5-2 化二次型为标准形
第五节 二次型及其标准型5-2
0 1 A= 1 −1
1 −1 −1 1 ， −1 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 −1 1 −λ −1 1 1 −λ −1 1 A− λE = = (1−λ) 1 −1 −λ 1 1 −1 −λ 1 −1 1 1 −λ 1 1 1 −λ
5、用x=Py，把f 化成标准型 用 ，
其 λ , λ2, L λn使 的 阵 的 个 征 . 中1 , f 矩 A n 特 值
例1.2 求一个正交变换x=Py，把二次型 求一个正交变换x=Py，
f = 2x1x2 +2x1x3 −2x1x4 −2x2x3 +2x2x4 +2x3x4 化 标 形 为 准 .
例１ 写出二次型
f = x + 2 x − 3 x + 4 x1 x2 − 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
的矩阵. 解 a11 = 1 , a 22 = 2 , a 33 = −3 ,
a12 = a 21 = 2 , a13 = a 31 = 0 , a 23 = a 32 = −3.
0 1 2 ∴ A = 2 2 − 3 . 0 − 3 − 3
1 2 0 x 1 2 3 0 x . f (x , x2, x3) = ( x , x2, x3 ) 1 1 2 0 0 0 x3
(2)
2 二次型的标准形
定义1.2 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ y +L+ λ y
2 1 1 2 2 2
2
3 1 1 3 A+3E = 1 −1 −1 1 1 1 0 2 ~ 0 −2 0 2
化二次型为标准型
化二次型为标准型二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数和数学分析中有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常会遇到需要将一个二次型化为标准型的问题。
本文将介绍如何将一个二次型化为标准型，希望对读者有所帮助。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
对于n元变量x1,x2, ..., xn，二次型可以表示为。
Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2ann-1xn-1xn。
其中，aij (i, j = 1, 2, ..., n) 是常数。
二次型的矩阵表示为。
Q(x) = XTAX。
其中，A是一个对称矩阵，其对角线上的元素就是二次型中的系数，而非对角线上的元素的二倍就是二次型中交叉项的系数。
接下来，我们介绍如何将一个二次型化为标准型。
首先，我们需要找到一个合适的正交变换，使得通过这个变换后，原二次型化为标准型。
设P是一个正交矩阵，即PT = P^-1，那么对于任意的向量x，有。
Q(x) = XTAX = (Px)T A (Px)。
令y = Px，则有。
Q(x) = XTAX = (Px)T A (Px) = yTAy。
这样，原二次型就被化为标准型yTAy。
其中，A是一个对称矩阵，因此可以对角化为对角矩阵Λ。
即存在一个正交矩阵P，使得。
PTAP = Λ。
其中Λ是对角矩阵，其对角线上的元素就是二次型的标准型的系数。
最后，我们来总结一下化二次型为标准型的步骤。
首先，找到二次型的矩阵表示A。
然后，对A进行合同对角化，即找到一个正交矩阵P，使得PTAP = Λ。
最后，通过变换y = Px，将原二次型化为标准型yTAy。
通过以上的介绍，我们可以看到，将一个二次型化为标准型并不是一件困难的事情。
只需要找到合适的正交变换，就可以将原二次型化为标准型。
这对于矩阵理论的学习和应用都有着重要的意义。
总之，化二次型为标准型是矩阵理论中的一个重要问题，通过合同对角化的方法，我们可以很容易地将一个二次型化为标准型。
第五章第五节二次型及其标准形
c22 y2 c2n yn
cn2 y2 cnn yn
9
(2)
返回
P |P|≠0
即 x1 c11 c21 c1n y1
x2
c21
c22
c2
n
y2
.
xn
cn1
cn2
cnn
yn
X = PY.
(3)
要把 f 化成标准形: f k1 y12 kn yn2 .
x1
,
X
.
an2
ann
xn
则 f X ' AX .
6
返回
註: (1). f A.
(2). A的对角线上的元素是 f 中的平方 项的系数. A的右上角是 f 中交叉 项系数的一半.
