6_1二次型及其矩阵表示 矩阵合同
西北工业大学《线性代数》课件-第六章 二次型
第六章二次型本章共有三节内容：§1 二次型及其矩阵表示§2 化二次型为标准形§3 正定二次型§6.1二次型及其矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵表示二次型的标准形合同矩阵一、二次型的定义12(,,,)n f x x x n 元二次型是指如下形式的二次齐次多项式211112121313112222232322222222n n n n nn n a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++++++++ 定义6.112,,,n x x x ；n 元二次型的特点：①含n 个自变量②二次齐次多项式：只含或的项，无一次项2i x i j x x 和常数项。
221212(,)5f x x x x =++不是二次型例如：特点：只含有变量的平方项，无混合乘积项。
222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 当a ij 为实数时，称f 为实二次型；当a ij 为复数时，称f 为复二次型。
本章仅讨论实二次型。
标准形：二、二次型的矩阵表示12,1(,,,)n n ij i ji j f x x x a x x ==∑ 若将改写成2()ij i j a x x i j <,ij i j ji j i a x x a x x +，其中ij ji a a =，则二次型可以表示为ij ji a a =即A 是对称矩阵，则二次型可用矩阵形式表示为：111211212222121212(,,)(,,)n n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠若令11121121222212,n n n n nn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠A x ，其中T=x Ax 实对称矩阵A 称为二次型f 的矩阵，也把f 称为实对称矩阵A 的二次型,实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，二次型与实对称矩阵之间是一一对应的关系。
6.1二次型的定义及其矩阵表示
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
6-1 二次型及其矩阵表示
将其代入
f x T Ax , 有
f x Ax
T
Cy
T A Cy y T C T AC y .
合同矩阵
定义 使得 C AC B ,
T
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在
n 阶可逆矩阵
C，
则称 A 合同于 B ，记作 A ~ B .
2
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n
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合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
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作业
2．用矩阵表示
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x n
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
第六章 二次型
定义2：设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵C，使得
CTAC=B 则称方阵A与方阵B合同，记做A∽B
合同矩阵必相似，但相似不一定合同。
性质： （1）反身性：A∽A
（Hale Waihona Puke ）对称性：若A∽B,则B∽A（3）传递性：若A∽B，B∽C,则若A∽C
8
定理1： 若A与B合同且A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，且R(A)=R(B).
2 2 2 那么上式就变为f d 1 y1 d 2 y2 ... d n yn
上面的问题就转化为：
求一个正交矩阵 , 使得Q T AQ ,即 Q 将f ( x ) X T AX标准化 求正交矩阵Q将实对称矩阵 对角化 A
7
由前章的内容知，任意实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q，使 QTAQ=，因而实二次型f (x)=XTAX一定可以化为标准型。
例1：将二次型写成矩阵形式
2 2 2 f ( x) 2 x1 3 x2 x3 4 x1 x2 10x2 x3
通常，称二次型
2 2 2 f x1 , x 2 ,... x n d 1 x1 d 2 x 2 ... d n x n
d1 X T X (
4
a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( x1 , x 2 ,..., x n ) .......... .......... .......... .. a x a x ... a x n2 2 nn n n1 1 a11 a12 ... a1n x1 a 21 a 22 ... a 2 n x 2 x1 , x 2 ,..., x n ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a nn x n 令 a11 a 21 A ... a n1 则 a12 a 22 ... an2 ... a1n x1 ... a 2 n x2 , x ... ... ... x ... a nn n
二次型和矩阵合同
⼆次型和矩阵合同1. ⼆次型含有n个变量x_{1},x_{2},...,x_{n}的⼆次齐次函数f(x_{1},x_{2},...,x_{n})称为n元⼆次型，即在⼀个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每⼀项的次数都为2的多项式，如f(x) = ax^{2} \\ f(x,y) = ax^{2} + by^{2} + cxy \\ f(x,y,z) = ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + dxy + exz + fyz它起源于⼏何学中⼆次曲线⽅程和⼆次曲⾯⽅程化为标准形问题的研究。
