2018年考研数学模拟试题(数学二)
2018考研数学模拟题完整版及参考答案(数二)
2018考研数学模拟题完整版及参考答案（数二）一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ） （A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ] （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .x y y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠.(C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. （7）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=. （Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =（11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小. （16）（本题满分10分）求 arcsin e d e xxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<== （Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算11lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； （Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.2018可锐考研数学答案（四）1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>， 则 0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P .165【例6.1】，P .193【１（３）】.2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰， 而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可. 【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】.4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即. 故对应的齐次微分方程为 20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）. 【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P .156【例 5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P .195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P .93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα= ，则12(,,,)s A A A AB ααα= .所以，若向量组12,,,s ααα 线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα 也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4s i n 14s i n1l i m l i m 2c o s 52c o s 55x x x x x x xx x x →∞→∞++==--.故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b bb b b x x x x x xb +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰.【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e xy Cx -=.（1e CC =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P .139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x y y x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d yyy x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x y x==-.方法三：令(,)1e yF x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y F F x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2B A E E -= 于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P .378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B A B C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩. 【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P .124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21tx t x t t =-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P .284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<. 可推得 10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<= ，则数列{}n x 有界. 于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1s i n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n t x =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=+∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x yxy∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得 ()()0f u f u u'''+=. （II ） 令()f u p '=，则d d 0p p u p u p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln ln p u C =-+，即1C p u =，亦即 1()C f u u'=. 由(1)1f '=可得 11C =.所以有 1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+， 由(1)0f =可得 20C =，故 ()ln f u u =.【评注】 本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P .337【例12.15】21. 