例1.
f
(
y1
,
y2
)
1
0
0
2
y1 y2
1
y12
2
y22
.
例2. f 3x2 7 y2 3z2 10xy 2xz 10 yz ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
f 2z12 2z22 6z32 .
由于
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
y3 z3
(Y P2Z )
23
返回.
X P1Y , Y P2Z . X (P1P2 )Z .
变换阵
所用的变换阵为:
1 1 01 0 1 1 1 3 P 1 1 00 1 2 1 1 1.
为标准形.
解: 利用 f 的矩阵A的特征值写出 f 的标准形.
0 1 1 1
f 的矩阵为:
第五章 二次型
推论a. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn中 的可逆线性变换将其化为规范形 2 2 2 2 2 2 f y1 y p y p1 yr 0 yr1 0 yn 且规范形(normalized form)是唯一的. 推论b. 设n实阶对称矩阵A的秩为r, 则存在可 逆阵P, 使 Ep , 其中p+q = r. Eq PTAP = O
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
§5.3 正定二次型 一. 惯性定理(Inertia Law)
定理5.3. 实二次型f(x) = xTAx总可以通过Rn 中的可逆线性变换将其化为标准形 f = k1y12 + …+ knyn2 其中k1, …, kn中非零的个数r =秩(f ), 且 正项的个数p与负项的个数q (p+q=r)都 是在可逆线性变换下的不变量.
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
二. 二次型的正定性 1. 定义: f(x) = xTAx x 0 f(x) > 0 x 0 f(x) < 0
实二次型 f(x), A正定
(positive definite)
f(x), A负定
(negative definite)
2. 性质 (1) An, Bn正定 An + Bn正定矩阵. (3) A正定, P可逆 PTAP正定.
f(或A)的正惯性指数
(positive index of inertia)
f(或A)的负惯性指数
(negative index of inertia)
第五章 二次型
§5.3 正定二次型
例如 f = 2x1x2 + 2x1x3 – 6x2x3 在三种不同的可 逆线性变换下可分别化为下列标准形:
二次型标准化
二次型标准化在线性代数中，二次型是一种非常重要的数学概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在处理二次型的问题时，标准化是一个非常重要的步骤，它可以简化问题的求解过程，使得我们能够更加方便地分析和理解二次型的性质。
本文将介绍二次型标准化的相关知识，包括标准型的定义、标准化的方法和应用技巧等内容。
首先，我们来看一下什么是二次型的标准型。
对于一个n元二次型，其标准型是指通过合适的线性变换将其化为一种特殊的形式，使得二次型的系数矩阵中只有对角线上存在非零元素，而其它位置上均为零。
这种形式的二次型更容易进行分析和求解，因此标准化是非常有必要的。
接下来，我们将介绍二次型标准化的方法。
对于一个n元二次型f(x) = x^TAx，其中A是一个对称矩阵，我们可以通过以下步骤将其标准化。
首先，我们要找到A的n个特征值和对应的特征向量，然后构造正交矩阵P，使得P^TAP为对角矩阵Λ，其中Λ的对角线上的元素就是A的特征值。
接着，我们进行线性变换y = Px，将原来的二次型化为g(y) = y^TΛy。
最后，我们再进行一次线性变换z = Cy，其中C是一个非奇异矩阵，将g(y)化为h(z) = z^TDz，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为1或-1。
这样，我们就得到了二次型的标准型。
在实际应用中，二次型标准化有着广泛的应用。
例如在矩阵的对角化问题中，我们可以通过对称矩阵的特征值分解来实现矩阵的对角化，从而简化矩阵的运算。
在最优化问题中，标准化后的二次型可以帮助我们更好地理解问题的性质，从而更加高效地求解最优化的目标函数。
此外，在统计学中，二次型标准化也可以帮助我们进行数据的降维和特征的提取，从而更好地进行数据分析和模式识别。
总之，二次型标准化是一个非常重要的数学工具，它可以帮助我们简化问题、提高求解的效率，并且有着广泛的应用前景。
通过本文的介绍，相信读者对于二次型标准化有了更加深入的理解，希望能够在实际问题中灵活运用这一知识，为自己的研究和工作带来更多的便利和收获。
§5 二次型及其标准形
aij xi x j aij a ji , 总有 i , j 1
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 写出二次型的矩阵 A ;
2. 求出A的所有特征值1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量 1 , 2 ,, n ;
4. 将特征向量1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得 P1 , P2 ,, Pn , 记C P1 , P2 ,, Pn ;
从而得特征值
1 9, 2 3 18.
