pn ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例3 将二次型
f 17 x12 14x22 14x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形.
称为二次型的标准形（或法式）．
例如 f x1, x2, x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
f
y12
y
2 p
y
2 p1
yr2 称为二次型的规范
形．
例如 f x1, x2 , x3 , x4 x12 x22 x42
为二次型的规范形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
5 x3
三、合同矩阵
定义 设 A 和 B 是 n 阶矩阵 , 若有可逆矩阵C , 使 B C T AC , 则称矩阵 A 与 B 合同 .
定理 任给可逆矩阵C ,令B CT AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
0 3 3 x3
1 2 0 1 2 0
r
A 2 2 3 ~ 0 1 3
0 3 3 0 0 6
R( A) 3, 即二次型 f 的秩为 3 .
例2
1 4 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 3 0 1 若是，写出 f 的矩阵.
2 9
x1 x2
是否为二次型？
于是A的特征值为 1 0, 2 4, 3 9,
对应特征向量为
1 1 1
p1 1 , p2 1, p3 1.
2
0
1
将其单位化得
1 6
q1
p1 p1
1 2
6 ,
6
1 2
q2
p2 p2
1 2,
0
q3
p3 p3
1
1
1
3
3 .
3
故正交变换为
解 step1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
2 4 14
17 2 2
A E 2
14
4
182
9
2 4 14
从而得特征值 1 9, 2 3 18.
step2．求特征向量
将1 9代入A E x 0,得基础解系
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
a11 a12 a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2 ,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
i , j1
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中 1,2 , ,n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
曲面.
思考题解答
解
二次型的矩阵为A
5 1
1 5
3 3,
3 3 3
可求得 det( A E) ( 4)( 9),
例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 f x, y, z x2 y2 z2 2xy 2 yz
都为二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
§5 二次型及其标准形
一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、合同矩阵 四、化二次型为标准形
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
令 x Cy
f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (CT AC ) y B C T AC yT By
由 于对 任意 的实 对称 矩阵A, 总 有正 交矩 阵P ,
使 P 1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型 ,有
n
定理8 任给二次型 f aij xi x j aij a ji , 总有
step4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
得
1 3
2 5
2 45
1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
k2
y1
y2 ,
kn yn
也就是要使CT AC 成为对角矩阵.
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常 遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一 对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题， 请同学们注意这种研究问题的思想方法．
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵， 根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快 的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法— 拉格朗日配方法．
f y12 4 y32 , 求 a , b 及正交矩阵P .
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变,但 f
的矩阵由A变为B C T AC;
2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
( y1, y2 , , yn)
1
x x x
1 2 3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1
3 1
y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f 4 y22 9 y32 .
可知f ( x1 , x2 , x3) 1表示椭圆柱面.
1 (1 2,1,1)T .
将2 3 18代入A E x 0,得基础解系
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
step3．将特征向量正交化
取 1 1,2
得正交向量组
2,
3
3
2 2
,, 32
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T ,
3 (2 5,4 5,1)T .