【分析】 （I ）利用曲线凹凸的定义来判定；（II ）先写出切线方程，然后利用 (1,0)-在切线上 ； （III ）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】 （I ）因为d d d d 422d 2,421d d d d 2d yx y y t t t t x t t x t tt-==-⇒===-2223d d d 12110,(0)d d d d 2d y y t x x t x t tt t⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L 当0t ≥时是凸的.（II ）由（I ）知，切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+ 整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为(1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -，设L 的方程()x g y =，则()3()(1)d S g y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =，即(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰3(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y yy =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】.22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=. 则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤.又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a a b a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解.13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P .427【例4.5】，P.431【例4.11】.23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T (1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛ ⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令 []123,,Q ηηη=，则1T Q Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。
考研数学二模拟题2018年(62)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(62)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.积分的值等于______．SSS_FILL该问题分值: 42.交换积分次序f(x，y)dx=______．SSS_FILL该问题分值: 43.交换二次积分的积分次序SSS_FILL该问题分值: 44.设区域D为x 2 +y 2≤R 2，则SSS_FILL该问题分值: 45.微分方程y"+ytanx=cosx的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=(x+C)cosx；6.微分方程xy"+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为______．SSS_FILL该问题分值: 4xy=2；7.微分方程xy"+3y"=0的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=C1 x -2 +C2；8.微分方程y"-2y"+2y=e x的通解为______．SSS_FILL该问题分值: 4y=e x (C1 cosx+C2sinx)+e x；9.设y=e x (C1 sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为______．SSS_FILL该问题分值: 4y"-2y"+2y=0．二、选择题1.已知为某函数的全微分，则a等于______SSS_SINGLE_SELA -1．B 0．C 1．D 2．该问题分值: 4答案:D2.设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B3.二元函数f(x，y)在点(x0，y)处两个偏导数f"x(x，y)，f"y(x0，y)存在是f(x，y)在该点连续的______SSS_SINGLE_SELA 充分条件而非必要条件．B 必要条件而非充分条件．C 充分必要条件．D 既非充分条件又非必要条件．该问题分值: 4答案:D4.二元函数在点(0，0)处______SSS_SINGLE_SELA 连续，偏导数存在．B 连续，偏导数不存在．C 不连续，偏导数存在．D 不连续，偏导数不存在．该问题分值: 4答案:C5.考虑二元函数的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y)处连续；②f(x，y)在点(x0，y)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y)处可微；④f(x，y)在点(x0，y)处的两个偏导数存在．若用“P Q”表示可由性质P推出性质Q，则有______A．② ③ ①．B．③ ② ①．C．③ ④ ①．D．③ ① ④．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A6.设有三元方程xy-zlny+e xz =1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程______SSS_SINGLE_SELA 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)．B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)．C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数z=x(y，z)和z=z(x，y)．D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数,x=x(y，z)和y=y(x，2)．该问题分值: 4答案:D7.已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且，则______SSS_SINGLE_SELA 点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B 点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C 点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D 根据所给条件无法判断点(0，0)是否为f(x，y)的极值点．该问题分值: 4答案:A8.设可微函数f(x，y)在点(x0，y)取得极小值，则下列结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA f(x0，y)在y=y0处的导数等于零．B f(x0，y)在y=y0处的导数大于零．C f(x0，y)在y=y0处的导数小于零．D f(x0，y)在y=y0处的导数不存在．该问题分值: 4答案:A9.设f(x，y)连续，且，其中D是由y=0，y=x 2，x=1所围区域，则f(x，y)等于______A．xy．B．2xy．C．D．xy+1．