高等代数二次型及其矩阵表示

(完整版)奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈L R ()3 2121[,,,],1,2,,,1n n i i i B W a a a a i n a =??=∈==???? ∑L L R ； ()33121[,,,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =?? =∈==????∏L L R ；， () {}342[1,,,],2,3,,n i D W a a a i n =∈=L L R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则Ax b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设4 44113 2145 3 33222354245613 D =，则212223A A A ++= 0 ；2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320 01300 000320 1 3 n D = L L L L L L L L L L L 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X

高等代数北大版课程教案-第5章二次型

第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0 ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：

令 ji ij a a ，j i 由于 i j j i x x x x ,那么二次型(3)就可以写为 n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n 矩阵 nn n n n n a a a a a a a a a A 21 22221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a ，n j i ,,2,1, ，所以 A A . 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令 n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， n x x x AX X 2 1 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 n x x x 21 n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 21121211121 n i n j j i ij x x a 11. 故 AX X x x x f n ),,,(21 .

奥鹏福师201803《高等代数选讲》试卷A参考答案

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《高等代数选讲》期末考试 一、 单项选择题（每小题4分，共20分） 1 2 3 4 5 D A A C D 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B A A -=-； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集是n R 的子空间的为（ ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈R ()3 2121[,, ,],1,2, ,,1n n i i i B W a a a a i n a =? ? =∈==????∑R ； ()33121[,, ,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =? ? =∈==????∏R ；， () {}342[1,, ,],2,3, ,n i D W a a a i n =∈=R 4．3元非齐次线性方程组Ax b =，秩()2r A =，有3个解向量 123,,ααα， 23(1,0,0)T αα-=，12(2,4,6)T a α+=，则A x b =的一般解形式为（ ）. （A ）1(2,4,6)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （B ） 1(1,2,3)(1,0,0)T T k +，1k 为任意常数 （C ）1(1,0,0)(2,4,6)T T k + ，1k 为任意常数 （D ） 1(1,0,0)(1,2,3)T T k +，1k 为任意常数 5．已知矩阵A 的特征值为1,1,2-，则1A -的特征值为（ ） ()A 1,1,2-； ()B 2,2,4-； ()C 1,1,0-； ()D 11,1, 2 -。 二、 填空题（共20分） 1．（6分）计算行列式2 2 2 1 11 2 34234= 2 ；32001200 02321 2 4 4 = 16 。 2．（4分）设444113 2145 3 33222354245613 D =，则21222 3A A A ++= 0 ； 2425A A += 0 。 3．（3分）计算 100123100010456001001789010?????? ??????-=?????????????????? 。 4．（4分）若2 4 2 (1)|1x ax bx -++，则a = 1 ；b = -2 。 5．（3分）当λ满足 λ≠1,-2 时，方程组 000x y z x y z x y z λλλ++=?? ++=??++=? 有唯一解。 三．（10分）计算n 阶行列式：320001320001300000320 1 3 n D = 四．（10分）已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-????????-???? ，求X

高等代数北大版教案-第5章二次型

高等代数北大版教案- 第5章二次型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

４８ 第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( +++n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 ???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4) 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示：

４９ 令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( ++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a +++ ∑∑===n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n ?矩阵 ?? ? ? ? ?? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以 A A ='. 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令???? ?? ? ??=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 2 1 ='??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211??? ? ? ? ? ??n x x x 21 ()? ??? ??? ??+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x 221 122221 2112121112 1 ∑∑===n i n j j i ij x x a 11.

高等代数 矩阵练习题参考答案

第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果20,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--??但. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ??=s I PAQ

正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11 (*)|| A A A -= . 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵. (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）.

福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案(可编辑修改word版)

