2015年山东省高考理科数学真题试卷(有答案)

2015年山东省高考数学试题解析word版

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）
（A）4.56%（B）13.59%（C ）27.18%（D）31.74%
【解析】选B.用表示零件的长度，根据正态分布的性质得：
（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
，总有指数函数，所以成立时，令，只需考虑
及即分三类：和及（）考虑.
当即时，选项A、B都排除，只有时满足题意.
当时，，此时；
当时，，若，则时 .
故的取值范围是 .
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：
C1 0 =40
.
令，得；
令，得 .
所以的单增区间为，单减区间为 .
（Ⅱ）因为，且为锐角三角形，所以 .
由，，得，所以，所以 .
即面积的最大值为 .
(17) (本小题满分12分)
如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点。
（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE,∠BAC= ,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

2015年山东省高考数学试卷理科-真题

2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a25．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣37．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选：A．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【解答】解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：赋值：n=1，T=1，判断1＜3，执行T=1+=1+=1+，n=2；判断2＜3，执行T=+==，n=3；判断3＜3不成立，算法结束，输出T=．故答案为：．【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则k AH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；△DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n=3n﹣1+3，﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X0﹣11PEX=0×+（﹣1）×+1×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0可得m2≤1+4k2，②由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

2015年高考理科数学山东卷

0 1 C3 +C1 3 =4 ； 0 2 2 C5 +C1 5 +C5 =4 ； 1 2 3 3 C0 7 +C 7 +C 7 +C 7 =4 ；
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式：
x y≥0, 6．已知 x，y 满足约束条件 x y≤2, 若 z ax y 的最大值为 4，则 a= y≥0.
-------------在 --------------------此 --------------------卷 --------------------上 --------------------答 --------------------题 --------------------无 --------------------效 ---------------
（ 1,4） B．
（2,3） C．
（2, 4） D．
（ D． 1 i （））
z 2．若复数 z 满足 =i，其中 i 为虚数单位，则 z= 1 i
A． 1 i B． 1 i C． 1 i
9．一条光线从点（ 2 ， 3 ）射出，经 y 轴反射后与圆 ( x 3)2 ( y 2) 2 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为 A．或（） 14．已知函数 f ( x) a x b(a 0, a 1) 的定义域和值域都是 [1,0] ，则 a b _______.
பைடு நூலகம்
x2 y 2 3 ，左、右焦 2 1(a b 0) 的离心率为 2 2 a b
绝密★启用前
5．不等式 | x 1 | | x 5 | 2 的解集是 A． (, 4) B． (,1) C． (1, 4) D． (1,5)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(山东卷)

（A）（1，3）（B）（1，4）
（C）（2，3）
【答案】C
【解析】因为 A x x2 4x 3 0 x 1 x 3 ，
（D）（2，4）
所以 A B x 1 x 3 x 2 x 4 x 2 x 3.
故选：C. 【考点定位】1、一元二次不等式；2、集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的概念与运算，利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集，本题属基础题，要求学生最基本的算运求解能力.
（9）【2015 高考山东，理 9】一条光线从点 2, 3 射出，经 y 轴反射后与圆 x 32 y 22 1相切，
则反射光线所在直线的斜率为（）
（A） 5 或 3 35
（B） 3 或 2 23
【答案】D
（C） 5 或 4 45
（D） 4 或 3 34
【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力.
第Ⅱ卷（共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. （11）【2015 高考山东，理 11】观察下列各式：
C10 40 C30 C31 41
C50 C51 C52 42;
C70 C71 C72 C73 43
„„
照此规律，当 nN 时，
C0 2n1
【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用. 【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注

