2018年考研数学模拟试题(数学三)
考研数学三模拟题2018年(33)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(33)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知则f (n) (3)=______．SSS_FILL分值: 2[解析]则所以2.SSS_FILL分值: 23e [解析] 令则于是3.SSS_FILL分值: 22(1-ln2) [解析] 令则因为S(0)=0，所以则4.设级数条件收敛，则p的取值范围是______．SSS_FILL分值: 2[解析]因为条件收敛，所以即p的范围是5.设y=y(x)满足，且有y(1)=1，则．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由得函数y=y(x)可微且，积分得，因为y(1)=1，所以C=0，于是，故6.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由，得，即，令z=e y，则，解得，所以原方程的通解为．7.微分方程yy"-2(y") 2 =0的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y=C或者[解析] 令y"=p，得，代入原方程得则p=0，或．当p=0时，y=C；当时，，即．由，得，从而，所以原方程的通解为y=C或者．8.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2lnx+C [解析] 令，所以9.以y=C1 e x +e x (C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y""-3y"+4y"-2y=0 [解析] 特征值为λ1 =1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ 3 -3λ 2+4λ-2=0，所求方程为y""-3y"+4y"-2y=0．10.设y(x)为微分方程y"-4y"+4y=0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=2的特解，则SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] y"-4y"+4y=0的通解为y=(C1 +C2x)e 2x，由初始条件y(0)=1，y"(0)=2得C1 =1，C2=0，则y=e 2x，于是11.差分方程yt+1 -2yt=3×2 t的通解为y(t)=______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] yt+1 -2yt=0的通解为y(t)=C×2 t，f(t)=3×2 t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2 t，代入原方程得，故原方程的通解．二、选择题1.设条件收敛，且，则______．SSS_SINGLE_SELA |r|＜1B |r|＞1C r=-1D r=1分值: 2答案:C[解析] 因为条件收敛，所以级数一定不是正项或负项级数，故r≤0．若|r|＜1，则，级数绝对收敛，矛盾；若|r|＞1，则，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加，，于是发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=-1，选C．2.设，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 显然条件收敛，，因为，而收敛，所以收敛，选B．3.设幂级数在x=6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______．A．2B．4C．D．无法确定SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:A[解析] 因为在x=6处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=4，又因为级数有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是的收敛半径为R=2，选A．4.设y(x)是微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x满足初始条件y(0)=0，y"(0)=1的解，则______．SSS_SINGLE_SELA 等于1B 等于2C 等于0D 不存在分值: 2答案:A[解析] 微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x中，令x=0，则y"(0)=2，于是，选A．5.二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为______．• A.(ax+b)e-x•**•**(ax+b)e-x**(ax+b)e-xSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] 方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特征方程为λ 2 -2λ-3=0，特征值为λ1 =-1，λ2=3，故方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为x(ax+b)e -x，选D．6.设φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______．SSS_SINGLE_SELA C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1分值: 2答案:D[解析] 因为φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1 (x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1 (x)y"+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D．三、解答题1.讨论级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令则因为而收敛，所以收敛，由正项级数的比较审敛法得收敛．2.