1 1 n 1 4 2 n i 福建师范大学网络教育学院 《高等代数选讲》 期末考试 A 卷 学习中心 专业 学号 姓名 成绩 一、单项选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 A , B 是n 阶方阵， k 是一正整数，则必有（D) (A ) )( AB )k = A k B k ； (B ) - A = - A ； (C ) (C ) A 2 - B 2 = ( A - B )( A + B ) ； (D ) (D ) AB = B A 。 2. 设 A 为m ? n 矩阵， B 为n ? m 矩阵，则（ A ）。 ( A ) 若m > n ，则 AB = 0 ； (B ) 若m < n ，则 AB = 0 ； (C ) 若m > n ，则 AB ≠ 0 ； (D ) 若m < n ，则 AB ≠ 0 ； 3. R n 中下列子集是R n 的子空间的为（ A ）． ( A ) W = {[a , 0, , 0, a ] a , a ∈ R 3} ( B ) W = ? , a ] a ∈ R 3, i = 1, 2, , n , ∑ a = ? 2 ?[a 1 , a 2 , n i ? ? 3 i i =1 n 1? ； ? ? (C ) W 3 = ?[a 1 , a 2 , , a n ] a i ∈ R , i = 1, 2, , n , ∏ a i = 1? ；， ( D ) ? W = {[1, a , , a ] i =1 ? a ∈ R 3 , i = 2, 3, , n } 4. 3 元非齐次线性方程组 Ax = b ， 秩 r ( A ) = 2 ， 有 3 个解向量 1,2 ,3 ， - = (1, 0, 0)T ， a + = (2, 4, 6)T ，则 Ax = b 的一般解形式为（ C ）. 2 3 1 2 n n

高等代数二次型

第五讲二次型 一、二次型的概念及标准形 1、 二次型的概念及几种表述 数域F 上的n 元二次齐次函数称为数域F 上的n 元二次型。有以下几种表述方式： （1）1211 (,,,)n n n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑； （2）22 2 12111222(,,,)2n nn n ij i j i j f x x x a x a x a x a x x <=++ ++∑； （3）12(,, ,)T n f x x x X AX =，其中12(,,,)T n X x x x =，()ij n n A a ?=，且T A A =，并 称A 为二次型的矩阵。 2、矩阵合同 （1） 设,,n n A B F ?∈若存在可逆矩阵n n T F ?∈，使T B T AT =，则称A B 与是合同的。 （2） 合同是矩阵间的一种等价关系。 （3） 二次型经过非退化的线性替换仍变为二次型，且新老二次型的矩阵是合同的。 3、 标准形 （1） 二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +称为标准形。 （2） 任何二次型都可以通过非退化线性替换化成标准形。 （3） 任何对称矩阵都合同于一个对角阵。 4、 复数域上二次型的规范形 （1） 复二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1i d =或0，称为复 数域上的规范形。 （2） 任何复二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范 形22 21212(,, ,)n r f x x x y y y =++ +，其中r A =秩，且规范形是唯一的。 （3） 任何复对称矩阵A 都合同于对角阵000r E ?? ??? ，其中r A =秩。 （4） 两个复对称矩阵合同的充要条件是秩相等。 5、 实数域上二次型的规范形 （1） 实二次型22 2 121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =++ +，其中1,1i d =-或0，称为 实数域上的规范形。 （2） 任何实二次型12(,, ,)T n f x x x X AX =都可以通过非退化线性替换化成规范 形22 22 212121(,, ,)n p p r f x x x y y y y y +=+++-- -， 其中r A =秩，p 是正惯性指数，且规范形是唯一的。 （3） 惯性定理 任何实二次型经过非退化线性替换化成的标准形中，正平方项的个数

高等代数北大版教案-第5章二次型教学内容

高等代数北大版教案-第5章二次型

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢４８ 第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 一 授课内容：§1 二次型的矩阵表示 二 教学目的：通过本节的学习，掌握二次型的定义，矩阵表示，线性 替换和矩阵的合同. 三 教学重点：矩阵表示二次型 四 教学难点：二次型在非退化下的线性替换下的变化情况. 五 教学过程： 定义：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,( +++n n x x a x a 2222222 (2) n nn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，简称为二次型. 例如：2 3 322231212 13423x x x x x x x x x +++++ 就是有理数域上的一个3元二次型. 定义1 设n x x x ,,,21 ，n y y y ,,,21 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式 ???????+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (4)

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢４９ 称为n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或则，简称为线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么线性替换(4)就称为非退化的. 二次型的矩阵表示： 令 ji ij a a = ，j i < 由于 i j j i x x x x =,那么二次型(3)就可以写为 ++++=n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,( ++++n n x x a x a x x a 2222221221 …+2 2211n nn n n n n x a x x a x x a +++ ∑∑===n i n j j i ij x x a 11 (5) 把(5)的系数排成一个n n ?矩阵 ?? ? ? ? ?? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221 112 11 它称为二次型(5)的矩阵.因为ji ij a a =，n j i ,,2,1, =，所以 A A ='. 我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型(5)的矩阵都是对称的. 令???? ?? ? ??=n x x x X 21,于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来， ()n x x x AX X 2 1 ='??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211??? ? ? ? ? ??n x x x 21

