考研高数笔记

考研高数笔记SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第一章 函数、极限、连续第1节函数a) 反函数和原函数关于y=x 对称。

b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。

c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。

d)2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。

(k=0,1,2......)。

e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。

f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。

g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。

第2节 极限a) 左右极限存在且相等⇔极限存在。

b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中0=(x)ɑlim 0x x →。

（等价无穷小）c) 极限存在⇔极限唯一。

（极限唯一性）d) A x =→)(f lim 0x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。

（保号性）e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。

（有界性）f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算）g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。

有限个无穷小之积仍然是无穷小。

无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。

h) )()(lim x g x f =li. l=0，f(x)=o(g(x)).ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.iii. 0<l<∞或-∞<l<0，l ≠1，同阶. iv. l=1，等价无穷小，记作f(x)~g(x). 特别的，如果kx g x f )]([)(lim=l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。

i) 等价无穷小代换：x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x)1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2αx 2x1+-1~21x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~313xx-sinx ~613x特殊的，x →0时a x -1~xlnaj) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。

k) 要注重推广形式。

例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0时，f(x)→0，那么将原式中x 换成f(x)也成立。

l) 求极限的方法：i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。

利用极限的四则运算性质。

ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。

1. 抓小头公式。

（x →0）2. 抓大头公式。

（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】） iii. 两个准则：1. 夹逼准则2. 单调有界必有极限iv. 两个重要极限：1.xsinx limx →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明）2.e xx=+∞→)11(lim xe =+→x10x )x 1(lim （利用单调有界准则进行证明） 口诀：倒倒抄。

（结合抓头公式）v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和为无穷小。

有限个无穷小之积为无穷小。

无穷小与有界量乘积为无穷小。

2. 12种等价无穷小的代换。

vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。

vii. 利用导数的定义求极限。

导数定义：增量比，取极限。

构造出“增量比”的形式，则极限就是导数。

viii. 定积分的定义求极限。

（处理多项求和的形式） ix. 泰勒公式1.泰勒公式中系数表达式：f (f )(f 0)f !(f −f 0)f2. 当f 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。

常用的麦克劳林公式：e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m x. 洛必达法则使用前提：（1）分子分母都趋向于0。

（2）分子分母的极限都存在。

（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。

第一层次00∞∞第二层次0*∞：转换成00或∞∞∞-∞：通分化为00（常用换元的方法求解） 第三层次 1∞∞000使用f ff 进行转化。

第3节连续与间断a)连续某点：极限值=函数值⇔函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。

闭区间：开区间连续切在端点连续b)间断第一类间断点（左右极限都存在）可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。

振荡间断点：因振荡而不存在。

c)初等函数的连续性i.基本初等函数在相应的定义域内连续。

ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。

iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。

iv.原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。

v.一切初等函数在相应定义区间内连续。

d)闭区间连续函数的性质如果f(x)在[a,b]连续，则：1.f(x)在[a,b]有界。

2.有最大最小值3.介值定理4.零点定理：f(a)*f(b)<0，a、b之间必有零点。

第二章一元函数微分学第1节导数与微分1导数a)导数定义：增量比，取极限。

b)左导数和右导数存在且相等⇔导数存在c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。

d)导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etce)导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。

∗f′(f)f)函数的相对变化率（弹性）：ffg) 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。

h) 偶函数的导数是奇函数。

2 微分微分定义：自变量?x沿着切线方向的增量?y。

3 求导法则a) 导数微分表（4组16个）。

b) 导数的四则运算。

c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。

d)复合函数求导法则。

e) 参数方程求导：dydx =dydt /fffff) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y 当作x 的函数处理。

g) 对数求导法i. 幂指函数：先将等式两边同时化为ln 的真数，再运用隐函数求导法则。

ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为ln 的真数，变成连加，再运用隐函数求导法则。

4 高阶导数a) 莱布尼茨公式：[u (x )v (x )](f )=∑f f f f f =0f (f )(f )f (f −f )(f ) b) 反函数的二阶导数：−f ′′(f )[f (f )]c) 参数方程的二阶导数：f ′′f ′−f ′f ′′(f ′)3第2节 微分中值定理1 罗尔中值定理条件：（1）f(x)在[a,b]连续。

（2）f(x)在(a,b)可导。

（3）f(a)=f(b)。

结论：在a 和b 之间必有一个值f 使得f ’(f )=0。

几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。

引申---费马引理y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x)=0。

2拉格朗日中值定理条件：（1）f(x)在[a,b]连续。

（2）f(x)在(a,b)可导。

结论：在a和b之间必有一个值f使得f’(f)=f(f)−f(f)f−f。

几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。

证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。

使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。

3柯西中值定理条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。

（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。

且g’(x)≠0结论：在a和b之间必有一个值f使得f′(f)f′(f)=f(f)−f(f)f(f)−f(f)。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。

证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。

证明过程与拉格朗日中值定理相同。

使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。

4泰勒中值定理泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。

f(f)=∑f(f)(f0)f!(f−f0)f+f(f+1)(f)(f+1)!(f−f0)f+1∞f=0拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。

使用该定理的信号：高阶导数。

使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。

（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。

（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。

第3节 微分学的应用1 单调性、极值单调性：f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。

极值：极值点和导数为零的点没有充要条件关系。

可导函数的极值点，对应的导数值为0。

（费马引理） 驻点（导数为0的点）不一定是极值点。

第一判定法：若在f 0的邻域内，f 0左右导数异号，则f 0是一个极值点。

第二判定法：f 0为驻点，且在f 0处，f(x)的二阶导数存在。

通过二阶导数的符号进行判定。

2 最值（闭区间）最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。

3 凹凸、拐点凹凸：视觉定位：俯视 凹函数：f (f 1+f 22)≤f (f 1)+f (f 2)2凸函数：f (f 1+f 22)≥f (f 1)+f (f 2)2凹函数：f ’’(x)>0 凸函数：f ’’(x)<0拐点：可能出现在f ’’(x)=0或f ’’(x)不存在的点，但不一定是。

4 渐近线水平渐近线：当f(x)趋向于∞时，极限存在，则该极限为水平渐近线。

铅直渐近线：当f(x)趋向于f 0时，极限趋向于∞，则f 0为该函数的铅直渐近线。

斜渐近线：当f(x)趋向于∞时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。

其中，k=f (f )f ，b=lim f →∞[f (f )−ff ]。

5 函数图像的描绘利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。

6曲率弧微分：ds=√1+[f′(f)]2ff曲率即：角度在单位弧长的变化。

曲率：K=ffff =ff/ffff/ff=|f′′|[(1+(y′)2]32曲率半径：ρ=1f曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动ρ的长度，即得到曲率圆的圆心。