设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令，由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛，而发散．设是正项收敛级数，则，取ε0 =1，存在自然数N，当n＞N时，|an-0|＜1，从而0≤an＜1，当n＞N时，有．由收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛，所以收敛．3.设，级数中，哪个级数一定收敛?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解不一定收敛，如，显然，而，因为收敛，而发散，所以发散；不一定收敛，如，显然发散；不一定收敛，如，显然发散；一定收敛．由，得，又收敛，所以收敛，即绝对收敛，所以一定收敛．4.若正项级数收敛，证明：收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5证明因为收敛，所以，当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而，所以再由收敛，故收敛．设．SSS_TEXT_QUSTI5.求的值；分值: 2.5解，则，，因为，所以．SSS_TEXT_QUSTI6.证明：对任意常数λ＞0，收敛．分值: 2.5证明因为，所以，而收敛(λ＞0)，所以收敛．7.设，讨论级数的敛散性，若收敛求其和．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解因为收敛，所以收敛．因为所以于是的和为8.设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明令Sn =a1+a2+…+an，S"n+1=(a1-a)+2(a2-a1)+…+(n+1)(an+1 -an)，则S"n+1 =(n+1)an+1-Sn-a，因为收敛且数列{nan}收敛，所以都存在，于是存在，根据级数收敛的定义，收敛．9.设an＞0(n=1，2，…)且单调减少，又级数发散，判断的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解因为单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以存在，令，由发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由，得级数收敛．证明：SSS_TEXT_QUSTI10.设an ＞0，且{nan}有界，则级数收敛；分值: 3证明因为{nan }有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即，而级数收敛，所以级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI11.若，则级数收敛．分值: 3证明取，因为，所以存在N＞0，当n＞N时，，即，或者，而收敛，所以收敛．设(n=1，2，…；an ＞0，bn＞0)，证明：SSS_TEXT_QUSTI12.若级数收敛，则级数收敛；分值: 3证明由，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，存在，令．无论A=0还是A＞0，若级数收敛，则级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI13.若级数发散，则级数发散．分值: 3证明若A=0，由级数发散，得级数发散；若A＞0，级数敛散性相同，故若级数发散，则级数发散．14.设{un }，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cn un-cn+1un+1≤0，且发散，则也发散；(2)若对一切正整数n满足，且收敛，则也收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明显然为正项级数．(1)因为对所有n满足cn un-cn+1un+1≤0，于是cn un≤cn+1un+1cnun≥…≥c1u1＞0，从而．因为发散，所以也发散．(2)因为对所有n满足，则cn un-cn+1un+1≥aun+1，即cn un≥(cn+1+a)an+1，所以，于是因为收敛，所以也收敛．15.对常数p，讨论幂级数的收敛区间．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解由，得幂级数的收敛半径为R=1．(1)当p＜0时，记q=-p，则有，因而当x=±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(-1，1)，(2)当0＜p＜1时，对，因为，所以x=1时，级数发散，当x=-1时，显然收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1)；(3)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x=-1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1]．1。
2018考研数学(三)真题
代入已知条件
f x dx 0, 得
0
1
2 1 1 f 1 1 0 f f x x dx 0 2 2 2 2 2 1 2 2 1 f x 1 1 1 x f f x dx 2 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 1 1 f f x dx 2 2 0 2 2 1 f 1 1 f x dx, 0 2 2 2
1 1 0 （5） 下列矩阵中， 与矩阵 0 1 1 相似的为 0 0 1 1 1 1 (A) 0 1 1 . 0 0 1 1 0 1 (B) 0 1 1 . 0 0 1
【
】
1 1 1 (C) 0 1 0 . 0 0 1
x
lim
0 x
x
2 x
2
0,
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x
x
2 x
2
1 , 2
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x
x 2 x
2
lim
1 ，Y 服从参数为 的泊松 2
设总体 X 的概率密度为 f x;
1 e , 其中 0, 为未知参数， X1 , X 2 X n 为来自总体 2
x
X 的简单随机样本，记 的最大似然估计量为 .
（Ι ）求 ； （Ⅱ）求 E 和 D .