⼆次型中每⼀项都是⼆次的，没有⼀次项和常数项，之所以不研究包含⼀次项和常数项的⼆次⾮齐次多项式，是由于：⼀次项与常数项的改变不会影响函数图像的⼤致形状。
⼀个⼆次型可以⽤⼀个矩阵表⽰成如下的形式：f(x) = x^{T}Ax其中x是⾃变量组成的列向量。
⼀定都会找到⼀个对称的矩阵A来表⽰表⽰这个⼆次型，假如A不对称，那么必然有对称矩阵B = (A + A^{T}) / 2满⾜x^{T}Ax = x^{T}Bx因为实对称矩阵具有许多特别的性质，为了⽅便研究，规定⼆次型矩阵就是⼀个实对称矩阵。
更为关键的是：如果⼆次型矩阵是对称的，那么它将是唯⼀的。
⼆次型的图形：为了⽅便研究⼆次型，我们代⼊具体的函数值，研究⼀个具体的图形：x^{T}Ax = C这样就表⽰成⼀个曲线或者曲⾯，这个图形由取具体函数值的⾃变量全体构成的。
描述它的参考系(少了函数值那个维度)不同，⼆次型矩阵也不同，这涉及到合同的概念。
2. 矩阵合同在线性代数，特别是⼆次型理论中，常常⽤到矩阵间的合同关系。
定义：设A和B是两个n阶⽅阵，若存在可逆矩阵C，使得C^{T}AC = B则⽅阵A与B合同，A到B的变换C称为合同变换。
那矩阵A和B合同到底有什么意义呢？我们已经知道相似是相同的线性变换在不同基下的表⽰，那合同呢？下⾯针对⼀个⼆次型的图形来表述，即代⼊具体函数值之后的曲线或曲⾯。
叙述矩阵合同与二次型的关系
叙述矩阵合同与二次型的关系关键信息项：协议方信息甲方：____________________________乙方：____________________________项目目标描述：____________________________合作内容主要任务：____________________________具体要求：____________________________权利与义务甲方权利与义务：____________________________乙方权利与义务：____________________________时间安排启动时间：____________________________完成时间：____________________________费用与支付总费用：____________________________支付安排：____________________________保密条款保密内容：____________________________保密责任：____________________________违约责任违约条款：____________________________违约处理：____________________________争议解决解决方式：____________________________协议修改修改程序：____________________________协议甲方与乙方就矩阵合同与二次型的关系达成如下协议：协议方信息1.1 甲方：____________________________1.2 乙方：____________________________项目目标2.1 本协议的主要目标是探讨和明确矩阵合同与二次型之间的关系。
矩阵合同将用于描述二次型在优化问题中的应用，而双方合作的目的是为了在实际项目中验证这一理论关系的有效性。
(优选)二次型及其矩阵表示
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
nn
aij xi x j .
②
i1 j1
§5.1 二次型及其矩阵表示
a11 a12 ... a1n
令
A
a21
a22
... a2n
an1 an2 ... ann
( A P nn )
则矩阵A称为二次型 f ( x1, x2 , , xn ) 的矩阵 （matrix）.
cnn yn
§5.1 二次型及其矩阵表示
一、n元二次型
1、定义 设P为数域， aij P,i, j 1,2, ,n,
n个文字 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a1n x1xn
a22 x22
2a2n x2 xn
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn
关系式
x2
c11 y1
c12
y2
c1n yn
③
xn
cn1 y1
cn2
y2
cnn yn
称为由 x1, x2 , , xn到y1, y2 , , yn 的一个线性替换;
若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换 (non-degenerate linear transformation).
正因为如此，讨论二次型时矩 阵是一个有力的工具.
§5.1 二次型及其矩阵表示
练习1 写出矩阵表示
1. 实数域R上的2元二次型 f ax2 2bxy cy2
2. 实数域R上的3元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 6x1x3 5x22 3x2 x3 7 x32
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n
aij xi x j .
i , j1
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
四、矩阵的合同
二次型 xT Ax 的矩阵 A与二次型 yT By 的矩阵 B CT AC 是什么关系? 定义：设A, B为两个n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C , 使得CT AC B，则称矩阵A与B合同。
(P1P21 )1 C 1 B C T AC 故A与B合同。
1
A
0
0 1
2
,
B
0
0
1
都是实对称矩阵,
1 0
取
C
0
1 2
有CT AC B 故A与B合同。
但对任意可逆矩阵 P
P 1BP E A
故 A和 B 不相似.
这说明 在所给条件下,合同不一定相似.
小结
实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
1
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
则称关系式为由变量y1 , y2 yn到变量 x1 , x2 xn
的一个线性变换。 线性变换也可记为 x Cy
其中 x x1 , x2 , xn T , y y1 , y2 , yn T
c11 c12
C
c21 cn1
c22 cn2
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn )
xn (an1 x1 an2 x x2 ann xn )
c1n c2n cnn
称为该线性变换的矩阵.
