线性代数43二次型与对称矩阵的有定性
1 0, 1 0,..., 1 0 A－1的特征值都大于0，故A－1正定
1 2
n
A 0 0是A的特征值 A 0 0不是A的特征值
证法2 ∵A正定 A : E 即存在可逆矩阵C，使得
A CT E C CTC
A1 (C T C )1 C 1(C T )1 C 1(C 1 )T DT D DT E D
a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n
A
a31
a32
a33
...
a3n
an1 an2 an3 ... ann
定义4.5
A1 a11
A2
a11 a21
a12 a22
a11 A3 a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 ... An A a33
ann 0
a1n a2n ann
0
1
M
0
0
负定的判别：
矩阵A负定
矩阵 (A正) 定.
x1
证： A负定
n
1
∴A ～
2
n
A正 定
1
2
正定
n
1 0,2 0,...,n 0
A的所有特征值
准则2 矩阵A为正定矩阵
A与单位矩阵E合同.
证 充分性:若 A : E 则由于 E 正定, 故A正定.
必要性: 设A正定, 则A的特征值都大于0 1
∵A是实对称矩阵 ∴存在正交矩阵Q,使得 2
cnn
yn
要证 yT B y 0
yT By yT ( C T AC ) y ( (yCTCy)TT ) A (C y) xT Ax 0
所以矩阵B正定.
A正定,
只须x证
r
x0
r 0
如何判断一个矩阵或二次型 是否正定呢? 以下给出几个
矩阵为正定矩阵的充分必要条件, 作为判别准则.
准则1
D
x
x2
M
o
都有
xT
Ax
0
xn
则称二次型f ( x) A称为负定矩阵
xT
Ax是负定二次型.
定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型
a11 a12 ... a1n x1
f ( x1, x2,...,xn)
如果对任何 x
(xxx112,x2R,..n.,都xn)有 aaxn211T
a22
故单位矩阵En为正定矩阵.
x1
x2
1
xn
设d1 ,d2 ,…,dn均大于0, d1x12 d2 x22 ... dn xn2
f ( x1, x2,...,xn)
d1x12 d2 x22 ... dn xn2
为正定二次型 x1
事实上,对任何
x
x2
o
d1
(x1, x2,...,xn)
为正定矩阵
D
d2
dn
di 0 (i 1,2,...,n)
证 充分性已证. 必要性: 设D是正定矩阵, 则
x
x1
x2
M
xn
o
((01(x, 1001,,,x002,,,.....,,x0,n01)))
d1
d2
0 dn
xxx1001100MnM12
d1 x12d2 x22 ... dn xn2 d11022 dd2201022 ......ddnn010222
x2 )
x12
4 x22
( x1,
x2
)
0
0 4
x1 x2
xT
Ax
x1 x2
R
2
x1 x2
o
有 f ( x1, x2 )
x12 4 x22
00
称此二次型是负定二次型.
相应的矩阵
A
1 0
0 4
为负定矩阵.
例4 考虑二次型
f
(
x1
,
x2
)
x12
2
x1
x2x22
(
x1
,
x2
使
xT
Ax
0
例 二次型 f ( x1, x2 ) x12 4x22 f (0,1) 4 0 f ( x1, x2 )不是(半正) 定的; f (1,0) 1 0
f ( x1, x2 )也不是(半负) 定的. 此时 f ( x1, x2 ) 称为不定的.
例
二次型 f (
x1
x1 ,
x2
,
1 1
令P
1 2
则PT=P
QT
AQ
A的所有特征值
n
1 n
1 0,2 0,...,n 0
PT(QT AQ)P 1
1
( PQTPQ)TT) A(QP )
CT
AC
1 2
1
1 n
2
1 1
n
1 2
E
1 n
P 与Q都可逆,故 C QP 也可逆， A : E
准则3 n 元二次型f正定
d1
d2
正定
dn
d1 0, d2 0, ...,dn 0
准则2 矩阵A为正定矩阵
A与单位矩阵 E 合同.
存在 可逆矩阵C, 使得 A CT EC CT C
准则3 n 元二次型f 正定
f 的正惯性指标为n
准则4 矩阵A为正定矩阵
A的特征值都大于零
准则5 矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件是 A的顺序主子式都大于零.(定理4.9)
f ( x1, x2,...,xn ) (x1, x2,...,xn) a21 a22 ... a2n x2 xT Ax
如果对任何 x
x1
x2
M
o
an1
都有 xT
an2 Ax
... 0
ann xn
xn
则称二次型
f
(x)
xT
Ax
是正定二次型.
A称为正定矩阵
x1
如果对任何
1
0
M
o
d1
0
0
0
1
o
d2
0
M
0
0
...