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C10.设f(x)为连续函数，，则F"(2)等于______SSS_SINGLE_SELA 2f(2)．B f(2)．C -f(2)．D 0．该问题分值: 4答案:B11.设，其中D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则______SSS_SINGLE_SELA I3＞I2＞I1．B I1＞I2＞I3．C I2＞I1＞I3．D I3＞I1＞I2．该问题分值: 4答案:A12.是设D是xOy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1D在第一象限的部分，则等于______A．B．C．D．0．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A13.累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D14.设非齐次线性微分方程y"+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1 (x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是______SSS_SINGLE_SELA C[y1(x)-y2(x)]．B y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]．C C[y1(x)+y2(x)]．D y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．该问题分值: 4答案:B15.设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+p(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是______SSS_SINGLE_SELA C1y1+C2y2+y3．B C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．该问题分值: 4答案:D16.若连续函数f(x)满足关系式，则f(x)等于______ •**．•**．•**+ln2．**+ln2．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:B1。
考研数学二模拟题2018年(44)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(44)(总分100, 做题时间90分钟)一、选择题1.设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的______ SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分但非必要条件．C 必要但非充分条件．D 既非充分又非必要条件．分值: 2.5答案:A2.设f(x)是连续函数，且，则F"(x)等于______• A.-e-x f(e-x)-f(x)．• B.-e-x f(e-x)+f(x)．•**(e-x)-f(x)．**(e-x)+f(x)．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:A3.已知函数f(x)具有任意阶导数，且f"(x)=[f(x)] 2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f (n) (x)是______•**![f(x)]n+1．•**[f(x)]n+1．C.[f(x)]2n．**![f(x)]2n．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:A4.设函数对任意x均满足f(1+x)=af(x)，且f"(0)=b，其中a，b为非零常数，则______SSS_SINGLE_SELA f(x)在x=1处不可导．B f(x)在x=1处可导，且f"(1)=a．C f(x)在x=1处可导，且f"(1)=b．D f(x)在x=1处可导，且f"(1)=ab．分值: 2.5答案:D5.设f"(x)=3x 3 +x 2 |x|，则使f (n) (0)存在的最高阶导数n为______ SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 3．分值: 2.5答案:C6.设函数y=f(x)在点x0处可导，当自变量x由x增加到x+Δx时，记Δy为f(x)的增量，dy为f(x)的微分，等于______SSS_SINGLE_SELA -1．B 0．C 1．D ∞．分值: 2.5答案:B7.设在x=0处可导，则______SSS_SINGLE_SELA a=1，b=0．B a=0，b为任意常数．C a=0，b=0．D a=1，b为任意常数．分值: 2.5答案:C8.设f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充要条件为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:B9.设函数f(x)在(-∞，+∞)上可导，则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2.5答案:D10.设函数f(x)在x=a处可导，则函数|f(x)|在x=a处不可导的充分奈件是______ SSS_SINGLE_SELA f(a)=0且f"(a)=0．B f(a)=0且f"(a)≠0．C f(a)＞0且f(a)＞0．D f(a)＜0且f"(a)＜0．分值: 2.5答案:B二、计算题1.讨论函数在x=0处的连续性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 当α≤0时，不存在，所以x=0为第二类间断点；当α＞0时，，所以β=-1时，f(x)在x=0连续；β≠-1时，x=0为第一类跳跃间断点．2.设f(x)在x=0的某邻域内二阶可导，且，求f(0)，f"(0)，f"(0)及SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]所以，在x=0的某邻域内二阶可导，所以f(x)，f"(x)在x=0处连续．因此3.y=ln[cos(10+3x 2 )]，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]4.已知f(u)可导，，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]5.已知，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]6.设y为x的函数是由方程确定的，求y"．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]x+yy"=y"x-y，所以7.已知SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解]8.设x=y 2 +y，u=(x 2 +x) 3/2，求SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] dx=(2y+1)dy，9.设函数f(x)二阶可导，f"(0)≠0，且SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由题意知：10.设曲线x=x(t)，y=y(t)由方程组确定．求该曲线在t=1处的曲率k．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由已知，其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1SSS_TEXT_QUSTI11.