高等代数二次型及其矩阵表示
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高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵
f
x2 1
x2 2
5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A
1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
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（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2
5 2
2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此
5t
2
4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
高等代数教案 北大版 第五章
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3在实二次型 的规范形中，正平方项的个数 称为 的正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性指数；它们的差 称为 的符号差.
应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设 是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， 变成标准形，不妨假定化的标准形是
.(1)
易知 就是 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线性替换
是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二讲标准形
教学时数
2
授课类型
讲授
讲授法 启发式
教
学
过
程
经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3在实二次型 的规范形中，正平方项的个数 称为 的正惯性指数；负平方项的个数 称为 的负惯性指数；它们的差 称为 的符号差.
应该指出，虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是由上面化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.
下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题.
设 是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适当的非退化线性替换后， 变成标准形，不妨假定化的标准形是
.(1)
易知 就是 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线性替换
是非退化时，由上面的关系即得
.
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第二讲标准形
教学时数
2
授课类型
讲授
6.1二次型的定义及其矩阵表示
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
• 例1 用矩阵形式表示下列二次型 • （1） f (x, y) 5x2 8xy 3y2 • 解： a11 5, a12 a21 4, a22 3
• 所以
f
(x,
y)
x,Байду номын сангаас
y
5 4
4 x
3
y
• （2） • 解：
f
(x1, x2 , x3
a11 0, a12
一、二次型的概念
定义4.11
含有n个变量 x1 ,
x2 ,
,
x
的二次齐次函数
n
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型. 简记为 f f (x1, , xn )
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
当aij是实数时, f称为实二次型 .
1/21
二、二次型的表示方法
1．用和号表示
对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
)12x, 3a2 13
x1x2
0;
2 x2
x3
a21
1 2
, a22
0, a23
1;
a31 0, a32 1, a33 1
• 所以：
0
1 2
0
A
1 2
0
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
5-1 二次型及其矩阵表示
第五章 实二次型 ５－１ 二次型及其矩阵表示一、２元实二次型：两个实变量ｘ，ｙ的二次齐次多项式函数。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ２＋２ｂｘｙ＋ｃｙ２［平方项 交叉项］＝22Cy byx bxy ax +++＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++cy bx by ax y x＝[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x c b b a y x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（Ｘ）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。
二元二次型ｆ−−−→←一一对应２阶实对称矩阵Ａ。
二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）。
二、３元实二次型：三个实变量ｘ１，ｘ２ｘ３的二次齐次多项式函数。
ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ａ１１ｘ１２＋２ａ１２ｘ１ｘ２＋２ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２２ｘ２２＋２ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３３ｘ３２令ａｊｉ＝ａｉｊ，其中１≤ｉ＜ｊ≤３。
因为ｘｉｘｊ＝ｘｊｘｉ，所以ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ ａ１１ｘ１２＋ａ１２ｘ１ｘ２＋ａ１３ｘ１ｘ３＋ａ２１ｘ２ｘ１＋ａ２２ｘ２２＋ａ２３ｘ２ｘ３＋ａ３１ｘ３ｘ１＋ａ３２ｘ３ｘ２＋ａ３３ｘ３２＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 二次型ｆ的矩阵Ａ 未知量矩阵Ｘｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ＸＴＡＸ（ＡＴ＝Ａ）叫二次型ｆ的矩阵表示式。
三元二次型ｆ−−−→←一一对应３阶实对称矩阵Ａ。
二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）例（掌握）ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝ｘ１２－２ｘ２２＋３ｘ３２－４ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３，ｆ的矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121 ｆ的矩阵表示式：ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３）＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---30210222121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 。
§1 二次型及其矩阵表示
或简称线性替换．
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如果系数行列式
c11 c12 ⋯ c1n
c 21 c22 ⋯ c2n det(cij ) = ≠0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn1 cn2 ⋯ cnn
那么该线性替换就称为是非退化的． 非退化的． 非退化的
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结束
线性替换也记为 X = CY, 其中
c11 c 21 C= ⋯ cn1
2 22 2
+⋯⋯+ a x
称为数域P中一个n元二次型，简称二次型
．
2 nn n
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结束
2. 线性替换 我们看到：
x = y = 2 x′ − 5 1 x′ + 5 1 y′, 5 2 y′ 5
5x2 + 4xy + 2y2
′2 + y′2 6x
为研究二次型，我们常常希望通过变量的线性 替换化简二次型，为此，我们引入“线性替换”： “线性替换”
证明： 证明：
给定一个对称阵 A = (aij )n×n , 显然由
a11 a f (x1, x2 ,⋯, xn )= (x1 x2 ⋯xn ) 21 ⋯ an1
a12 ⋯ a1n x1 a22 ⋯ a2n x2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ an2 ⋯ ann xn
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结束
再看二次曲线的一般方程：
ax2 + 2bxy + cy2 = f
该如何作坐标变换（如何选择旋转坐标轴的角度θ, 代数语言即如何寻找满足要求的二阶方阵），使得 其方程形如 Ax′2 + By′2 = C, 从而判别原二次曲线的形状.