0
o
M
dn 0
1
定理 4.6 设A～－B 如果A正定,则B也正定.
证由A～B 知
c11 c12
设C
c21
c22
cn1 cn2
y1
y
y2
0
B ... ...
...
x
CT c1n
AC C可逆。 c11 由于C可逆， c21
an2 Ax
... a2n
...
ann
0且存在
x2 xn xo
xT Ax
使 xT
Ax
0
xn
则称二次型 f ( x) xT Ax是半正定二次型. A称为半正定矩阵
x1
如果对任何
x
x2
Rn 都有
xT Ax
0且存在
x
o 使 xT Ax 0
xn
则称二次型 f (x) xT Ax 是半负定二次型. A称为半负定矩阵
f 的正惯性指标为n
证 设 f = xTAx
二次型 f正定
其对应的矩阵A正定
A: E
存在可逆矩阵C，使得
1
CT AC
1
O
1
经过非退化线性替换 x C y 二次型化为
1
f yT By yT(CT AC) y (y1, y2,..., yn) 1
y1 y2 y12 y22 ... yn2
例 二次型 f ( x1, x2, x3) x12 2x1x2 4x1x3 x22 4x2 x3 4x32
x1222xx11x( 2x242x1xx33) ( x22 x3 )2 x22 4 x2 x3 4 x32 ( x22 x3 )2
( x1 x2 2 x3 )2
对任何
...,
xn
)
x12
x22
...
xn2
对任何
x
x2
o
M
有
f ( x1, x2,..., xn ) x12 x22 ... xn2
0
xn
故二次型 f ( x1, x2,...,xn) x12 x22 ... xn2 为正定二次型
1
x12 x22 ... xn2 (x1, x2,...,xn) 1
A
111源自2 1 5 A1 2 0
21
212 212 21
A2 1
10 1
A3 1 2
1 1
1 1 50
1 0
13 31
3 0 1
∴该二次型正定
课堂练习 判别二次型是否正定
3) f ( x1, x2 , x3 ) 4x12 9 x22 2x32 6 x1x2 6 x1x3 8x2 x3
A1 : E 故A－1正定.
D D可逆
正定矩阵的性质: 正定矩阵的主对角线上的元素都大于0
a11 a12 ... a1n
证
设
A
a21
a22
...
a2n
正定,
M M
M
x1
则x
x2
r 0
M
都有xT Ax 0
an1
an2
...
ann
xn
100M100
r 0
a11(1,0,...,0)
f
(
x1 ,
x2
)
x12
2 x1 x2
x22
(
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。
一、对称矩阵的定义与特性在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。
具体定义如下：定义1：对称矩阵设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一些特性如下：特性1：主对角线上的元素对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。
特性2：特征值对称矩阵的特征值都是实数。
特性3：特征向量对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
特性4：对角化对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。
具体定义如下：定义2：二次型设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。
称f(x)为二次型。
二次型有一些重要的性质：性质1：对称性二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。
性质2：标准型对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。
标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。
性质3：正定、负定与半正定二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。
当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。
三、对称矩阵与二次型的关系对称矩阵与二次型之间有紧密的联系，通过对称矩阵可以定义出二次型，同时对于任意一个二次型，都可以找到对应的对称矩阵。
第五章三节二次型和对称矩阵的有定性
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = - 2x1 - 2x2 - x3 + 2x1x2 - 2x2 x3 例8 设二次型
试判断 f (x1, x2 , x3 )的有定性。 解
轾 -2 1 犏 二次型的矩阵 A = 犏 - 2 1 犏 犏 -1 0 臌 A的各顺序主子式 -2 det A = - 2 < 0,det A = 1 2 1
det A = 1> 0,det A2 = 1 1 det A = det A = t 3
1 t t 1
= 1- t 2 = > 0
t -1 1 2 = - 5t 2 - 4Fra bibliotek > 0 5
-1 2
4 解之得- < t < 0. 5 4 即当 - < t < 0时，二次型 f (x1, x2 , x3 )为正定二次型。 5
第三节 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
T
推论2 推论 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得 A = CT C. 推论3 推论 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。 定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 定理 特征值都是正数。 例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 A- 1也是正定矩阵。 证法1 证法 由 AT = A，有
二次型与对称矩阵的标准形
y1 y2
O
n
yn
例 利用正交替换法化二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
为标准形. 解对应的
矩阵为A
1 02
2 0
1 2
2 2
23
E A
2 2
02
0 2
3
特征值 1, 2, 5
( 1)( 2)( 5)
2 3
2 3
y2 y3
1
( y1
y2
y3 )
0 0
0 2 0
0 y1
0 5
y2 y3