确定a的值，使f(x)在x=0点连续；分值: 5[解] f(x)在x=0点连接，所以SSS_TEXT_QUSTI12.求f"(x)．分值: 5所以13.已知当x≤0时，f(x)有定义且二阶可导，问a，b，c为何值时是二阶可导．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] F(x)连续，所以，所以c=f(-0)=f(0)；因为F(x)二阶可导，所以F"(x)连续，所以b=f"_(0)=f"(0)，且，F"(0)存在，所以F"_(0)=F"+(0)，所以所以14.已知SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]f (2k+1) (0)=0，k=0，1,2，…，f 2k (0)=n!，k=0,1,2，…15.设y=xlnx，求f (n)…(1)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 使用莱布尼茨高阶导数公式所以f (n) (1)=(-1) n-2 (n-2)!．16.证明y=(arcsinx) 2满足方程(1-x 2 )y (n-1)…-(2n-1)xy (n) -(n-1) 2 y (n-1) =0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因为y=(arcsinx) 2，所以所以(1-x 2 )y"=2+xy".对上式二边求n-1阶导数．按莱布尼茨公式有所以(1-x 2 )y (n+1) -(2n-1)xy (n) -(n-1) 2 y (n-1) =0．1。
考研数学二模拟题2018年(71)_真题-无答案
考研数学二模拟题2018年(71)(总分150,考试时间90分钟)一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 设常数a，b满足则A．B．C．D．2. 下列等式中正确的是A．B．C．D．3. 设y=f(x)在[a，b]上单调，且有连续的导函数，反函数为x=g(y)，又α=f(a)，β=f(b)，A. aβ-bα-A0．B. bβ-aα-A0．C. αβ-bα+A0．D. bβ-aα+A0．4. 设f(x)在(-∞，+∞)有连续的二阶导数且满足：f(x+h)+f(x-h)=f"(x+h)则A．f(x)只能恒为零．B．C．f(x)为一次多项式．D．f(x)为二次多项式．5. 设f(x，y)在点P0(x0，y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数，又记A=f"xx(x0，y0)，B=f"xy(x0，y0)，C=f"yy(x0，y0)则下列命题中错误的是A.若f(x0，y0)是极值，则AC-B2≥0.B.若f"x(x0，y0)≠0，则f(x0，y0)不是极值．C.若AC-B2＞0，则f(x0，y0)是极值．D.若f(x0，y0)是极小值，则f"x(x0，y0)=0且A≥0.6. 累次积分其中a＞0为常数，则I可写成A．B．C．D．7. 已知α，β，γ1，γ2，γ3均为4维列向量，若|A|=|α，γ1，γ2，γ3|=3，|B|=|β，γ1，γ2，γ3|=1，则|A+2B|=A. 135.B. 45.C. 15.D. 81.8. 三元二次型xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数p=A. 1.B. 2.C. 3.D. 与a、b有关．二、填空题1. 则2. 已知函数y(x)的参数方程是P是曲线y=y(x)上对应参数t=0的点，则曲线y=y(x)在点P 处的曲率K=______．3. 设正值函数f(x)在[1，+∞)连续，则函数在[1，+∞)的最小值点是x=______．4. 曲线与直线l：y=2x-4从x=1延伸到x→+∞之间的图形的面积A=______．5. 设y=y(x)是y"+4y"+4y=0满足y(0)=0，y"(0)=1的解，则6. 二次型的规范形是______．三、解答题15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1. 已知2. 设f(x)在(a，+∞)连续又存在，求证：f(x)在(a，+∞)有界；3. 求证：在(0+∞)有界．设f(x)在[a，b]有连续的二阶导数，求证：4.5. 若又有f(b)=f"(b)=0，则6. 求一曲线通过(2，3)，它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求此曲线的方程y=y(x)．7. 设f(x，y)在区域D上连续，且其中积分区域D是由圆x2+y2=y，x2+y2=4y与直线y=x以及y轴围成的．求f(x，y)．设u=u(x，t)有二阶连续导数，并满足其中a＞0为常数．8. 作自变量替换ξ=x-at，η=x+at，导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程；9. 求u(x，t)．10. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，且求证：至少一点ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)+ξ2(f(ξ)-ξ)=1.11. 已知齐次线性方程组和同解，求a，b，c的值并求满足x1=x2的解．设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，其中α3≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，Aα3=0.12. 证明α1，α2，α3线性无关；13. 求矩阵A的特征值和特征向量；14. 求行列式|A+2E|的值．。
考研数学二模拟题2018年(26)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(26)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设，则常数a=______．SSS_FILL分值: 3a=2．2.SSS_FILL分值: 3极限3.已知极限则a=______，b=______，c=______．SSS_FILL分值: 3a=1，b=0，4.已知SSS_FILL分值: 3极限=-15.已知函数SSS_FILL分值: 3f[f(x)]=1．6.SSS_FILL分值: 3极限=2．7.设函数f(x)有连续的导函数，f(0)=0，且f"(0)=b．若在x=0处连续，则常数A=______．SSS_FILL分值: 3A=a+b．8.设当x→0时，为x的三阶无穷小，则a=______，b=______．SSS_FILL分值: 39.SSS_FILL分值: 3极限10.已知，则A=______，k=______．SSS_FILL分值: 3二、选择题1.设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则______A．φ[f(x)]必有间断点．B．[φ(x)] 2必有间断点．C．f[φ(x)]必有间断点．D．必有间断点．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D2.设函数f(x)=xtanxe sinx，则f(x)是______SSS_SINGLE_SELA 偶函数．B 无界函数．C 周期函数D 单调函数分值: 3答案:B3.当x→1时，函数的极限SSS_SINGLE_SELA 等于2．B 等于0．C 为∞．D 不存在但不为∞．分值: 3答案:D4.若在x=0处连续，则a的值是______A．0．B．1．C．2．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A5.极限的值是______SSS_SINGLE_SELA 0．B 1．C 2．D 不存在．分值: 3答案:B6.设，则a的值为______A．