吉林省长春市高二下学期开学考试文科数学试卷有答案

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吉林省长春市2019-2020学年高二下学期期初考试数学(文)试题Word版含答案

吉林省长春市2019-2020学年高二下学期期初考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1．若复数212iz i-=+，则z =（） A. 4 B. 1 C. 0 D. 2- 2．在区间上任取一个实数，则的概率是( )A. B. C. D.3．已知命题2000:,230p x R x x ∃∈-+≤的否定是2,230x R x x ∀∈-+>，命题:q 双曲线2214x y -=的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（）A. p q ∨B. p q ⌝∧C. p q ⌝∨D. p q ∧4．命题“2m =-”是命题“直线2240x my m +-+=与直线220mx y m +-+=平行”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件5．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于（）A. 12B. 18C. 24D. 366．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为( )A. B. C. D.7．空间两条直线、与直线都成异面直线，则、的位置关系是（）．A. 平行或相交B. 异面或平行C. 异面或相交D. 平行或异面或相交 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. 64 B. 32 C. 96 D. 48 9．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B. 1C. 0D. 不存在 10．已知直线l 与抛物线C ： 24y x =相交于A ， B 两点，若线段AB 的中点为()2,1，则直线l 的方程为（）A. 1y x =-B. 25y x =-+C. 3y x =-+D. 23y x =-11．已知函数()222x f x xe ax ax =--在[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A. (],e -∞ B. (],1-∞ C. [),e +∞ D. [)1,+∞12．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>经过点()1,2-，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ， B 两点，7,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若BQ BF ⊥，则BF AF -=（） A. 1- B. 32-C. 2-D. 4- 第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线1y kx =+与圆()2221x y -+=有公共点，则实数k 的取值范围是_____． 14．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为__________．15．观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=，5511a b +=，…，则1111a b += _________.16．已知函数在点处的切线方程为，则函数在点处的切线方程为__________．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（本题满分12分）已知函数()32392f x x x x =-++-，求：（1）函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程；（2）()f x 的单调递减区间．18．（本题满分12分）某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有 1人当选为正、副小组长的概率．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=450，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ∥平面PCE ；（2）求三棱锥C －BEP 的体积．20．（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为，，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，当变化时，求面积的最大值.21．（本题满分12分）已知函数()ln af x x x=+， a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明()21a f x a-≥．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22,{32x cos y sin αα=+=+（α为参数，2παπ≤≤），以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 42t πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．PE CADF（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）当1C 与2C 有两个公共点时，求实数t 的取值范围．吉林省长春市2019-2020学年高二下学期期初考试数学（文）试题参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9 A 10．D 11．A 12． B二、填空题13．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦14．15．199 16．三、解答题17．解：（1）∵()32392f x x x x =-++-∴()2369f x x x '=-++， ∴()09f '=，又()02f =-， ∴函数()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为()29y x --=，即920x y --=。

吉林省吉林高二下学期二月份开学考试文科数学试卷有答案

吉林省吉林高二下学期二月份开学考试数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择1. 若a,b 都是实数,则“a-b>0”是“a 2-b 2>0”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2. 若a 、b 、c b a R >∈,，则下列不等式成立的是（） A ．ba 11<B ．22b a >C ．1122+>+c bc a D ．||||c b c a > 3. 已知α、β均为锐角,若p:sin α＜sin(α+β),q:α+β＜,则p 是q 的( )A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 下列不等式中一定成立的是（） A ．21lg()lg 4x x +>(0)x > B ．1sin 2sin x x+≥(,)x k k Z π≠∈ C ．212x x +≥()x R ∈ D ．2111x >+()x R ∈5. 数列}{n a 满足)(11*1112N n a a a a a n n n n ∈=+=-=-+++,当[)1,+∈n n a a x 时,2)(-=n a x f ,则方程x x f =)(2的根的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．36. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知35a =，1122S =，则数列{}n a 的公差d 为（） A ．1- B ．31-C ．31D ．17. 从221x y m n-=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（）A ．12 B ．47C ．23D ．348. 设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是（） A．(2]3 B．[,2)3 C．()3+∞ D．[,)3+∞9. 已知变量x,y 满足约束条件221x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,若2x y a +≥恒成立,则实数a 的取值范围为（）A ．(-∞,-1]B ．(-∞,2]C ．(-∞,3]D ．[-1,3]10. 设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左,右焦点,以12F F 为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ,若双曲线C 的离心率为5，则21cos PF F ∠等于（）A ．35B ．34C ．45D ．56二、填空题11. 已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于__________．12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,则n a =13. 已知数列{}n a 是等比数列，且2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 14. 数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-,()n N +∈,且 122012111a a a +++=2,则201314a a -的最小值为____. 三、解答题15. 已知数列{}n a ，满足1121n n n a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩n n 为偶数为奇数，452a =，若211(0)n n n b a b -=-≠.（1）求1a ；（2）求证：{}n b 是等比数列；（3）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求2n S .16. 数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设1+=n n S b ，n n b b b k c ++++= 21（+∈R k ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1t =时，若对任意n N *∈，3n b b ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ， t ，k 成等差数列．17. 已知函数()ln ,2af x x a x a R=--∈，(I)求函数()f x 的单调区间；(II)若函数()f x 有两个零点12,x x ，(12x x <)，求证：2121x a x a <<<<．参考答案一、单项选择 1.【答案】D 【解析】 2.【答案】C 【解析】 3.【答案】【解析】B 4.【答案】C【解析】A 项中2211lg()lg 44x x x x +≥∴+≥；B 项中1sin 2sin x x+≥只有在sin 0x >时才成立；C 项中由不等式222a b ab +≥可知成立；D 项中2211111x x +≥∴≤+5.【答案】C 【解析】6.【答案】A【解析】由2211611==a S 可知26=a ，所以13636-=--=a a d ，故答案选A. 7.【答案】B 【解析】 8.【答案】A 【解析】 9.【答案】A 【解析】 10.【答案】C 【解析】二、填空题11.【答案】45° 【解析】12.【答案】2n【解析】根据题意，由于等差数列的性质可知等差数列{}n a 的前n 项和为n s ,若6312a s ==,n n a a d d a a a n 2)6(22,8412,4,1236622=-+=∴==∴===，故可知数列n a =2n ，故答案为2n 。