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如果系数行列式
c11 c12 ⋯ c1n
c 21 c22 ⋯ c2n det(cij ) = ≠0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ cn1 cn2 ⋯ cnn
那么该线性替换就称为是非退化的． 非退化的． 非退化的
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线性替换也记为 X = CY, 其中
c11 c 21 C= ⋯ cn1
2 22 2
+⋯⋯+ a x
称为数域P中一个n元二次型，简称二次型
．
2 nn n
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2. 线性替换 我们看到：
x = y = 2 x′ − 5 1 x′ + 5 1 y′, 5 2 y′ 5
5x2 + 4xy + 2y2
′2 + y′2 6x
为研究二次型，我们常常希望通过变量的线性 替换化简二次型，为此，我们引入“线性替换”： “线性替换”
证明： 证明：
给定一个对称阵 A = (aij )n×n , 显然由
a11 a f (x1, x2 ,⋯, xn )= (x1 x2 ⋯xn ) 21 ⋯ an1
a12 ⋯ a1n x1 a22 ⋯ a2n x2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ an2 ⋯ ann xn
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结束
再看二次曲线的一般方程：
ax2 + 2bxy + cy2 = f
该如何作坐标变换（如何选择旋转坐标轴的角度θ, 代数语言即如何寻找满足要求的二阶方阵），使得 其方程形如 Ax′2 + By′2 = C, 从而判别原二次曲线的形状.
§5.1 二次型及矩阵表示
B = C ′AC , | C |≠ 0 ， 则 A = (C −1 )′ BC −1 = P′BP, P = C −1 ≠ 0
若 则
A1 = C1′ AC1 , A2 = C2′ A1C2 , C1 ≠ 0, C2 ≠ 0 ，
（3）传递性：
A2 = (C1C2 )′ A(C1C2 ) = Q′AQ,
（5.1）
（5.2）
f ( x, y ) = a′x′2 + c′y′2
（5.3）
（5.1）的右边是一个二元齐次多项式，把它化为标准方程 用代数的语言来说，就是用变量替换（5.2）把二元齐次多项式 化为只含平方项的标准方程。
第五章 二次型
能不能把这个结果推广到一般的 n 元齐次多项式？ 这需要引入 n 元齐次多项式的概念。 定义1：F是一个数域，系数在F中的n个文字 x1 , x2 ," , xn 的二次齐次多项式
第五章 二次型
例如： f ( x1 ) = 3 x12 是一元二次型；
2 f ( x1 , x2 ) = 2 x12 − 6 x1 x2 + 5 x2 是二元二次型；
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2 + 4 x2 x3 + 3 x3
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a1 j x j ⎟ ⎜ jn=1 ⎟ ⎜ a x ⎟ n n n ∑ 2j j = ( x1 , x2 ,..., xn ) ⎜ j =1 ⎟ = x1 ∑ a1 j x j + x2 ∑ a2 j x j + " + xn ∑ anj x j ⎜ ⎟ j =1 j =1 j =1 # ⎜ n ⎟ ⎜ ⎜ ∑ anj x j ⎟ ⎟ ⎝ j =1 ⎠
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来曲线的性质，如：对圆 x21 + x22 = 1，令
( ) ( )( )
x1 = 1 0 y1 ,
x2
0 0 y2
得 y21 = 1 为两直线.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
把方程 (1) 化成标准方程. 在二次曲面的研究中也有.... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的代数观点
(1) 的左端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看，所谓化标 准方程就是用变量的线性替换 (2) 化简一个二次齐次多项式，使 它只含有平方项. 二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数 学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到. 这一章就是来介 绍它的一些基本性质.