1 , 则 P AC A B 2
考研数学三模拟题2018年(13)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三模拟题2018年(13)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．SSS_FILL分值: 12 1[解析] 因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．2.设η为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．SSS_FILL分值: 13 k(-3，1，2) T [解析] AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2) T．二、选择题1.设A是m×s矩阵，B为s×n矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=sB r(A)=mC r(B)=sD r(B)=n分值: 1答案:A[解析] 设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0。
因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1 -η2)D．AX=b的通解为SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A *≠O，所以r(A)=n-1，η2 -η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．3.设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是______．SSS_SINGLE_SELA (1)(2)B (1)(3)C (2)(4)D (3)(4)分值: 1答案:B[解析] 若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______．SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解分值: 1答案:A[解析] AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．5.设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=mB r(A)=nC A为可逆矩阵D r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示分值: 1答案:D[解析] 方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．三、解答题1.设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1 =0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．2.设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1 +x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0) T +k2 (-1，0，1，…，0) T+…+kn-1(-1，0，…，0，1) T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1) T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1) T (k为任意常数)．3.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组AX=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由得通解为4.a，b取何值时，方程组有解?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)a≠1时，唯一解为(2)a=1，b≠-1时，r(A)≠ ，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1时，通解为X=k1 (1，-2，1，0) T +k2(1，-2，0，1) T +(-1，1，0，0) T (k1，k2为任意常数)．5.A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为所以方程组有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．设(Ⅰ) α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α1=SSS_TEXT_QUSTI 6.求方程组(Ⅰ)的基础解系；分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI7.求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；分值: 2[解] 因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；SSS_TEXT_QUSTI8.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的通解为方程组(Ⅱ)的通解为=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，令，则有取k21，1，1) T (其中k为任意常数)．设(Ⅰ)(Ⅱ)SSS_TEXT_QUSTI9.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；分值: 3[解] 的基础解系为的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI10.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．分值: 3[解] 方法一(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为方法二(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ) =2k2，故(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(-k，k，2k，k) T =k(-1，1，2，1) T (k为任意常数)．方法三(Ⅰ)的通解为(Ⅱ)的通解为令∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为11.问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 方法一的通解为把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得方法二因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关．α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α1=-2β1+β2+aβ2a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．12.证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A TY=0及若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r( )，从而又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则从而r(A)=r( )，故方程组(Ⅰ)有解．13.设的一个基础解系为写出的通解并说明理由．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令则(Ⅰ)可写为AX=0，令其中则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，．α1T，α2T，…，αn T为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．14.设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r +kη=0，若k=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+kη=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，所以k≠0，故η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．SSS_TEXT_QUSTI15.证明分值: 3[证明] 因为n=r(CA+DB)=所以SSS_TEXT_QUSTI16.设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组Ax=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．分值: 3[证明] 因为所以方程组只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．17.设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A * b=0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A * b=A * AX=|A|X=0．反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A11≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A * X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A* X=0的基础解系．因为A * b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)= =n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．18.证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB) T ]=r(AB)=r(B T A T)≤r(A T )=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．19.证明：r(A)=r(A T A)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 只需证明AX=0与A T AX=0为同解方程组即可．若AX0 =0，则A T AX=0．反之，若A T AX0 =0，则XT A T AX=0 (AX) T (AX)=0 AX=0，所以AX=0与A T AX=0为同解方程组，从而r(A)=r(A T A)．20.设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足．证明：方程组AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r．设η为方程组AX=b的一个特解，令β0=η，β1=ξ1+η，β2=ξ2+η…，βn-r=ξn-r+η0，显然β，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解．令k0β+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0 +k1+…+kn-r)η+k1β1+k2β2+…+kn-rβn-r=0，上式两边左乘A得(k0 +k1+…+kn-r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0 +k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ1，ξ2，…，ξn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．21.讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠-1，b≠-2时．因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，方程组的通解为(3)当a≠-1，b=-2时，当a=1时，方程组的通解为当a≠1时，显然r(A)=2≠ =3，方程组元解．22.设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程组AX=B等价于则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r( )，由r(A)=r( )得a=1，b=2，c=-2，此时AX1=β1的通解为AX2=β2的通解为AX 3 =β 3 的通解为 则 其中k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数． 1。
2018年考研数学三真题及答案解析(完整版)
(C) f x cos x
(D) f x cos x
【答案】（D）
【解析】根据导数的定义：
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（A） x0 x
x0 x
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（B） x0
x
x0 x
cos lim
x
1
lim
1 2
t 0
t 0
2= lim (1 bt)et 1 lim et 1 lim btet 1 b,
t 0
t
t t 0
t t 0
从而b 1.