2023-2024学年吉林省长春市部分校高二下学期期末测试数学试卷(含答案)

2023-2024学年吉林省长春市部分校高二下学期期末测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x−2|<1”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知集合A ={x|log 2x ≥1},B ={x|1<x <3}，则A ∪B =( )A. [2,3)B. (1,+∞)C. [2,+∞)D. (0,+∞)3.命题“∃x ∈R,−x 2+ax−1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )．A. (−∞,2]B. (−2,2)C. [−2,2]D. [2,+∞)4.已知函数f(x)=2e x ,则lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)−3Δx =( )A. −2e3B. −2eC. 2e −3D. 2e5.曲线f(x)=3x 3−1x 在点(1,f(1))处的切线的方程为( )A. 10x +y−8=0B. 10x−y−8=0C. 8x−y−6=0D. 8x +y−6=06.若a =30.5,b =log 0.53,c =0.32，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a7.定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x +3)=f (1−x )，x ∈[0,2]时，f (x )=me x −1，则f (31)=( )A. e +1B. e−1C. 1−eD. −e8.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，f ′(x)是f (x )的导函数，且当x ∈(−∞,0)时，xf′(x )<2f (x )，f(−1)=0，则不等式f (x 2)>0的解集为( )A. (−∞,−1)∪(0,1) B. (−1,a )∪(0,1)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共15分。

