二次型和对称矩阵
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第五章对称矩阵与二次型-
解：f
的矩阵为
A
1 2
2 2
0 2
0 2 3
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1 2 0 AE2 2 2 (1 )(2)(5), 1 ,2,5
0 2 3
1 1时， 2
A1E2
0
2 3 2
0 1 2~0 4 0
0 1 0
022，
x1 x2
2x3 2x3
令 x3
1
，则
x1 x2
2 2
，
1
2
2
3
5
q1
b1 b1
1 5
,
q2
b2 b2
3
4 5
0
5
3 5
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当 3 7时，解方程组A7Ex0，即
8 2 2 x1 0
2
5
4
x2
0
由于
2
8 2 2 2 4 2 5 4 0 9
4 5 x3 0
5 2 9 0
4 1
5 2 1 0
0 1
1 1 1 0
例如，二次型 f x 1 2 x 2 2 x 4 2 2 x 2 x 3 x 2 x 4 的
1 0 0 0
矩阵
A
0
0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
。
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定义2：f k 1y 1 2 k2y2 2 knyn 2称为二次型 的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负)
系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。
f x1,x2,x3 =x122x1x2 2x1x34x224x328x2x3
=x122x1 x2 x3 4x224x328x2x3
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。
一、对称矩阵的定义与特性在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。
具体定义如下：定义1：对称矩阵设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一些特性如下：特性1：主对角线上的元素对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。
特性2：特征值对称矩阵的特征值都是实数。
特性3：特征向量对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
特性4：对角化对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。
具体定义如下：定义2：二次型设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。
称f(x)为二次型。
二次型有一些重要的性质：性质1：对称性二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。
性质2：标准型对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。
标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。
性质3：正定、负定与半正定二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。
当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。
三、对称矩阵与二次型的关系对称矩阵与二次型之间有紧密的联系，通过对称矩阵可以定义出二次型，同时对于任意一个二次型，都可以找到对应的对称矩阵。
第五章三节二次型和对称矩阵的有定性
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = - 2x1 - 2x2 - x3 + 2x1x2 - 2x2 x3 例8 设二次型
试判断 f (x1, x2 , x3 )的有定性。 解
轾 -2 1 犏 二次型的矩阵 A = 犏 - 2 1 犏 犏 -1 0 臌 A的各顺序主子式 -2 det A = - 2 < 0,det A = 1 2 1
det A = 1> 0,det A2 = 1 1 det A = det A = t 3
1 t t 1
= 1- t 2 = > 0
t -1 1 2 = - 5t 2 - 4Fra bibliotek > 0 5
-1 2
4 解之得- < t < 0. 5 4 即当 - < t < 0时，二次型 f (x1, x2 , x3 )为正定二次型。 5
第三节 二次型和对称矩阵的有定性
一、正定二次型和正定矩阵
定义5.6 设n元二次型 f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX 定义5.6 ，其中A为n阶实 0 对称矩阵。如果对于任意的 X = (x1, x2 ,Lxn )T ，有
f (x1, x2 ,Lxn ) = X T AX > 0 则称该二次型为正定二次型 正定二次型，矩阵A称为正定矩阵 正定矩阵。 正定二次型 正定矩阵
T
推论2 推论 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵C，使得 A = CT C. 推论3 推论 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则A的行列式大于零。 定理5.8 实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有 定理 特征值都是正数。 例2 如果实对称矩阵A为正定矩阵，则 A- 1也是正定矩阵。 证法1 证法 由 AT = A，有
线性代数43二次型与对称矩阵的有定性
1 0, 1 0,..., 1 0 A－1的特征值都大于0，故A－1正定
1 2
n
A 0 0是A的特征值 A 0 0不是A的特征值
证法2 ∵A正定 A : E 即存在可逆矩阵C，使得
A CT E C CTC
A1 (C T C )1 C 1(C T )1 C 1(C 1 )T DT D DT E D
a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n
A
a31
a32
a33
...
a3n
an1 an2 an3 ... ann
定义4.5
A1 a11
A2
a11 a21
a12 a22
a11 A3 a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23 ... An A a33
ann 0
a1n a2n ann
0
1
M
0
0
负定的判别：
矩阵A负定
矩阵 (A正) 定.
x1
证： A负定
n
1
∴A ～
2
n
A正 定
1
2
正定
n
1 0,2 0,...,n 0
A的所有特征值
准则2 矩阵A为正定矩阵
A与单位矩阵E合同.
证 充分性:若 A : E 则由于 E 正定, 故A正定.