Q
y12 2 y22 5 y32
例 用正交替换 化二次型
f 2x12 5x22 5x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 2 2 2
为标准形, 并写出所作的线性替换. 解 二次型对应的矩阵为
yn
实对称矩阵 A
存在可逆矩阵C, 使得
CT AC
d1
d2
O
dr
0
O
0
二次型通过非退化线性替换化成标准形 有三种方法: (一) 用配方法化二次型为标准形 (二) 用初等变换法化二次型为标准形
(三)用正交替换法化二次型为标准形
3.用正交替换法 化二次型为标准形
二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X T A X 实对称矩阵A
1 2 0
二次型对应的矩阵为
A
2
2
2
2 2 1
0 2 3
3 3 3
1 0 0
Q
2 3
1
1 3
2
2 3
是正交矩阵，QT
5.3二次型与对称矩阵的有定性
i 0
定理5.9 （P.221）对称阵A 正定 A的特征值 i 0( i 1,2,, n) 例如：P.216例 4 A的三个特征值：1,1,10>0,故A正定。
P.221
3. 用顺序主子式判别 定义 对于 n 阶矩阵 A ( aij )nn ，子式
a11 a12 a1k a22 a2 k ak 2 akk ， ( k 1， 2， ，n) a21 ak 1
| A1 | 1,
| A2 |
1 2 2 0
4,
| A3 || A | 8
定理5.10 （P.222） A (aij )nn 正定 | Ak | 0( k 1,2,, n) 证明略（P.222—P.224)
例4 （ P.224） 判断下面二次型的正定性 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 3 x1 6 x1 x3 x2 4 x2 x3 8 x3 0 3 3 解 A 0 1 2 3 2 8 3 0 | A1 | 3 0, | A2 | 3 0, | A3 || A | 3 0 0 1 A正定， 相应的二次型正定。
补例 二次型 2 2 2 f ( x1，x2，x3 ) x1 4 x2 4 x3 2 t x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3 当 t 为何值时，f 为正定二次型？ 1 t 1 解：f 的矩阵为 讨论t为何值时 A t 4 2 A正定 1 2 4 A的顺序主子式依次为 1 t 2 | A1 | 1， | A2 | 4t ， t 4 t 1 2 1 t 1 1 4t 4t 8 2 | A3 | t 4 2 0 4 t 2 t 4( t 1)(t 2). 0 2 t 3 1 2 4
线性代数复习提纲
一、逆序数：在一个n级排列中，如果有较大的数排在较小的数前面（<），则称与构成一个逆序，一个n级排列中逆序的总数，称为它的逆序数，记为N(*奇排序：逆序数是奇数；偶排序：逆序数是偶数（一）任意一个排序经过一个对换后奇偶性改变（二）n个数码（n>1）共有n!个排列，其中奇偶排列各占一半二、n阶行列式=（按行顺序取）n级行列式的一般项：（当)为偶数时取正号，奇数取负号）D的一般项：三、转置行列式：将行列式D的行与列互换后得到的行列式，记为或（一）将行列式转置，行列式的值不变，即（二）交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即（三）如果行列式中有两行（列）对应的元素相同，此行列式的值为零四、用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式，即：（一）如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面（二）如果行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值等于零五、如果将行列式中的某一行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即：六、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变七、余子式：在n阶行列式D=中去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1阶行列式被称为D中元素的余子式，记为，即：代数余子式：（一）n阶行列式D=等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：或（二）n阶行列式D=的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零，即：或（i≠s；j≠t）八、范德蒙行列式：九、克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解其中是将系数行列式中第j列元素对应地换为方程组的常数项后得到的行列式（一）如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它仅有零解（二）如果齐次线性方程组的系数行列式D=0，则方程组有非零解十、零矩阵：所有元素均为0的矩阵（行数与列数不都相同的两个零矩阵是不同的零矩阵）非负矩阵：所有元素均为非负数的矩阵十一、以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作k A，如果A=，那么k A=十二、负矩阵：-A=十三、矩阵运算律：（一）（二）（三）（四）（五）（六）（七）（八）十四、矩阵的乘法：如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j对应元素乘积的和，并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数，即：（一）矩阵乘法一般不满足交换律（二）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵（三）矩阵乘法不满足消去律（四）矩阵乘法性质：1、2、3、4、十五、矩阵可交换：如果两矩阵A和B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换十六、有线性方程组，系数矩阵元未知量矩阵系数矩阵十七、转置矩阵：将m*n矩阵A的行与列互换，得到的m*n矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为或（一）（二）（三）（四）十八、n阶矩阵/n阶方阵：矩阵的m=n十九、方阵的幂：个（一）（二）（三）当AB可交换时，二十、方阵的行列式：由n阶矩阵（方阵）A的所有元素按原来次序构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记作，或（det