吉林省高二下学期开学考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知数列为等差数列，且，，则该数列的前项之和（） {}n a 34a =58a =1010S =A ．80 B ．90C ．100D ．110【答案】B【分析】设出等差数列的公差，根据条件列出两个方程，即可求出首项和公差，再根据等差数{}n a 列的前项和公式即可求出．n 【详解】设等差数列的公差为，，，，， {}n a d 34a = 58a =124a d ∴+=148a a +=解得，，，则该数列的前10项之和． 10a =2d =1010902902S ⨯=+⨯=故选：．B 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式中基本量的计算，以及等差数列的的前项和公式的应n 用，属于基础题．2．函数的图象如图所示，则的图象可能是()y f x =()y f x '=A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】依据原函数图象可看出①当x<0时，函数y=f(x)递增，所以此时f ′(x)>0，y=f ′(x)的图象在x 轴上方；②当x>0时，函数y=f(x)递减，所以f ′(x)<0，y=f ′(x)的图象在x 轴下方故选D点睛：本题属于基础题，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数，自左向右看，函数图象上升，函数为增，函数图象下降，函数为减，结合图象即可得到答案3．已知等差数列的前n 项和为，若，则公差等于 {}n a n S 888S a ==d A ．B ．C ．1D ．21412【答案】D【分析】由，可求出，进而可知，结合，可求出公差. 88S a =4707S a ==40a =88a =【详解】解：，，，. 888S a == 1288a a a a ∴+++= ()17747207a a a S ∴+===40a ∴=又由，得. 844a a d =+8480244a a d --===故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量.4．函数的图像在点处的切线方程为（） 43()2f x x x =-(1(1))f ，A ． B ． 21y x =--21y x =-+C ． D ．23y x =-21y x =+【答案】B【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方()y f x =()f x '()1f ()1f '程，化简即可.【详解】，，，，()432f x x x =- ()3246f x x x '∴=-()11f ∴=-()12f '=-因此，所求切线的方程为，即. ()121y x +=--21y x =-+故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题5．函数的单调减区间是（）()22f x x lnx =-A ．（0，1） B ．（1，+∞） C ．（﹣∞，1） D ．（﹣1，1）【答案】A【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，且， ()22f x x lnx =-(0,)+∞()22(1)(1)2x x f x x x x-+'=-=因为，可得，令，即，解得， 0x >10x +>()0f x '<10x -<01x <<所以函数的递减区间为. ()f x ()0,1故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.6．数列是等比数列，是其前项和，，，，则 {}n a n S n 0n a >234+=a a 3432a a +=3S =A ．B ．12C ．D ．13283383【答案】D【解析】设数列的公比为，由列方程组，解得，或(舍)，，{}n a q 2334432a a a a +=⎧⎨+=⎩13q =12q =-23a =计算，，求和可得.1a 3a 3S 【详解】设数列的公比为，由，{}n a q 2334432a a a a +=⎧⎨+=⎩得，解得，或(舍)， ()222(1)432a q a q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩13q =12q =-，，，. 23a ∴=19a ∴=31a =313S ∴=故选：D .【点睛】本题考查求解等比数列通项中的量及求和，根据等比数列通项公式列出方程组解得公比及首项，考查计算能力，属于基础题.7．若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具()e xf x L ()f x ()f x 有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A ．B ．C ．D ．()2xf x -=()2f x x =()-3xf x =()cos f x x =【答案】A【详解】对于A,令,,则在R 上单调()e 2x x g x -=⋅11()e (22ln e 2(1ln )022x x x x xg x ---'=+=+>()g x 递增,故具有M 性质,故选A.()f x 【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f (x )的定义域；②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f ′(x )<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f ′(x )≥0；若函数单调递减,则f ′(x )≤0”来求解．8．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数{}n a 11a =21a =()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N 列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（）n S n cA ．B ． 2111n n n n S a a a +++=+⋅12321n n a a a a a +++++=- C ． D ．1352121n n a a a a a -++++=- ()121)4(3n n n n c c a n a π--+-≥=⋅【答案】C【分析】A 选项由前项所占格子组成长为，宽为的矩形即可判断；B 选项由()1n +1n n a a ++1n a +结合累加法即可判断；()*123,n n n a a a n n --=+≥∈N C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出，作差即可判断.221111,44n n n n c a c a ππ--==【详解】由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，其面积为()1n +1n n a a ++1n a +，A 正确；()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，以上各式相加得，32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+ ，化简得，即()34223112()n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++ 2212n n a a a a a +-=+++ ，B 正确；1221n n a a a a ++++=- ，C 错误；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠-=易知，，221111,44n n n n c a c a ππ--==()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ-----+∴-=-=-+=≥D 正确. 故选：C.二、多选题9．下列命题中正确的是（）A ．等比数列的单调性完全由公比q 来决定，与无关 {}n a 1aB ．若数列为等差数列，则，…也是等差数列{}n a 484128,,S S S S S --C ．若数列的前n 项和，则该数列是等差数列{}n a 222n S n n =++D ．若数列是首项为1，公比为3的等比数列，则数列的通项公式是1211,,,n n a a a a a --- {}n a 312n n a -=【答案】BD【分析】举例并结合等比数列通项公式判断A ；利用等差数列前n 项和公式计算并结合等差数列定义判断B ；求出数列的通项判断C ；利用累加法求出通项判断D 作答.