2019上海高三数学黄浦一模

上海市黄浦区2019届高三一模数学试卷

2019.01

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 不等式

x <-的解集为 2. 双曲线2

y x -=的渐近线方程为

3. 若复数1i z =-（i 为虚数单位），则2z 的共轭复数为

4. 记等差数列{}n a ()n ∈*N 的前n 项和为n S ，若51a =，则9S =

5. 若函数()y f x =是函数x y a =（0a >且1a ≠）的反函数，且(2)1f =，则()f x =

6. 已知0a >，0b >，若4a b +=，则22a b +的最小值为

7. 已知三阶行列式123

456789

，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为

8. 设a ∈R ，若5(2)(1)a x x

++展开式中2x 的系数为10，则a =

9. 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，若第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案种数为

10. 已知数列{}n a ()n ∈*N ，若11a =，11()2

n n n a a ++=，则2lim n n a →∞

11. 在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u u r

、 2a u u r 、3a u u r 、4a u u r 、5a u u r ，若i a u r 与j a u u

r 的夹角记为ij θ，其中i 、{1,2,3,4,5}j ∈，且i j ≠，则 ||cos i ij a θ?u r

的最大值为

12. 如图，1l 、2l 是过点M 夹角为

的两条直线，且与圆心为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到1l 、2l

的距离分别为1d 、2d ，那么122d d +的最小值为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 设函数()y f x =，“该函数的图像过点(1,1)”是“该函数为幂函数”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

14. 下列关于函数sin y x =与arcsin y x =的命题中正确的是（）

A. 它们互为反函数

B. 都是增函数

C. 都是周期函数

D. 都是奇函数 15. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60?的直线的条数为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

16. 如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（） A. 22(||1)(1)0x y x y ---+= B. 22||1(1)0x y x y --?-+= C. 22(||1)10x y x y --?-+= D. 22||110x y x y --?-+=

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30?. （1）求该量杯的侧面积S ；

（2）若要在该圆锥形量杯的一条母线PA 上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少，当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B 与顶点P 之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？

18. 已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，(0,)x π∈. （1）求函数()y f x =的单调递减区间；

（2）在ABC V 中，若()()f A f B =，且A B ≠，2AB =，求ABC V 外接圆半径的长.

19. 已知函数()21

x a

f x b =

+-，其中a 、b ∈R . （1）当6a =，0b =时，求满足(||)2x f x =的x 的值；（2）若()f x 为奇函数且非偶函数，求a 与b 的关系式.

20. 已知椭圆22

:194

x y Γ+=.

（1）若抛物线C 的焦点与Γ的焦点重合，求C 的标准方程；

（2）若Γ的上顶点A 、右焦点F 及x 轴上一点M 构成直角三角形，求点M 的坐标；（3）若O 为Γ的中心，P 为Γ上一点（非Γ的顶点），过Γ的左顶点B ，作BQ ∥OP ，

BQ 交y 轴于点Q ，交Γ于点N ，求证：2

2BN BQ OP ?=u u u r u u u r u u u r .

21. 给定整数n (4)n ≥，设集合12{,,,}n A a a a =???，记集合

{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.

（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；

（2）若12,,,n a a a ???构成以1a 为首项，d (0)d >为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；

（3）若12,,,n a a a ???构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B 中元素的个数及所有元素之和.

参考答案

一. 填空题

1. (0,1)

2. y =

3. 2i

4. 9

5. 2log x (0)x >

6. 8

7. 0

8. 1-

9. 96 10. 2

- 11. 12. 3

二. 选择题

13. B 14. D 15. B 16. C

三. 解答题

17.（1）96π；（2）196，7.6. 18.（1）5(,

)88

ππ

；（2）1；

19.（1）2log 3x =；（2）2a b =，0a ≠.

20.（1）2y =±；（2）(；（3）略. 21.（1）{6,3,2,1,0,2,3,4}B =----；（2）略；（3）2n 个，和为29(31)4

n -.