1．B．2．C．D．均不对．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C7.设，则α，β的数值为______ A．B．C．D．均不对．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C8.设f(x)=2 x +3 x -2，则当x→0时，SSS_SINGLE_SELA f(x)是x的等价无穷小．B f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C f(x)是比x较低阶的无穷小．D f(x)是比x较高阶的无穷小．分值: 3答案:B9.设，则a的值为______SSS_SINGLE_SELA -1．B 1．C 2．D 3．分值: 3答案:A10.设，其中a 2 +c 2≠0．则必有______SSS_SINGLE_SELA b=4d．B b=-4d．C a=4c．D a=-4c．分值: 3答案:D三、计算题求下列极限：SSS_TEXT_QUSTI1.分值: 10[解]SSS_TEXT_QUSTI2.分值: 10[解]SSS_TEXT_QUSTI 3.分值: 10[解] 令，则SSS_TEXT_QUSTI 4.分值: 10[解]1。
考研数学二模拟题2018年(23)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(23)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知当x→0时，函数f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则SSS_SINGLE_SELA k=1，c=4.B k=1，c=-4.C k=3，c=4.D k=3，c=-4.该问题分值: 4答案:C[解析一] 用泰勒公式由题意即所以k=3，c=4.因此应选C．[解析二] 欲使由洛必达法则可得，只需和差化积得亦是所以k=3，c=4.因此应选C．2.设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny-x=1确定，则=SSS_SINGLE_SELA 2.B 1.C -1.D -2.该问题分值: 4答案:A[解析] 在方程cos(xy)+lny-x=1中，令x=0，得y=1，等式两端对x求导得将x=0，y=1代入上式，得y"(0)=1.于是选A.本题利用隐函数求导方法与导数定义，属基本题型．3.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则SSS_SINGLE_SELA 函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B 函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C 函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D 函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．该问题分值: 4答案:B[解析] 从图可看出，函数f(x)有3个驻点及1个不可导点，前两个驻点两侧f"(x)符号相反，而后一个驻点及不可导点两侧f"(x)符号相同，故函数f(x)有2个极值点．函数f(x)有两个二阶导数等于零的点及一个二阶导数不存在的点，在这些的点两侧曲线y=f"(x)的单调性相反，因而曲线y=f(x)有3个拐点．应选B．4.设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是A．B．C．-8ln2+3.D．8ln2+3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:A[解析] 先由x=3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标．当x=3时，有t 2 +2t=3，得t=1，t=-3(舍去，此时y 无意义)，于是可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为：y-ln2=-8(x-3)，令y=0，得其与x轴交点的横坐标为：故应A．注意本题法线的斜率应为-8.此类问题没有本质困难，但在计算过程中应特别小心，稍不注意答案就可能出错．5.设f(x，y)为连续函数，则等于A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:C[解析] 本题考查将极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可．由题设可知积分区域D如图所示，显然是Y型域，则故选C．本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形．6.设函数f(u，v)满足则依次是A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D[解析一] 先求出f(u，v)，直接求偏导数即可．令则故所以选D．[解析二] 令时，方程两边分别对x，y求偏导数得把代入上两式解方程组有应选D．7.n阶矩阵A具有，n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既非充分也非必要条件．该问题分值: 4答案:B[解析] A～Λ A有n个线性无关的特征向量．当λ1≠λ2时，λ1与λ2的特征向量必线性无关．因此，若A有n个不同的特征值，则矩阵A必有n个线性无关的特征向量．那么矩阵A必可相似对角化．由于矩阵A的特征值有重根时，矩阵A仍有可能相似对角化，所以特征值不同是A能相似对角化的充分条件，并不必要．故应选B．8.设A是n阶矩阵，α是n维列向量，若秩则线性方程组A．Ax=α必有无穷多解．B．Ax=α必有惟一解．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 4答案:D[解析] 因A是n阶矩阵，是n+1阶矩阵，有所以必有非零解．二、填空题1.曲线的斜渐近线方程为______．该问题分值: 4[解析] 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可．因为于是所求斜渐近线方程为如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握．这里应注意两点：1.当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2.若当x→∞时，极限不存在，则应进一步讨论x→+∞或x→-∞的情形，即在右或左侧是否存在斜渐近线，本题定义域为x＞0，所以只考虑x→+∞的情形。
考研数学二模拟题2018年(18)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(18) (总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.若线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4应满足条件______．SSS_FILL 该问题分值: 5a1 +a2+a3+a4=0；2.设其中ai ≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则线性方程A T x=B的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0) T；3.设A=(aij )3×3是实正交矩阵，且a11=1，b=(1，0，0) T，则线性方程组Ax=b的解是______．SSS_FILL该问题分值: 5(1，0，0) T；4.设方程有无穷多个解，则a=______．SSS_FILL该问题分值: 5-2．5.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54；6.矩阵的非零特征值是______．SSS_FILL该问题分值: 54．二、选择题1.设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解的充分必要条件是______SSS_SINGLE_SELA r=n．B r≥n．C r＜n．D r＞n．该问题分值: 5答案:C2.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是______SSS_SINGLE_SELA A的列向量线性无关．B A的列向量线性相关．C A的行向量线性无关．D A的行向量线性相关．该问题分值: 5答案:A3.设A为n阶实矩阵，A T是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A T Ax=0必有______SSS_SINGLE_SELA (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．该问题分值: 5答案:A4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0SSS_SINGLE_SELA 当n＞m时仅有零解．B 当n＞m时必有非零解．C 当m＞n时仅有零解．D 当m＞n时必有非零解．该问题分值: 5答案:D5.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系______SSS_SINGLE_SELA 不存在．B 仅含一个非零解向量．C 含有两个线性无关的解向量．D 含有三个线性无关的解向量．该问题分值: 5答案:B6.设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA 若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B 若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解．C 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D 若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．该问题分值: 5答案:D7.非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则______SSS_SINGLE_SELA r=m时，方程组Ax=b有解．B r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解．该问题分值: 5答案:A8.设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r(A)=3，α1 =(1，2，3，4) T，α2+α3=(0，1，2，3) T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:C9.设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A *的特征值之一是______• A.λ-1|A|n．• B.λ-1|A|．• C.λ|A|．• D.λ|A|n．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B10.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B11.设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P -1 AP) T属于特征值λ的特征向量是______•**α．•**α．•**α．D.(P-1)Tα．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 5答案:B12.n阶矩阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的______SSS_SINGLE_SELA 充分必要条件．B 充分而非必要条件．C 必要而非充分条件．D 既非充分也非必要条件．该问题分值: 5答案:B13.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则______SSS_SINGLE_SELA λE-A=λE-B．B A与B有相同的特征值和特征向量．C A与B都相似于一个对角矩阵．D 对任意常数t，tE-A与tE-B相似．该问题分值: 5答案:D14.设矩阵．已知矩阵A相似于B，则r(A-2E)与r(A-E)之和等于______SSS_SINGLE_SELA 2．B 3．C 4．D 5．该问题分值: 5答案:C1。
考研数学二模拟题2018年(54)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二模拟题2018年(54) (总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.四阶行列式中带负号且包含因子a12和a21的项为______．SSS_FILL 该问题分值: 2a12 a21a33a44；2.排列i1 i2…in可经______次对换后变为排列inin-1…i2i1．SSS_FILL该问题分值: 23.在五阶行列式中，(-1) τ(15423)+τ(23145) a12 a53a41a24a35=______a12a53a41 a24a35SSS_FILL该问题分值: 2-；4.在函数中，x 3的系数是______．SSS_FILL该问题分值: 2-2；5.设a，b为实数，则当a=______，且b=______时，SSS_FILL该问题分值: 20，0；6.在n阶行列式D=|(aij )n×n|中，当i＜j时，aij=0(i，j=1，2，…，n)，则D=______．SSS_FILL该问题分值: 2a11 a22…ann；7.设A为4×4矩阵，B为5×5矩阵，且|A|=2，|B|=-2，则|-|A|B|=______，|-|B|A|=______．SSS_FILL该问题分值: 264，32；8.设A为3×3矩阵，|A|=-2，把A按行分块为其中Ai(j=1，2，3)是A的第j行，则行列式SSS_FILL该问题分值: 26；9.设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A *·B -1 =______．SSS_FILL该问题分值: 2二、选择题1.设|A|=|(aij )n×n为n阶行列式，则a12a23a34…an-1nan1在行列式中符号为______• A.正．• B.负．• C.(-1)n．• D.(-1)n-1．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 2答案:D2.设A为n阶方阵，A *是A的伴随矩阵，则||A|A * |等于______ • A.|A|2．• B.|A|n．• C.|A|2n．• D.|A|2n-1．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 2答案:D3.设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有______SSS_SINGLE_SELA |A|=|B|．B |A|≠|B|．C 若|A|=0，则一定有|B|=0．D 若|A|＞0，则一定有|B|＞0．该问题分值: 2答案:C4.设A为m阶方阵，B为n阶方阵，，则|C|等于______ • A.|A||B|．• B.-|A||B|．• C.(-1)m+n|A||B|．• D.(-1)mn|A||B|．SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 2答案:D5.设三阶矩阵其中α，β，γ2，γ3均为三维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，则行列式|A-B|等于______SSS_SINGLE_SELA 1．B 2．C 3．D 4．该问题分值: 2答案:B三、解答题1.证明不等式SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 7证明：令f(x)=a x，则f"(x)=a x lna在上使用拉格朗日定理即又因为f(x)=a x，当a＞1时为单调递增的函数，所以当时，所以2.若a≥0，b≥0，0＜p＜1，证明：(a+b) p≤a p +b p．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：令f(x)=(x+b) p -x p -b p，显然f(0)=0．当x＞0时，因为0＜p＜1，所以-1＜p-1＜0，f"(x)=p(x+b) p-1 -px p-1＜0，所以当x＞0时，f(x)单减，所以f(a)≤f(0)=0．所以(a+b) p -a p -b p≤0，即得(a+b) p≤a p +b p，3.设函数f(x)在[0，1]上有连续导数，满足0＜f"(x)＜1，并且f(0)=0，求证：SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：令显然F(0)=0．因为0＜f"(x)＜1，所以f(x)单调递增．又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞0．令，显然Φ(0)=0．因为0＜f"(x)＜1，所以1-f"(z)＞0，即Φ(x)在x∈(0，+∞)单调递增．即得：Φ(x)=2f(x)-2f(x)f"(x)=2f(x)(1-f"(x))＞0，所以当x＞0时，Φ(x)＞0．由①知F"(x)＞0(x＞0)．当x＞0时F(x)≥F(0)．所以F(1)≥F(0)=0．即证得：4.求证：|a| p +|b| p≤2 1-p (|a|+|b|) p，(0＜p＜1)．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：(1)先证当0≤x＜1，0＜p＜1时，有2 1-p≥x p +(1-x) p≥1．今F(x)=x p +(1-x) p，F"(x)=px p-1 -p(1-x) p-1，-1＜p-1＜0，F(x)在上单调递增．F(x)在上单调递减．令F"(x)=0得即为最大值，又F(1)=F(0)=1，即1为其最小值．所以当0≤x≤1，0＜p＜1时，有2 1-p≥x p +(1-x) p≥1．(2)今则代入(1)的结论，即可得到即(|a|+|b|) p≤|a| p +|b| p≤2 1-p (|a|+|b|) p，(0＜p＜1)．5.求证：若x+y+z=6，则x 2 +y 2 +z 2≥12，其中x，y，z皆非负．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：条件极值问题：令F(x，y，z，λ)=x 2 +y 2 +z 2 -2(x+y+z-6)，则解①②③得：x=y=z=2．只有一个驻点，当x=y=z=2时达到最小值12．所以x 2 +y 2 +z 2≥12，(x≥0，y≥0，z≥0)6.证明：(1)若f(x)在[a，b]上是增加的，且其上f"(x)＞0，则(2)若f(x)在[a，b]上是增加的，且其上f"(x)＜0，则SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：(1)因为f(x)在[a，b]上是增加的，所以x∈[a，b]，都有f(x)＞f(a)，即有由拉格朗日中值定理f(x)-f(a)=f"(ξ)(x-a)，其中a＜ξ＜1，所以又因为f"(x)＞0，所以F"(x)单增，所以F"(x)＜0．所以F(x)单减．又因为F(a)=0，所以F(b)＜F(a)=0．即可得(2)证法同(1)．证明：SSS_TEXT_QUSTI7.该问题分值: 5令f(x)=x 2，．因为f(x)=x 2为凸函数，所以运用凸函数的性质可得f(p1 x1+…+pnxn)≤p1f(x1)+…+pnf(xn)．SSS_TEXT_QUSTI8.该问题分值: 5取f(x)=lnx，则f(x)为凹函数．令利用凹函数的性质，即得即得到9.设f"(x)∈C[a，b]，且f(a)=f(b)=0，求证：SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：因为10.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且当x∈[a，b]时，f"(x)＜0，试证：SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：因为f(x)在[a，b]上二阶可导，所以f(x)连续．又因为当x∈[a，b]时，f(x)f"(x)＜0，所以当x∈[a，b]时，f(x)≠0．分二种情形：①当x∈[a，b]，f(x)＜0时．由f(x)f"(x)＜0得到f"(x)＞0．所以即②当x∈[a，b]，f(x)＞0时．由f(x)f"(x)＜0得到f"(x)＜0．即11.设x＞0．证明：SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：①令于是当x＞0时，即当x＞0时，f(x)单增．所以当x＞0时f(x)＜0．即②令于是当x＞0时，即当x＞0时，g(x)单增，所以当x＞0时y(x)＜0，即由①②可得：12.若f"(x)在[0，2π]上连续，且f"(x)≥0，则对任意正整数n，有SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：所以13.设在(a，b)内f"(x)＞0，a＜x1＜x2＜b，0＜α＜1，试证：af(x1 )+(1-α)f(x2)＞f[αx1+(1-α)x2]．SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明：由拉格朗日中值定理可得：f(αx1 +(1-α)x2)-f(x1)=(1-α)(x2-x1)f"(ξ1)，①f(x2 )-f(αx1+(1-α)x2)=α(x2-x1)f"(ξ2) ②①×α-②×(1-α)得到f(αx1 +(1-α)x2)=αf(x1)+(1-α)f(x2)+α(1-α)(x2-x1)[f"(ξ1 )-f"(ξ2)]f(αx1 +(1-α)x2)+α(1-α)(x2-x1)[f"(ξ2)-f"(ξ1)]=αf(x1 )+(1-α)f(x2)f(αx1 +(1-α)x2)+α(1-α)(x2-x1)f"(ξ)=αf(x1)+(1-α)f(x2)．因为f"(ξ)＞0，即α(1-α)(x2 -x1)f"(ξ)＞0．所以αf(x1 )+(1-α)f(x2)＞f[αx1+(1-α)x2]．14.设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=3，且对于[0，1]上的一切x和y|f(x)-f(y)|≤|x-y|成立，试证：SSS_TEXT_QUSTI该问题分值: 5证明因为f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=3．所以又对于[0，1]上的一切x和y，[f(x)-f(y)]≤|x-y|成立．所以所以1。
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2018年考研数学模拟试题（数学二）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）
1.设0x 是多项式432()P x x ax bx cx d =++++的最小实根，则（ ）. （A ）0()0P x '≤（B ）0()0P x '<（C ）0()0P x '≥（D ）0()0P x '>.
