二次型与对称矩阵的标准形
第五章对称矩阵与二次型-
解：f
的矩阵为
A
1 2
2 2
0 2
0 2 3
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1 2 0 AE2 2 2 (1 )(2)(5), 1 ,2,5
0 2 3
1 1时， 2
A1E2
0
2 3 2
0 1 2~0 4 0
0 1 0
022，
x1 x2
2x3 2x3
令 x3
1
，则
x1 x2
2 2
，
1
2
2
3
5
q1
b1 b1
1 5
,
q2
b2 b2
3
4 5
0
5
3 5
返回
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当 3 7时，解方程组A7Ex0，即
8 2 2 x1 0
2
5
4
x2
0
由于
2
8 2 2 2 4 2 5 4 0 9
4 5 x3 0
5 2 9 0
4 1
5 2 1 0
0 1
1 1 1 0
例如，二次型 f x 1 2 x 2 2 x 4 2 2 x 2 x 3 x 2 x 4 的
1 0 0 0
矩阵
A
0
0 0
1
1
1 2
1 0 0
1 2
01
。
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定义2：f k 1y 1 2 k2y2 2 knyn 2称为二次型 的标准形 (其矩阵为对角形)，其中的正 (负)
系数的个数称为二次型的正 (负) 惯性系数。
f x1,x2,x3 =x122x1x2 2x1x34x224x328x2x3
=x122x1 x2 x3 4x224x328x2x3
二次型及标准型
§5 二次型及其标准形在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax（4）的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧+=-=,cos 'sin ',sin 'cos 'θθθθy x y y x x把方程化成标准形.1''22=+ny mx（4）式的左边是一个二次奇次多项式，从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次奇次多项式，使它只含有平方项。
这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。
现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次奇次多项式的化简问题。
定义 8 含有n 个变量nx x x ,,,21的二次奇次函数nn nn nnnnxx a x x a x x a xa x a x a x x x f 1,13113211222222211121222),,,(--+++++++=称为二次型。
取ijjia a +，则ij ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，于是（5）式可写成.1,2221122222212211121122111jinj i ijnnnnn nn nnnnx x a xa x x a x x a xx a x a x x a xx a x x a x a f ∑==++++++++++++= （6）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nyc y c y c x y c y c y c x y c y c y c x nnn n nnnnn22112222112212121111,, 使二次型只含平方项，也就是用（7）式代入（5），能使.2222211nny k y k y k f +++=这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）.如果标准型的系数nkk k ,,,21只在1，-1,0三个数中取值，也就是用（7）代入（5）能使则称上式为二次型的规范形。
二次型及其标准形(精)
f 6 y 25 y
2 1
2 2
●用配方法把二次型化成标准型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 6 x1 x2 8 x 2 x2 x3 5 x
2 1 2 2
2 2 2 解 f ( x1, x2 , x3 ) ( x1 6x1x2 ) 8x2 2x2 x3 5x3 2 2 ( x1 3x2 )2 x2 2x2 x3 5x3
解
1 2 4
1 2 4 x1 A 2 4 2 , x x2 4 2 1 x 3
矩阵A的特征多项式为
2 4 2 4 2 ( 4)( 5)2 1
特 4, 征 1 值 2 3 5
●惯性定律 对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固
定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的 （称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称 为惯性指标）
f xAx
x Py
P正交
f yPAPy yy
1 y 2 y
2 1 2 2
r y
2 r
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值个数 f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值个数 f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r
要使二次型f 经可逆变换x Cy变成标准形， 就是要使C AC成为对角矩阵。
对任意实对称矩阵A, 总有正交矩阵P, 使PAP
任给二次型f xAx, 总有正交变换x Py, 使f 化为 标准形
2 2 f 1 y1 2 y2 2 n yn
其中1 , 2 ,
定理2 任何二次型的标准型都存在。
第五节 二次型及其标准型
a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
x
即 f xT Ax
其中 A 为对称矩阵.
二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就
唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 A
通过正交变换 x Py , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
经过可逆线性变换 x Cy 使得 f k1 y k2 y kn y
2 1 2 2 2 n
将 x Cy 代入 f xT Ax 有 T T T f x T Ax Cy ACy y C AC y.