二次型的矩阵表示

§1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）

称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i

高代选讲心得

高代选讲心得 说起数学，这是让我引以为豪的学科。从初中开始就喜欢数学，是那种没有理由的喜欢，因此当了六年的数学科代表。大学也选择了数学与应用数学专业，目标是当数学老师，估计这辈子跟数学是分不开的了。 高等代数是我进入大学所学的第一门专业课，高等代数是数学专业本科生最重要的一门基础课，它和数学分析、解析几何统称为数学专业的三门基础课程。从中学数学到高等数学，实际上是由具体的、粗浅的数学结构上升到了严谨的公理化体系的论述，由形象思维上升到抽象思维，由特殊到一般，由简单到复杂，由低级到高级。高等代数为后面我学习近似代数、拓扑学等学科奠定了基础。刚接触这门课的时候，觉得很难很抽象，就以做题目为例，凡是涉及到数字计算的还可以做，一到脱离数字的证明题就无从下手。经过三年的大学学习，特别是这次学完高等代数选讲，让我获益匪浅。具体可以从下面这几大方面来说： 一、高等代数选讲这门学科自身的魅力 首先是矩阵，用陈老师的话来说，就是“很漂亮”。学完高等代数选讲，会发现矩阵、矩阵的行列式、矩阵的秩、逆、转置以及特征值、特征向量可以解决很多数学问题。比如线性方程组可以表示成矩阵和列向量的乘积，通过该系数矩阵的秩和增广矩阵的秩以及未知数的个数的关系可以判断该线性方程是无解、有唯一解还是有无穷多解。他们彼此之间不是独立的，是相互联系的。比如求矩阵A的逆可以利用伴随矩阵*A和行列式A的逆来求。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域，在力学、物理、科技等方面都有广泛的应用。 其次是等价关系。给定的集合中的元素之间的关系若满足反身性、对称性和传递性，则称该关系为等价关系。等价关系是高等代数中一个非常重要的关系，比如矩阵的相似、合同以及相抵关系都是等价关系、线性映射的同构也是一个等价关系。再联想初中、高中，我们所熟悉的全等三角形也可以看做是一个等价关系。 然后是线性空间。在高等代数选讲的前言中讲到，这本书分三个层次学习线性空间。第一个层次研究线性空间的元素之间的线性关系。在这本书的第四章，涉及到线性相关、线性无关、极大无关组、基和维数等。从线性空间的元素之间

高等代数选讲作业

1,-2,3，则B= 2A I 4的特征值为1/3,-1/3,1/7. 4 4 4 1 1 3 2 1 4 5 5 ?设D = 1 1 1 2 2 ，则A21 + A22 + A23 2 4 5 4 2 4 5 5 1 3 《高等代数选讲》练习 1?设4 4 矩阵A =[■ , ,,2, 3], B =[ -, 1, 2, 3]，其中：?「，1, 2, 3均为 4 维列向量，且A =3,|B| = 2，则A + B = 40 3 2?中下列子集不是R的子空间的为(C ). (A) W1 二｛(X i,X2,X3)R |X2 =1｝；(B) W2 二｛( X i,X2,X3)R IX3 =0｝； _ 3 _ 3 (C) W3 叫(X1, X2,X3)R |X1=X2=X3｝；( D) W4 二｛( X1,X2,X3)R |X,=X2—X3｝3?设：j,〉2,〉3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3 , R3：-1 二[1,2,3,4]T, ：^ ■： 3 =[0,1,2,3]T, k为任意常数，则线性方程组A X二b的通解为 4 .已知矩阵A的特征值为 5 6 ?将f(X)=X5-1表示成X-1的方幕和的形式为

