二次型的标准型
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
6.2 二次型的标准型
y1 = x1 + x2 + x3 , 令 y2 = x 2 + 2 x 3 , y = x3 , 3
X = CY
x1 = y1 − y2 + y3 , 即 x 2 = y2 − 2 y3 , x = y3 , 3
1 −1 1 其中 C = 0 1 − 2 . 0 0 1
其中，r 为 A 的秩， 其中， 的秩， di ≠ 0 . 证明 (略) 6
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
三、二次型的的基本问题
问题一 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形? 二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形 化为标准形 问题二 如何化二次型为标准形 如何化二次型为标准形? 常见的方法 针对二次型 拉格朗日(Lagrange)配方法。 拉格朗日( )配方法。 针对二次型所对应的对称阵 针对二次型所对应的对称阵 二次型所对应的 行列对称初等变换法； 行列对称初等变换法； 正交变换法。 正交变换法。
(3) 将 h(Z) 化为规范型
2 2 2 h( Z ) = z1 − z 2 + 16 z 3 ,
z1 = w1 , w1 = z1 , w2 = 4 z3， 即 z2 = w3 , 令 z = (1 / 4)w , w = z , 3 2 3 2
代入得 h(Z )
A B= I
64748 64 4 4 4 7 8 T Pm L P2T P1T A P1 P2 L Pm
行变换 列变换
Λ . I P1 P2 L Pm P 14 4 2 3
列变换
17
第 六 章 二 次 型
§6.2 二次型的标准形
5.2 二次型的标准形
19
例5 已知二次型
f 5 x12 5 x22 Cx32 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
的秩为2.（1）求：参数C； （2）将二次型化为标准型，并求出正交变换矩阵. 解 （1）写出二次型 f 的矩阵,
5 1 3 A 1 5 3 3 3 C
0 1 0 1 ( 1)(－3) 0 1
2
1
解之得特征值 1 1 E－A X , 得基础解系
X1 ( 1,0, 1)T
15
当2 3时,由齐次线性方程组 3E－A X 0, 得基础解系 当3 0时,由齐次线性方程组 0 E－A X 0, 得基础解系
则可逆的线性变换X = CY将二次型 f 化为标准形
2 2 2 f X T AX Y T C T ACY y1 2 y2 3 y3
例2 用配方法化二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
8
解 f 中没有平方项,为出现平方项,先作可逆线性 变换，令
x1 y1 y2 x2 y1 y2 y3 x3
1 1 0 C1 1 -1 0 , 0 0 1
用矩阵表示为X = C1Y，其中
得
2 f 2 y12 2 y2 4 y1 y3 8 y2 y3
§5.2 二次型的标准形
一.配方法
二.正交变换法
三.实二次型的规范形
四.小结与思考题
1
要使二次型 f X T AX 经非奇异线性变换 X = CY 变成只含有平方项的标准形，这就是要使
二次型标准型
二次型标准型二次型是高等数学中的一个重要概念，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
在矩阵和线性代数的学习中，我们经常会接触到二次型，因此了解二次型的标准型是非常重要的。
本文将详细介绍二次型标准型的相关概念和性质，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下二次型的定义。
二次型是指含有平方项的多项式，通常表示为。
\[Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{ij}x_ix_j\]其中，\(a_{ij}\)为常数，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)为变量。
二次型的标准型是指通过合适的线性变换，将原二次型化为一个只含平方项的形式。
具体来说，对于任意的二次型，都存在一组新的变量，通过线性变换后，原二次型可以化为标准型。
标准型的形式为。
\[k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ny_n^2\]其中，\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)为常数，\(y_1,y_2,\cdots,y_n\)为新的变量。
接下来，我们来具体介绍如何将一个二次型化为标准型。
首先，我们需要找到一个合适的线性变换矩阵，通过这个矩阵的作用，将原二次型化为标准型。
具体的变换方法可以通过求解线性代数方程组来得到。
在这个过程中，我们会用到矩阵的特征值和特征向量的相关知识，因此对于矩阵的理解和运用是非常重要的。
在实际的计算过程中，我们可以通过对称矩阵的对角化来得到二次型的标准型。
对称矩阵的对角化是一个非常重要的结果，它保证了对称矩阵可以通过合适的相似变换化为对角矩阵，从而简化了二次型标准型的计算过程。
除了对称矩阵的对角化外，我们还可以通过配方法将二次型化为标准型。
配方法是一种常用的技巧，通过合适的配方法，我们可以将二次型中的平方项配方成完全平方式，从而更容易地化为标准型。
二次型的标准型正交变换和非正交变换的关系
二次型的标准型正交变换和非正交变换的关系二次型的标准型正交变换和非正交变换是两种不同的二次型变换方法。
正交变换是二次型标准型的一-种变换方式，其优点是可以将二次型矩阵化为对角矩阵，同时保持矩阵的正交性。
具体来说，对于任意-个二次型，存在正交矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，其中A是二次型的矩阵。
这种变换方法主要用于实对称矩阵的对角化，因为实对称矩阵可以找到一个正交矩阵，使得该正交矩阵的转置矩阵等于该实对称矩阵的送矩阵。
二次型的非正交变换也是二次型标准型的一种变换方式，但与正交变换不同，它不要求保持矩阵的正交性。
非正交变换可以将二次型的矩阵化为对角矩阵。
但与正交变换不同的是。
它不保持矩阵的正交性。
因此，非正交变换可以用于任何二次型的标准型化。
而不仅仅适用于实对称矩阵。
总的来说，二次型的标准型正交变换和非正交变换都是将二次型矩阵化为对角矩阵的方法，但它们所适用的场合和要求不同。
正交变换主要用于实对称矩阵的对角化，而非正交变换则可以用于任何二次型的标准型化。
二次型的标准型
二次型的标准型
二次型的标准型
本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二 次型可以用矩阵的乘积形式表示，令
则二次型就可以写成下面的形式：
f(x1,x2,…,xn)=xTAx
（7-10）
其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.