2 2 2 k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 f ( x, y, z ) 2 x y xz yz 都是二次型. f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
不是二次型. 2 2 f ( x, y ) 2 x y 2 x
f ( x, y ) x 2 y 2 5
且有
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
第五章5-7二次型及其标准型正定二次型
负平方项的个数r-p称为f的负惯性指数
它们差p-(r-p)=2p-r称为f的符号差.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ;
f 叫做对称矩阵 A 的二次型 ; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩 .
2 2 2 例1 写出二次型 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
0 x1 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
都为二次型 .
只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
称为二次型的标准形．
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3 例如
为二次型的标准形.
只含有平方项的二次型 f k1 y k2 y kn y 称为二次型的标准形（或法式）．
6.1二次型及其标准形
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
线性代数二次形及其标准型
f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换 化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半， 的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则 ， 令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 ）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 ， 。 线性代数 的特点 使其易于识别 第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 用满秩线性变换化二次型为标准形 配方法 例2 化二次型
二次型标准化
二次型标准化二次型是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和数学分析中都有着广泛的应用。
在线性代数中，二次型是一个关于一组变量的二次齐次多项式，它可以用矩阵的形式来表示。
在实际问题中，我们常常需要对二次型进行标准化处理，以便更好地理解和应用。
本文将介绍二次型标准化的相关知识和方法。
首先，我们来看一下什么是二次型标准化。
对于一个二次型，我们希望通过一系列的线性变换，将其化为一个特定的标准形式，这个标准形式通常是一个对角矩阵。
这样做的好处是可以简化问题的求解，使得二次型的性质更加清晰明了。
因此，二次型标准化是对二次型进行一系列变换，使其化为一个标准形式的过程。
接下来，我们来介绍二次型标准化的具体方法。
对于一个二次型，我们首先需要找到一个合适的线性变换矩阵，通过这个矩阵的变换，将原始的二次型化为一个对角矩阵。
这个线性变换矩阵通常是通过对称矩阵的特征值和特征向量来确定的。
具体来说，我们可以先求出原始二次型对应的实对称矩阵，然后通过特征值分解或者正交相似对角化的方法，找到一个合适的变换矩阵，使得通过这个矩阵的变换，原始二次型可以化为一个对角矩阵。
在实际操作中，我们可以通过一系列的算法来实现二次型的标准化。
常用的算法包括Jacobi方法、Givens变换等。
这些算法可以有效地求解对称矩阵的特征值和特征向量，从而得到二次型的标准形式。
在计算机科学领域，这些算法也有着广泛的应用，可以帮助我们高效地处理二次型标准化的问题。
最后，我们来总结一下二次型标准化的重要性。
通过对二次型进行标准化处理，可以使得原始的二次型问题更加简化和明了。
标准化后的二次型具有更加清晰的性质和结构，可以更方便地进行求解和分析。
因此，二次型标准化是数学中一个重要的概念和方法，对于理解和应用二次型都具有着重要的意义。
总之，二次型标准化是对二次型进行一系列线性变换，使其化为一个特定的标准形式的过程。
通过特征值和特征向量的分解，我们可以找到一个合适的变换矩阵，将原始二次型化为一个对角矩阵。
第二节 化二次型为标准型
第二节 化二次型为标准形若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式,2222211n n y b y b y b则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵n b b b B 21则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示★ 二次型的标准性★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形★ 例5 ★ 例6★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形★ 例7 ★ 例8★ 二次型与对称矩阵的规范形★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形.定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:(1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk ji j j i i且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得:定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是s P P EP C 21s TT T s T P P AP P P P AC C 2112.