对称矩阵和反对称矩阵
关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
INTELLIGENCE 人 文 论 坛162关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质华北电力大学科技学院 朱亚茹摘 要: 对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，占有很重要的地位，但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义，而没有提到其性质。
本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。
关键词:对称矩阵 反对称矩阵 性质对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵，在高等代数和线性代数中占有重要地位。
教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义，但对其性质的研究很少，对反对称矩阵的性质则研究更少。
本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明，为广大读者学习矩阵时提供参考。
一、对称矩阵定义：设()ij n A a =为n 阶方阵，如果满足T A A =，即(,1,2,,)ij ji a a i j n ==⋅⋅⋅，那么称A 为对称矩阵。
由于对称矩阵形式的特殊性，使其具有一般矩阵没有的性质，下面列举出对称矩阵一系列的性质，并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。
性质1：A 为n 阶对称矩阵，则m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
证明：因为A 为n 阶对称矩阵，所以T A A =。
则()()m T T m m A A A ==，所以由定义可知m A （m 为正整数）也是对称矩阵。
性质2：A 为n 阶对称矩阵，则T A A +也是对称矩阵。
证明：因为()()T T T T T T A A A A A A +=+=+，所以TA A +也是对称矩阵。
性质3：A 为n 阶对称矩阵且A 可逆，则1A −也是对称矩阵。
证明：因为111()()T T A A A −−−==，所以1A −也是对称矩阵。
性质4：A 为m n ×阶的矩阵，则T AA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
证明：显然T AA 为m 阶矩阵，T A A 为n 阶矩阵，又由于()()T T T T T T AA A A AA ==，()()T T T T T T A A A A A A ==，所以TAA 为m 阶对称阵，T A A 为n 阶对称阵。
斜对称矩阵和反对称矩阵
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斜对称矩阵和反对称矩阵
在线性代数中，斜对称矩阵和反对称矩阵是两种特殊的矩阵类型。
斜对称矩阵：
一个方阵 A 被称为斜对称矩阵（skew-symmetric matrix ），如果它的转置矩阵等于它的相反数，即T A A =−。
对于斜对称矩阵，它的主对角线上的元素必须为零，而其他元素与关于主对角线的元素关于主对角线对称。
一个 n × n 的矩阵 A 是斜对称矩阵的充要条件是aij=−aji 对于所有的 i 和 j 。
反对称矩阵：
一个方阵 A 被称为反对称矩阵（antisymmetric matrix ），如果它的转置矩阵等于它的相反数，即T A A =−。
反对称矩阵的定义与斜对称矩阵相同。
与斜对称矩阵类似，反对称矩阵的主对角线上的元素必须为零，而其他元素与关于主对角线的元素关于主对角线对称。
总结一下：
• 斜对称矩阵：T A A =−，主对角线元素为零，对称元素关于主对角线对称。
• 反对称矩阵：T A A =−，主对角线元素为零，对称元素关于主对角线对称。
这两种矩阵在数学和物理等领域中有广泛的应用，例如在刚体运动、电磁学和振动系统的建模中。
对称矩阵与反对称矩阵
对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵是线性代数中两种特殊的矩阵形式。
它们在数学和物理领域中有广泛的应用，特别是在对称性和反对称性的研究中起着重要的作用。
让我们来看看对称矩阵。
一个n阶矩阵A称为对称矩阵，如果它的转置矩阵等于它本身，即A的每个元素aij等于aji。
换句话说，对称矩阵以主对角线为对称轴，对角线两侧的元素相等。
例如，下面是一个3阶对称矩阵的例子：\[A = \begin{bmatrix}1 &2 &3 \\2 & 4 & 5 \\3 & 5 & 6 \\\end{bmatrix}\]对称矩阵在几何学、物理学和工程学中经常出现。
例如，在物理学中，对称矩阵可以用来描述刚体的惯性矩阵。
在几何学中，对称矩阵可以用来表示二次曲线的方程。