综上，a 1,b 1.
(16)(本题满分 10 分)
设平面区域D由曲线y 3 1 x2 与直线y 3x及y轴围成, 计算二重积分 x2dxdy.
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ ）
(A) f x x sin x
(B) f x x sin x
x
x
x 0时，可得f (x) 2xf (x) f (x) 2xf (x) 0.
由公式得：f (x) Ce(2x)dx =Cex2 , f (0) 2 C 2. 故f (x)=2ex2 f (1) 2e.
(13) 设A为3阶矩阵, a1, a2, a3是线性无关的向量组,若Aa1 a1 a2, Aa2 a2 a3, Aa3 a1 a3,
2018年考研数学三试题与答案解析(完整版)
M 2 (1
2
2x ) dx 22 1dx 1 x2
x - , 时， 1 cos x 1, 所以K M 2 2 令f ( x) 1 x e x , f (0) 0, f ( x) 1 e x 当x 0, 时，f ( x ) 0; 当x , 0 时，f ( x ) 0 2 2 1 x 所以x - , 时，有f ( x ) 0，从可有 x 1，由比较定理得N<M, 故选C e 2 2
B. f ( x ) x sin( D. f ( x ) cos(
x) x)
f - 0 lim
x 0
x sin x x x sin x x
lim
x 0
x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x
0 2
B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
【解析】特殊值法：由已知可将 f ( x ) 看成随机变量 X N 1, 布的对称性， P X 0 0.2
2
的概率密度，根据正态分
1 n Xi ， n i 1
Born to win
2018 年考研数学三试题与答案解析（完整版)
——跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． 1. 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ A. f ( x ) x sin( x ) C. f x cos( x ) 【答案】D 【解析】 A 可导： ） 。
(完整版)2018考研数学三真题.docx
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题 :1 : 8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在 x 0 处不可导的是（）(A)f x x sin x(B)f x x sin x(C)f x cos x(D)f x cos x设函数 f x在 0,11x dx0,则（）(2)上二阶可导，且f(A) 当f( x)10(B)当 f( x)0时 , f(10 0时, f ()) 22(C)当 f ( x)10(D)当 f( x)0时 , f(10 0时 , f ( ))22 2xxdx, K(3)设 M21x2 dx, N 2121cosx dx, 则（）21x2e2(A) M N K(B) M K N(C) K M N(D)K N M(4)设某产品的成本函数 C (Q )可导，其中 Q为产量 .若产量为 Q0时平均成本最小，则()(A) C (Q0 )0(B) C (Q0 ) C (Q0 )(C) C (Q0 )Q0C (Q0 )(D)Q0 C (Q0 ) C (Q0 )110(5)下列矩阵中，与矩阵011相似的为（）001111101(A)011(B)011001001111101(C)010(D)010001001(6)设A、B为n阶矩阵，记 r X 为矩阵 X的秩， X ,Y 表示分块矩阵，则（）(A)r A, AB r A(B)r A, BA r A(C)(D)r A T B TX 的概率密度f x 满足 f1x f 120.6, 则 P X 0 （（ 7 ）设随机变量x , 且 f x dx）(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.5(8)设 X1 , X 2 ,..., X n (n 2)为来自总体 N (,2 )(0) 的简单随机样本，令X 1 n X i ,n i 1S1n( X i X ) 2 , S* 1 n( X i)2 , 则（）n 1 i 1n i 1n( X)(B)n ( X)1)(A)S ~ t( n)S~ t( nn( X)(D)n ( X)1)(C)S*~ t( n)S*~ t( n二、填空题： 9 :14 小题 , 每小题 4分, 共 24 分 .(9)曲线 y x22ln x在其拐点处的切线方程是________.(10)e x arcsin 1 e2 x dx________.(11)差分方程2 y x y x 5的通解是________.(12)设函数 f x 满足 f x x f x2xf x x o x x0 ,且 f0 2,则 f 1______.(13)设A为3阶矩阵 , a1 ,a2 , a3是线性无关的向量组 , 若Aa1a1a2 , Aa2 a2a3 , Aa3a1 a3 ,则A =__________.(14)随机事件 A, B,C 相互独立 , 且 P A P B P C 1, 则P AC A U B__________. 