2015年高考山东省理科数学(word版).doc

2015年高考山东省理科数学一、填空题1. 已知集合}{2430A x x x =-+<，}{24B x x =<<，则A B ⋂=A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,4 2. 若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z = A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+ 3. 要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图象A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位4. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o，则BD CD =u u u r u u u rgA. 232a -B. 234a -C. 234aD. 232a 5. 不等式152x x ---<的解集是A. (),4-∞B. (),1-∞C. ()1,4D. ()1,56. 已知满足,x y 约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =A. 3B. 2C. 2-D. 3- 7. 在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD BC P ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A. 23πB. 43πC. 53π D. 2π8. 已知某批零件的误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（附若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则00()68.26P μσζμσ-<<+=，00(22)95.44P μσζμσ-<<+=，）A. 004.56B. 0013.59C. 0027.18D. 0031.749. 一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A. 5335--或 B. 3223--或 C. 5445--或 D. 4334--或 10.设函数31,1,()2, 1.xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []0,1C. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1,+∞ 二、填空题11. 观察下列各式：0014C =；011334C C +=；01225554C C C ++=； 0123377774C C C C +++=；L L照此规律，当*n N ∈时012121212121____n n n n n C C C C -----++++=L12. 若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值是_________ 13. 执行右边的程序框图，输出的T 的值为________14. 已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则_____a b +=15. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p +>交于点,,.O A B 若OAB ∆的垂心为2C 焦点，则1C 的离心率为______三、解答题16. 设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（1）求()f x 的单调区间（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()02Af =，1a =，求ABC ∆面积的最大值 17．如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，,G H 分别为,AC BC 的中点（1）求证：BD FGH P 平面（2）若⊥CF 平面ABC ，AB ⊥BC ，CF DE =，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233nn S =+（1）求{}n a 的通项公式（2）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T19. 设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”（2）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列与数学期望EX20. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是12,F F .以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆AE 与,A B 两点，射线PO 交椭圆E 与点Q（i ）求OQ OP的值（ii ）求ABQ ∆面积的最大值21. 设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈ （1）讨论()f x 函数级值点的个数，并说明理由（2）若0,()0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围。

2015年山东省高考数学试卷理科-高考真题

2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a25．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣37．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5）【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选：A．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选：C．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【解答】解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：赋值：n=1，T=1，判断1＜3，执行T=1+=1+=1+，n=2；判断2＜3，执行T=+==，n=3；判断3＜3不成立，算法结束，输出T=．故答案为：．【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），设垂心H（0，），则k AH==，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．三、解答题16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；△DEF∽△ABC，又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n=3n﹣1+3，﹣1此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X0﹣11PEX=0×+（﹣1）×+1×=．【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0可得m2≤1+4k2，②由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。