在工程学中，对称矩阵可以用来表示力学系统的刚度矩阵。
接下来，我们来了解一下反对称矩阵。
一个n阶矩阵A称为反对称矩阵，如果它的转置矩阵的相反数等于它本身的负数，即A的每个元素aij等于-aji。
换句话说，反对称矩阵以主对角线为对称轴，对角线上的元素为零，而对角线两侧的元素满足相反数关系。
以下是一个3阶反对称矩阵的例子：\[A = \begin{bmatrix}0 & 1 & -2 \\-1 & 0 & 3 \\2 & -3 & 0 \\\end{bmatrix}\]反对称矩阵在物理学、电路理论和几何学中有重要应用。
在物理学中，反对称矩阵可以用来描述刚体的角动量。
在电路理论中，反对称矩阵可以用来表示电感和电容之间的耦合。
在几何学中，反对称矩阵可以用来表示旋转和反射变换。
对称矩阵和反对称矩阵有一些共同的性质。
首先，它们的对角线上的元素都为零。
这是因为对称矩阵的对称轴是对角线，而反对称矩阵的对称轴是主对角线。
其次，对称矩阵和反对称矩阵的和仍然是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置矩阵与自身相等，而反对称矩阵的转置矩阵的相反数与自身相等。
常用的特殊矩阵
常用的特殊矩阵矩阵在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
除了常规的矩阵外，还存在一些特殊的矩阵形式，它们具有独特的性质和应用。
本文将介绍一些常用的特殊矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵、零矩阵和方阵。
1. 对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
主对角线上的元素可以是任意值。
对角矩阵在线性代数中有广泛的应用，例如求解线性方程组、矩阵的特征值等。
对角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
2. 上三角矩阵上三角矩阵是指除了主对角线及其以上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
上三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
上三角矩阵在计算机科学和数学中都有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
上三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
3. 下三角矩阵下三角矩阵是指除了主对角线及其以下的元素外，其余元素都为零的矩阵。
下三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
下三角矩阵在计算机科学和数学中也有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
下三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
4. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵。
换句话说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵在数学和物理学中有广泛的应用，例如求解线性方程组、特征值问题、二次型等。
对称矩阵具有很多重要的性质，例如所有的特征值都是实数，特征向量可以正交等。
5. 反对称矩阵反对称矩阵是指矩阵的转置的相反数等于自身的矩阵。
换句话说，反对称矩阵的元素关于主对角线对称且元素为相反数。
反对称矩阵在数学和物理学中也有广泛的应用，例如旋转、刚体运动等。
反对称矩阵的特征值具有特殊的性质，例如如果矩阵的维度是奇数，则至少存在一个特征值为零。
6. 单位矩阵单位矩阵是指主对角线上的元素都为1，其余元素都为零的矩阵。
单位矩阵在线性代数中有重要的作用，它在矩阵乘法中起到类似于数字1的作用。
1-1.7(对称矩阵与反对称矩阵)
(反对称), 则 A+B(A－ B, AB)如何 ?
思考 : 设 A为实矩阵 . 证明 : 若 ATA=O, 则 A = O. 设 A为实对称阵 . 证明 : 若 A2=O, 则 A = O.
[结束]
§ 1.1 矩阵及其运算
§ 1.1 矩阵及其运算
问题 : 数乘对称矩阵是否仍为对称矩阵？ 同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？
同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？ 例
1 2 1 1 3 3 2 0 1 1 2 2 : AB对称 AB = BA. 证 : ： ( AB )T B T A T BA AB
: ( AB )T AB
所 以 A B ( A B ) T B T A T BA.
§ 1.1 矩阵及其运算
结论 : 对任意矩阵 A， AAT 和 ATA都是对称矩阵 .