2三、解答题： 15～ 23 小题 , 共 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)( 本题满分 10 分)1已知实数 a, b 满足lim ax b e x x 2, 求a, b.x(16)( 本题满分 10 分)设平面区域 D由曲线 y 3 1x2与直线 y3x及 y轴围成 , 计算二重积分x2dxdy.D(17)( 本题满分 10 分)将长为 2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.(18)( 本题满分 10 分)已知 cos2 x1a n x n ( 1x1),求 a n .(1 x)2n 0(19)( 本题满分 10 分)设数列 x n满足： x10, x n e x n 1e x n1(n 1,2,L ), 证明 x n收敛，并求 lim x n .n (20)( 本题满分 11 分)设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) (x1, x2x3 )2( x2x3 )2( x1ax3) 2 , 其中 a是参数 .(I)求 f (x1, x2 , x3 ) 0的解；(II)求 f ( x1 , x2 , x3 )的规范形 .(21)( 本题满分 11 分)12a1a2已知 a是常数，且矩阵 A= 130可经初等列变换化为矩阵B= 01 1 .27a111(I)求a;(II)求满足 AP B的可逆矩阵 P.(22)( 本题满分 11 分 )设随机变量 X 与 Y相互独立， X的概率分布为 P X 1 P X11,Y服从参数为的泊松分布 . 2令 Z XY .(I)求Cov X , Z ;(II)求 Z的概率分布 .(23)( 本题满分 11 分 )设总体 X的概率密度为1xf (x,) e ,x,2其中(0,)为未知参数，X1, X2,L, X n为来自总体X的简单随机样本记的最大似然估计量为μ..(I)求 ?；(II)求 E ?和 D ( ?).。
2018考研数学三真题及答案
2018考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()().sin A f x x x = ().B f x x =().?C f x cos x = ().D f x =答案:() D 解析:方法一:()()()000sin 0limlim lim sin 0,x x x x x x f x f x x xx A →→→-===可导 ()()()0000limlim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导()()()20001cos 102limlim lim 0,x x x x x f x f x x C x→→→---===可导 ()()()000102limlim x x x x f f x xD x →→→--==不存在,不可导 应选()D . 方法二:因为()(1)0f f x ==()()000102lim limx x x x f x f x x→→→--==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()()32:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()10,f x dx =⎰则()()1'0,02A f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫><⎪⎝⎭当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭当时 答案()D【解析】将函数()f x 在12处展开可得()()()()()222111000''1111',22222''1111111''',22222222f f x f f x x f f x dx ff x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰故当''()0f x >时,()111.0.22f x dx f f⎛⎫⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰从而有选()D 。
2018年考研数学三真题及答案解析
1
0 0 1
1 0 1
B. 0 1
1
0 0 1
1 1 1
C. 0 1
0
0 0 1
1 0 1
D. 0 1
0
0 0 1
答案: A
1 1 0
1 1 0
解析:令
P
0
1
0
则
P 1
0
1
0
0 0 1
0 0 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0
P 1
AP
一、 选择题
2018 年考研数学三真题及答案
1.下列函数中,在 x 0处不可导的是()
A. f x x sin x
B. f x x sin x
C. f x ?cos x
D. f x cos x
答案: D
解析:方法一:
A lim f x f 0 lim x sin x lim x sin x 0, 可导
n 1 i 1 i
2
1
n
(X
X )2 ，
ni i 1
则下列选项正确的是 ______ ．
n X
(A)
t n ；
S
n X
(C) S*
t n ；
n X
(B)
t n 1 ；
S
n X
(D) S*
t n 1 ．
n
解
由于
X
~
N
0, 1
，(n 1)S 2 2
(Xi X )2
x0
x
x0 x
应选 D .