A）（一）（二）（三）（四）二十一、特殊矩阵（一）对角矩阵：若AB为同阶对角矩阵，则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵；（二）数量矩阵：数量矩阵左乘或右乘一个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B（三）单位矩阵：（四）三角形矩阵（五）对称矩阵：n阶矩阵满足1、2、数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵3、当且仅当A与B可交换时，AB是对称的二十二、分块矩阵（一），（二）二十三、逆矩阵：对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I，那么矩阵A称为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，把唯一的逆矩阵记作（一）n阶矩阵可逆的充分必要条件是A非奇异，且当A可逆时，有（二）证明A可逆或证明B是A的逆矩阵，只要验证AB=I（三）逆矩阵的性质：1、若矩阵A可逆，则也可逆，且2、若矩阵A可逆，数k≠0，则kA也可逆，且3、两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵，且4、若矩阵A可逆，则A的转置矩阵5、若矩阵A可逆，则（四）（五）若AB=C，且A为非奇异，则B= C二十四、非奇异：若n阶矩阵A的行列式，则称A为非奇异的二十五、伴随矩阵：由行列式的元素的代数余子式所构成的矩阵二十六、矩阵的初等变换：（一）1、交换矩阵的两行（列）2、以一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）3、把矩阵的某一行（列）的l倍加于另一行（列）上（二）初等矩阵：对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵（三）设，对A的行施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的m 阶初等矩阵左乘A，对A的列施以一次某种初等变换得到的矩阵，等于用同种的n阶初等矩阵右乘A（四）任意一个矩阵经过若干次初等变换后均可以化为下面形式的矩阵：矩阵D称为矩阵A的等价标准形（五）如果矩阵A经过有限次初等变换可化为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（六）如果A为n阶可逆矩阵，则（七）n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积二十七、k阶子式：从A中任取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式二十八、矩阵的秩：如果A中不为零的子式的最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作r(A)=r（一）满秩矩阵：r(A)=n（二）矩阵经初等变换后，其秩不变（三）二十九、增广矩阵：系数矩阵A和常数项矩阵构成的矩阵线性方程组有解的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是→当m<n，齐次线性方程组有非零解三十、向量（一）（二）（三）（四）（五）（六）k(（七）（八）三十一、向量组的线性组合线性方程组可以表示为，即常数列向量与系数列向量的线性关系，被称为方程组的向量表示，其中，于是，线性方程组是否有解，就相当于是否成立（一）如果成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（二）向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为列向量的矩阵与以为列向量的矩阵有相同的秩（三）如果组A：中每一向量都可由组B：线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示1、向量组A可由向量组B线性表示，向量组B又可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示2、如果向量组A和向量组B可以相互线性表示，则称向量组A和向量组B等价（四）如果线性相关，而线性无关，则向量可由向量组线性表示且表示法唯一三十二、线性相关性：齐次线性方程组可以写成零向量与系数列向量的如下线性关系式：，被称为齐次线性方程组的向量形式。
线性代数—二次型和对称矩阵的有定性
证
( AT A)T = AT A , 故 AT A 是 n 阶对称矩阵。 因为 阶对称矩阵。
仅有零解， 又 r ( A) = n ， 可知齐次线性方程组 AX = 0 仅有零解，
所以对任意 X ≠ 0 ，必有 AX ≠ 0 ，于是 所以对
X T ( AT A) X = ( AX )T ( AX ) > 0 ,
代入二次型， 代入二次型，得 f ( 0, ⋯ ,1, ⋯ ,0) = d k ≤ 0 ，
正定矛盾。 与二次型 f ( y1 , y2 ,⋯, yn ) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1 , y2 ,⋯, yn ) = d y + d y + ⋯+ d y 正定
2 1 1 2 2 2 2 n n
（2）若恒有 f ( X ) < 0 ，则称 f (X) 是负定二次型， 负定二次型， A 称为 负定矩阵 ； 称为负定矩阵 负定矩阵；
半负定二次型， （3）若恒有 f ( X ) ≤ 0 ，则称 f (X) 是半负定二次型， A 称为半负定矩阵。 称为半负定矩阵 半负定矩阵。
如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。 如果二次型不是有定的，就称为不定二次型。 不定二次型
正定矩阵。 这是因为： 正定矩阵。 这是因为：
A 与它的转置 AT 有相同的特征值； 有相同的特征值； 矩阵
A λ ( A ) = 1 λ ( A) ; λ ( A ) = . λ ( A)
−1
∗
4
例1 判别二次型
2 2 2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 − 2 x1 x 2 − 2 x 2 x 3
《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，
第3节 二次型和对称矩阵的有定性(12.10)
(2) f ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 2 y22 − 2y32;
(3) f (z1 , z2 , z3 ) = z12 + z22 .