2015年高考真题：理科数学(山东卷)试卷(含答案)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合A=2{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<，则AB =(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)解析：2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x AB =-+<=<<=,答案选(C)(2) 若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z = (A)1i - (B) 1i + (C) 1i -- (D) 1i -+解析：2(1)1,1z i i i i i z i =-=-+=+=-，答案选(A) （3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像(A)向左平移12π个单位 (B) 向右平移12π个单位(C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π个单位解析：sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位答案选(B)(4)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅=(A)232a - (B) 234a - (C)234a (D) 232a 解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，答案选(D)（5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是(A)(,4)-∞ (B) (,1)-∞ (C) (1,4) (D) (1,5)解析：当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立.综上4x <，答案选(A)（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =(A)3 (B) 2 (C) 2- (D) 3-解析：由z a x y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >；答案选(B) 7.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(A)23π (B) 43π (C) 53π (D) 2π 解析：2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，答案选(C)8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%解析：1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，答案选(B) （9）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为(A)53-或35- (B) 32-或32- (C) 54-或45- (D) 43-或34- 解析：(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，则1,|55|d k ==+=解得43k =-或34-，答案选(D)（10）设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是(A)2[,1]3(B) [0,1] (C) 2[,)3+∞ (D) [1,)+∞解析：由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选(C) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）观察下列各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++= 照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .解析：14n -.具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= （12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 . 解析：“[0,],t a n 4xx mπ∀∈≤”是真命题，则tan14m π≥=，于是实数m 的最小值为1.（13）执行右边的程序框图，输出的T解析：11200111123T xdx x dx =++=++=⎰⎰（14）已知函数()xf x a b =+(0,a a >≠和值域都是[1,0]-，则a b += .解析：当1a >时101a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时101a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得2,b =-则13222a b +=-=-. (15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 . 解析：22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AF pb pa a k pb b a-==，即2222222593,,.442b c a b c e a a a a +===== 三、解答题：本大题共6小题，共75分.（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若()0,1,2Af a ==求ABC ∆面积的最大值. 解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈. （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==,6A π=,而1,a =由余弦定理可得2212cos2(26b c bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即2bc ≤=+111sin sin 2264ABC S bc A bc bc π∆===≤故ABC ∆.（17）（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF-2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点.（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,,AB BC CF DE ⊥=∠求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小. 解：（Ⅰ）证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T. 在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =则2AC DF =而G 是AC 的中点，DF//AC ，则//DF GC ,所以四边形DGCF 是平行四边形,T 是DC 的中点，又在BDC ∆,H 是BC 的中点，则TH//DB ，又BD⊄平面FGH，TH⊂平面FGH，故//BD（Ⅱ）由CF⊥平面ABC,可得DG⊥平面ABC而则GB AC⊥,于是,,GB GA GC两两垂直，以点G为坐标原点，,,GA GB GC所在的直线分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设2AB=,则1,DE CF AC AG====(((22B C F H-则平面ACFD的一个法向量为1(0,1,0)n=，设平面FGH的法向量为2222(,,)n x y z=，则22n GHn GF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222222x yz-=⎪⎨⎪+=⎩，取21x=，则221,y z==2(1,1n=，121cos,2n n<>==，故平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60.（18）（本小题满分12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知23 3.nnS=+（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足3logn n na b a=，求数列{}nb的前n项和nT.解：（Ⅰ）由233nnS=+可得111(33)32a S==+=，11111(33)(33)3(2)22n n nn n na S S n---=-=+-+=≥而11133a-=≠，则13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）由3logn n na b a=及13,1,3, 1.n nnan-=⎧=⎨>⎩可得311,1,log31, 1.3nnnnnabnan-⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩2311123133333n nnT--=+++++.2234111123213333333n n nn nT---=++++++2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823n n n n n n n nnn n T n n n n ---=+-++++--=-+++++----=+-=+--⋅-+=-⋅ 113211243n n n T -+=-⋅19（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX. 解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345；（Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-=====0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=(20)(本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值.解析：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为可知c e a ==，而222a b c =+则2,a b c ==，左、右焦点分别是12(,0),,0)F F ,圆1F：22()9,x y +=圆2F：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<<，交点，在椭圆C 上，则224134b b =⋅，整理得424510b b -+=，解得21,b =214b =（舍去）故21,b =24,a =椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为221164x y +=，设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<，代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==. （ⅱ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-= 2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->||AB =211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅=+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立.而直线y kx m =+与椭圆C ：2214x y +=有交点P ，则 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解，即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥，则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则S ∆==(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆=ABQ ∆面积最大值为12. （21）（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-，当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点. 若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <，且1212x x +=-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增. 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减. 所以函数只有一个极值点。

2015年-2018年山东高考理科历年数学真题及答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。

得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，养殖收入增加一倍新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。

圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A.5B.6C.7D.810.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB,AC 。

△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为123,,p p p ,则（）17(12分)p的值。

已知现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学2016年高考理科数学试卷（山东卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B). 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【答案】B考点：注意共轭复数的概念.【答案】C【解析】这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D考点：频率分布直方图（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为【答案】C考点：根据三视图求几何体的体积.（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：直线a与直线b相交,则α，β一定相交,若α，β相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.【答案】B考点：平面向量的数量积考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.【答案】3【解析】试题分析：第一次循环：a=1,b=8；第二次循环：a=3,b=6；第三次循环：a=6,b=3；满足条件，结束循环，此时，i=3.考点：循环结构的程序框图E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.【答案】2考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1/2考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）解法一：解法二：考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（本小题满分12分）亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得X 0 1 2 3 4 6 P 11445722514411251214综上所述，考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. （21）（本小题满分14分）考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.2015年山东高考理科数学答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A I B=（A ）（1，3）（B ）（1，4）（C ）（2，3）（D ）（2，4）【答案】C 【解析】（2）若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数为单位，则Z= （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i 【答案】A【解析】高三网（3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位【答案】B 【解析】（4）已知ABCD 的边长为a，∠ABC=60o ,则·＝（A）- （B）- （C）（D）【答案】D【解析】（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【解析】（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】（7）在梯形ABCD中，ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A）（B）（C）（D）2【答案】C【解析】（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%【答案】B【解析】（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B或（C）或（D）或【答案】D【解析】（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a取值范围是（）（A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1, +【答案】C【解析】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015高考真题山东卷理科数学真题答案解读

绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案卸载试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合A={X|X²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=（A）（1，3）（B）（1，4）（C）（2，3）（D）（2，4）【答案】C【解析】（2）若复数Z满足1Zii=-，其中i为虚数为单位，则Z=（A）1-i （B）1+i （C）-1-i （D）-1+i 【答案】A【解析】（3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位【答案】B 【解析】（4）已知ABCD 的边长为a ，∠ABC=60o ,则·＝（A ）-（B ）- （C ）（D ）【答案】D【解析】（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【解析】（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】（7）在梯形ABCD中，ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A）（B）（C）（D）2【答案】C【解析】（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%【答案】B【解析】（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B或（C）或（D）或【答案】D【解析】（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a取值范围是（）（A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1, +【答案】C【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年全国各地高考数学试题汇总山东省高考理科数学试题

2015年全国各地高考山东省高考理科数学试题及解析一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2﹣4x＋3＜0},B＝{x|2＜x＜4},则A∩B＝()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)2.(5分)若复数z满足＝i,其中i为虚数单位,则z＝()A.1﹣iB.1＋iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i3.(5分)要得到函数y＝sin(4x﹣)的图象,只需要将函数y＝sin4x的图象()个单位.A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移4.(5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60°,则＝()A.﹣a2B.﹣a2C.a2D.a25.(5分)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是()A.(﹣∞,4)B.(﹣∞,1)C.(1,4)D.(1,5)6.(5分)已知x,y满足约束条件,若z＝ax＋y的最大值为4,则a＝()A.3B.2C.﹣2D.﹣37.(5分)在梯形ABCD中,∠ABC＝,AD∥BC,BC＝2AD＝2AB＝2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.2π8.(5分)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%,P(μ﹣2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y﹣2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.﹣或﹣B.﹣或﹣C.﹣或﹣D.﹣或﹣10.(5分)设函数f(x)＝,则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.[,1]B.[0,1]C.[,＋∞)D.[1,＋∞)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)观察下列各式：C＝40;C＋C＝41;C＋C＋C＝42;C＋C＋C＋C＝43;…照此规律,当n∈N*时,C＋C＋C＋…＋C＝.12.(5分)若“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为.13.(5分)执行右边的程序框图,输出的T的值为.14.(5分)已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a＋b ＝.15.(5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1：﹣＝1(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.三、解答题16.(12分)设f(x)＝sinxcosx﹣cos2(x＋).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()＝0,a＝1,求△ABC面积的最大值.17.(12分)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(Ⅰ)求证：BD∥平面FGH;(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF＝DE,∠BAC＝45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知2S n＝3n＋3.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n},满足a n b n＝log3a n,求{b n}的前n项和T n.19.(12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.20.(13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆E：＋＝1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求||的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.21.