方法二:
因为 f (x) cos x , f 0 1
f x f 0 cos
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2018年考研数学模拟试题（数学三）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
(1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则
2
0)(lim x x
x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在.
（2）设在全平面上有0),(<∂∂x y x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ）
（A ）21x x >，21y y <.
（B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >.
（3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0<x 时有()0f x '<，()0f x ''>，则当0>x 时有（ ）
（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f .
（C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f .
(4) 设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（ ）
（A ）在(0,)δ内单调增加（B ）在(,0)δ-内单调减少
（C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f >
（D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >
（5）二次型222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范型是（ ）.
（A ）222123f z z z =++. （B ）222123f z z z =+-.
（C ）2212f z z =-. （D ）21f z =.
（6）设1211121k A k k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，B 是三阶非零矩阵，且AB O =，则（ ）.
（A ）当1k =时，()1r B = . （B ）当3k =-时，()1r B =.
（C ）当1k =时，()2r B = . （D ）当2k =-时，()2r B =.
（7）设随机变量X 与Y 分别服从12N -（，）和2N （1，）
，且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则（ ）.
（A ）120k k +=. （B ）120k k ==.
（C ）120k k +≠. （D ）120k k +≠.
(8) 设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样
本方差，则 （ ） （A ）~(0,1)nX N . （B ）22~()nS n χ.
（C ）)1(~)1(--n t S X n . （D ）212
2
(1)~(1,1)n i i n X F n X =--∑. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（9）设)(1lim )(2212N n x bx
ax x x f n n n ∈+++=-∞→，若1lim ()x f x → 与1
lim ()x f x →-都存在，那么a =________， ________b =.
（10）2
22222
021
lim cos()xy r x y r e x y dxdy r π→+≤-⎰⎰________=.. (12) 设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则
dx x f ⎰π
0|)(|________=.
（13）设矩阵2T A E αβ=+，其中,αβ是n 维列向量，且2T αβ=，则1______A
-=. （14）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，
1161()6Y X X =++27891()3
Y X X X =++，922271()2i i S X Y ==-∑
，12)Y Y Z S -=，则统计量Z 服从______.
三、解答题（15-23题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（15）（10分）设()f x 在(,0]-∞上连续，且满足
222
2201()ln(1)12x x tf t x dt x x -=-++⎰
，求()f x 及其极小值.
（16）（10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导，且()0,()0,()0f a f b f a +'=><.证明：
①在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=；
②在(,)a b 内至少存在一点η，使得()0f η''>.
（17）（10分）求微分方程2
36xy y x '=-的一个解()y y x =，使得曲线()y y x =与直 线1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小.
（18）（10
分）计算1D I d σ=
，区域D
由曲线y =和x 轴围成.
（19）（10分）求幂级数21(1)n
n n n x n ∞
=+-∑的收敛域及和函数.
（20）（11分）设33A ⨯是实对称矩阵，12A =-，A 的三个特征值之和为1，且
102T α=-（，，）是方程组(4)0A E x *-=的一个解向量.
①求矩阵A ；
②求方程组(6)0A E x *
+=的通解.
（21）（11分）设n 阶实对称矩阵A 的秩为r ，且满足2A A =，求 ①二次型T
x Ax 的标准形；
②行列式||2n A A A E ++++ 的值，其中E 为单位矩阵.
（22）（11分）已知随机变量X 与Y 的联合概率分布为 0
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11/31/3Y X αβ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ①证明X 与Y 不相关的充分必要条件是事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立； ②若X 与Y 不相关，求X 与Y 的边缘分布.
（23）（11分）设总体),1(~θU X ，参数1>θ未知，n X X ,,1 是来自X 的简单随机样本. ①求θ的矩估计和极大似然估计量；
②求上述两个估计量的数学期望.。