当 C 0时，称 1 式为满秩线性变换（或非退化的线性变换）
当 C 0时，称 1 式为降秩线性变换（或退化的线性变换） 当C为正交矩阵时，称 1 为正交变换。
当线性变换x Cy为满秩变换时，则y C1 x
这是一个由变量x1 , x2 xn到 y1 , y2 yn的满秩变换， 称为x Cy的逆变换。
2 0
则f xT Ax （Cy）T A（Cy） yT CT AC y
1
y1，y2，y3
1 2
0 1 2
0 2
0 1
2 0
2 1 2
0 1
2 0
0 0
1 1 0
2 y1
2 1
y2 y3
2
y1，y2，y3
0 0
0 1 0
0
0 4
y1
y2 y3
2 y12
y22
4 y32
如果对二次型 f xT Ax 进行满秩变换 x Cy :
R B R AC R A,
又 A CT 1 BC 1 , R A R BC 1 R B.
RA RB.
说明
1.二次型经满秩变换x Cy后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由A变为B CT AC ;
2.要使二次型f 经满秩变换 x Cy变成标准形, 就是要使
yT CT AC y k1 y12 k2 y22 kn yn2
当aij是实数时, f称为实二次型 .
（我们仅讨论实二次型）。
只含有平方项的二次型
f d1 y12 d2 y22 dn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2, x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
a1n x1 a2n x2 ann xn
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
由一个二次型可对应一个对称矩阵A,且A唯一.
如二次型 f 2 x1 x2 3 x32 用矩阵记号写出来就
是
0 1 0 x1
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
1 0
f 2 y1 y2 2 y3 2 y2 2 y3 2 4 y1 y2 2 y3 y2 2 y3 4 y2 2 y3 y3
2 y12 y22 4 y32
设二次型f 2x12 x22 4x1 x2 4x2 x3
2 2 0
方法二
二次型的矩阵
A
2 0
1 2
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
定理1 任给可逆矩阵C ,令B C T AC ,如果A为对称
矩阵,则B也为对称矩阵,且RB RA.
证明: A为对称矩阵,即有A AT ,于是
BT C T AC T C T AT C C T AC B,
即B为对称矩阵. B CT AC ,
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
二次型的标准形与一个对角阵一一对应.
例1 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
f xT Ax
a1n a2n ann
其中aii为二次型中xi2的系数，
aij aji i j 为二次型中xi xj系数的一半。
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；
反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定 一个二次型。
所以二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。
0 0
0 3
x2 x3
又如f x1 , x2 , x3
x12 x1 x2 4x1 x3 2x22 2x2 x3 x32
1
x1
,
x2
,
x3
1 2 2
1 2 2 1
2
x1
1 1
x2 x3
a11 a12
作一个 n 阶对称矩阵
A
a21 an1
a22 an2
显然由矩阵A可确定一个二次型：
二次型xT Ax经满秩变换 x Cy后它的矩阵A
与二次型yT By的矩阵B是合同关系。
注意:
1. 矩阵的合同关系是对任意的 n 阶矩阵而言的,
并不尽仅仅限于对称矩阵. 2. 矩阵的相似关系与合同关系是不同的.
A与B相似，意味着存在n阶可逆矩阵C使得 C1 AC B A与B合同，意味着存在n阶可逆矩阵C使得 CT AC B
记为A B
定理2 若矩阵 A与B 合同,则 A与B 等价,且
R A RB
合同关系具有以下性质:
1. 反身性 任一 n 阶矩阵A都与它自己合同,即A A
2. 对称性 如果方阵 A与B 合同,则 B与A 合同. 即 若A B,则B A
3. 传递性 如果方阵 A与B 合同, B与 C 合同, 则 A与 C 合同. 即 若A B, B C，则A C
又由于A与B都是实对称矩阵，
则存在正交矩阵P1，P2，使得
P11 AP1 , P21BP2
那么B P2P21 P2 P11 AP1P21 (P1P21 )1 A(P1P21 )
记C P1P21
由P1T P11 , P2T P21得
C T (P1 P21 )T (P21 )T P1T (P2T )T P11 P2 P11
(
x1 ,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2
a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
an1 an2
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的矩阵表示
对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
1
f 的矩阵为A5 2 6来自5 2 4 767
5
例3已知二次型
f ( x1, x2, x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3
的秩为2，求参数 c
5 1 3
解：二次型 f 的矩阵为
A
1 3
5 3
3 c
由 f 的秩为2知 A 0
一般C1 CT , 因此由A与B相似不能推出A与B合同；
由A与B合同不能推出A与B相似。
如果C是正交矩阵，即C1 CT，
则A与B合同，A与B相似同时成立。
3. 任意一个对称矩阵,都与一个对角矩阵合同.
例5设 A和 B 为实对称矩阵,则由 A与B相似可推出
A与 B 合同,反之不然.
证明: A与B相似， A与B有相同的特征值。