(14分)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2﹣x),其中a∈R,(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(Ⅱ)若∀x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.2015年全国各地高考山东省高考理科数学试题及解析参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2﹣4x＋3＜0},B＝{x|2＜x＜4},则A∩B＝()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【试题分析】求出集合A,然后求出两个集合的交集.【试题解答】解：集合A＝{x|x2﹣4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3},B＝{x|2＜x＜4},则A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3).故选：C.【试题点评】本题考查集合的交集的求法,考查计算能力.2.(5分)若复数z满足＝i,其中i为虚数单位,则z＝()A.1﹣iB.1＋iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i【试题分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.【试题解答】解：＝i,则＝i(1﹣i)＝1＋i,可得z＝1﹣i.故选：A.【试题点评】本题考查复数的基本运算,基本知识的考查.3.(5分)要得到函数y＝sin(4x﹣)的图象,只需要将函数y＝sin4x的图象()个单位.A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移【试题分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.【试题解答】解：因为函数y＝sin(4x﹣)＝sin[4(x﹣)],要得到函数y＝sin(4x﹣)的图象,只需将函数y＝sin4x的图象向右平移单位.故选：B.【试题点评】本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中x的系数是易错点.4.(5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60°,则＝()A.﹣a2B.﹣a2C.a2D.a2【试题分析】由已知可求,,根据＝()•＝代入可求【试题解答】解：∵菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60°,∴＝a2,＝a×a×cos60°＝,则＝()•＝＝故选：D.【试题点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算,属于基础试题5.(5分)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是()A.(﹣∞,4)B.(﹣∞,1)C.(1,4)D.(1,5)【试题分析】运用零点分区间,求出零点为1,5,讨论①当x＜1,②当1≤x≤5,③当x＞5,分别去掉绝对值,解不等式,最后求并集即可.【试题解答】解：①当x＜1,不等式即为﹣x＋1＋x﹣5＜2,即﹣4＜2成立,故x＜1;②当1≤x≤5,不等式即为x﹣1＋x﹣5＜2,得x＜4,故1≤x＜4;③当x＞5,x﹣1﹣x＋5＜2,即4＜2不成立,故x∈∅.综上知解集为(﹣∞,4).故选：A.【试题点评】本题考查绝对值不等式的解法,主要考查运用零点分区间的方法,考查运算能力,属于中档题.6.(5分)已知x,y满足约束条件,若z＝ax＋y的最大值为4,则a＝()A.3B.2C.﹣2D.﹣3【试题分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【试题解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).则A(2,0),B(1,1),若z＝ax＋y过A时取得最大值为4,则2a＝4,解得a＝2,此时,目标函数为z＝2x＋y,即y＝﹣2x＋z,平移直线y＝﹣2x＋z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,若z＝ax＋y过B时取得最大值为4,则a＋1＝4,解得a＝3,此时,目标函数为z＝3x＋y,即y＝﹣3x＋z,平移直线y＝﹣3x＋z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a＝2,故选：B.【试题点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.7.(5分)在梯形ABCD中,∠ABC＝,AD∥BC,BC＝2AD＝2AB＝2,将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.2π【试题分析】画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可.【试题解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1,高为2的圆柱,挖去一个相同底面高为1的倒圆锥,几何体的体积为：＝.故选：C.【试题点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观图是解题的关键.8.(5分)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%,P(μ﹣2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%【试题分析】由题意P(﹣3＜ξ＜3)＝68.26%,P(﹣6＜ξ＜6)＝95.44%,可得P(3＜ξ＜6)＝(95.44%﹣68.26%),即可得出结论.【试题解答】解：由题意P(﹣3＜ξ＜3)＝68.26%,P(﹣6＜ξ＜6)＝95.44%,所以P(3＜ξ＜6)＝(95.44%﹣68.26%)＝13.59%.故选：B.【试题点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.﹣或﹣B.﹣或﹣C.﹣或﹣D.﹣或﹣【试题分析】点A(﹣2,﹣3)关于y 轴的对称点为A′(2,﹣3),可设反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k(x ﹣2),利用直线与圆相切的性质即可得出.【试题解答】解：点A(﹣2,﹣3)关于y 轴的对称点为A′(2,﹣3),故可设反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k(x ﹣2),化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0. ∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y ﹣2)2＝1相切,∴圆心(﹣3,2)到直线的距离d ＝＝1,化为24k 2＋50k ＋24＝0,∴k ＝或﹣. 