2.设
1x a
→= 则函数()f x 在点x a =（ ）. （A ）取极大值（B ）取极小值（C ）可导（D ）不可导 3.设(,)f x y 连续，且满足(,)(,)f x y f x y -=，则
221
(,)x y f x y dxdy +≤=⎰⎰
（ ）.
（A ）1
002(,)dx f x y dy ⎰⎰ （B ）1
2(,)dy f x y dx ⎰⎰
（C ）
10
2
(,)dx f x y dy ⎰⎰
（D ）1
2(,)dy f x y dx ⎰⎰
.
4.微分方程22e x y y x '''-=的特解*y 形式为（ ）.
(A) *2()e x y ax b =+ (B) *2e x
y ax =
(C) *22e x y ax = (D) *22()e x
y ax bx =+
5. 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是（ ）.
（A ）
20
()x f t dt ⎰ （B ）20
()x
f t dt ⎰
（C ）
[()()]x t f t f t dt +-⎰
（D ）0
[()()]x
t f t f t dt --⎰
6. 设在全平面上有0)
,(<∂∂x
y x f ，
0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ）
（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.
（D ）21x x <，21y y >.
7.设A 和B 为实对称矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是（ ）.
(A)A E λ-与B E λ-相似 (B) A 与B 合同 (C) A E B E λλ-=- (D) A E B E λλ-=- 8. n m A A ⨯=，r A R =)(，b 为m 维列向量，则有（）. (A)当r m =时，方程组Ax b =有解 (B)当n r =时，方程组Ax b =有唯一解 (C)当n m =时，方程组Ax b =有唯一解 (D)当n r <时，方程组Ax b =有无穷多解
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. 1
0(1)e
lim x
x x x
→+-= .
10设f 有二阶连续偏导数，(,,)u f x xy xyz =，则2u
z y
∂=∂∂ .
11.设微分方程()y x
y x y
ϕ'=+的通解为ln x y Cx =，则()x ϕ= .
12.数列中最大的项为 .
13.方程805201x
dt
x t --=+⎰在区间(0,1)内的实根个数为 .
14.设n 阶矩阵A 的秩为2n -，123,,ααα是非齐次线性方程组Ax b =的三个线性无关的解， 则Ax b =的通解为 . .
三、解答题（本题共9小题，满分94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分9分）求极限1
0x
x →
16. （本题满分9分）设()f x 单调且具有一阶连续导数，(())z f x y ϕ=+满足
()
0z z
y x y
ϕ∂∂-=∂∂，求可导函数()y ϕ.
17. （本题满分9分）
计算积分
131
1sin )dy y dx -⎰
⎰
18. （本题满分11分）
求微分方程2()0(0)y a y a '''-=>满足初始条件00x y ==，01x y ='=-的特解.
19. （本题满分11分）
设()f x 和()g x 在区间(,)a b 可导，并设在(,)a b 内()()()0f x g x f x ''-≠，证明在(,)a b 内至多存在一点ξ，使得()0f ξ=. .
20. （本题满分11分）
设有抛物线Γ：2
y a bx =-，试确定常数,a b 的值，使得 ⑴Γ与直线1y x =+相切；
⑵Γ与x 轴所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积最大.
.
21.（本题满分11分）
v从原点沿y轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平一质量为m的物体以速度
k ），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物方成正比（比例系数0
体上升的最大高度.
22. （本题满分11分）
设()()()()()T
T
T
T
T
12341,2,3,1,1,1,2,1,1,3,,3,3,5,7,1,0,1,1,a b ααααβ==-==-=. ⑴当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式唯一？
⑵当,a b 满足什么条件时，β可由1234,,,αααα线性表示，且表示式不唯一？并求出β的表示式.
23. （本题满分11分）
设,A P 为n 阶矩阵，P 可逆，且AP PA =，证明：
⑴若α是A 的特征向量，则P α也是A 的特征向量；
⑵若A 有n 个不同的特征值，α是A 的特征向量，则α也是P 的特征向量.。