4 2 2 8 ?设矩阵A = 2 4 2 2 2 4 1 ?求矩阵A的所有特征值与特征向量; 2?求正交矩阵P，使得P J AP为对角矩阵。 —2 —21 解：由卜2 A-4 -2 *-2）第-8）得A的特征值为| —2 —2久―4） 人二兀=2（一重特征值）? A = 8 o 当人二加二2时，由—A）X = O t即: -_2-22"0 一_2_2 ■ =0 _2X. L 3 J 0 j 二 —2 —2 解：由卜2 乂-4 -2 *-2）車-8）得A的特征值为| —2 —2久―彳 人二入=2（二重特征值）、= 8 o 当人二坷二2时f由~ A）X —O y即: -_2-2_2~"0_ 一_2—0 -2_2—2y L 3 J

福建师范大学2020年8月课程考试《高等代数选讲》作业考核试题(答案)

福建师范大学网络教育学院 《高等代数选讲》 期末考试A 卷 教学中心 专业 学号 姓名 成绩 ) {11,0,],n A W a a =)22,]1,2,,n i B W a a i ? =∈=??3 1],1,2, ,n i i i a i =∈=??∏}3 ],2,3, n i a i =Ax b =，秩2(2,4,6)=

三．（10分）计算n阶行列式： 32000 13200 01300 00032 00013 n D 解： 从而错误!未找到引用源。， 则错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 因此 该等比数列前n+1项的和为：

四．已知矩阵X满足 111221 022402 110066 X - ???? ???? =- ???? ???? - ???? ，求X 解： 设A=错误!未找到引用源。，B=错误!未找到引用源。 计算得错误!未找到引用源。，可知矩阵A可逆 则错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 五．（10分）利用综合除法将4 () f x x =表示成1 x-的方幂和的形式。解：使用综合除法 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 4 1 3 6 1 1 3 6 1 1 4 六．（15分）试就,p t讨论线性方程组 123 123 123 4 2327 24 px x x x tx x x tx x ++= ? ? ++= ? ?++= ? 解的情况，并在有无穷多解时求其通解。 解：设错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。，对错误!未找到引用源。进行初等行变换： 若该非其次线性方程组有无穷多解，需要满足错误!未找到引用源。 增广矩阵第一行元素不全为零 增广矩阵第二行元素不全为零 而增广矩阵第三行元素应全为零，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。

高等代数(张禾瑞版)备课教案-第5章矩阵

第五章 矩 阵 教学目的： 1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。 2. 了解几种特殊矩阵的性质。 教学内容： 5.1 矩阵的运算 1 矩阵相等 我们将在一个数域上来讨论。令F 是一个数域。用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵 A= ?????? ? ??a a a a a a a a a mn m m n n 2 1 222 2111211 叫做F 上一个矩阵。A 也简记作（a ij ）。为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。 一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。 F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。 以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。 我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。 先引入前两种运算。 2 矩阵的线性运算 定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。 注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。 以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。 现在回到一般的矩阵。我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。 3 矩阵线性运输的规律 A+B=B+A ； (A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0； a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ； 这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。

高等代数选讲复习资料

《高等代数选讲》复习资料 一、填空题 1、=λ 时，方程组 021=+x x λ 有非零解 021=+x x λ 2、设(1,2,1)A diag =-，* 28A BA BA E =-则B = 。 5 3 -1 2 0 1 7 2 5 2 3、行列式 0 -2 3 1 0 的值为 0 -4 -1 4 0 0 2 3 5 0 4、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。 5、计算????? ??---415003112101?????? ? ??--121113121430=_ 6、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围 是 。 7、写出行列式展开定理及推论公式 。 8、线性变换可对角化的充要条件为 。 9、模m 的非负最小完全剩余系为 。 10、向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基 （1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为 。 11、若f(x)=a n x n +a 1-n x 1-n +…+a 1x+a 0x 的根是x 1，…，x n ，则x 1x 2… x n = 。 12、20032005被17除的余数为 。 13、用艾森斯坦判别法判断f(x)=x 5—3x 4+6x 3—3x 2 +9x —6在有理数域上不可约所找到的 素数为 。