必要性: 设A正定, 则A的特征值都大于0 1
∵A是实对称矩阵 ∴存在正交矩阵Q,使得 2
cnn
yn
要证 yT B y 0
yT By yT ( C T AC ) y ( (yCTCy)TT ) A (C y) xT Ax 0
3.2 实对称矩阵与实二次型
3.2 实对称矩阵与实二次型
一、 实对称矩阵的特征值与特征向量
定理3.6: 实对称矩阵的特征值一定是实数。 实对称矩阵的特征值一定是实数。 定理
为其任一特征值， λ 证明： 实对称， 证明：设A实对称， = a + bi为其任一特征值， 对应的特征 向量为 α + iβ ,
于是有 A(α + iβ ) = ( a + bi )(α + iβ ) 展开， 展开， Aα = aα − bβ , Aβ = bα + a β
2 + a n1 x1 x n + a n 2 x 2 x n + a n 3 x 3 x n + L + a nn x n
+ LL
= x1 ( a11 x + a12 x 2 + a13 x 3 + L + a1 n x n )
+ x 2 ( a 21 x1 + a 22 x + a 23 x 3 + L + a 2 n x n )
= ( x1 ,
x2 , L,
a11 a 12 = ( x1 x2 L xn ) a1n
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 为实数） M （其中 a ij 为实数） L L a2 n L ann xn
个标准正交的特征向量。 注:求正交矩阵 Q 的关键是求矩阵 的n个标准正交的特征向量。 求正交矩阵 的关键是求矩阵A的 个标准正交的特征向量
具体步骤) 实对称矩阵对角化的实现: 具体步骤 实对称矩阵对角化的实现: (具体步骤 1）求出 A 的全部特征值 ） 的全部特征值; 2）对于每一个λi ，求出其对应的线性无关的特征向量 ） 求出其对应的线性无关的特征向量, 从而得出矩阵 A 的 n 个线性无关的 特征向量η 1 , η 2 ,..., η n . 均为单根时， 3) 当 λ i 均为单根时，将
一、 实对称矩阵的特征值与特征向量
定理3.6: 实对称矩阵的特征值一定是实数。 实对称矩阵的特征值一定是实数。 定理
为其任一特征值， λ 证明： 实对称， 证明：设A实对称， = a + bi为其任一特征值， 对应的特征 向量为 α + iβ ,
于是有 A(α + iβ ) = ( a + bi )(α + iβ ) 展开， 展开， Aα = aα − bβ , Aβ = bα + a β
2 + a n1 x1 x n + a n 2 x 2 x n + a n 3 x 3 x n + L + a nn x n
+ LL
= x1 ( a11 x + a12 x 2 + a13 x 3 + L + a1 n x n )
+ x 2 ( a 21 x1 + a 22 x + a 23 x 3 + L + a 2 n x n )
= ( x1 ,
x2 , L,
a11 a 12 = ( x1 x2 L xn ) a1n
a12 L a1n x1 a22 L a2 n x2 为实数） M （其中 a ij 为实数） L L a2 n L ann xn
个标准正交的特征向量。 注:求正交矩阵 Q 的关键是求矩阵 的n个标准正交的特征向量。 求正交矩阵 的关键是求矩阵A的 个标准正交的特征向量
具体步骤) 实对称矩阵对角化的实现: 具体步骤 实对称矩阵对角化的实现: (具体步骤 1）求出 A 的全部特征值 ） 的全部特征值; 2）对于每一个λi ，求出其对应的线性无关的特征向量 ） 求出其对应的线性无关的特征向量, 从而得出矩阵 A 的 n 个线性无关的 特征向量η 1 , η 2 ,..., η n . 均为单根时， 3) 当 λ i 均为单根时，将
3.2 实对称矩阵与实二次型
T A a T b T , T A b T a T
两式相减， 并注意到 T A T A为一个数量， 有 b( T T 为实数。
定理3.7 : 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 9 ) , 对应的特征向量依次为 1 2 3
又 (1,1,3)T ,
(1)将 用1 , 2 , 3线性表示; （2）求An
( n N ).
ex4 : 设三阶矩阵 A的特征值为 1， 2,3, 求下列矩阵B的特征值：
( 1 )B A2 2 A I ,
1 2 ( 2) B A , 3
1
( 3) B A*
例5：已知1, 1 , -1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，
1 (1,1,1)T , 2 (2, 2,1)T 是A的对应于1 2 1 的特征向量，
1 , 2的特征向量, 证明: 设A实对称矩阵, 1 , 2为属于不同特征值
于是 A1 11 , A 2 2 2 ,
2 A 1 1 2 1 ,
T T
1 A 2 2 1 2 ,
T T
T T T T T T T 2 A 1 ( 2 A 1 )T 1 A 2 1 A 2 , 1 2 2 1 ,
2
n
例1设
0 1 2 A 2 2 2 0 2 3
100 1 (2) A Q AQ 为对角阵 . (1）求正交矩阵 Q 使得
解：
1 2 ( 1 ) I A 2 2
0 2
两式相减， 并注意到 T A T A为一个数量， 有 b( T T 为实数。
定理3.7 : 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。
T T T （ 1 ， 1 ， 1 ） , ( 1 , 2 , 4 ) , ( 1 , 3 , 9 ) , 对应的特征向量依次为 1 2 3
又 (1,1,3)T ,
(1)将 用1 , 2 , 3线性表示; （2）求An
( n N ).
ex4 : 设三阶矩阵 A的特征值为 1， 2,3, 求下列矩阵B的特征值：
( 1 )B A2 2 A I ,
1 2 ( 2) B A , 3
1
( 3) B A*
例5：已知1, 1 , -1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，
1 (1,1,1)T , 2 (2, 2,1)T 是A的对应于1 2 1 的特征向量，
1 , 2的特征向量, 证明: 设A实对称矩阵, 1 , 2为属于不同特征值
于是 A1 11 , A 2 2 2 ,
2 A 1 1 2 1 ,
T T
1 A 2 2 1 2 ,
T T
T T T T T T T 2 A 1 ( 2 A 1 )T 1 A 2 1 A 2 , 1 2 2 1 ,
2
n
例1设
0 1 2 A 2 2 2 0 2 3
100 1 (2) A Q AQ 为对角阵 . (1）求正交矩阵 Q 使得
解：
1 2 ( 1 ) I A 2 2
0 2
线性代数二次型
.二次型与对称矩阵一、 二次型及其矩阵1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =+++L L12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --++++L称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：212111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =+++L L2212122222n n a x x a x a x x ++++L+L L L L L L L L L L L21122n n n n nn n a x x a x x a x ++++L ,1nij i j i j a x x ==∑令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL L L L L L， 12n x x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M ，则12(,,,)T n f x x x x Ax =L ，且A 为对称矩阵。
由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。
.例1 设31322123222132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 试求二次型矩阵A .解 111=a , 222=a , 333=a , 252112==a a , 273223==a a , 293113==a a .于是得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=327292722529251A ，1123235912257(,,)22297322x f x x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例2 已知三阶矩阵A 和向量X ,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=233110321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X .求二次型AX X T 的矩阵.解 由于A 不是对称矩阵,故A 不是二次型AX X T 的矩阵.因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T 321321233110321),,(x x x x x x AX X3231212322214622x x x x x x x x x -++++=, 故此二次型的矩阵为.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--223211311. 二、线性变换 1 标准形定义：形如2222211n n x d x d x d +++Λ的二次型称为二次型的标准形。
《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型
故
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，
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第九章
9.1 9.2 9.3 9.4
二次型
二次型和对称矩阵 复数域和实数域上的二次型 正定二次型 主轴问题
我思故我在。
-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。
--- 牛顿（Newton,1642－1727）
惠州学院数学系
如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） xi pi j y j , i 1,2, , n, pij F (1 i , j n)
i 1 n
那么就得到一个关于 y1 , y2 ,, yn 的二次型
q( y1 , y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
惠州学院数学系
0 0 3 0 0 6 4 3 A3 , 0 4 0 4 0 3 4 0
0 1 P3 0 0
1 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1
以 2/3 和 －1 /2 乘 A3 的第二列依次回到第三 列和第四列上, 再以 2/3 和－1 /2 乘第二行依次加 到第三行和第四行上，同时对 P3 的列施行同样的 初等变换。得 1 0 0 1 2 3 0 0 3 2 0 1 0 2 0 0 6 0 A4 , P4 8 0 0 3 2 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 2 1 2 3 2
惠州学院数学系
由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得
c2 Q1 A1Q1 0 c3 0 cn
取
1 0 0 0 Q Q1 0
P E1 E2 E sQ
惠州学院数学系
惠州学院数学系
（2） q( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j , aij a ji
i 1 j 1
n
n
为二次型 q( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 a ij a ji , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成
c1 P AP 0 c2 0 cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同。
惠州学院数学系
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j , Di ( k )和Tij ( k )容易看出，
惠州学院数学系
(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 如， aii 0 .如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列， a ii 再交换第1行与第i行，就可以把 换到左上角。这 P1i 右乘 A 样就相当于初等矩阵 , 再用 P1i P1i 左乘A . 于是 P1i AP1i 的左上角的元素 a1 j 不等于零. 因此，我们不妨设 a11 0，用 乘 a11 a1 j A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第 a11 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零。
那么
E2 E1 AE1 E 2 E s Q P AP QE s a11 0 0 a11 0 0 0 Q Q A1Q1 A1 Q1 0 0 0 c1 c2 0 c n 0
惠州学院数学系
9.1.1 二次型及矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
2 2 2 q ( x , x , , x ) a x a x a x 1 2 n 11 1 22 2 nn n （ 1）
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
事实上，由 P AP B 和 QBQ C 可得 ( PQ) A( PQ) QP APQ QBQ C 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的.