step2．求特征向量
将 1 9代入 A E x 0, 得基础解系 T 1 (1 2,1,1) . 将 2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
1 1 1 p1 1 , p 2 1 , p 3 1 . 2 0 1
思考题解答
将其单位化得
1 6 p1 1 6 , q1 p1 2 6 1 3 p3 1 3 . q3 p3 1 3
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ;
f 叫做对称矩阵 A 的二次型 ; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩 .
2 2 2 例1 写出二次型 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
二次型化标准型
二次型化标准型二次型是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，我们经常需要将一个二次型化为标准型，这样可以方便我们进行进一步的计算和分析。
本文将介绍二次型化标准型的方法和步骤，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
对于n元变量$x_1,x_2,\dots,x_n$，二次型可以表示为：$$。
f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j。
$$。
其中$a_{ij}$为常数，称为二次型的系数。
如果$a_{ij}=a_{ji}$，则称该二次型为对称二次型。
接下来，我们将介绍如何将对称二次型化为标准型。
首先，我们需要将二次型表示为矩阵的形式。
设$\boldsymbol{X}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$为列向量，$\boldsymbol{A}=(a_{ij})$为对称矩阵，则二次型可以表示为：$$。
f(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{AX}。
$$。
其中$\boldsymbol{X}^T$表示$\boldsymbol{X}$的转置。
接下来，我们需要对矩阵$\boldsymbol{A}$进行对角化，将其化为对角矩阵。
设$\boldsymbol{P}$为可逆矩阵，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，则有：$$。
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{P}^T\boldsymbol{DP}。
$$。
将$\boldsymbol{A}$代入二次型中，得到：$$。
f(\boldsymbol{X}) = \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{DPX} = (\boldsymbol{PX})^T\boldsymbol{D}(\boldsymbol{PX})。
第五章 二次型
§5.1-2 二次型在可逆线性变换下的标准形 5.1一. 二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) = x T Ax =
i , j =1
∑a
n
ij
xi x j
可逆线性变换 标准形⇔PTAP=Λ(P可逆) 实二次型 二. 用正交变换化实二次型为标准形 正交变换 实二次型 正交) 标准形 ⇔QTAQ=Λ(Q正交) ⇔ 实对称阵的正交相似对角化问题 三. 用配方法化实二次型为标准形
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) =
2. 对于一个二次型, 我们讨论的主要问题是: 对于一个二次型 我们讨论的主要问题 二次型, 主要问题是 寻求一个可逆的线性变换 Py使之化为只 可逆的线性变换x 寻求一个可逆的线性变换x=Py使之化为只 含平方项的形式: +…+k 含平方项的形式: f =k1y12+k2y22+…+knyn2. 称只含平方项的形式为二次型的标准形 称只含平方项的形式为二次型的标准形. 标准形. 对于上述可逆的线性变换 x = Py, 可得 Py, f(x) = xTAx = (Py)TA(Py) = yT(PTAP)y = g(y) (Py) Py) AP) = y TΛ y . 于是问题转化为求可逆矩阵 于是问题转化为求可逆矩阵P, 使PTAP为对角阵Λ. 问题转化为求可二次型及其矩阵表示
1. n元实二次型： 元实二次型： f(x1, x2, …, xn) = a11x12+a22x22+…+annxn2 +…+a +2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xn +2a +2a +…+2a 1,n 取aij = aji, 则 f ( x1 , x2 ,⋯ xn ) =