{}n a 【详解】对于A ，等比数列具有单调性，必有且，不妨令，，{}n a 0q >1q ≠1q >11n n a a q -=由，当时，，有，数列单调递增， 11n na q a +=>10a >0n a >1n n a a +>{}n a 当时，，有，数列单调递减，因此等比数列的单调性与有关，A 错10a <0n a <1n n a a +<{}n a {}n a 1a 误；对于B ，等差数列的公差为，前n 项和，则， {}n a d 1(1)2n n n S na d -=+4146S a d =+，444111(44)(43)4(41)(44)[4]4(166)22n n n n n n S S n a d na d a n d +++--=++-+=++，， 841844422,()16S S a d S S S d -=+--=4844444()()16n n n n S S S S d +++---=因此数列，…是等差数列，B 正确；484128,,S S S S S --对于C ，当时，，而， 2n ≥2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=115a S ==不满足上式，数列不是等差数列，C 错误；{}n a 对于D ，依题意，，， 2n ≥()()()1213211331132n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-==- 显然满足上式，数列的通项公式是，D 正确.11a ={}n a 312n n a -=故选：BD10．下列命题中正确的是（）A ．若函数在区间上单调递增，那么一定有.()f x (),a b ()0f x ¢>B ．若函数在区间上恒有，则在上不是单调的. ()f x (),a b ()0f x '=()f x (),a b C ．若函数在区间上恒有，则在上是单调递增的. ()f x (),a b ()0f x ¢>()f x (),a b D ．函数在R 上是增函数. ()sin x x x f -=【答案】BCD【分析】利用导数与函数单调性的关系逐项分析即可.【详解】对A ，函数在区间上单调递增，那么在区间上可以是也可以是()f x (,)a b (,)a b ()0f x '>,如，因此A 不正确；()0f x '≥3()f x x =对B ，根据导数与其单调性的关系可知当函数在某个区间内恒有， ()0f x '=此时函数是常值函数，因此无单调性，因此B 正确；对C ，根据导数与单调性关系可知若函数在区间上恒有，则在上是()f x (),a b ()0f x ¢>()f x (),a b 单调递增的，故C 正确；对D ，，，，则单调递增，故D 正确. ()1cos f x x '=-[]cos 1,1x ∈-Q 1cos 0x ∴-≥()f x 故选：BCD.11．设数列是以d 为公差的等差数列，是其前n 项和，，且，则下列结论正确{}n a n S 10a >69S S =的是（） A ．d <0 B ．80a =C ． D ．或为的最小值56S S >7S 8S n S 【答案】AB【分析】根据，且，可得，然后逐一判断各个选项即可得出答案.10a >69S S =1107d a =-<【详解】解：由，69S S =得，所以，故A 正确；11615936a d a d +=+1107d a =-<，故B 正确； 811170a a d a a =+=-=，所以，故C 错误； 656112507S S a a d a -==+=>56S S <由，，，可得或为的最大值，故D 错误.80a =0d <10a >7S 8S n S12．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（）e A ． B ．2ln 2e >3ln 3e <C ．D ．πln πe>ln 33ln ππ<【答案】ACD【分析】通过构造函数法，结合导数来判断出正确答案. 【详解】构造函数， ()()ln 0exf x x x =->， ()'11e e e x f x x x-=-=所以在区间递增；在区间递减，()f x ()()()'0,e ,0,f x f x >()()()'e,,0,f x f x +∞<所以，故，当且仅当时等号成立. ()()max e ln e 10f x f ==-=()0f x ≤e x =即，当且仅当时等号成立. ln 0,ln e ex xx x -≤≤e x =所以，AC 选项错误，，B 选项正确.2πln 2,ln πe e <<3ln 3e <构造函数， ()()ln 0xg x x x=>， ()'21ln xg x x -=所以在区间递增；在区间递减，()g x ()()()'0,e ,0,g x g x >()()()'e,,0,g x g x +∞<所以，，D 选项错误. ()()3πg g >ln 3ln πln 333πln ππ>⇒>故选：ACD三、填空题13．已知等比数列的前n 项和为，若，则公比_______． {}n a n S 367,63S S ==q =【答案】2【分析】根据给定条件，由结合列式计算作答. 63456S S a a a -=++3123S a a a =++【详解】等比数列的前n 项和为，，{}n a n S 367,63S S ==则，解得，3363456123()756S S a a a q a a a q -=++=++==2q =所以.2q =14．如图所示，直线是曲线在处的切线，则__________．2y kx =+()y f x =3x =()()33f f '+=【答案】23【分析】根据给定的图形，利用导数的几何意义求解作答.【详解】观察图象知，曲线在处的切线过点，而切点为， ()y f x =3x =2y kx =+(0,2)(3,1)因此，显然， 211(3)033f k -'===--(3)1f =所以.()()1233133f f '+=-=故答案为：2315．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为___ {}n a n n S 8425S S -=9101112a a a a +++【答案】20【解析】由题得，利用等比数列的性质得，再利用基本不等8445S S S -=+()()8441822S S S S S =⋅--式求出，即得解.81220S S -≥【详解】因为是等比数列，， {}n a 8425S S -=所以，8445S S S -=+因为是等比数列， 484128,,S S S S S --所以 ()()8441822S S S S S =⋅--整理得（当且仅当时取等号）. ()48421244525101020S S S S S S +-==++≥=45S =因为， 1289101112S S a a a a -=+++所以的最小值为.9101112a a a a +++20【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．设是定义在R 上的奇函数，当时，有恒成立，则不等式()f x ()20f =0x >()()0xf x f x '-<的解集是______． ()0f x >【答案】(,2)(0,2)-∞- 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，利用函数性质求解不等式()()f x g x x=作答.【详解】依题意，令函数，则，因为时，()(),0f x g x x x=>2()()()xf x f x g x x '-'=0x >，()()0xf x f x '-<于是当时，，函数在上单调递减，0x >()0g x '<()g x (0,)+∞又，则，因此当时，，当时，， (2)0f =(2)0=g 02x <<()0g x >2x >()0g x <即当时，，当时，，而是定义在R 上的奇函数， 02x <<()0f x >2x >()0f x <()f x 从而当时，，当时，， <2x -()0f x >20x -<<()0f x <所以不等式的解集是. ()0f x >(,2)(0,2)-∞- 故答案为：(,2)(0,2)-∞-四、解答题 17．已知函数，且曲线在处的切线斜率为． ()()211ln 2f x ax a x x =-++()y f x =2x =32(1)求a 的值；(2)求函数的单调区间； ()f x 【答案】(1)2a =(2)单调增区间和，单调减区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）求导，然后通过列方程求a 的值； ()322f '=（2）令和可得函数的单调区间. ()0f x ¢>()0f x '<【详解】（1）由已知， ()()11f x ax a x '=-++又曲线在处的切线斜率为， ()y f x =2x =32， ()()1322122f a a '∴=-++=解得：；2a =（2）由（1）得，()123,0f x x x x '=-+>令，得或，令，得， ()0f x ¢>102x <<1x >()0f x '<112x <<函数的单调增区间为和，单调减区间为.∴()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫⎪⎝⎭18．已知数列的前n 项和为．{}n a 2n S n =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b 22n an n b a =+{}n b n T 【答案】(1) 21n a n =-(2) ()()221413nn n ++-【分析】（1）利用可得答案；1n n n a S S -=-（2）先通过分组，然后利用等差数列及等比数列的求和公式来求解.