定理4.6 设 n元二次型 f ( x1 , x2 ,⋯, xn ) = d1 x12 + d2 x22 ⋯ + dn xn2 则二次型 f ( x1, x2 ,⋯, xn ) 正定 ⇔ di > 0 ( i = 1, 2,⋯, n).
例题 判断下列二次型是否正定？ (1) f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2 x22 + 5 x32 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6x2 x3
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
例题 试问 t 为何值时, 二次型
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk 称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
顺序主子式的概念 设 A = (aij ) 是一个 n 阶矩阵, 将其如下形式的子式
a11 a12 ⋯ a1k a21 a22 ⋯ a2k ⋮ ⋮⋱⋮ ak1 ak 2 ⋯ akk
称为A 的 k 阶顺序主子式, 记作det Ak .
例题 求下列矩阵的所有顺序主子式：
⎛1 1 1⎞
(1)
A
=
⎜ ⎜
1
2
3 ⎟⎟;
⎜⎝ 1 3 5 ⎟⎠
⎛0 1 1⎞
(2)B
=
⎜ ⎜
1
0
3
⎟ ⎟
.
线性代数4.3二次型与对称矩阵的有定性
−1 1 x1 T f ( x1 , x2 ) = −x + 2 x1 x2 −x = ( x1 , x2 ) = x Ax 1 −1 x2 1 x1 2 2 2 2 ∀ ∈ R 有 f ( x1 , x2 ) = − x1 + 2 x1 x2 − x2 = −( x1 − x2 ) ≤ 0 ≠ o 1 x2 f (1, 1) = 0 称此二次型是半负定二次型.相应的矩阵 1 −1 称此二次型是半负定二次型 半负定二次型. −1 1
均大于0, 设d1 ,d2 ,…,dn均大于0,
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
2 2 2 d1 x1 + d 2 x2 + ... + d n xn x1 为正定二次型 x 2 事实上,对任何 x = M ≠ o 事实上, xn 有 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 2 2 d1 x12 + d 2 x2 + ... + d n xn > 0
证
充分性已证. 充分性已证.
必要性: 是正定矩阵, 必要性: 设D是正定矩阵, 则
>0
1 0 ≠ o ∴ d1 > 0 M 0
0 1 ≠ o ∴ d2 > 0 M 0
0 0 ... ≠ o ∴ d n > 0 M 1
n
T
n
是半负 二次型 x T Ax 是半负定的
r ∀x ∈ R , 有x Ax ≤ 0且 ∃x ∈ R , x ≠ 0 使 xT Ax = 0
n
T
n
2 f (0,1) = −4 < 0 例 二次型 f ( x1 , x2 ) = x12 − 4 x2 f ( x1 , x2 )不是 半) 正定的; ( 正定的; f (1,0) = 1 > 0
6.3二次型与对称矩阵的正定性(《线性代数》闫厉 著)
解法二 特征值法。二次型 f x1 , x2 , x3 对应的矩阵为
6 2 2
A
2 2
5 0
0 7
6 2 2
E A 2 5 0 3 6 9
2 0 7
因此A的特征值分别为3、6、9都是正数，故该二次型正定。
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例6.3.4 判别二次型是否正定。
f x1 , x2 , x3 6x12 4x1 x2 4x1 x3 5x22 7 x32
定理6.3.3 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵 C，使得A=CTC，即A合同于单位矩阵。
推论6.3.2 如果A为正定矩阵，则|A|>0。
定理6.3.4 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有特 征值都是正数。
定义6.3.2 设n阶矩阵
A
a11
a21
a12
a22
a1n
是正定的，并讨论λ≤2的情况。
解 二次型的矩阵为
1 1 0
A
1 1
1
1
0
0
0 0 0 1
由f正定的充要条件是A正定，而A正定的充要条件是A的各阶顺
序主子式全大于零。A的各阶顺序主子式为
A1 0 ,
A2 1
1
2 1 0,
1 1
A3 A4 1 1 12 2 0
1 1
解法三 顺序主子式法。
A1 6 0 ,
A2
6 2
2 26 0 , 5
6 2 2 A3 2 5 0 162 0
2 07
故该二次型正定。
例6.3.5 判别二次型 f (x, y, z)为负定
f x, y, z 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz