二次型的矩阵表示
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
线性代数二次形及其标准型
5 4 2 A4 5 2
2 2 2
A的特征多项式 5 4
2
I A 4 5 2 ( 1)2( 10)
2 2 2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
f xT Ax (Qy)T A(Qy) yT (QT AQ) y yT y
1
y2 1
2
y2 2
n
y2 n
线性代数 第五章
111
例4
通 过 正 交 变 换化 二 次 型
f 5 x12 5 x22 2 x32 8 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
成 标 准 形.
解 二次型矩阵
nn
f ( x) aij xi x j
x cy
i1 j1
x cy
f xT Ax
f
(
y)
d1
y2 1
d2
y2 2
dn
y2 n
.
f yT By
因为有 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC ) y yT By
所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：B CT AC.
写 成 矩 阵 形 式.
解
f
(
x1 ,
x2
,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
0½
½
2
½ x1
32 x2
½ 32
0
x3
注
aij
a ji (i
j
)为
交
叉
项xi
x
的
j
系
数
的
一
半
，
aii为 平 方 项xi2的 系 数,
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
二次型的矩阵表示与规范形
二次型的矩阵表示与规范形二次型是数学中一种重要的函数形式，它在线性代数、微分方程、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
在研究二次型时，通过矩阵表示和规范形可以更加清晰地理解和分析其性质和特点。
本文将介绍二次型的矩阵表示和规范形的概念及其应用。
1. 二次型的矩阵表示二次型是一个多元二次齐次函数，通常表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
这里的x^T表示x的转置矩阵。
实际上，二次型Q(x)可以看作是向量x和矩阵A的乘积，而矩阵A起到了描述二次型性质的作用。
为了将二次型表示为矩阵形式，我们可以将x表示为列向量，A表示为矩阵，然后将二次型的表达式展开为矩阵的乘积形式。
具体来说，对于一个n维列向量x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T，其中x_i表示向量x的第i个分量，我们可以将二次型Q(x)表示为：Q(x) = x^TAX = x_1a_{11}x_1 + x_1a_{12}x_2 + ... + x_na_{nn}x_n 将上式中的二次项系数（a_{ij}）按照矩阵的形式排列，即可得到矩阵A。
这样，二次型Q(x)就可以表示为矩阵A的乘积形式。
2. 二次型的规范形二次型的规范形是一种特殊的矩阵表示形式，通过对矩阵A进行特殊的相似变换，可以将二次型化为规范形。
规范形对于分析二次型的性质和特征有很大的帮助。
对于一个二次型Q(x) = x^TAX，通过合同变换（转置和相似变换的组合），我们可以将矩阵A转化为对角矩阵D = diag(λ_1, λ_2, ..., λ_n)，其中λ_i表示矩阵D的第i个对角元素。
这样，二次型Q(x)就可以表示为：Q(x) = x^TAX = x^TP^TDPx = (Px)^TD(Px)其中P为可逆矩阵，称之为合同变换矩阵。
从上式可以看出，二次型Q(x)经过合同变换后可以化为规范形，其中规范形的矩阵D是对角矩阵，每个对角元素表示了相应方向上的特征值，而合同变换矩阵P则是由特征向量构成。
6.1二次型的定义及其矩阵表示
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
线性代数 二次型及其矩阵表示
记作 X PY , X x1 , x2 ,L xn , Y y1 , y2 ,L yn 注 非退化线性变换的逆变换仍为非退化的；连续多次 施行非退化线性变换其结果仍为一个非退化的线性变换，
T T
且系数矩阵等于非退化线性变换矩阵的乘积．
n
n
②
２、二次型 f ( x1 , x2 , 的矩阵表示
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2
a1n x1 xn
x1
x2
x2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a12 L a1n x1 a a22 L a2 n x2 ③ 21 L xn M M M M an1 an 2 L ann xn
f ( x1 , x2 ,
2 , xn ) a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn 2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
aij xi x j
i 1 j 1
f称为对称矩阵Ａ的二次型； Ａ称为二次型f的矩阵； 练习 写出下列二次型的对称矩阵．
例１
2 2 1）实数域Ｒ上的２元二次型 f ax 2bxy cy
2）实数域上Ｒ的３元二次型 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 4 x1 x2 6 x1 x3 5 x2 4 x2 x3 3）复数域Ｃ上的４元二次型 2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ix1 x2 3 x1 x4 5 x2 (3 i ) x2 x3 a b A 解： 1） b c
5-1 二次型及其矩阵表示
第五章 实二次型 ５－１ 二次型及其矩阵表示一、２元实二次型：两个实变量ｘ，ｙ的二次齐次多项式函数。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２［平方项 交叉项］＝22Cy byx bxy ax +++＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++cy bx by ax y x＝[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x c b b a y x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。
二元二次型ｆ−−−→←一一对应２阶实对称矩阵Ａ。
二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）。
二、３元实二次型：三个实变量ｘ１，ｘ２ｘ３的二次齐次多项式函数。
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａ１１ｘ１２＋２ａ１２ｘ１ｘ２＋２ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２２ｘ２２＋２ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３３ｘ３２令ａｊｉ＝ａｉｊ，其中１≤ｉ＜ｊ≤３。
因为ｘｉｘｊ＝ｘｊｘｉ，所以ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ ａ１１ｘ１２＋ａ１２ｘ１ｘ２＋ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２１ｘ２ｘ１＋ａ２２ｘ２２＋ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３１ｘ３ｘ１＋ａ３２ｘ３ｘ２＋ａ３３ｘ３２＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。
三元二次型ｆ−−−→←一一对应３阶实对称矩阵Ａ。
二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）例（掌握）ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１２－２ｘ２２＋３ｘ３２－４ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３，ｆ的矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121 ｆ的矩阵表示式：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 。
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§1 二次型的矩阵表示
一、二次型的定义
1.问题的引入
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是
ax 2+2bxy+cy 2=f （1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴）
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos '
'''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。
在二次曲面的研究中也有类似的情况。
(1)的左端是一个二次齐次多项式。
从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。
二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。
这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。
2．n 元二次型
设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式
f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222
2x +…
+2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）
称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
例如
x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2
3
就是有理数域上的一个三元二次型。
为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i<j ）的系数写成2a ij ，而不简单地写成a ij 。
二、二次型的矩阵表示
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示。
令 a ji =a ij , i<j . 由于 x i x j =x j x i , 所以二次型可以写成 f (x 1,x 2,…,x n )=a 11x
2
1
+a 12x 1x 2+…+a 1n x 1x n +a 21x 2x 1+a 22x
22
+…
+a 2n x 2x n …………+a n 1x n x 1+a n2x n x 2+…+a nn x 2n
=∑∑==n
i n
j j i ij x x a 11
(4)
把（4）的系数排成一个n ×n 矩阵
A =⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211 (5) 称为二次型(4)矩阵。
因为 a ij =a ji i,j=1,…,n , 所以 A =A '
此时称A 为对阵矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的。
令
X =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21 .
于是，二次型就可以用矩阵的乘积表示出来：
f (x 1,x 2,…,x n )=='A X X (x 1,x 2,…,x n )⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n nn n n n n x x x a a a a a a
a a a 212
1
22221
11211
=(x 1,x 2,…,x n ) ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 221122221
121212111=∑∑==n i n
j j i ij x x a 11
故
f (x 1,x 2,…,x n )= AX X '
注：
（1）二次型的矩阵总是对称的。
（2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的。
即若二次型 f (x 1,x 2,…,x n )=AX X '=BX X ' 且 'A =A ,'B =B ,则A =B . 三、线性替换
1．线性替换的定义
设x 1,x 2,…,x n ; y 1,y 2,…,y n 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (6) 称为由x 1, … x n 到y 1,…,y n 的一个线性替换，或简称线性替换。
如果系数行列式
| c ij |≠0 , 那么线性替换（6）就称为非退化的。
2．线性替换的矩阵表示 令
X =⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 2
1 C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n c c c c c c c c c 2122221
112
11 ,Y =⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡n y y y 21 . 于是线性替换（6）可以写成
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n nn n n
n n y y y c c c c c c c c c 212122221112
11
,
或者
X =CY 。
3．二次型经过非退化的线性替换仍为二次型 设
f (x 1,x 2,…,x n )= AX X ', A =A ' (7) 是一个二次型，作非退化线性替换
X=CY ， (8) 我们得到一个y 1,y 2…,y n 的二次型 BY Y '
现在来看矩阵B 与A 的关系。
把（8）代入（7），有
f (x 1,x 2,…,x n )= AX X '=(C 'Y )A (CY )=C Y ''CY ='Y ('
CAC )='
Y BY
容易看出，矩阵AC C '也是对称的。
事实上，
)(''C CA =C A C ''''='
CAC
由此，即得
B =A
C C ' 四、矩阵的合同
定义 数域P 上n ×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n ×n 矩阵C ，使
B =A
C C '
合同是矩阵之间的一个关系。
合同关系具有 1） 反身性：A =AE E ';
2） 对称性：由B =AC C ' 即得A =)(1'-C B 1
-C ;
3） 传递性：由A 1=11
AC C '和A 2=22AC C ' 即得 A 2=)(21'C C A (C 1C 2)
因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。
这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。
最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性变换是非退化的。
从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非退化的，一般地，当线性替换
X =CY 是非退化时，由上面的关系即得
Y =X C 1
-
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原。
这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来的二次型的一些性质。