U634-线性代数-5.2 二次型与对称矩阵的标准形 (2)
合集下载
对称矩阵与二次型_OK
f a11x12 a12 x1x2 a1n x1xn a21x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
2021/9/4
2
a11 a12
故“二记次型与一x个1,对x称2 ,矩阵, x一n，一则aa对2n11应”aa。n222，
化为标准形，并指出 f x1, x2 , x3 1表示何种二次
曲面 。
5 1 3
解：二次型f的矩阵
A
1
5
3, r A 2,
由于
3 3 3
5 1 3
A E 1 5 3 4 9
3 3 3
2021/9/4
12
故矩阵A的特征值为1 0, 2 4, 3 9 ，各特征值
a1n x1 a2n x2
ann xn
例如，二次型
的
A (aij )nn , x x1, x2, , xn T
f xT Ax
矩阵
。
f x12 x22 x42 2x2 x3 x2 x4
1 0 0 0
A
0 0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
2021/9/4
2021/9/4
30
例5.7 若 f = x12 2x22 x32 2x1x2 2tx1 x3为正定二次型，
则t应满足什么条件？
解：二次型f的矩阵为
由于
1 A 1t
a11 1,
1 t
2 0
10 ,
11 A1 2
t0
a11
a12
1
1 1,
a21 a22 1 2
t 0 1 2t2 1
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。
一、对称矩阵的定义与特性在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。
具体定义如下：定义1：对称矩阵设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一些特性如下：特性1：主对角线上的元素对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。
特性2：特征值对称矩阵的特征值都是实数。
特性3：特征向量对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
特性4：对角化对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。
具体定义如下：定义2：二次型设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。
称f(x)为二次型。
二次型有一些重要的性质：性质1：对称性二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。
性质2：标准型对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。
标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。
性质3：正定、负定与半正定二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。
当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。
三、对称矩阵与二次型的关系对称矩阵与二次型之间有紧密的联系，通过对称矩阵可以定义出二次型，同时对于任意一个二次型，都可以找到对应的对称矩阵。
42二次型与对称矩阵的标准形
0 0
9
4
1 1
0 0
0
1 2
0
0 0 9
C
x x 6 x x 2 x x 例 求可逆线性替换, 化二次型 2 1 2 2 3 1 3 1 1 0 为标准形. T B C AC 解 二次型对应的矩阵为 A 1 0 3 B
其中 r 为二次型f的秩, p 为二次型f 的正惯性指标, r p 为二次型f 的负惯性指标. 且规范形由二次型 唯一决定. ' 任一实对称矩阵A 都与对角矩阵 定理 4.4 1 p 合同 , 其中 1 的个数为 1 r p －1的个数为 1 1和－1的个数共有 r 个, 1 r 为二次型的秩.
y1 z1 z 3 y1 y 3 z1 1 0 1 z 2 z y 令 y 2 y z YC 0 1 2Z 2 2 3 2 3 2 2Z 2 y z y z 3 3 3 0 0 1 3 1 1 3 C 亦即 X C Y 1 1 Z CZ | C | 2 0 1C 2Z 1 1 0 0 1
C
2 2 2 f(x , x , x ) x 3 x 4 x 2 x x 2 x x 6 x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
令
2 ( x x x ) 2 x x 4 x 1 2 3 2 3 3
2
2
2 2 2 2 y1 x x x 2 ( 2 x ) y f 4 y y 3 1 2 3 1 3 2 2 2 2 标准形唯一吗？ y 2 2x2 x3 f y y y
[全]线性代数之化二次型为标准形的方法总结[下载全]
![[全]线性代数之化二次型为标准形的方法总结[下载全]](https://img.taocdn.com/s3/m/5d63934c770bf78a652954fa.png)
线性代数之化二次型为标准形的方法总结
线性代数考研中的两道大题是线性方程组，二次型和相似轮流来的。
由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。
二次型的标准型：
二次型的标准型
化二次型为标准型：
化二次型为标准型
用正交变换化二次型为标准型的解题步骤为：（1）把二次型表示成矩阵形式；
（2）求矩阵A的特征值及对应的特征向量；（3）对重根对应的特征向量作施密特正交化；（4）全体特征向量单位化；
（5）将正交单位特征向量合并成正交矩阵；（6）令x=Qy。
题型一：化二次型为标准型
例1：用正交变换把如下二次型化为标准型：
解题思路：按照上面用正交变换化二次型为标准型的方法来求解。
解：
总结：用正交变换把二次型化为标准型的题型是考研必考的大题，所以同学们一定要熟练掌握。
二次型与对称矩阵的标准形
y1 y2
O
n
yn
例 利用正交替换法化二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
为标准形. 解对应的
矩阵为A
1 02
2 0
1 2
2 2
23
E A
2 2
02
0 2
3
特征值 1, 2, 5
( 1)( 2)( 5)
2 3
2 3
y2 y3
1
( y1
y2
y3 )
0 0
0 2 0
0 y1
0 5
y2 y3
Q
y12 2 y22 5 y32
例 用正交替换 化二次型
f 2x12 5x22 5x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 2 2 2
为标准形, 并写出所作的线性替换. 解 二次型对应的矩阵为
yn
实对称矩阵 A
存在可逆矩阵C, 使得
CT AC
d1
d2
O
dr
0
O
0
二次型通过非退化线性替换化成标准形 有三种方法: (一) 用配方法化二次型为标准形 (二) 用初等变换法化二次型为标准形
(三)用正交替换法化二次型为标准形
3.用正交替换法 化二次型为标准形
二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X T A X 实对称矩阵A
1 2 0
二次型对应的矩阵为
A
2
2
2
2 2 1
0 2 3
3 3 3
1 0 0
Q
2 3
1
1 3
2
2 3
是正交矩阵，QT
线性代数二次形及其标准型
5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,
二次型的标准型和规范型
2. 正交变换法 正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.
Th5.3(1)实对称矩阵A, 正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵. (2)任一二次型都可经正交变换化为标准形,即 二次型f (x) xT Ax, 正交变换x Qy(Q为正交矩阵),
将其化为标准形g( y1, y2 ,, yn ) 1 y12 2 y22 n yn2 , 其中 1, 2 ,, n为A的n个特征值.
小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
特征值的个数分别相同.
5.2 over
5.2 二次型的标准形与规范形
二次型的标准形:
二次型f (x) xT Ax 可逆 的线性变换xCy 标准形 : g( y) yT (CT AC) y d1 y12 d2 y22 dn yn2.
d1
标准形的矩阵:
B
CT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAC
d2
为正交矩阵其中qqy化为标准形将二次型其中将其化为标准形为正交矩阵正交变换二次型变换化为标准形任一二次型都可经正交为对角矩阵正交矩阵实对称矩阵标准形化为将二次型为可逆矩阵求一可逆的线性变换即可化为标准形将二次型为正交矩阵求一正交变换即可求一正交矩阵方法为对角矩阵求一可逆矩阵为实对称矩阵求一正交矩阵为对角矩阵求一可逆矩阵为对角矩阵求一正交矩阵为对角矩阵求一可逆矩阵为实对称矩阵小结aq等列变换立即再作一次同种的初指的是作一次初等行变对等这里对角矩阵的初等行列变换化为任一方阵均可利用对等为对角矩阵化实对称矩阵为标准形化二次型准备知识
5.2 二次型与对称矩阵的标准形
2 f = d1 y12 + d 2 y2 + ... + d r yr2 =
d1 y1 y d2 2 ⋮ ⋱ ( y1 , y2 ,..., yn ) y dr r yr +1 0 ⋱ ⋮ yn 0 ↑
利用正交替换 正交替换法 例 利用正交替换法 化二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3
为标准形. 为标准形. 2 1 −2 0 λ −1 解 对应的 −2 2 −2 λ E − A = 2 λ − 2 A= 矩阵为
λ1 λ1 −1 λ2 λ2 T Q AQ = Q AQ = ⋱ ⋱ 定理4.14 定理4.14 λn λn ↑ A的所有特征值
存在正交矩阵Q, 存在正交矩阵Q,使得 正交矩阵
存在正交矩阵Q, 存在正交矩阵Q, 使得 正交矩阵
f ( x1 , x2 ,..., xn )= X T A X 二次型
实对称矩阵A 实对称矩阵A 存在可逆矩阵C 存在可逆矩阵C, 使得
C T AC =
d1 d2 ⋱ dr 0 ⋱ 0
经过非退化线性替换 X = CY 化为: 二次型 f 化为:
β 1 , β 2 ,α 3 两两正交
2 1 −2 2 它们单位化 单位化： 将它们单位化： 5 3 5 3 5 4 2 1 x = 15 4 = 3 5 λ3 = 10:x 3 = 3 λ1 = 1: x1 = 2 3 5 5 令 β5 5 − 2 3 1 3 −2 3 2 5 1 3 0 3 5 25 3 2 5 1 y1 1 4 2 3 x1 Q =5 3 5 3 4 2 X == 1 QY 5 3 5 3 y2 −2 经正交替换 x2 0 35 3 5 −2 y x 0 3 3 3 3 是正交矩阵. Q是正交矩阵. 1 y1 二次型化为 1 0 0 T T (Q T AQ ( y1 y2 Y3 ) Y 1 B )Yy2 y T1 − = Λ Q AQ = 0 1 0 2 y3 10 2 2
d1 y1 y d2 2 ⋮ ⋱ ( y1 , y2 ,..., yn ) y dr r yr +1 0 ⋱ ⋮ yn 0 ↑
利用正交替换 正交替换法 例 利用正交替换法 化二次型
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2 x2 + 3 x3 − 4 x1 x2 − 4 x2 x3
为标准形. 为标准形. 2 1 −2 0 λ −1 解 对应的 −2 2 −2 λ E − A = 2 λ − 2 A= 矩阵为
λ1 λ1 −1 λ2 λ2 T Q AQ = Q AQ = ⋱ ⋱ 定理4.14 定理4.14 λn λn ↑ A的所有特征值
存在正交矩阵Q, 存在正交矩阵Q,使得 正交矩阵
存在正交矩阵Q, 存在正交矩阵Q, 使得 正交矩阵
f ( x1 , x2 ,..., xn )= X T A X 二次型
实对称矩阵A 实对称矩阵A 存在可逆矩阵C 存在可逆矩阵C, 使得
C T AC =
d1 d2 ⋱ dr 0 ⋱ 0
经过非退化线性替换 X = CY 化为: 二次型 f 化为:
β 1 , β 2 ,α 3 两两正交
2 1 −2 2 它们单位化 单位化： 将它们单位化： 5 3 5 3 5 4 2 1 x = 15 4 = 3 5 λ3 = 10:x 3 = 3 λ1 = 1: x1 = 2 3 5 5 令 β5 5 − 2 3 1 3 −2 3 2 5 1 3 0 3 5 25 3 2 5 1 y1 1 4 2 3 x1 Q =5 3 5 3 4 2 X == 1 QY 5 3 5 3 y2 −2 经正交替换 x2 0 35 3 5 −2 y x 0 3 3 3 3 是正交矩阵. Q是正交矩阵. 1 y1 二次型化为 1 0 0 T T (Q T AQ ( y1 y2 Y3 ) Y 1 B )Yy2 y T1 − = Λ Q AQ = 0 1 0 2 y3 10 2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可见
对矩阵
A I
施以相应于右乘 P1
P2
Ps 的初等列变
换 再对 A 施以相应于左乘 P1T P2T PsT 的初等行变换 矩阵
A变为对角矩阵 单位矩阵I就变为所要求的非奇异矩阵C
1 1 1 例 2 求可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 其中A1 2 2
1 2 1
解解
AIAI11111111
为对角形(称这个对角矩阵为A的标准形) 即任何一个对称矩 阵都与一个对角矩阵合同
例 1 求一非奇异矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 0 1 1
A 1 0 2
1 2 0
(二)用初等变换法化二次型为标准形
当C是非奇异矩阵 且CTAC为对角矩阵时 则有
CI P1P2 Ps (其中Pi(i1 2 s)是初等矩阵) CTACPsT P2TP1TA P1P2 Ps
1 0
11
1 1 1 例 2 求可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 其中A1 2 2
1 2 1
解
AI 1111
1 2 2 0
1102
1 1 1 1
011100110011
0 1 1 1
00010011 0111001100110011
0001
00
1 0
10
00
1 0
0100
1 0
1 1 1
例 2 求可逆矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵 其中A1 2 2 1 2 1
例3 求一非退化线性变换 化二次型2x1x22x1x34x2x3为 标准形
例 4 用正交变换把下面的二次型化为标准形 并写出所 作的正交变换
f (x1, x2, x3) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x22 8x2 x3 5x32
11
00
0100 0101 11
因此
1 1 0
1 0 0
C 00
1 0
11
CTAC 00
1 0
01
例3 求一非退化线性变换 化二次型2x1x22x1x34x2x3为 标准形
0 1 1 解 此二次型的矩阵为A 1 0 2
1 2 0
因为
AI 0111
1 0 2 0
0021 0021
0 1/ 2
11 22 22 00
1102110211111111
00 11 11 11
00110011
0000
11 00
1010
0000
11 00
0101
00110011
00 11 11 11
00110011
0000
11 00
0101
0011
0 1 1 1
0001
00
1 0
11
0011
0 1 0 1
0001
00
将二次型化为平方项的代数和的形式后 如果有必要 可 重新安排变量的次序(这也是一个非退化线性变换)使这个标 准形化为以下形状
d1x12
d
p
x2p
d
x2
p1 p1
其中di0 (i1 2 r)
通过非退化线性替换
dr xr2
xi
1 di
yi (i 1,
2,
, r)
x j y j ( j r 1, r 2, , n)
§52 二次型与对称矩阵的标准形
(一)用配方法化二次型为标准形 (二)用初等变换法化二次型为标准形 (三)用正交变换法化二次型为标准形 (四)二次型与对称矩阵的规范形
(一)用配方法化二次型为标准形
定理51 任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形
定理52 对任意一个对称矩阵A 存在一个非奇异矩阵C 使CTAC
2 2 2 解 二次型的矩阵为 A 2 5 4
2 4 5
求得A的特征值为121 310
求出使A相似于对角矩阵 因此 作正交变换xQy 就可
的正交矩阵
以使二次型化为标准形
2 5
5
2 15
5
1 3
Q
54 5 15
5
2 3
0
1 3
5
2 3
f y12 y22 10y32
(四)二次型与对称矩阵的规范形
说明 二次型的正惯性指标也称为二次型矩阵的正惯性指标 二次型的负惯性指标也称为二次型矩阵的负惯性指标
定理54
凡二次型都可通过非退化线性变换化为规范形 且规范
形是由二次型本身决定的唯一形式 与所作的非退化线性变
换无关
正惯性指标和负惯性指标
把规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标 负项
个数qrp称为二次型的负惯性指标 其中r是二次型的秩
定理53 对于二次型f(x)xTAx 一定存在正交矩阵Q 使得经过正
交变换xQy后能够把它化为标准形
f 1y12 2 y22 n yn2 其中1 2 n是二次型f(x)的矩阵A的全部特征值
例 4 用正交变换把下面的二次型化为标准形 并写出所
作的正交变换
f (x1, x2, x3) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x22 8x2 x3 5x32
0 1/ 2
2400
00
1 0
01
01
1/ 2 0
11
1 所以C 0
0
1/ 2 1/ 2 0
2 1 |C|10
1
令
x1 z1 (1/ 2)z2 2z3 x2 z1 (1/ 2)z2 z3
x3
z3
代入原二次型可得标准形
f 2z12 (1/ 2)z22 4z32
(三)用正交变换法化二次型为标准形
二次型又化为
y12
y
2 p
y
2 p1
yr2
这种形式的二次型称为原二次型的规范形
定理54 凡二次型都可通过非退化线性变换化为规范形 且规范
形是由二次型本身决定的唯一形式 与所作的非退化线性变 换无关 正惯性指标和负惯性指标
把规范形中正项的个数p称为二次型的正惯性指标 负项 个数qrp称为二次型的负惯性指标 其中r是二次型的秩
定理55
合同的对称矩阵具有相
A为任意对称矩阵 如果 同的正惯性指标和秩
Ip 0 0
It 0 0
CT AC 0
0
Irp 0
0
0
及 QT AQ 0 0
I r t 0
0 0
CQ |C|0 |Q|0 则pt
作业 5.2：
例 1 求一非奇异矩阵 C 使 CTAC 为对角矩阵
0 1 1
A 1 0 2 1 2 0