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５－２ 化二次型为标准形包括四个内容：１、满秩线性变换与合同矩阵；２、用正交变换化实二次型为标准形； ３、用配方法化二次型为标准形； ４、惯性定理与实二次型的规范形。
５．２．１满秩线性变换与合同矩阵一、满秩线性变换与正交变换复习：Ｐ２１：－６行至Ｐ２２：－１行，线性变换及其矩阵表示 定义：［Ｐ１９４：－６行至Ｐ１９５：８行］ 由变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ到ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ的实线性变换⎩⎨⎧=CYX )9.5()8.5(矩阵形式代数形式。
当矩阵Ｃ是可逆矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为满秩（可逆）线性变换。
当矩阵Ｃ是正交矩阵时，称Ｘ＝ＣＹ为正交变换。
正交变换是满秩变换，但满秩变换不一定是正交变换。
二、经过满秩线性变换后，原二次型矩阵与新二次型矩阵的关系设实二次型ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）的矩阵为Ａ，则ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０），得ｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ＝（ＣＹ）ＴＡ（ＣＹ）＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｇ（Ｙ） （５．１０） ｇ（Ｙ）是关于变量ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ的二次型，并且（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴＡＣ，所以ＣＴＡＣ是对称矩阵。
可见，经过满秩线性变换后，新二次型的矩阵为：ＣＴＡＣ。
定义５．２［Ｐ１９６：３－７行］ｎ阶方阵Ａ与Ｂ合同：Ａ Ｂ。
合同变换，合同变换的矩阵。
定理：满秩线性变换前后，两个二次型的矩阵是合同的。
［从两方面详细讲述］思考题（１）［Ｐ２０５］若二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）经过满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化成了二次型ｆ＝ＹＴＢＹ，问Ａ与Ｂ的关系是什么？本章中心问题：［Ｐ１９５：－６行至－１行］实二次型−−−−→−满秩实线性变换标准形（只含平方项的二次型）ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２ （ＡＴ＝Ａ）实对称矩阵Ａ ＣＴＡＣ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d21 实对称矩阵−−−→−合同变换实对角矩阵。
三、矩阵合同关系的性质：１、矩阵合同关系具有：［Ｐ１２５：４题；Ｐ２３７有解答］（１）自反性：每一个ｎ阶方阵Ａ，有Ａ与Ａ合同。
（２）对称性：若Ａ与Ｂ合同，则Ｂ与Ａ合同。
（３）传递性：若Ａ与Ｂ合同，Ｂ与Ｃ合同，那么Ａ与Ｃ合同。
２、（保对称性）如果Ａ与Ｂ合同，则Ａ是对称矩阵⇔Ｂ是对称矩阵。
证明：必要性：设Ａ与Ｂ合同，且Ａ是对称矩阵，即存在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，ＡＴ＝Ａ。
所以ＢＴ＝（ＣＴＡＣ）Ｔ＝ＣＴＡＴ（ＣＴ）Ｔ＝ＣＴＡＣ，Ｂ是对称矩阵。
充分性：设Ａ与Ｂ合同，且Ｂ是对称矩阵；即Ｂ与Ａ合同，且Ｂ是对称矩阵；据必要性的证明知，Ａ是对称矩阵。
３、（保秩性）如果Ａ与Ｂ合同，则秩（Ａ）＝秩（Ｂ）。
证明：如果Ａ与Ｂ合同，则在可逆矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，其中ＣＴ也是可逆矩阵，于是，秩（Ｂ）＝秩（ＣＴＡＣ）＝秩（ＡＣ）＝秩（Ａ）。
４、二次型ｆ的标准形ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２中，系数非零平方项的个数就是ｆ的秩；故标准形中非零平方项的个数由二次型ｆ自身唯一确定。
证明：设作满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ（C ≠０）化二次型为标准形，即ｆ＝ＸＴＡＸ＝＝＝＝＝＝ＹＴ（ＣＴＡＣ）Ｙ＝ｄ１ｙ１２＋ｄ２ｙ２２＋…＋ｄｎｙｎ２（ＡＴ＝Ａ）有ＣＴＡＣ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d21，所以 二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）＝秩（ＣＴＡＣ）＝ＣＴＡＣ主对角线上非零元的个数 ＝标准形中系数非零平方项的个数。
作业：Ｐ２１５： ４［Ｐ２３７有证明］ Ｐ２１６：１、填空题（２）、（５）。