设q 和 q 是数域F上两个n 元二次型，它们的
矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 q 变为 q ，则B与A 合同. 反之，设B与 A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B P AP . 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q .
例1
设
0 3 0 0 0 3 6 0 A 0 6 12 4 3 0 4 0
惠州学院数学系
我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 P AP ，使得 P AP是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 I 4 ，施行同样的初等 变换而得出P。 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 I 4 的第一列和第二列。这时A和 I 4 分别化 为：
这里 c1 a11 。
惠州学院数学系
(b) 如果 aii 0, i 1,2, , n . 由于A≠O，所以 一定有某一个元素 aij 0, i j . 把A的第 j 列加 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 T ji (1) 右乘A . 再用 Tij (1) T ji (1) 左乘A. 而经过这 样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 是 2aij 0 . 于是由情形（b）就归结到情形（a）. 注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 P AP 中，主 c1 , c2 ,, cn 的一部分甚至全部可以 对角线上的元素
惠州学院数学系
这相当于用 T1 j (
a1 j a11
) 右乘A，用
T j1 (
a1 j a11
) T1 j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E1 , E2 ,, E s , 使得 a11 0 0 0 E s E 2 E1 AE1 E 2 E s A1 0 这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵。
3 0 A1 6 0 0 6 0 0 0 3 , 0 12 4 3 4 0
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0 1 P1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
把 A1 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以 2加到第三行，同时把 P1 的第一列乘以2加到第三 列。分别得到：
F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
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定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 令A (aij ) 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
Pij Pi j ; Di (k ) Di (k ); Tij (k ) Tij (k )
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定
理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称
矩阵来说，定理成立。 设A (aij ) 是一个n阶矩阵.
如果A = O，这时A本身就是对角形式。设 A O , 我们分两种情形来考虑.
矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 P AP 。
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。
i 1 j 1
注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立
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9.1.3 矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个非异矩阵P，使得 P AP B 那么称B与A合同。 矩阵的合同关系的性质：
c i 的个数等于A的秩，如 是零。显然，不为零的 果秩A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知
c1 , c2 ,, cr 0, 而cr 1 cr 2 cn 0
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给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 一个可逆矩阵P，使 P AP 有对角形I 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时，I 就化为P。
叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 q : F n F . 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. 在（1）中令 aij a ji (1 i , j n) . 因为 xi x j x j xi , 所以（1）式可以写成以下形式：
令A (aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称
（ 3）
x1 x2 q( x1 , x2 , , xn ) ( x1 , x2 , , xn ) A x n
二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。
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9.1.2 线性变换
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最后，以 －3/4 乘 A4的第三列加到第四列上, 再以－3/4 乘第三行加到第四行上，并且对 p4 的 列施行同样的初等变换，我们得到
3 0 A5 0 0 0 6 0 0 0 0 , 0 0 0 1 P5 0 0
将（5）代入（3）就得到
矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异 的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是 对称矩阵，所以 ( PAP ) PAP PAP. PAP 也是对称矩阵。
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定理9.1.1 设 aij xi x j 是数域F上的一个以A为
n
n
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（ 5）
x1 x2 x n
y1 y2 P y n
9.1 9.2 9.3 9.4
二次型
二次型和对称矩阵 复数域和实数域上的二次型 正定二次型 主轴问题
我思故我在。
-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。
--- 牛顿（Newton,1642－1727）
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如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） xi pi j y j , i 1,2, , n, pij F (1 i , j n)
i 1 n
那么就得到一个关于 y1 , y2 ,, yn 的二次型
q( y1 , y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
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0 0 3 0 0 6 4 3 A3 , 0 4 0 4 0 3 4 0
0 1 P3 0 0
1 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1
以 2/3 和 －1 /2 乘 A3 的第二列依次回到第三 列和第四列上, 再以 2/3 和－1 /2 乘第二行依次加 到第三行和第四行上，同时对 P3 的列施行同样的 初等变换。得 1 0 0 1 2 3 0 0 3 2 0 1 0 2 0 0 6 0 A4 , P4 8 0 0 3 2 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 2 1 2 3 2
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由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得
c2 Q1 A1Q1 0 c3 0 cn
取
1 0 0 0 Q Q1 0
P E1 E2 E sQ
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（2） q( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j , aij a ji
i 1 j 1
n
n
为二次型 q( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 a ij a ji , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成