证： (AAT)T = (AT)TAT = AAT
思考 :
设 A, B是同阶方阵 ,其中A对称(反对称), B对称
七. 对称矩阵、反对称矩阵
对称矩阵 : AT = A
即 a ij a ji , i , j
反对称矩阵:
AT A
即 a ii 0, a ij a ji , i j
例 9. 下列矩阵是否对称矩阵，反对称矩阵？
3 1 2 2 3 2 1 1 0 0 1 2 ， 2 1 0 0 ， 3 0 1 0 5 1 2 0 3 1 0
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形
对称矩阵与反对称矩阵的合同标准形在数学中是一个重要概念，尤其在线性代数和矩阵理论中。
首先，我们需要理解什么是对称矩阵和反对称矩阵，以及合同关系是什么。
1.对称矩阵：一个矩阵如果满足其转置等于它本身，即(A = A^T)，则该矩阵被称为对
称矩阵。
2.反对称矩阵：一个矩阵如果满足其转置等于它的负值，即(A = -A^T)，则该矩阵被称
为反对称矩阵。
3.合同关系：两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得(P^TAP = B)，则称A
和B是合同的。
对称矩阵和反对称矩阵的合同标准形通常是在某种变换下，使得这些矩阵具有更简单的形式或揭示其某些内在性质。
对于对称矩阵，通过合同变换，可以将其化为对角形矩阵或具有特定块结构的矩阵。
而对于反对称矩阵，其合同标准形可能与对称矩阵有所不同。
具体来说，对于实数域上的对称矩阵，总存在一个可逆矩阵P，使得(P^TAP)成为一个对角矩阵，其中对角线上的元素是A的特征值。
这是对称矩阵谱定理的一个重要结果。
对于反对称矩阵，其合同标准形可能依赖于具体的数域和矩阵的维数。
在某些情况下，反对称矩阵可以通过合同变换化为一种标准形，这种标准形可能包含一些零块
和/或特定的2x2块。
然而，需要注意的是，对于复数域上的对称矩阵和反对称矩阵，情况可能会有所不同。
此外，具体的合同标准形可能还依赖于矩阵的秩和其他性质。
总之，对称矩阵和反对称矩阵的合同标准形是矩阵理论中的一个重要概念，它有助于我们更深入地理解这些矩阵的性质和结构。
然而，具体的合同标准形可能因数域、维数和其他因素而异。
对称矩阵与反对称矩阵
实对称矩阵 实数域内<1> 定义：设A 为一n 阶实方阵，则A 称为是对称的如果A ˊ=A 。
<2> 性质：设A 为一n 阶实对称矩阵，令A=(ij a )， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n 。
则有：1) ;'A A =2) ji ij a a =， i=1,2,3，···，n ；j=1,2,3，···，n ；推论：1),'2AA A =A 2的主对角线上的元素为∑==nj ij n i a 12,...,2,1,全大于或等于0； 2)①若A 2的主对角线上的元素全为0，则A 为一零方阵； ②若,...3,2,1,0==n A n ，则A 为一零方阵；3)每一个n 阶实对称矩阵A 对应于唯一的二次型f(X)=X ˊAX ， '*1321),...,,,(n n x x x x X =其中；4)存在一n 阶正交矩阵U(即UU ˊ=E)，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,..., ,0 0 0, 0,=-n AU U λλλ.................0,...,0,0,....,0,0,211，其中ιλ，i=1，2，···,n 为A 的全部特征根。
5)实对称矩阵的特征根都是实数；属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交。
<3>对称矩阵的构造1)常见的对称矩阵：对角矩阵，单位矩阵，正定矩阵，半正定矩阵；2)设A为一n阶对称方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数k A，A k，A+k E，k A+E，3)设A为任一n阶方阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数A+Aˊ；k(A+Aˊ)；AAˊ，k AAˊ，(A-Aˊ)2；4)设B为任一反对称矩阵，则以下的矩阵是对称的，k为任一常数kB2，<4>相关例题1、n阶实方阵A为对称方阵的充要条件是'2AAA 。
对称矩阵与反对称矩阵的若干性质
性质 1 若是实对称矩阵，那么也是实对称矩阵. 证明：由于是实对称矩阵，所以.，故也是实对称矩阵. 性质 2 若是反对称矩阵，那么也是反对称矩阵.
3
证明：由于是反对称矩阵，所以.，故也是反对称矩阵.
性质 3 设为实对称矩阵，则的特征值均为实数. 证明：设是的特征值，于是有非零向量
满足
.
令
，
其中是的共轭复数，则 .
性质 4 任一复对称矩阵合同于规范形，其中 r； 任一实对称矩阵合同于规范形，其中 p 称为的正惯性指数，rp 称为的
负惯性指数，2pr 称为 A 的符号差. 2、反对称矩阵的特有性质
由于反对称矩阵的特殊性，使其有了与对称矩阵不同的性质. 性质 1 若，都是数域 P 上的 n 级反对称矩阵，则，k(k)亦都是反对称矩阵. 证明：,都是反对称矩阵，根据定义，，而，k.故，k(k)亦都是反对称矩阵. 性质 2 反对称矩阵的主对角元素全为 0. 证明：为反对称矩阵，,对于主对角线上的元素,所以 0,故结论成立. 性质 3 数域 P 上奇数级反对称矩阵的行列式等于 0. 证明：设是 n 级反对称矩阵，n 是奇数，则.从而，于是,由此得出，20,因此 0, 结论得证. 性质 4 设是反对称矩阵，则合同于 diag，其中 S,即反对称矩阵的秩一定是偶数. 证明：设是非零反对称矩阵（显然对于零矩阵，结论成立），用归纳法证明.n2， 反对称矩阵，明显地合同于，结论成立.
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对称矩阵和反对称矩阵
本文主要介绍对称矩阵和反对称矩阵的定义、性质和应用。
1.定义
对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相等，即矩阵的转置等于它本身。
定义如下：
设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于A本身，则称A为对称矩阵。
反对称矩阵是指矩阵的元素在镜像中心线两侧相反，满足A=-AT。
定义如下：
设A为n阶矩阵，如果A的转置矩阵AT等于-A本身，则称A为反对称矩阵。
反对称矩阵中对角线元素都为0。
只有当n为奇数时，才有可能构造出反对称矩阵。
2.性质
对称矩阵和反对称矩阵都是特殊的方阵，它们有以下性质：
1）对称矩阵的特征值都是实数。
2）对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。
3）对称矩阵的每个子矩阵都是对称矩阵。
4）反对称矩阵的行列式都是偶数次幂。
5）反对称矩阵的秩为偶数。
6）反对称矩阵的特征值都是纯虚数或0。
3.应用
对称矩阵和反对称矩阵在物理学、工程、数学等领域都有广泛应用。
下面介绍其中一些应用。
3.1 对称矩阵
对称矩阵与二次型有密切关系。
二次型是由一个n维向量x和一个n阶矩阵A的乘积xTAx表示的。
如果A是对称矩阵，则称该二次型为正定二次型。
正定二次型的特征值都是正数，表现出对向量的正面影响，常用于优化问题中。
在物理学中，对称矩阵常用于表示物理系统的对称性，如空间对称性和内禀对称性。
此外，在计算机科学领域中，对称矩阵可以用于计算图像处理中的中值滤波和边缘检测。
3.2 反对称矩阵
反对称矩阵在物理学中也很有用，可以表示无旋场，如电磁场和磁场等。
在机器学习算法中，反对称矩阵可以用于求解矩阵奇异值、特征值和特征向量等问题，具有很高的计算效率。
同时，反对称矩阵也能表示多种对称性和不变性，例如动量和角动量的守恒，以及物理系统中的对称映射。
此外，反对称矩阵还被广泛应用于控制论和自动化领域。
4.总结
对称矩阵和反对称矩阵分别具有不同的特性和应用。
由于其广泛的应用性和重要性，对称矩阵和反对称矩阵成为数学、物理学、工程学等领域中不可或缺的基本工具。
在实际应用中，我们可以根据问题所需，灵活使用对称矩阵和反对称矩阵等工具，更好地解决现实问题。