由此可见, 对n n 2矩阵E A 施以相应于右乘s P P P21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘Ts T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可逆矩阵C .三、用正交变换化二次型为标准形定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即.),,,(2222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y定理3 任给二次型),(1,ij ji nj i j i ij a a x x a f 总有正交变换,PY X 使f 化为标准形,2222211n n y y y f其中n ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A 的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1) 将二次型表成矩阵形式,AX X f T 求出A ; (2) 求出A 的所有特征值 n ,,,21 ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 n ,,,21 ;(4) 将特征向量n ,,,21 正交化, 单位化, 得n ,,,21 , 记);,,,(21n C(5) 作正交变换CY X ,则得f 的标准形.2222211n n y y y f四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为)1(22112211r r p p p p x d x d x d x d 其中).,,2,1(0r i d i定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注: 把规范形中的正项个数p 称为二次型的正惯性指数,负项个数p r 称为二次型的负惯性指数, r 是二次型的秩.注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形0000000p r pE E定理5 设A 为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵Q C ,，且,Q C 使得0000000pr p TE E AC C ，0000000qr p TE E AQ Q 则 .q p注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。
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y1 y2
O
n
yn
例 利用正交替换法化二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
为标准形. 解对应的
矩阵为A
1 02
2 0
1 2
2 2
23
E A
2 2
02
0 2
3
特征值 1, 2, 5
( 1)( 2)( 5)
2 3
2 3
y2 y3
1
( y1
y2
y3 )
0 0
0 2 0
0 y1
0 5
y2 y3
Q
y12 2 y22 5 y32
例 用正交替换 化二次型
f 2x12 5x22 5x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 2 2 2
为标准形, 并写出所作的线性替换. 解 二次型对应的矩阵为
yn
实对称矩阵 A
存在可逆矩阵C, 使得
CT AC
d1
d2
O
dr
0
O
0
二次型通过非退化线性替换化成标准形 有三种方法: (一) 用配方法化二次型为标准形 (二) 用初等变换法化二次型为标准形
(三)用正交替换法化二次型为标准形
3.用正交替换法 化二次型为标准形
二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X T A X 实对称矩阵A
1 2 0
二次型对应的矩阵为
A
2
2
2
2 2 1
0 2 3
3 3 3
1 0 0
Q
2 3
1
1 3
2
2 3
是正交矩阵，QT
AQ
2
0 0
2 0
0 5
3 3 3
经过正交替换
二次型化为Y T (QTBAQ)Y
x1
2 3
x2 x3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
1 3
y1
1: 1,2 , 3两两正交
1 1 :
2
1
1
0
2
2 5
4
5
1
3
10 :
3
1
2 2
1, 2 ,3 两两正交
QQ将令Q是T它1A0正1们255Q交单331423555矩位1001阵13233化2:100x.：经11000正二10552交次替x2型换化13355y(Xxx为x12y123115452yQy22Y2 Yy01255333324T1)5550Y331y4235T55323(Q1T1323312BA01Q0:xyyy)3123Yyyy123132332
2
令 3
Q
2 3
1 3
2
2
1
1
2 3
1 3
2 3
1 1 3
1 :3
2 1
2
2
:
1 3
1 2
2 Q是正交矩阵
3
QT1 AQ
2 3
3
1 00
5:
0 2 0
1 3
2 2
0
0 5
f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 4 x2 x3
二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X T A X
经过非退化线性替换 X CY
二次型 f 化为:
f d1 y12 d2 y22 ... dr yr2
d1
(
y1
,
y2
,
...,
yn
)
d2 O dr 0 O
CT AC
0
y1 y2
yr yr 1
2 2 2 ( 1)2(
A
2
2
10)1
5
4
4
5
E A 2 5
24
4 5
特征值：1 2 1,3 10
2
2
1 3 1 3 2
1
1
1 :1
1
0
2
1
1
0
,
2
2
0
3
10
1
2
44 55
1
:
2 5 4 5
1
3
1,
2 2
1 2
将
1
,
2
正交化
实对称矩阵A
存在正交矩阵Q,使得 存在正交矩阵Q,使得
1
1
Q1 AQ
2
QT AQ
2
O
O
A的所有特 征值
n定理4.14Fra bibliotekn经过正交替换 X QY 二次型化为：
f Y T BY Y T QT AQ Y
1
1
y12
2
y22
...
n
(
yn2
y1 ,
y2
,
...,
yn
)
标准形
2
B