14、A 为n n ?阶矩阵，且220A A E --=，则1(2) A E -+= 。 15、只于自身合同的矩阵是 矩阵。 16、叙述维数公式 。 17、正交变换在标准正交基下的矩阵为 。 二、选择题 1、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ） A 、系数行列式不为0 B 、系数行列式为0 C 、系数矩阵可逆 D 、系数矩阵不可逆 2、多项式f(x)除以x-a 所得的余数为（ ） A 、f(0) B 、f(x-a) C 、f(a) D 、以上均错 3、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ ） A.0=A 或0=B B.0=+B A C.0=A 或0=B D.0=+B A 。 4、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ） A 、一次因式的乘积 B 、一次与二次因式的乘积 C 、只能是二次因式的乘积 D 、以上结论均不对 5、模m 的完全剩余系有（ ） A 、唯一一个 B 、无穷多个 C 、有有限个 D 、不一定有 6、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（ ） A .A 的秩小于n ； B .0A ≠； C .A 的特征值都等于零； D .A 的特征值都不等于零； 7、在xy 平面上，顶点的坐标(x,y)满足 ，且x,y 是整数的三角形个数有（ ） A 、560 B 、32 C 、516 D 、44 8、设p 是素数，a 是整数，且(p,a)=1，则（ ） A 、)(mod p a a p ≡ B 、)(mod 0p a p ≡ C 、)(mod 01p a p ≡- D 、以上均错 9、零多项式的次数是（ ） A 、0次 B 、1次 C 、2次 D 、不定义次数 10、n 阶矩阵A 与B 等价，E 为单位矩阵,则（ ） A. E B E A λλ-=- B. E B E A λλ-=- C. A 与B 有相同的秩 D. A 与B 都相似于同一个标准形 11、 阶行列式 ，当 取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12、设A 为n m ?矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）

二次型及其矩阵表示

第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =.

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题

福师09秋学期《高等代数选讲》考试复习题一 本复习题页码标注所用教材为： 高等代数 19.50 主 张禾瑞、郝丙新 2007年第5版 高等教育出版社 书 如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ ） () ()k k k A AB A B =； ()B kA k A =； 22() ()()C A B A B A B -=-+； ()D AB A B =。 考核知识点：矩阵的运算，参见P178-181； 行列式的性质，参见P113； 矩阵乘积的行列式，参见P197； 2.设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） (A ) 行列式与它的转置行列式相等； (B ) D 中两行互换，则行列式不变符号； (C ) 若0=D ，则D 中必有一行全是零； (D ) 若0=D ，则D 中必有两行成比例。 考核知识点：行列式的性质，参见P111-113； 3．设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） (A ) A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； (B )A 中每个r 阶子式都不为零； (C ) A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； (D )A 中肯定有不为零的r 阶子式。 考核知识点：矩阵秩的定义，参见P151-152； 4．关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） (A ) ()()()()()() n n n x g x f x g x f ,,=； (B )()() ()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； (C ) ()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； (D )若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 考核知识点：多项式最大公因式的定义和相关性质，参见P38-46； 5．设{ }m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ） (A )任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有 ∑=≠m i i i k 1 0α ； (B )任一组数m k k k ,,,21 ，有 ∑==m i i i k 1 0α ；

高等代数选讲

一、单项选择题 1．设,A B 是n 阶方阵，k 是一正整数，则必有（ D ） () ()k k k A AB A B =； - ()B A A -=-； 22()()()C A B A B A B -=-+； ()D AB B A =。 2．设A 为m n ?矩阵，B 为n m ?矩阵，则（ B ）。 ()A 若m n >，则0AB =； ()B 若m n <，则0AB =； () C 若m n >，则0AB ≠； () D 若m n <，则0AB ≠； 3．n R 中下列子集不是n R 的子空间的为（ A ）． () {} 3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈ R ()3 2121[,,,],1,2,,,1n n i i i B W a a a a i n a =??=∈==????∑ R ； ()3 3121[,,,],1,2,,,1n n i i i C W a a a a i n a =??=∈==???? ∏ R ； ， () {}342[1,,,],2,3,,n i D W a a a i n =∈= R 二、填空题 1．计算行列式22 2 1 112 3 4234= 2 ； 32001 200 2321 244 = 16 。 2．设44411 32145 333222354245613 D =，则212223A A A ++= 20 ；

2425A A += 0 。 三．计算n 阶行列式：530002530002500000530 2 5 n D = 解： 2156355 000002000052000352000350000323 3 200005200035200035200035000035 --?-?=-=n n D 四．已知矩阵X 满足111221022402110066X -???? ????=-???? ????-???? ，求X 解：由于060 1122 011 1 ≠=-- 故