先讲５．２．３配方法，后讲５．２．２正交变换法５．２．３用配方法化二次型为标准形例５．４ ［Ｐ２０２］ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） 既含ｘ１２项，又含ｘ１１项，用配方法＝２ｘ１２＋５ｘ２２＋５ｘ３２＋４ｘ１ｘ２－４ｘ１ｘ３－８ｘ２ｘ３＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１］ 按ｘ１集项，提出ｘ１２项的系数＋５ｘ２２＋５ｘ３２－８ｘ２ｘ３ ＝２［ｘ１２＋２（ｘ２－ｘ３）ｘ１＋（ｘ２－ｘ３）２］ 配上ｘ１一次项系数－２（ｘ２－ｘ３）２＋５ｘ２２＋５ｘ３２－８ｘ２ｘ３ 一半的平方＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３ｘ２２＋３ｘ３２－４ｘ２ｘ３ 转化为将ｘ２，ｘ３的二次型＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３［ｘ２２－34ｘ２ｘ３＋94ｘ３２］－34ｘ３２＋３ｘ３２＝２（ｘ１＋ｘ２－ｘ３）２＋３（ｘ２－32ｘ３）２＋35ｘ３２。
只含平方项，不含交叉项令⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=33322321132x y x x y x x x y ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=3332232113231y x y y x y y y x ， （５．１６）得ｆ的标准形为：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｙ１２＋３ｙ２２＋35ｙ３２。
标准形（５．１６）是所作的满秩线性变换，其矩阵为Ｃ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10032103111。
注：此时必有ＣＴＡＣ＝diag ｛２，３，35｝，二次型ｆ的秩＝标准形中系数非零平方项的个数＝３。
例５．５［Ｐ２０３］只含交叉项，不含平方项，先作过渡变换，使它出现平方项。
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１ｘ２－ｘ２ｘ３ 用非零交叉项ｘ１ｘ２作过渡变换令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y （５．１７）得 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝（ｙ１＋ｙ２）（ｙ１－ｙ２）－（ｙ１－ｙ２）ｙ３＝ｙ１２－ｙ２２－ｙ１ｙ３＋ｙ２ｙ３ 出现ｙ１２项和含ｙ１的交叉项＝（ｙ１２－ｙ１ｙ３＋41ｙ３２）－41ｙ３２－ｙ２２＋ｙ２ｙ３ 按ｙ１集项、配方 ＝（ｙ１－21ｙ３）２－（ｙ２２－ｙ２ｙ３＋41ｙ３２）＋41ｙ３２－41ｙ３２＝（ｙ１－21ｙ３）２－（ｙ２－21ｙ３）２只含平方项、不含交叉项令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=333223112121y z y y z y y z ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=333223112121y z z z y z z y ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321y y y ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10021102101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321z z z （５．１８）化ｆ为标准形：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｚ１２－ｚ２２．将（５．１８）代入（５．１７），得化ｆ为标准形的满秩线性变换为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10021102101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321z z z ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321z z z ， 该满秩线性变换的矩阵为：Ｃ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100011111。
说明：必有ＣＴＡＣ＝diag ｛１，－１，０｝，二次型ｆ的秩标准形中系数非零平方项的个数＝２。
小结：化二次型为标准形，关键是消去交叉项，分为两种情况：（１） 含有平方项和交叉项的二次型，用把二次多项式配成完全平方的方法化之。
如：例５．４［Ｐ２０２］。
（２） 只有交叉项，没有平方项的二次型，先用平方差公式作过渡变换，再配方。
如：例５．５［Ｐ２０３］。
作业：Ｐ２１５： ７（１）、（２）。
Ｐ２１７： ３（１）、（２）。
５．２．２用正交变换化实二次型为标准形 （４．４求实对称矩阵的正交标准形）复习：本章中心问题。
１、在５．２．３我们已经会用配方法求满秩线性变换Ｘ＝ＣＹ化实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ为标准形，即求满秩矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ为对角形——Ａ的合同标准形。
２、在４．４实对称矩阵的对角化知：任意ｎ阶实对称矩阵Ａ，必存在ｎ阶正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴＡＰ＝diag ｛λ１，λ２，…，λｎ｝，其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。
３、据２得定理５．１［Ｐ１９７：６－１０行］：任意实二次型ｆ＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ），总存在正交变换Ｘ＝ＰＹ（Ｐ为正交矩阵），化ｆ为标准形ｆ＝λ１ｙ１２＋λ２ｙ２２＋…＋λｎｙｎ２其中λ１，λ２，…，λｎ是Ａ的全部特征值。
４、用正交变换化实二次型为标准形的步骤：Ｐ２０１：９行至Ｐ２０２：３行。
５、思考题（２）［Ｐ２０５］：若实对称矩阵Ａ合同于对角矩阵Ｄ，问Ｄ的主对角线上元素必是Ａ的特征值吗？在什么情况下，Ｄ的主对角线上元素是Ａ的全部特征值？解：若实对称矩阵Ａ合同于对角矩阵Ｄ，Ｄ的主对角线上元素不一定是Ａ的特征值。
如例５．４中实对称矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222合同于对角矩阵Ｄ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3532，但Ａ的特征值为：λ１＝λ２＝１，λ３＝１０。
当存在正交矩阵Ｐ，使Ｐ－１ＡＰ＝ＰＴＡＰ为对角矩阵时，Ｄ的主对角线上元素一定是Ａ的全部特征值。
Ｐ２１６填空题（４）、二次型ｆ（ｘ１，ｘ２）＝２ｘ１２＋２ｘ２２－２ｘ１ｘ２经正交变换化成的标准形是 。
（不必求出正交矩阵） 解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2112。
A E -λ＝2112--λλ＝2111)1(--λλ＝)3)(1(--λλ。
Ａ的全部特征值为：λ１＝１，λ２＝３。
所以Ａ可经过正交变换化成标准形：ｙ１２＋３ｙ２２［或３ｙ１２＋ｙ２２］。
例５．１［Ｐ１９７］求一个正交变换，把下边二次型化为标准形：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝２ｘ１２＋５ｘ２２＋５ｘ３２＋４ｘ１ｘ２－４ｘ１ｘ３－８ｘ２ｘ３。
解：［Ｐ１９７－Ｐ１９８，掌握］必须求出正交矩阵Ｐ。
例５．３［Ｐ１９９］求一个正交变换，把二次型ｆ（ｘ，ｙ）＝５ｘ２－４ｘｙ＋８ｙ２化成标准形。
解：二次型ｆ的矩阵为Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--8225。
A E -λ＝8225--λλ＝4)8)(5(---λλ＝36132+-λλ＝)9)(4(--λλ Ａ的全部特征值为：λ１＝４，λ２＝９。
对λ１＝４，解方程组（４Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由 ４Ｅ－Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4221→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0021，通解为：ｘ１＝２ｘ２（ｘ２任意）。
一个基础解系为ξ＝（２，１）Ｔ，单位化，得ｅ１＝（52，51）Ｔ，ｅ１为属于λ１＝４的单位特征向量。
对λ２＝９，解方程组（９Ｅ－Ａ）Ｘ＝０，由９Ｅ－Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1224→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1212→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0012，通解为：ｘ２＝－２ｘ１（ｘ１任意）。
一个基础解系为：ξ２＝（１，－２）Ｔ，单位化，得ｅ２＝（－51，52）Ｔ，ｅ２为属于λ２＝９的单位特征向量。
令Ｐ＝（ｅ１，ｅ２）＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-52515152，则Ｐ为正交矩阵，且作正交变换 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝Ｐ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-52515152⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ，化ｆ为标准形 ｆ（ｘ，ｙ）＝４2x '＋９2y '。