二次型的几何背景
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心 二次曲线的一般方程是
ax2 + 2bxy + cy2 = f
(1)
为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角 度 θ，作转抽 (反时针方向转轴)
x = x′ cos θ − y′ sin θ,
(2) y = x′ sin θ + y′ cos θ,
X = CY
称为变量 x1, x2, · · · , xn 到变量 y1, y2, · · · , yn 的一个非退化线性 替换.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换
n 元二次型 X′AX 经过非退化线性替换 X = CY 变成
. .. . . ..
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的矩阵表示
令
X = xx...12 ,
(6)
xn
则二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 可以写成
f(x1, x2, · · · , xn) = X′AX
A2 = (C1C2)′A(C1C2)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵的合同
因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩 阵是合同的. 这样，我们就把二次型的变换通过矩阵表示出来， 为以下的讨论提供了有利的工具.
是非退化时，由上面的关系即得
Y = C−1X
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原. 这样就使我们从 所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换的几何意义
另一方面，若不可逆线性替换，则由变换后的曲线性质看不出原
. .. . . ..
二次型的概念
例 x21 + x1x2 + 3x1x3 + 2x22 + 4x2x3 + 3x23; x2 + 4y2 + z2 − 4xy − 8xz − 4yz; x2 − y2; x1x2 + x1x3 − 3x2x3.
都是有理数域上的二次型.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE； 2 对称性：由 B = C′AC 即得 A = (C−1)′BC−1； 3 传递性：由 A1 = C′1AC1 和 A2 = C′2A1C2 即得
其中 A 是二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换
令
Y = yy...12
yn
设 C 是数域 P 上的一个 n 级可逆矩阵，下述关系式
+········· + annx2n
(3)
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的概念
(3) 式也可以写成
f(x1, x2, · · · , xn) = a11x21 + a12x1x2 + a13x1x3 + · · · + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x22 + a23x2x3 + · · · + a2nx2xn
+·········
+ an1xnx1 + an2xnx2 + an3xnx3 + · · · + annx2n
∑n ∑n
=
aijxixj
i=1 j=1
(4)
其中 aji = aij, 1 ≤ i, j ≤ n.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE； 2 对称性：由 B = C′AC 即得 A = (C−1)′BC−1；
. .. . . ..
二次型的等价
定义 数域 P 上两个 n 元二次型 X′AX 与 Y′BY，如果存在一个非退 化线性替换 X = CY，把 X′AX 变成 Y′BY，则称二次型 X′AX 与 Y′BY 等价，记作 X′AX ∼= Y′BY.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
(CY)′A(CY) = Y′C′ACY
(7)
记 B = C′AC，则 (7) 可写成 Y′BY，这是变量 y1, y2, · · · , yn 的 一个二次型. 由于
B′ = (C′AC)′ = C′A′(C′)′ = C′AC
因此 B 也是对称矩阵. 于是二次型 Y′BY 的矩阵正好是 B.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
非退化线性替换的几何意义
最后指出，在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非 退化的. 从几何上看，这一点是自然的，因为坐标变换一定是非 退化的. 一般地，当线性替换
X = CY
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的概念
定义 系数在数域 P 中的 n 个变量 x1, x2, · · · , xn 的一个二次齐次多项 式，称为数域 P 上的一个 n 元二次型，它的一般形式是
f(x1, x2, · · · , xn) = a11x21 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2a1nx1xn + a22x22 + 2a23x2x3 + · · · + 2a2nx2xn
矩阵的合同
定义 数域 P 上两个 n 级矩阵 A 与 B，如果存在数域 P 上的一个可 逆矩阵 C，使得
C′AC = B 则称 A 与 B 合同，记作 A ∼= B.
合同是矩阵之间的一个关系，不难看出，合同关系具有 1 反身性：A = E′AE；
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
二次型的矩阵表示
把 (4) 中的系数排成一个 n 级矩阵 A(注意 aji = aij)
A = aa11... 12
a12
a22 ...
a13
a23 ...
··· ···
a1n
a2n ...
(5)
a1n a2n a3n · · · ann
把 A 称为二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵. 它是对称矩阵. 显然， 二次型 f(x1, x2, · · · , xn) 的矩阵是惟一的；它的主对角元依次是 x21, x22, · · · , x2n 的系数，它的 (i, j)-元是 xixj 的系数的一半，其中 i ̸= j.