c1 P AP 0 c2 0 cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同。
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证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j , Di ( k )和Tij ( k )容易看出，
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(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 如， aii 0 .如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列， a ii 再交换第1行与第i行，就可以把 换到左上角。这 P1i 右乘 A 样就相当于初等矩阵 , 再用 P1i P1i 左乘A . 于是 P1i AP1i 的左上角的元素 a1 j 不等于零. 因此，我们不妨设 a11 0，用 乘 a11 a1 j A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第 a11 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零。
那么
E2 E1 AE1 E 2 E s Q P AP QE s a11 0 0 a11 0 0 0 Q Q A1Q1 A1 Q1 0 0 0 c1 c2 0 c n 0
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9.1.1 二次型及矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
2 2 2 q ( x , x , , x ) a x a x a x 1 2 n 11 1 22 2 nn n （ 1）
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
事实上，由 P AP B 和 QBQ C 可得 ( PQ) A( PQ) QP APQ QBQ C 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的.
设q 和 q 是数域F上两个n 元二次型，它们的
矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 q 变为 q ，则B与A 合同. 反之，设B与 A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B P AP . 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q .
例1
设
0 3 0 0 0 3 6 0 A 0 6 12 4 3 0 4 0
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我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 P AP ，使得 P AP是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 I 4 ，施行同样的初等 变换而得出P。 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 I 4 的第一列和第二列。这时A和 I 4 分别化 为：
这里 c1 a11 。
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(b) 如果 aii 0, i 1,2, , n . 由于A≠O，所以 一定有某一个元素 aij 0, i j . 把A的第 j 列加 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 T ji (1) 右乘A . 再用 Tij (1) T ji (1) 左乘A. 而经过这 样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 是 2aij 0 . 于是由情形（b）就归结到情形（a）. 注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 P AP 中，主 c1 , c2 ,, cn 的一部分甚至全部可以 对角线上的元素
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这相当于用 T1 j (
a1 j a11
) 右乘A，用
T j1 (
a1 j a11
) T1 j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E1 , E2 ,, E s , 使得 a11 0 0 0 E s E 2 E1 AE1 E 2 E s A1 0 这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵。
3 0 A1 6 0 0 6 0 0 0 3 , 0 12 4 3 4 0
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0 1 P1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
把 A1 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以 2加到第三行，同时把 P1 的第一列乘以2加到第三 列。分别得到：
F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
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定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 令A (aij ) 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
Pij Pi j ; Di (k ) Di (k ); Tij (k ) Tij (k )
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定
理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称
矩阵来说，定理成立。 设A (aij ) 是一个n阶矩阵.
如果A = O，这时A本身就是对角形式。设 A O , 我们分两种情形来考虑.
矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 P AP 。
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。
i 1 j 1
注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立
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9.1.3 矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个非异矩阵P，使得 P AP B 那么称B与A合同。 矩阵的合同关系的性质：
c i 的个数等于A的秩，如 是零。显然，不为零的 果秩A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知
c1 , c2 ,, cr 0, 而cr 1 cr 2 cn 0
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给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 一个可逆矩阵P，使 P AP 有对角形I 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时，I 就化为P。
叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 q : F n F . 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. 在（1）中令 aij a ji (1 i , j n) . 因为 xi x j x j xi , 所以（1）式可以写成以下形式：
令A (aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称
（ 3）
x1 x2 q( x1 , x2 , , xn ) ( x1 , x2 , , xn ) A x n
二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。
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9.1.2 线性变换
惠州学院数学系
最后，以 －3/4 乘 A4的第三列加到第四列上, 再以－3/4 乘第三行加到第四行上，并且对 p4 的 列施行同样的初等变换，我们得到
3 0 A5 0 0 0 6 0 0 0 0 , 0 0 0 1 P5 0 0
将（5）代入（3）就得到
矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异 的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是 对称矩阵，所以 ( PAP ) PAP PAP. PAP 也是对称矩阵。
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定理9.1.1 设 aij xi x j 是数域F上的一个以A为
n
n
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（ 5）
x1 x2 x n
y1 y2 P y n