故选：D.【试题点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点,考查了计算能力,属于中档题.10.(5分)设函数f(x)＝,则满足f(f(a))＝2f(a)的a 的取值范围是( )A.[,1]B.[0,1]C.[,＋∞)D.[1,＋∞)【试题分析】令f(a)＝t,则f(t)＝2t ,讨论t ＜1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解,讨论t ≥1时,以及a ＜1,a ≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.【试题解答】解：令f(a)＝t,则f(t)＝2t ,当t ＜1时,3t ﹣1＝2t ,由g(t)＝3t ﹣1﹣2t 的导数为g′(t)＝3﹣2t ln2,在t＜1时,g′(t)＞0,g(t)在(﹣∞,1)递增,即有g(t)＜g(1)＝0,则方程3t﹣1＝2t无解;当t≥1时,2t＝2t成立,由f(a)≥1,即3a﹣1≥1,解得a≥,且a＜1;或a≥1,2a≥1解得a≥0,即为a≥1.综上可得a的范围是a≥.故选：C.【试题点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)观察下列各式：C＝40;C＋C＝41;C＋C＋C＝42;C＋C＋C＋C＝43;…照此规律,当n∈N*时,C＋C＋C＋…＋C＝4n﹣1.【试题分析】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.【试题解答】解：因为C＝40;C＋C＝41;C＋C＋C＝42;C＋C＋C＋C＝43;…照此规律,可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同,可得：当n∈N*时,C＋C＋C＋…＋C＝4n﹣1;故答案为：4n﹣1.【试题点评】本题考查归纳推理的应用,找出规律是解题的关键.12.(5分)若“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为1.【试题分析】求出正切函数的最大值,即可得到m的范围.【试题解答】解：“∀x∈[0,],tanx≤m”是真命题,可得tanx≤1,所以,m≥1,实数m的最小值为：1.故答案为：1.【试题点评】本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力.13.(5分)执行右边的程序框图,输出的T的值为.【试题分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【试题解答】解：赋值：n＝1,T＝1,判断1＜3,执行T＝1＋＝1＋＝1＋,n＝2;判断2＜3,执行T＝＋＝＝,n＝3;判断3＜3不成立,算法结束,输出T＝.故答案为：.【试题点评】本题考查程序框图,考查定积分的求法,是基础题.14.(5分)已知函数f(x)＝a x＋b(a＞0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a＋b＝.【试题分析】对a进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组,解得答案.【试题解答】解：当a＞1时,函数f(x)＝a x＋b在定义域上是增函数,所以,解得b＝﹣1,＝0不符合题意舍去;当0＜a＜1时,函数f(x)＝a x＋b在定义域上是减函数,所以,解得b＝﹣2,a＝,综上a＋b＝,故答案为：【试题点评】本题考查指数函数的单调性的应用,以及分类讨论思想,属于中档题.15.(5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1：﹣＝1(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.【试题分析】求出A的坐标,可得＝,利用△OAB的垂心为C 2的焦点,可得×(﹣)＝﹣1,由此可求C1的离心率.【试题解答】解：双曲线C1：﹣＝1(a＞0,b＞0)的渐近线方程为y＝±x,与抛物线C2：x2＝2py联立,可得x＝0或x＝±,取A(,),设垂心H(0,),则k AH＝＝,∵△OAB的垂心为C2的焦点,∴×(﹣)＝﹣1,∴5a2＝4b2,∴5a2＝4(c2﹣a2)∴e＝＝.故答案为：.【试题点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,确定A的坐标是关键.三、解答题16.(12分)设f(x)＝sinxcosx﹣cos2(x＋).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()＝0,a＝1,求△ABC面积的最大值.【试题分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)＝sin2x﹣,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得单调递减区间.(Ⅱ)由f()＝sinA﹣＝0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得：bc,且当b＝c 时等号成立,从而可求bcsinA≤,从而得解.【试题解答】解：(Ⅰ)由题意可知,f(x)＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝sin2x﹣由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得：k≤x≤k,k∈Z;由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得：k≤x≤k,k∈Z;所以f(x)的单调递增区间是[k,k],(k∈Z);单调递减区间是：[k,k],(k∈Z);(Ⅱ)由f()＝sinA﹣＝0,可得sinA＝,由题意知A为锐角,所以cosA＝,由余弦定理a2＝b2＋c2﹣2bccosA,可得：1＋bc＝b2＋c2≥2bc,即bc,且当b＝c时等号成立.因此S＝bcsinA≤,所以△ABC面积的最大值为.【试题点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本知识的考查.17.(12分)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点. (Ⅰ)求证：BD∥平面FGH;(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF＝DE,∠BAC＝45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.