二次型的标准型
根据式（7-10），n个变量的实二次型 f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称 矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩 r(A)定义为二次型 f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来， 对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以 得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其 中x=(x1,x2,…,xn)T.
【例7-2】
二次型的标准型
在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式
（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换
x=Py
（7-11
将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型 f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy （7-12）
其中D=diag(d1,d2,…,dn) 把式（7-11）代入式（7-10），得
f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)
=yT(PTAP)y
二次型的标准型
故若能找到可逆矩阵P，使 PTAP=D （7-13）
其中,D为对角阵，则得到二次型的 标准型.这就是说，化实二次型为标准型 的问题可归结成上述由式（7-13）表出 的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩 阵相合于实对角阵的问题.
二次型的标准型
定义7-4
对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使
B=PTAP
二次型化为标准规定型的三种方法
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理 对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
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§2 标准形
一、二次型的标准型
二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
2
222211n
n x d x d x d +++ . （1） 定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1）的形式.
易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，
().000000
,,,212
1212
222211⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=+++n n n n
n x x x d d d x x x x d x d x d
反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理1可以叙述为：
定理2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理2也就是说，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使
AC C '
成对角矩阵.
二次型),,,(21n x x x f 经过非退化线性替换所变成的平方和称为
),,,(21n x x x f 的标准形.
例 化二次型
32312121622),,,(x x x x x x x x x f n -+=
为标准形.
二、配方法
1.,011≠a 这时的变量替换为
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧==-=∑=-.
,
,
222
11
1111n n n
j j j y x y x y a a y x 令
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--=--100010
111
11121111
n a a a a C , 则上述变量替换相应于合同变换
11AC C A '
→
为计算11AC C '，可令
()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛==nn n n n a a a a A a a 22221112,,,α.
于是A 和1C 可写成分块矩阵
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛'
=--11
1111111,n E O a C A a A ααα, 这里α'为α的转置，1-n E 为1-n 级单位矩阵.这样
.111
1
1111111
11
11111111
1111111
1111⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛'-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛'-='
--------αααααααααa A O
O
a E O a a A O a E O
a A a E a O AC C n n n
矩阵αα'--1
111a A 是一个)1()1(-⨯-n n 对称矩阵，由归纳法假定，有
)1()1(-⨯-n n 可逆矩阵G 使
D G a A G ='-'-)(1
111αα
为对角形，令
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=G O O C 12,
于是
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'='
'-D O
O a G O O a A O O
a G O O C AC C C 11
111111211211αα, 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是
21C C C =.
2. 011=a 但只有一个0≠ii a .
这时，只要把A 的第一行与第i 行互换，再把第一列与第i 列互换，就归结成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取
列
i i P C ⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛==1000000100
00000001000100
000010001000
),1(1 i 行
显然
),1(),1(i P i P ='.
矩阵
),1(),1(11i AP i P AC C ='
就是把A 的第一行与第i 行互换，再把第一列与第i 列互换.因此，11AC C '
左上角
第一个元素就是ii a ，这样就归结到第一种情形.
3. ,,,2,1,0n i a ii ==但有一.1,01≠≠j a j 与上一情形类似，作合同变换
),2(),2(j AP j P '
可以把j a 1搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10000100001100111 C ,
于是11AC C '
的左上角就是
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-1212200
2a a , 也就归结到第一种情形.
4. .,,2,1,01n j a j ==
由对称性，.,,2,1,1n j a j =也全为零.于是
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=10
A O
O A , 1A 是1-n 级对称矩阵.由归纳法假定，有)1()1(-⨯-n n 可逆矩阵G 使
D G A G ='1
成对角形.取
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=G O O C 1，
AC C '就成对角形.
例 化二次型
323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=
成标准形.。