【详解】（1）①，2n S n = 当时，②，∴2n ≥()211n S n -=-①-②得， ()221121n n n a S S n n n -=-=--=-又时，，符合，1n =111a S ==21n a n =-数列的通项公式为；∴{}n a 21n a n =-（2）由（1）得，2122412n a n n n b a n -=+=-+ ()()()()35211233272112412n n n T b b b b n -∴=++++=+++++++-+ ()()35213711412222n n -=++++-+++++ . ()()()()214341221412143n nn nn n -+-=+=++--19．已知数列的前n 项和为，且满足． {}n a n S 21n n S a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n b na =-{}n b n T【答案】(1)；12n n a -=-(2).(1)21n n T n =-⋅+【分析】（1）根据给定条件，结合“”求出的通项作答.12,n n n n a S S -≥=-{}n a （2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答.【详解】（1），，当时，，两式相减得，即N n *∀∈21n n S a =+2n ≥1121n n S a --=+122n n n a a a -=-，12n n a a -=而，解得，因此数列是首项为，公比为2的等比数列，11121a S a ==+11a =-{}n a 1-，11122n n n a --=-⨯=-所以的通项公式是.{}n a 12n n a -=-（2）由（1）知，12n n b n -=⋅，01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ 则有，12312122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 两式相减得：， 2112122222(1)2112n n n n n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- 所以.(1)21n n T n =-⋅+20．已知函数 ()()212ln 22f x x a x a x =-+-(1)当，且时，证明：；1a =-()1,4x ∈()3f x >-(2)是否存在实数a ，使函数在上单调递增?若存在，求出a 的取值范围；不()()g x f x ax =-()0,∞+存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，. 1(,]2a ∈-∞-【分析】（1）将代入，利用导数求出函数在上的最小值，再借助对数函数的单调1a =-()f x (1,4)性推理作答.（2）求出函数的导数，利用导函数在上不小于0恒成立求解作答.()g x ()0,∞+【详解】（1）当时，，，求导得1a =-21()2ln 32f x x x x =+-()1,4x ∈， 2(1)(2)()3x x f x x x x --'=+-=当时，，当时，，在上单调递减，在上单调12x <<()0f x '<24x <<()0f x '>()f x (1,2)()f x (2,4)递增，所以.()(2)22ln 262(ln 22)2)3f x f ≥=+-=->=-（2）若存在实数，使在上是增函数，a ()()g x f x ax =-(0,)+∞则，恒成立， (0,)∀∈+∞x ()()()222220a x x a g x f x a x a a x x--=-=-+-='-≥'即在上恒成立， 2211220(1)22x x a a x --≥⇔≤--(0,)+∞而函数，在时取得最小值，因此， 211(1)22y x =--,()0x ∈+∞1x =12-12a ≤-又当时，，当且仅当时，，即函数在单调递增， 12a =-2(1)()0x g x x-'=≥1x =()0g x '=()g x (0,)+∞所以当时，在上单调递增. 1(,]2a ∈-∞-()()g x f x ax =-(0,)+∞21．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0.(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在上单调递减，在区间上单调递增. ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a （2） 3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围.【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0.f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln . 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭当x ∈时，f ′(x )<0； ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 当x ∈时，f ′(x )>0. ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a故f (x )在上单调递减，在区间上单调递增. ,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a (2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 时，f (x )取得最小值，最小值为f ＝a 22a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 2≥0， 3ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即0>a ≥时，f (x )≥0.342e -综上a 的取值范围是[，0].342e -【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.22．已知数列，，满足，，，.{}n a {}n b {}n c 1111a b c ===1n n n c a a +=-12n n n n bc c b ++=N*n ∈（1）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式； {}n b 0q >12362b b b +=q {}n a （2）若为等差数列，且，证明，.{}n b 265b b +=1233n c c c c +++⋯+<N*n ∈【答案】（1）；；（2）证明见解析. 2q =2743nn a --=【解析】（1）先由题设求得，从而求得及，然后求得，再利用叠加法求得即q n b 114n n c c +=n c n a 可；（2）先由题设求得等差数列的公差，然后求得及，再利用累乘法求得，最{}n b d n b 113n n c n c n ++=+n c 后利用裂项相消法求得，即可证明结论.123n c c c c +++⋯+【详解】（1）解：由题设知：，解得：或（舍，， 262q q +=2q =32q =-)12n n b -∴=，，，即， 12n n n n b c c b ++= N*n ∈1112124n n n n n c c c -++∴==114n n c c +=，， 11c = 11()4n n c -∴=，，1n n n c a a +=- 11a =，211a a ∴-=， 3214a a -=， 2431()4a a -=⋯，， 211()4n n n a a ---=2n …将以上式子相加可得：，， 122111()11141411()([1()]14443414n n n n a -----=+++⋯+==--2n …，，又当时，也适合， 2743nn a --∴=2n …1n =11a =； 2743nn a --∴=（2）证明：，， 26452b b b +== 452b ∴=，公差， 11b = ∴411412b b d -==-， 111(1)22n n b n +∴=+-=， 1213n n n n n b n c c c b n +++==+ ， ∴113n n c n c n ++=+， ∴2124c c =， 3235c c =， 4346c c =⋯， 1211n n c n c n ---=+，， 12n n c n c n -=+2n …将以上式子相乘可得：，， 123(1)(2)n c c n n ⨯=++2n …，，， 11c = 116()12n c n n ∴=-++2n …又当时，也适合上式，1n =11c =， 116()12n c n n ∴=-++. 1231111111116()6()63233412222n c c c c n n n ∴+++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯=+++【点睛】方法点睛：该题主要考查数列的问题，方法如下：（1）利用叠加法求通项公式；（2）累乘法求通项公式；（3）裂项相消法求和.。

2021年高二下学期入学考试数学(文)试题含答案

2021年高二下学期入学考试数学（文）试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．i 是虚数单位，复数=( )．A ．1+2iB ．2+4iC ．-1-2iD ．2-i 2．设集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B 等于( )．A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |x ≥3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ≥2}3．命题“”的否命题是( )A ．B ．C ．D ．4．若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为（）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和05．在正项等比数列中，，则的值是（）A ．10000B ．1000C ．100D ．10 6．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（）A ．B ．C ．D ． 7．函数f （x ）=（）A ．（-2,-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2） 8．“”是“”的条件( )A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 9．右表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据.根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程为,那么表中的值为 ( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 10．函数的单调递增区间为（）A ．（－∞，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，）D ．（，+∞） 11．设双曲线的离心率为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,则双曲线的方程为( ) A ． B ． C ． D ．12．设函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数； ②存在,使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为 ( )3 45 62.5 t 44.5A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）。

2021年高二下学期开学测试数学文试题含答案

2021年高二下学期开学测试数学文试题含答案学科：文科数学测试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集A.个B.个C.个D.个2.复数等于（）A. B. C. D.3．下列函数中,在区间上是增函数的是（）A. B. C. D.4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5.已知、是实数，则“”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件6.双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.7．如下图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1那么这个几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.168．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 359．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．310.将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋111.椭圆两焦点为，，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（）A. B . C . D .12.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为()．A. B.C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________．14．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为．15.已知OA →＝(1,1)，OB →＝(4,1)，OC →＝(4,5)，则AB →与AC →夹角的余弦值为16．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是____．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．18. （本小题满分12分）假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：试求：（1）；（2）线性回归方程=bx+a ．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19．（本小题满分12分）如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)是否存在这样的E 点，使得平面A 1BD ⊥平面EBD ？若存在，请找出这样的E 点；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （本小题满分12分）如图，点A ，B 分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为：且.(1)求直线AP 的方程；(2)设点M 是椭圆长轴AB 上一点，点M 到直线AP 的距离等于，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.22. （本小题满分12分）已知函数在与时都取得极值(1) 求函数在点M （－1，f （－1））处的切线方程(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围参考答案1. A2.B3.A4.A5.D6.A7.D8.B9.C 10. C 11. B 12.A 13. 3π∶2 14. 15. 35 16. －3<k ≤017.解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10.(3)S ＝12ab sin C ＝32.18. 解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5（2）由已知可得：=．于是．所求线性回归方程为：．（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）．即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 19. 解：连接AC ，设AC ∩DB ＝O ，连接A 1O ，OE .(1)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACEA 1，∵A 1E ⊂平面ACEA 1，∴A 1E ⊥BD .(2)当E 是CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .证明如下：∵A 1B ＝A 1D ，EB ＝ED ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ，EO ⊥BD ， ∴∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设棱长为2a ，∵E 为棱CC 1的中点，由平面几何知识，EO ＝3a ，A 1O ＝6a ，A 1E ＝3a ， ∴A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2，即∠A 1OE ＝90°.∴平面A 1BD ⊥平面EBD . 20. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2n S n ＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3，且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.21. 解： ⑴由题意知，，从而，由题意得，，从而，，因此，直线AP 的方程为：，即. ⑵设，则点M 到直线AP 的距离为，而，依题意得解得或（舍去），故.设椭圆上一点，则，即()22222424249d MN x y x x ==-+=-+，，所以当时，，即.22. 解：（1）32'2f x x ax bx c f x x ax b=+++=++(),()32由，得则，切线方程为：即（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得>37528 9298 銘(29491 7333 猳Win27705 6C39 氹o (n31362 7A82 窂39845 9BA5 鮥g。

吉林省吉林市高二下学期开学数学试卷

吉林省吉林市高二下学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在中，角C为最大角，且，则是A . 直角三角形B . 锐角三角形C . 钝角三角形D . 形状不确定2. （2分）不等式的解集为A，不等式的解集为B，不等式的解集是，那么等于（）A . －3B . 1C . －1D . 33. （2分）(2017·息县模拟) 已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A . （1， ]B . （1，2]C . [ ，+∞）D . [2，+∞）4. （2分）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=（）A . 33B . 72C . 84D . 1895. （2分）设抛物线C的方程为=4x，O为坐标原点，P为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，若直线PM与ON相交于点Q，则cos∠MQN=（）A .B . －C .D . －6. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 已知实数x，y满足如果目标函数z=y﹣x的最小值为﹣2，则实数m等于（）A . 0B . ﹣2C . ﹣4D . 17. （2分）已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·黄山期末) 过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16，则p=（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）已知正四棱柱中，， E为中点，则异面直线BE与所形成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·友谊开学考) 当x＞3时，不等式x+ ≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，3]B . [3，+∞）C . [ ，+∞）D . （﹣∞， ]11. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，则直线PC与平面PAB 所成角的余弦值（）A .B .C .D .12. （2分）直线l过点P(2,1)与曲线恰有一个公共点，则满足条件的直线l的条数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·芒市期中) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B= ，C=，则△ABC的面积为________．14. （1分）在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}的前9项之和S9等于________15. （1分）(2017·东城模拟) 若点O和点F2（﹣，0）分别为双曲线 =1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为________．16. （1分） (2019高二下·上海月考) 在正四棱锥中，，侧面与侧面所成的二面角的大小为，若（其中），则 ________三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2017高二下·正阳开学考) 已知双曲线C的方程为：﹣ =1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 ）的双曲线的方程．18. （5分）(2017·焦作模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足an=2Sn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=（2n﹣1）•an ，求数列{bn}的前n项和Tn ．19. （10分）(2016·山东理) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= ．（1）证明：a+b=2c；（2）求cosC的最小值．20. （5分） (2016高二上·黑龙江期中) 椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P （2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21. （10分）(2018·河北模拟) 如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点的平面截去一个三棱锥 (图一)得几何体 (图二)，E为的中点．（1）点F为棱上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；（2）设，当点F为中点时，求锐二面角的余弦值．22. （5分）(2017·南充模拟) 已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为e= ，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

高中数学 2021-2022学年吉林省长春第二实验中学高二(下)开学数学试卷

2021-2022学年吉林省长春第二实验中学高二（下）开学数学试卷一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）A ．6B ．12C ．24D ．181．（4分）在数字1，2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）A ．252种B ．112种C ．70种D ．56种2．（4分）将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有（）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种3．（4分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A ．A 41A 42A 82个B ．C 41C 42A 82个C ．C 41C 42C 82个D ．C 41•C 82•A 44个7．（4分）小于50000且含有两个5而其他数字不重复的五位数有（）A ．C 53B ．C 53-3C ．C 53-C 33D ．C 53-C 31C 228．（4分）设A 是平面上的点（x ,y ）=（k ,k 3）（k =-1，0，1，3，4）组成的集合，P 、M 、N 均是集合A 中的元素，则由P 、M 、N 组成三角形的个数是（）A ．C 82A 32B ．C 82A 66C ．C 82A 62D ．C 82A 529．（4分）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种10．（4分）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）11．（4分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种12．（4分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）4．（5分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．5．（5分）从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有种．13．（5分）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是（用数字作答）．14．（5分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．15．（5分）在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是个．把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，则321是第个数（用数字作答）．三、解答题（共4小题，满分0分）6．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份2本．16．（文）10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测完为止．求第4只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？17．（1）3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？（2）有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？（3）现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？18．α、β是两个平行平面，在α内取四个点，在β内取五个点．（1）这些点最多能确定几条直线？几个平面？（2）以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？。

2023-2024学年吉林省长春市朝阳区高二下学期开学考试数学模拟试题(含解析)

10．数列an中， a1
3, an1
1
1 n
an
2n
2 bn ，
an n
，若 n N*
，都有
n9n an
8n
0
恒
成立，则（）
A． bn 为等差数列
B． bn 为等比数列
C． an 2n2 n
D．实数
17 的最小值为
8 9
9
11．已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，点 Q(m, n) ，点 P 到点 Q 和到 y 轴
| OP |
1 2
F1F2
（O 为坐标原点），则 C2 的离心率 e （
）
4 A． 3
5
B． 2
6 C． 2
D． 2
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分．若只有 2 个正确选顶，每选对一个得 3 分;若只有 3 个正确选项，每选对一个得 2 分．）
则 m 的值为（）
A．-4
B．4
C．-1
D．1
4．设点 P，Q 分别为直线 3x 4 y 7 0 与直线 6x 8y 3 0 上的任意一点，则 PQ 的最小
值为（） A．1
B．2
17 C． 10
11 D． 10
5．设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若
S5 S10
1 3 ，则
S10 S20
共线，则
a
与
b
所在直线平行；
④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A, B,C ，若 OP xOA yOB zOC (其中 x, y, z R )，

吉林省长春市实验中学2020-2021学年高二下学期阶段考试数学(文)试卷含答案

长春市实验中学2020-2021学年下学期阶段考试高二数学(文)试卷考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷选择题(60分)一. 选择题(共12小题，每小题5分，计60分) 1.过点(1,3)-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为 A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y xD ．072=+-y x2.已知复数5iz i-=（i 为虚数单位），则||z =A ．4B ．D ．3.1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V 、E 和F 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：2V E F -+=.已知正十二面体有20个顶点，则正十二面体有（）条棱 A ．30B ．14C ．20D ．264.若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为 A.-1 B. 1 C. 3 D.-35.已知a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是 A.2B.3C.57.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3 C.4 D.58.函数2()ln f x x x =的单调递减区间为A ．B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛-∞ ⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭9.设a b <,函数2()()y x a x b =--的图象可能是A ．B ．C ．D ．10.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A ．45B ．35C ．25D ．6511.关于x 的方程20x ax b -+=，有下列四个命题： m ：1x =是方程的一个根； n ：4x =是方程的一个根； p ：该方程两根之和为3； q ：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则假命题是． A ．mB ．nC ．pD ．q12．张、王、李三个同学在看a ，b ，c 三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”赛前，对于谁会得冠军进行预测，张说：不是b ，是c ；王说：不是b ，是a ；李说：不是c ，是b .比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是. A ．aB ．bC ．cD ．不能预测第Ⅱ卷非选择题(90分)二. 填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13.设双曲线221y x m-=的渐近线方程为20x y ±=，则m =_______．14.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =15.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，2。

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吉林省长春市十高二下学期开学考试数学（文）试卷一、选择题（每题5分，共60分） 1．复数iiz +=1，则=z （） A .2 B .2 C .1 D .22 2．等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，则76321a a a a a +++++ =（）A .14B .21C .28D .353．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A .1B .2C .3D .44．若命题“01)1(,2<+-+∈∃x a x R x ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A .[]3,1-B .()3,1-C .[)(]1,,3-∞-+∞D ()()1,,3-∞-+∞5．平面向量b a ,的夹角为︒60，()2,5,2==b a ，则=+b a 2（）A .6B .37C .7D .136．投掷两颗骰子，得到向上的点数分别为n m ,，则复数()2ni m z -=为纯虚数的概率为（）A .31B .41C .61D .121 7．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25，则双曲线C 的渐近线方程为（）A .x y 41±=B .x y 4±=.C .x y 21±=.D .x y 2±=8．将函数x y sin =的图像上的所有点向右移动10π个单位长度，再将所得的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图像的函数解析式为（）正视图侧视图A .)52sin(π-=x y .B .)1021sin(π-=x yC .)2021sin(π-=x yD .)102sin(π-=x y9．已知圆()()()(),943:,132:222221=-+-=-+-y x C y x C N M ,分别是圆21,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为（） A .425-B .117-C .226-D .17 10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点F E ,，且1=EF ，则四面体EFB A -的体积为（）A .62B .122C .42D .22 11．已知椭圆)0(,1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为,23过右焦点F 且斜率为k 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，若FB AF 3=，则=k （）A .1B .2C .3D .212．已知点P 在曲线134+=xe y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（） A .⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0πB .⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππC .⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2ππD .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32 二、填空题（每题5分，共20分）13.复数()R x i x x z ∈+--=,2222，则复数z 对应点在第象限．14.已知 ,24017,3437,497,0774321====，则20147的末两位是．15.已知,32sin =α 则=-)2cos(απ ． 16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积．E1D 1C1BFABCD1A(10题图)16 21 822 6 26俯视图三、解答题(解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤)17. （本题满分10分）ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且B b A a cos cos =（1）若12,5==b a ，求CB CA -；（2）,4==c a 求CB CA BC BA AC AB ⋅+⋅+⋅.18. （本题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和)(2R m m S nn ∈+=.(1)求m 的值及{}n a 的通项公式；（2）设13log 22-=n n a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值.19. （本题满分10分）已知抛物线x y 82=， ABC ∆中，点A 与抛物线的焦点重合，C B ,在抛物线上，且ABC ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABC ∆的面积. 20. （本题满分10分）已知函数()()1ln 12+++=ax x a x f（1）当31-=a 时，求()x f 的最大值；（2）2-≤a 时，判断函数()x f 的单调性；（3）若2-≤a ，证明对任意()+∞∈,0,21x x ，均有()()21214x x x f x f -≥-.21. （本题满分10分）如图所示，已知B A ,分别是椭圆)0(,1:2222>>=+b a by a x E 的右顶点和上顶点，2=OA ，点M 为线段AB 中点，直线OM 交椭圆于D C ,两点（其中O 为坐标原点），ABC ∆与ABD ∆的面积分别记为21,S S .()1当椭圆E 的离心率21=e 时，求椭圆E 的方程；()2当椭圆E 的离心率变变化时，21S S 是否为定值？若是求出该定值，若不是说明理由.（16题图）y91-长春市十一高中高二下学期期初考试数学试题（文）答案一、选择题（每题5分，共60分）题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 AC CD B C C B A B B D二、填空题（每题5分，共20分）13. 四 14. 49 15. 16. 360 ．三、解答题(解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤) 17.（10分）解：由正弦定理得B B A A cos sin cos sin ⋅=⋅∴B A 2sin 212sin 21= 即B A 2sin 2sin =∴B A B A =︒=+或90…………………………………2分（1）∵a =5，b =12∴︒=+90B A 即︒=90C而1351222=+===-c AB CB CA∴13=-CB CA ………………………………………………………………6分（2）∵a =c =4∴a =b =c =4∴△ABC 为正三角形∴CB CA BC BA AC AB ⋅+⋅+⋅=AC AB ⋅3=3×4×4×2460cos =︒…10分 18.（10分）解：（1）11222--=--+=n n n n m m a ……………………………………………2分 m a +==211∴1-=m …………………………………………………5分（2）∵12-=n n a ∴152132log 212-=-=-n b n n∴{}n b 是公差为2的等差数列。

∴()n n nn T n 142152132-=⋅-+-= ∴当7=n 时，()49-=最小值n T …………………………………………………10分 19（10分）解：x y 82=的焦点()0,2A ，如图∵ABC ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形 ∴直线AB 的方程为2-=x y ………………2分将()2,-x x B 代入x y 82=得()x x 822=-∴246±=x∴4242442-+=-=或x AB …………………………………………6分当244+=AB 时，21624+=S当424-=AB 时，21624-=S ………………………………………10分（注：求出一种情况给5分） 20.（10分）解：（1）()131ln 322+-=x x x f ∴()3232x x x f -='()()x x x 3112++-=当()+∞∈,0x 变化时，()()x f x f ',变化情况如下表：x()1,01 ()+∞,1()x f ＋ 0 － ()x f '单调递增极大值单调递减∴当x =1时，()x f 取得极大值，也是最大值()321=f 即()32max =x f …………………………………………………………………3分（2）()ax xa x f 21++=' yxABCO∵0>x ，01<+a ,02<a ∴021<++ax xa 恒成立 ()x f 在()+∞,0是减函数…………………………………………………………6分（3）∵()x f 在()+∞,0单调减，∴不妨设021>>x x则()()21214x x x f x f -≥-⇔()()211244x x x f x f -≥- 即()()112244x x f x x f +≥+ ∴()x x f 4+在()+∞,0单调减设()=x g ()x x f 4+=()14ln 12++++x ax x a ()0>x()xa x ax ax x a x g 1424212+++=+++='…………………………………8分∵2-≤a∴△=16－4×2a ×()1+a =－8()22-+a a =－8()()12-+a a ≤0∴()xa x ax ax x a x g 1424212+++=+++='≤0恒成立 ∴()x g 为减函数∴()()21214x x x f x f -≥-对()+∞∈∀,0x 均成立………………………10分 21. （10分）解：（1）由已知2=a ，且21=e ∴1=c ∴3=b ∴椭圆方程为13422=+y x ……………………………………………………3分（2）由已知()0,2A ，设()b B ,0 ，则⎪⎭⎫⎝⎛2,1b M直线x by OM 2:=………………4分直线b y bx AB 22:=+……………5分A AODB MCxy(21题图)24214222222222=⇒=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+x b x b x b x b y b y x ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b D b C 22,2,22,2 C 到直线AB 的距离为422221+-=b b b dC 到直线AB 的距离为422222++=b b b d ……………………………………9分223222222222212222121-=+-=+⋅-⋅=bb AB b b AB S S （定值） 21S S 是定值，定值为223-…………………………………………………10分。