【试题分析】(Ⅰ)根据AB＝2DE便可得到BC＝2EF,从而可以得出四边形EFHB为平行四边形,从而得到BE∥HF,便有BE∥平面FGH,再证明DE∥平面FGH,从而得到平面BDE∥平面FGH,从而BD∥平面FGH;(Ⅱ)连接HE,根据条件能够说明HC,HG,HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明为平面ACFD的一条法向量,设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量,设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ＝即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.【试题解答】解：(Ⅰ)证明：根据已知条件,DF∥AC,EF∥BC,DE∥AB;△DEF∽△ABC,又AB＝2DE,∴BC＝2EF＝2BH,∴四边形EFHB为平行四边形;∴BE∥HF,HF⊂平面FGH,BE⊄平面FGH;∴BE∥平面FGH;同样,因为GH为△ABC中位线,∴GH∥AB;又DE∥AB;∴DE∥GH;∴DE∥平面FGH,DE∩BE＝E;∴平面BDE∥平面FGH,BD⊂平面BDE;∴BD∥平面FGH;(Ⅱ)连接HE,则HE∥CF;∵CF⊥平面ABC;∴HE⊥平面ABC,并且HG⊥HC;∴HC,HG,HE三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设HC＝1,则：H(0,0,0),G(0,1,0),F(1,0,1),B(﹣1,0,0);连接BG,根据已知条件BA＝BC,G为AC中点;∴BG⊥AC;又CF⊥平面ABC,BG⊂平面ABC;∴BG⊥CF,AC∩CF＝C;∴BG⊥平面ACFD;∴向量为平面ACFD的法向量;设平面FGH的法向量为,则：,取z＝1,则：;设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ,则：cosθ＝|cos|＝;∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°.【试题点评】考查棱台的定义,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理及其性质,线面垂直的性质及线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角的方法,平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标公式,平面和平面所成角的定义.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知2S n＝3n＋3.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n},满足a n b n＝log3a n,求{b n}的前n项和T n.【试题分析】(Ⅰ)利用2S n＝3n＋3,可求得a1＝3;当n＞1时,2S n＝3n﹣1＋3,两式相﹣1,可求得a n＝3n﹣1,从而可得{a n}的通项公式;减2a n＝2S n﹣2S n﹣1(Ⅱ)依题意,a n b n＝log3a n,可得b1＝,当n＞1时,b n＝31﹣n•log33n﹣1＝(n﹣1)×31﹣n,于是可求得T1＝b1＝;当n＞1时,T n＝b1＋b2＋…＋b n＝＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n﹣1)×31﹣n),利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n.【试题解答】解：(Ⅰ)因为2S n＝3n＋3,所以2a1＝31＋3＝6,故a1＝3,当n＞1时,2S n＝3n﹣1＋3,﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1,即a n＝3n﹣1,此时,2a n＝2S n﹣2S n﹣1所以a n＝.(Ⅱ)因为a n b n＝log3a n,所以b1＝,当n＞1时,b n＝31﹣n•log33n﹣1＝(n﹣1)×31﹣n,所以T1＝b1＝;当n＞1时,T n＝b1＋b2＋…＋b n＝＋(1×3﹣1＋2×3﹣2＋…＋(n﹣1)×31﹣n),所以3T n＝1＋(1×30＋2×3﹣1＋3×3﹣2＋…＋(n﹣1)×32﹣n),两式相减得：2T n＝＋(30＋3﹣1＋3﹣2＋…＋32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)＝＋﹣(n ﹣1)×31﹣n＝﹣,所以T n＝﹣,经检验,n＝1时也适合,综上可得T n＝﹣.【试题点评】本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考查“错位相减法”求和,考查分析、运算能力,属于中档题.19.(12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.【试题分析】(Ⅰ)根据“三位递增数”的定义,即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)随机变量X的取值为：0,﹣1,1分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.【试题解答】解：(Ⅰ)根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125,135,145,235,245,345;(Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为,随机变量X的取值为：0,﹣1,1,当X＝0时,可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合,即;当X＝﹣1时,首先选择5,由于不能被10整除,因此不能选择数字2,4,6,8,可以从1,3,7,9中选择两个数字和5进行组合,即;当X＝1时,有两种组合方式,第一种方案：首先选5,然后从2,4,6,8中选择2个数字和5进行组合,即;第二种方案：首先选5,然后从2,4,6,8中选择1个数字,再从1,3,7,9中选择1个数字,最后把3个数字进行组合,即.则P(X＝0)＝＝,P(X＝﹣1)＝＝,P(X＝1)＝＝,EX＝0×＋(﹣1)×＋1×＝.【试题点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,求出对应的概率是解决本题的关键.20.(13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆E：＋＝1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求||的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.【试题分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,计算即可得到b,进而得到椭圆C的方程;(Ⅱ)求得椭圆E的方程,(i)设P(x0,y0),||＝λ,求得Q的坐标,分别代入椭圆C,E的方程,化简整理,即可得到所求值;(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y＝kx＋m代入椭圆E的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线y＝kx＋m代入椭圆C的方程,由判别式大于0,可得t的范围,结合二次函数的最值,又△ABQ的面积为3S,即可得到所求的最大值.【试题解答】解：(Ⅰ)由题意可知,PF1＋PF2＝2a＝4,可得a＝2,又＝,a2﹣c2＝b2,可得b＝1,即有椭圆C的方程为＋y2＝1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为＋＝1,(i)设P(x0,y0),||＝λ,由题意可知,Q(﹣λx0,﹣λy0),由于＋y02＝1,又＋＝1,即(＋y02)＝1,所以λ＝2,即||＝2;(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y＝kx＋m代入椭圆E的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2﹣16＝0,由△＞0,可得m2＜4＋16k2,①则有x1＋x2＝﹣,x1x2＝,所以|x1﹣x2|＝,由直线y＝kx＋m与y轴交于(0,m),则△AOB的面积为S＝|m|•|x1﹣x2|＝|m|•＝2,设＝t,则S＝2,将直线y＝kx＋m代入椭圆C的方程,可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2﹣4＝0,由△≥0可得m2≤1＋4k2,②由①②可得0＜t≤1,则S＝2在(0,1]递增,即有t＝1取得最大值,即有S,即m2＝1＋4k2,取得最大值2,由(i)知,△ABQ的面积为3S,即△ABQ面积的最大值为6.【试题点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题.21.(14分)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2﹣x),其中a∈R,(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(Ⅱ)若∀x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.【试题分析】(I)函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,＋∞).＝.令g(x)＝2ax2＋ax﹣a＋1.对a与△分类讨论可得：(1)当a＝0时,此时f′(x)＞0,即可得出函数的单调性与极值的情况. (2)当a＞0时,△＝a(9a﹣8).①当时,△≤0,②当a时,△＞0,即可得出函数的单调性与极值的情况.(3)当a＜0时,△＞0.即可得出函数的单调性与极值的情况.(II)由(I)可知：(1)当0≤a时,可得函数f(x)在(0,＋∞)上单调性,即可判断出.(2)当＜a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,＋∞)上单调性,即可判断出.(3)当1＜a时,由g(0)＜0,可得x2＞0,利用x∈(0,x2)时函数f(x)单调性,即可判断出;(4)当a＜0时,设h(x)＝x﹣ln(x＋1),x∈(0,＋∞),研究其单调性,即可判断出【试题解答】解：(I)函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,＋∞).＝.令g(x)＝2ax2＋ax﹣a＋1.(1)当a＝0时,g(x)＝1,此时f′(x)＞0,函数f(x)在(﹣1,＋∞)上单调递增,无极值点.(2)当a＞0时,△＝a2﹣8a(1﹣a)＝a(9a﹣8).①当时,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(﹣1,＋∞)上单调递增,无极值点.②当a时,△＞0,设方程2ax2＋ax﹣a＋1＝0的两个实数根分别为x1,x2,x1＜x2.∵x1＋x2＝,∴,.由g(﹣1)＞0,可得﹣1＜x1.∴当x∈(﹣1,x1)时,g(x)＞0,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减;当x∈(x2,＋∞)时,g(x)＞0,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.(3)当a＜0时,△＞0.由g(﹣1)＝1＞0,可得x1＜﹣1＜x2.∴当x∈(﹣1,x2)时,g(x)＞0,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,＋∞)时,g(x)＜0,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减.因此函数f(x)有一个极值点.综上所述：当a＜0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a时,函数f(x)无极值点;当a时,函数f(x)有两个极值点.(II)由(I)可知：(1)当0≤a时,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增.∵f(0)＝0,∴x∈(0,＋∞)时,f(x)＞0,符合题意.(2)当＜a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增.又f(0)＝0,∴x∈(0,＋∞)时,f(x)＞0,符合题意.(3)当1＜a时,由g(0)＜0,可得x2＞0,∴x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减.又f(0)＝0,∴x∈(0,x2)时,f(x)＜0,不符合题意,舍去;(4)当a＜0时,设h(x)＝x﹣ln(x＋1),x∈(0,＋∞),h′(x)＝＞0.∴h(x)在(0,＋∞)上单调递增.因此x∈(0,＋∞)时,h(x)＞h(0)＝0,即ln(x＋1)＜x,可得：f(x)＜x＋a(x2﹣x)＝ax2＋(1﹣a)x,当x＞时,ax2＋(1﹣a)x＜0,此时f(x)＜0,不合题意,舍去.综上所述,a的取值范围为[0,1].【试题点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.。